http://140.127.37.16/time&space/5th.pdf
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0. 契子 「如果有人能取得宇宙內某一瞬間的狀態,又知道所有的作用力,則可以完全決定宇宙的過去與未來。」——Laplace 決 定論—— 走在燕巢校園,如果你願意將心思自鐘聲與鐘聲的跳躍、人與人之間的絮語上稍稍移開的話,你會 發現大自然正以最深奧的方式主宰時空的遞嬗。 如果正值晴天,陽光會以30 度斜角剪過高斯大樓矗立的身影。輕輕偎在遠處山頭的浮雲,正以慵 懶的旋律飄動。瀟灑的風帶著柏油路面冉冉的蒸氣,匆匆穿過打了個噴嚏的年輕校樹。草木本身也從未 閒著,新芽正奮力鑽出枝尖而不小心發出轟隆巨響。趕路的馬陸,忙著覓食的麻雀,在路邊努力的鞏固 自家地盤的校犬,以及不知翹掉哪一門課的你不小心目睹了一切,並巧妙地參與時空的這個片段裡。然 而,儘管逃得了空白的缺曠課記錄單,卻瞞不過那一雙更高更遠的眼;正在蒼穹的盡頭微笑,偷窺。 當然,醉心於科學的你,也許從未出現在這個弔詭的饗宴裡。你也許正試圖利用高斯定律(
Gauss’s
Law
),來解決某個帶電金屬球殼的電場問題;或嘗試以階梯算符(ladder operator),來處理簡諧位能
井(
harmonic potential)的能量問題,而忽略掉造物者遺落在自然萬物的蛛絲馬跡。儘管在16、17 世
紀的科學革命之後,自然科學便從哲學中分離出來;這兩門學科的本質還是密不可分的,都在探求生命 與自然的根本。遺憾的是,我們從古典科學的認識,並無法對所有的大自然行為的做出合宜的解釋。正 如精通古典物理的學者, 並無法預言明日的天氣為何, 無法對生命體與無生命體的自組織 (
self-organization)現象提出說明。面對如此的窘境,彷彿我們熱愛科學已經脫離正途,僅能侷限地存
在瑰麗的幻想世界裡。 內省同樣發生在五0年代的一群科學家中。當時,主流的粒子物理學進展已遭遇瓶頸,逐漸慢了下 來;他們開始厭倦了為新粒子命名的遊戲,同時對研究基本粒子的組成產生了疑慮。畢竟讓兩顆粒子繞 著加速器碰撞是一回事;地球大氣的流動、心臟跳動的韻律、自然界的運行模式又是截然不同的一回事。 瞭解基本粒子的特性僅能解決微觀的問題,並無法說明系統複雜的集合行為(
collective behavior)。然
而,我們親眼親身所面對的,卻是一個個「集合系統」,而非一顆顆基本粒子。因此當混沌(
Chaos)
研究逐漸明朗之際,這一群科學家相信他們面臨物理學改朝換代的序幕。時至今日,最熱切的擁護者更 強調:二十世紀突破性的科學僅有三件:相對論、量子力學與混沌理論。其中相對論否定了古典力學時 間與空間的架構,量子力學粉碎了古典力學量測的定義,而混沌則是完全瓦解古典力學服膺的決定論。 混沌的發展,讓終日鎖在實驗室的科學家重拾對大自然複雜現象的熱忱。他們開始研究雲的流動, 研究大氣。藉由各式嶄新的非線性分析方法,這些看似一團混亂的訊息,逐漸清晰可辦。當然,它的價 值並不僅於此。各式截然不同的學科,諸如數學、化學、生物學、生態學、經濟學、社會學以及地形學 等等,面臨了一場革命性的跨領域整合。在化學反應中所存在的非線性方程(如B-Z 反應),竟與生物 族群的消長呈現相似的複雜性質。這樣的例子俯拾即是。彷彿造物者曾在萬物之中留下祂戲謔的塗鴉, 而證據顯示,這些塗鴉的確存在。此外,各領域的科學家(包含社會科學)發現混沌的出現恰抗拒科學 走向約化主義的趨勢,不主張用零散的組件分析來取代系統全貌。他們相信,這就是走向大家所企求的 統一之路。 混沌出現之後,古典科學(尋求秩序與穩定)便宣告終止。嚴格來說,混沌僅是非線性科學(
nonlinear
science
)獨特的現象之一,其它還有諸如碎形、自組織、非線性光學等大家比較熟悉的研究課題。當
然,非線性科學的研究還只是個開端。此時此刻,許多有趣的研究結果仍在各領域頂尖的期刊中雨後春 筍般地出現。這條路的終點是甚麼?我們並無法加以臆度。然而,如果你對任何研究者問起這一切的起 點,他一定會肯定的注視你的雙眼,告訴你關於羅倫茲(Lorenz)蝴蝶的故事。 那個發生在1961 年的故事。 1. 蝴蝶效應 「當北平的一隻蝴蝶展翅拍動而對空氣擾動,下個月紐約也許因此產生一場暴風雪。」——Lorenz —— 1961 年,在羅倫茲的洪荒級電腦內,古典力學確切而又嚴謹的世界開始崩損毀滅。 羅倫茲從小就是一位天氣迷。當別的孩子還在央求父母陪他們一起遊玩時,他已開始熱衷對屋外簡 陋的溫度計進行記錄的工作。當然,他的最愛還是數學。當他一九三八年於
Dartmouth College 畢業時,
幾乎以數學作為他畢生的志業。然而,第二次世界大戰改變了這個想法。在第二次世界大戰中,他擔任 陸軍航空單位的天氣預報員。這樣的經歷,使他戰後進入麻省理工學院,繼續進行氣象的研究。由於深 厚的數學背景,他在正統的大氣環流問題提出了論文,並博得許多研究者的讚賞。他對此仍未感到滿足。 一個關鍵性的問題正縈繞在他的腦中---關於預測的問題。 在五、六0年代,科學家們對天氣預測抱持著樂觀正面的態度。他們認為天氣的行為是可以藉由一 條條決定性的方程式所決定的。正如科學家已經能正確估算出潮汐的週期、慧星運動的週期、太空船與 火箭於太空中精確的運行軌跡。天氣的變化也是完全相同,儘管風和雨的複雜性更高。科學家猜測問題 的癥結出在他們未能詳細地紀錄地球上的大氣系統,以及一部能夠進行複雜計算的機器。前者藉由一個 又一個氣候觀測站的建立獲得舒緩,後者則因馮紐曼(
John von Neumann)製造了第一部電腦(當然,
他製造的主因便是針對天氣預測)而解決。「一切似乎逐漸變得可以掌握,只要給我們更多更精確的的 數值,長時間正確的預測是必然的。況且,當預測有所偏離,人為的控制亦可將氣候的變化拉回正軌。」 奉決定論為規臬,科學家們如此深信。 羅倫茲選擇了他認為重要的變因,諸如溫度、濕度、壓力以及風向等等,參照已知的方程以及他個 人嘗試錯誤的結果,寫成了12 條方程式。洪荒級電腦根據這些方程式辛苦地工作著,真空管與纏繞在 電腦內部複雜的電路不時發出喀喀的聲響,然後在報表紙上印出一行數字。如果你深諳這些數字的意 義,數字的起伏將化成氣候多變的樣貌,在重複性中(四季的遞嬗)帶著強烈的不可預測性。在這個程 式所架構起的大千世界裡,我們是受雲與雨所左右的芸芸眾生。而羅倫茲是蒼穹的盡頭那雙深奧的眼, 不時露出他靦腆而又充滿智慧的微笑。 故事發生在一九六一年的冬季某日。為了檢查檢查一段較長的數列,羅倫茲決定不讓電腦自原本的 起始條件開始運作。他根據剛跑完的數列,擷取出中間的一組數據做為程式的新起點。那時的電腦精確 度至小數點以下六位。出自無心,一方面也是古典科學的訓練,羅倫茲將小數點第四位以下四捨五入, 並將這個數值輸入電腦。程式的運作是相當緩慢地,羅倫茲並不急著觀察運作的結果。他先下樓喝了一 杯咖啡,接著慢慢在校園裡繞了一圈,思索著研究上所遭遇的問題。等他回來,報表紙已經列出一串長 長的數據。數列彷彿一顆顆觸發牛頓的頻果,沈甸甸的掛在歷史的轉折點。 羅倫茲將新獲得的數據與先前的數據比對,結果卻大出意料之外。在一開始,新的數據點與舊的數 據幾乎重疊在一起。然而隨著時間的增加,兩串數值卻逐漸岔開,最後成了各自獨立,彼此無關的數列。 羅倫茲將數據繪成時間序列圖形,更可清晰看出兩數列分道揚鑣的過程(如圖一所示)。面對這樣的結 果,羅倫茲大為吃驚。對他而言,模擬數值的高低不止是數字無意義的起伏而已;每一串數列,代表著 不同的天氣型態。換句話說,兩次的模擬結果,預測出截然無關(甚至相反!)的天氣型態。What’s the matter?問題出在甚麼地方呢? 為了確保不是某個真空管破裂或電路造成的誤差(人們當時尚對電腦的結果抱持懷疑的態度),羅 倫茲反覆進行模擬。他自原本的起始條件開始計算,不久後發現這些結果(稱為
1 S )都是一致的。同時,
他擷取相同的中間數據做為程式的新起點(稱為
2 S ),一樣將小數點第四位以下四捨五入,所有的2 S 也
完全相同。然而,
1 S 與2 S 始終不同。羅倫茲的直覺告訴他,這不合常理的背後隱藏著新的真理,所有舊
的思維將面臨革命。不久,癥結點被找了出來:原因肇於小數點第四位以下的捨去。 古典力學的訓練告訴我們,微小的誤差並不會對系統產生決定性的影響。小至實驗室裡頭簡單的滑 車實驗,大到慧星運行銀河的軌跡,我們總能利用近似的技巧逃避龐大的數值運算,並得到近乎「預言」 的精確結果。然而,對這十二道模擬天氣的方程而言,古典科學的典範不再是放天下皆準的圭臬。起始 值微小的差距,被系統中處處可見的不穩定點誇張地放大,終造成兩組數列截然不同的結果。羅倫茲思 索著,用他困惑的雙眼望向窗外飄忽的風和雲。慢慢地,一個想法 圖一:在一開始,新的數據點與舊的數據幾乎重疊在一起。然而隨著時間的增加,兩串數值卻逐漸岔開,最後成了各自獨立, 彼此無關的數列。本圖為Lorenz 震盪子的模擬結果,非Lorenz 原始之天氣模型。 在腦中凝聚成形:天氣預測無法準確的原因,不是我們遺漏了那個重要的資訊,而是系統本身特性造成 的結果。「對起始值敏感(sensitive to initial condition)」主導了所有的不確定性。任何一個微小 的擾動,都有機會無限地被放大,擴張。正如當北平的一隻蝴蝶展翅拍動而對空氣擾動,下個月紐約也 許因此產生一場暴風雪。 羅倫茲並不滿於此。他決定暫時把天氣丟在一旁,埋身於數學模型的建構裡。他設計了一條只有三 個方程式的系統(Lorenz 震盪子,Lorenz oscillator)。方程式簡單得過火,僅僅由單純的線性函數與 兩個非線性項所組成。但是,系統的動力學行為卻複雜地讓人吒舌。羅倫茲用三項變數當作座標軸,繪 出了系統的相圖(圖二)。圖形顯現出無窮的複雜性,它在某個固定大小的區間內不斷的運行,既不重 複也沒也任何的交錯點;就如同在有限空間中鑲嵌著無限長的軌道。它刻畫著一張奇異而詭譎的圖像。 從某些特定的投影來觀察,它竟似一雙蝴蝶的翅膀,彷彿冥冥中呼應對起始值敏感的特質(蝴蝶效應)。 如果你把任何一個變數抽出細看,你將找不到任何一絲規律性。換句話說,你無法根據系統先前的演進 方式,預測時間序列的下一步進展。然而,三維的相圖卻顯現緻密、隱然有序的幾何結構;一種決定性 的混亂秩序! 多年後,研究者在在許多物理、生物系統找到隱藏在這個混亂圖象背後的規律。模型的本身,更意 外地與雷射速率方程(Laser rate equation)完全相符。但對非線性研究者而言,Lorenz 震盪子不單 單只是一個標準的混沌模型;而是一個精神上瞻仰的圖驥。羅倫茲當時沒有意料到這一點。研究成果只 是靜靜地躺在大氣科學期刊的某個不起眼的角落。然而,歷史的輪軸已被往前推移了一部,就像在覷靜 的黑夜敲響第一枚鐘聲。不久,成千上萬的蠢動與共鳴,將隨鐘聲的波動而起;一場革命於是焉展開。 圖二、羅倫茲用三項變數當作座標軸,繪出了系統的相圖。圖形顯現出無窮的複雜性,它在某個固定大小的區間內不斷的運 行,既不重複也沒也任何的交錯點;就如同在有限空間中鑲嵌著無限長的軌道。 2. 無聲的隱喻
「假如真有上帝,祂必然善於留下身後的線索。不僅如此,祂還是個隱藏秘密的藝術大師」——喬斯坦‧賈德(瑪雅,
梅花5 籤言)——
+ + sin x = 0
l g &
x & ax & x a g l sin xsin x...
3! 1
x = x −x3 + &x&+ax& + sin x = F coswt'F w圖三、令係數c = 0.05,w = 0.7 時,利用RK4 近似法模擬彈簧在不同驅策力下的運動情形。圖(a)與(b)為外加驅策力強度
F
= 0.5的結果,此時彈簧為週期震盪。圖(c)與(d)為F = 0.7 的結果,此時彈簧展現出複雜的混沌行為。更詳盡的結果,
請參閱力學課本( by Marion Thornton,第4 版) 174 頁。
Van Der Pol Van Der Pol noiseVan Der Pol 40 3. 快版
「節奏從精血空隙中響起 擺頭 凝視 伸手 輕擁 腳下踩著輕快的舞步 一轉身十萬光年已在恆河彼端微笑」
( ) n 1 n X = f X
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0 X ( ) n f X (1 ) n 1 n n X = rX −X
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−rX r n X r 圖四、Logistic map 的分歧圖。隨著係數r 的增加,族群數量的變化將趨於混沌。n +1nlim 4.669...
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d 4. 呼喚
「我已聽見銀河的潮汐 聽見星星爭吵著,秩序混亂地散場 以及我們收斂的呼吸……」 --羅志成 (長夜為冠)--
(1)~95-2 u
a u t ¶ = Ñ ¶
2
( ) 2 ( 6 ( , ) ( , )) 3
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u u t p u t N Î Ñ » −+
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