sin x non linear􀨢wave function􀔫􀬡&#105

来源: marketreflections 2012-05-16 12:55:34 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读: 次 (110959 bytes)

http://140.127.37.16/time&space/5th.pdf

 

􀏄􀏄􀏄􀏄􀷗􀷗􀷗􀷗􀞯􀞯􀞯􀞯􀤢􀤢􀤢􀤢􀷻􀷻􀷻􀷻􁟡􁟡􁟡􁟡􀕿􀕿􀕿􀕿􀏅􀏅􀏅􀏅 􀜂􀜂􀜂􀜂􀥃􀥃􀥃􀥃􀎚􀎚􀎚􀎚

 

89 􀱍􀱍􀱍􀱍- 􀩋􀩋􀩋􀩋􁤌􁤌􁤌􁤌􀘥􀘥􀘥􀘥

0. 契子

「如果有人能取得宇宙內某一瞬間的狀態,又知道所有的作用力,則可以完全決定宇宙的過去與未來。」——Laplace 決

定論——

走在燕巢校園,如果你願意將心思自鐘聲與鐘聲的跳躍、人與人之間的絮語上稍稍移開的話,你會

發現大自然正以最深奧的方式主宰時空的遞嬗。

如果正值晴天,陽光會以30 度斜角剪過高斯大樓矗立的身影。輕輕偎在遠處山頭的浮雲,正以慵

懶的旋律飄動。瀟灑的風帶著柏油路面冉冉的蒸氣,匆匆穿過打了個噴嚏的年輕校樹。草木本身也從未

閒著,新芽正奮力鑽出枝尖而不小心發出轟隆巨響。趕路的馬陸,忙著覓食的麻雀,在路邊努力的鞏固

自家地盤的校犬,以及不知翹掉哪一門課的你不小心目睹了一切,並巧妙地參與時空的這個片段裡。然

而,儘管逃得了空白的缺曠課記錄單,卻瞞不過那一雙更高更遠的眼;正在蒼穹的盡頭微笑,偷窺。

當然,醉心於科學的你,也許從未出現在這個弔詭的饗宴裡。你也許正試圖利用高斯定律(

Gauss’s

Law

),來解決某個帶電金屬球殼的電場問題;或嘗試以階梯算符(ladder operator),來處理簡諧位能

井(

harmonic potential)的能量問題,而忽略掉造物者遺落在自然萬物的蛛絲馬跡。儘管在1617

紀的科學革命之後,自然科學便從哲學中分離出來;這兩門學科的本質還是密不可分的,都在探求生命

與自然的根本。遺憾的是,我們從古典科學的認識,並無法對所有的大自然行為的做出合宜的解釋。正

如精通古典物理的學者, 並無法預言明日的天氣為何, 無法對生命體與無生命體的自組織

self-organization)現象提出說明。面對如此的窘境,彷彿我們熱愛科學已經脫離正途,僅能侷限地存

在瑰麗的幻想世界裡。

內省同樣發生在五0年代的一群科學家中。當時,主流的粒子物理學進展已遭遇瓶頸,逐漸慢了下

來;他們開始厭倦了為新粒子命名的遊戲,同時對研究基本粒子的組成產生了疑慮。畢竟讓兩顆粒子繞

著加速器碰撞是一回事;地球大氣的流動、心臟跳動的韻律、自然界的運行模式又是截然不同的一回事。

瞭解基本粒子的特性僅能解決微觀的問題,並無法說明系統複雜的集合行為(

collective behavior)。然

而,我們親眼親身所面對的,卻是一個個「集合系統」,而非一顆顆基本粒子。因此當混沌(

Chaos

研究逐漸明朗之際,這一群科學家相信他們面臨物理學改朝換代的序幕。時至今日,最熱切的擁護者更

強調:二十世紀突破性的科學僅有三件:相對論、量子力學與混沌理論。其中相對論否定了古典力學時

間與空間的架構,量子力學粉碎了古典力學量測的定義,而混沌則是完全瓦解古典力學服膺的決定論。

混沌的發展,讓終日鎖在實驗室的科學家重拾對大自然複雜現象的熱忱。他們開始研究雲的流動,

研究大氣。藉由各式嶄新的非線性分析方法,這些看似一團混亂的訊息,逐漸清晰可辦。當然,它的價

值並不僅於此。各式截然不同的學科,諸如數學、化學、生物學、生態學、經濟學、社會學以及地形學

等等,面臨了一場革命性的跨領域整合。在化學反應中所存在的非線性方程(如B-Z 反應),竟與生物

族群的消長呈現相似的複雜性質。這樣的例子俯拾即是。彷彿造物者曾在萬物之中留下祂戲謔的塗鴉,

而證據顯示,這些塗鴉的確存在。此外,各領域的科學家(包含社會科學)發現混沌的出現恰抗拒科學

走向約化主義的趨勢,不主張用零散的組件分析來取代系統全貌。他們相信,這就是走向大家所企求的

統一之路。

混沌出現之後,古典科學(尋求秩序與穩定)便宣告終止。嚴格來說,混沌僅是非線性科學(

nonlinear

science

)獨特的現象之一,其它還有諸如碎形、自組織、非線性光學等大家比較熟悉的研究課題。當

然,非線性科學的研究還只是個開端。此時此刻,許多有趣的研究結果仍在各領域頂尖的期刊中雨後春

筍般地出現。這條路的終點是甚麼?我們並無法加以臆度。然而,如果你對任何研究者問起這一切的起

點,他一定會肯定的注視你的雙眼,告訴你關於羅倫茲(Lorenz)蝴蝶的故事。

那個發生在1961 年的故事。

1. 蝴蝶效應

「當北平的一隻蝴蝶展翅拍動而對空氣擾動,下個月紐約也許因此產生一場暴風雪。」——Lorenz ——

1961 年,在羅倫茲的洪荒級電腦內,古典力學確切而又嚴謹的世界開始崩損毀滅。

羅倫茲從小就是一位天氣迷。當別的孩子還在央求父母陪他們一起遊玩時,他已開始熱衷對屋外簡

陋的溫度計進行記錄的工作。當然,他的最愛還是數學。當他一九三八年於

Dartmouth College 畢業時,

幾乎以數學作為他畢生的志業。然而,第二次世界大戰改變了這個想法。在第二次世界大戰中,他擔任

陸軍航空單位的天氣預報員。這樣的經歷,使他戰後進入麻省理工學院,繼續進行氣象的研究。由於深

厚的數學背景,他在正統的大氣環流問題提出了論文,並博得許多研究者的讚賞。他對此仍未感到滿足。

一個關鍵性的問題正縈繞在他的腦中---關於預測的問題。

在五、六0年代,科學家們對天氣預測抱持著樂觀正面的態度。他們認為天氣的行為是可以藉由一

條條決定性的方程式所決定的。正如科學家已經能正確估算出潮汐的週期、慧星運動的週期、太空船與

火箭於太空中精確的運行軌跡。天氣的變化也是完全相同,儘管風和雨的複雜性更高。科學家猜測問題

的癥結出在他們未能詳細地紀錄地球上的大氣系統,以及一部能夠進行複雜計算的機器。前者藉由一個

又一個氣候觀測站的建立獲得舒緩,後者則因馮紐曼(

John von Neumann)製造了第一部電腦(當然,

他製造的主因便是針對天氣預測)而解決。「一切似乎逐漸變得可以掌握,只要給我們更多更精確的的

數值,長時間正確的預測是必然的。況且,當預測有所偏離,人為的控制亦可將氣候的變化拉回正軌。」

奉決定論為規臬,科學家們如此深信。

羅倫茲選擇了他認為重要的變因,諸如溫度、濕度、壓力以及風向等等,參照已知的方程以及他個

人嘗試錯誤的結果,寫成了12 條方程式。洪荒級電腦根據這些方程式辛苦地工作著,真空管與纏繞在

電腦內部複雜的電路不時發出喀喀的聲響,然後在報表紙上印出一行數字。如果你深諳這些數字的意

義,數字的起伏將化成氣候多變的樣貌,在重複性中(四季的遞嬗)帶著強烈的不可預測性。在這個程

式所架構起的大千世界裡,我們是受雲與雨所左右的芸芸眾生。而羅倫茲是蒼穹的盡頭那雙深奧的眼,

不時露出他靦腆而又充滿智慧的微笑。

故事發生在一九六一年的冬季某日。為了檢查檢查一段較長的數列,羅倫茲決定不讓電腦自原本的

起始條件開始運作。他根據剛跑完的數列,擷取出中間的一組數據做為程式的新起點。那時的電腦精確

度至小數點以下六位。出自無心,一方面也是古典科學的訓練,羅倫茲將小數點第四位以下四捨五入,

並將這個數值輸入電腦。程式的運作是相當緩慢地,羅倫茲並不急著觀察運作的結果。他先下樓喝了一

杯咖啡,接著慢慢在校園裡繞了一圈,思索著研究上所遭遇的問題。等他回來,報表紙已經列出一串長

長的數據。數列彷彿一顆顆觸發牛頓的頻果,沈甸甸的掛在歷史的轉折點。

羅倫茲將新獲得的數據與先前的數據比對,結果卻大出意料之外。在一開始,新的數據點與舊的數

據幾乎重疊在一起。然而隨著時間的增加,兩串數值卻逐漸岔開,最後成了各自獨立,彼此無關的數列。

羅倫茲將數據繪成時間序列圖形,更可清晰看出兩數列分道揚鑣的過程(如圖一所示)。面對這樣的結

果,羅倫茲大為吃驚。對他而言,模擬數值的高低不止是數字無意義的起伏而已;每一串數列,代表著

不同的天氣型態。換句話說,兩次的模擬結果,預測出截然無關(甚至相反!)的天氣型態。What’s the

matter?問題出在甚麼地方呢?

為了確保不是某個真空管破裂或電路造成的誤差(人們當時尚對電腦的結果抱持懷疑的態度),羅

倫茲反覆進行模擬。他自原本的起始條件開始計算,不久後發現這些結果(稱為

1 S  )都是一致的。同時,

他擷取相同的中間數據做為程式的新起點(稱為

2 S  ),一樣將小數點第四位以下四捨五入,所有的2 S  

完全相同。然而,

1 S  2 S  始終不同。羅倫茲的直覺告訴他,這不合常理的背後隱藏著新的真理,所有舊

的思維將面臨革命。不久,癥結點被找了出來:原因肇於小數點第四位以下的捨去。

古典力學的訓練告訴我們,微小的誤差並不會對系統產生決定性的影響。小至實驗室裡頭簡單的滑

車實驗,大到慧星運行銀河的軌跡,我們總能利用近似的技巧逃避龐大的數值運算,並得到近乎「預言」

的精確結果。然而,對這十二道模擬天氣的方程而言,古典科學的典範不再是放天下皆準的圭臬。起始

值微小的差距,被系統中處處可見的不穩定點誇張地放大,終造成兩組數列截然不同的結果。羅倫茲思

索著,用他困惑的雙眼望向窗外飄忽的風和雲。慢慢地,一個想法

圖一:在一開始,新的數據點與舊的數據幾乎重疊在一起。然而隨著時間的增加,兩串數值卻逐漸岔開,最後成了各自獨立,

彼此無關的數列。本圖為Lorenz 震盪子的模擬結果,非Lorenz 原始之天氣模型。

在腦中凝聚成形:天氣預測無法準確的原因,不是我們遺漏了那個重要的資訊,而是系統本身特性造成

的結果。「對起始值敏感(sensitive to initial condition)」主導了所有的不確定性。任何一個微小

的擾動,都有機會無限地被放大,擴張。正如當北平的一隻蝴蝶展翅拍動而對空氣擾動,下個月紐約也

許因此產生一場暴風雪。

羅倫茲並不滿於此。他決定暫時把天氣丟在一旁,埋身於數學模型的建構裡。他設計了一條只有三

個方程式的系統(Lorenz 震盪子,Lorenz oscillator)。方程式簡單得過火,僅僅由單純的線性函數與

兩個非線性項所組成。但是,系統的動力學行為卻複雜地讓人吒舌。羅倫茲用三項變數當作座標軸,繪

出了系統的相圖(圖二)。圖形顯現出無窮的複雜性,它在某個固定大小的區間內不斷的運行,既不重

複也沒也任何的交錯點;就如同在有限空間中鑲嵌著無限長的軌道。它刻畫著一張奇異而詭譎的圖像。

從某些特定的投影來觀察,它竟似一雙蝴蝶的翅膀,彷彿冥冥中呼應對起始值敏感的特質(蝴蝶效應)。

如果你把任何一個變數抽出細看,你將找不到任何一絲規律性。換句話說,你無法根據系統先前的演進

方式,預測時間序列的下一步進展。然而,三維的相圖卻顯現緻密、隱然有序的幾何結構;一種決定性

的混亂秩序!

多年後,研究者在在許多物理、生物系統找到隱藏在這個混亂圖象背後的規律。模型的本身,更意

外地與雷射速率方程(Laser rate equation)完全相符。但對非線性研究者而言,Lorenz 震盪子不單

單只是一個標準的混沌模型;而是一個精神上瞻仰的圖驥。羅倫茲當時沒有意料到這一點。研究成果只

是靜靜地躺在大氣科學期刊的某個不起眼的角落。然而,歷史的輪軸已被往前推移了一部,就像在覷靜

的黑夜敲響第一枚鐘聲。不久,成千上萬的蠢動與共鳴,將隨鐘聲的波動而起;一場革命於是焉展開。

圖二、羅倫茲用三項變數當作座標軸,繪出了系統的相圖。圖形顯現出無窮的複雜性,它在某個固定大小的區間內不斷的運

行,既不重複也沒也任何的交錯點;就如同在有限空間中鑲嵌著無限長的軌道。

2. 無聲的隱喻

 

「假如真有上帝,祂必然善於留下身後的線索。不僅如此,祂還是個隱藏秘密的藝術大師」——喬斯坦‧賈德(瑪雅,

梅花5 籤言)——

􀊳􀊳􀊳􀊳􀢬􀚶􁄅􀪝􁖂􀹯􀿇􀷼􀕰􀦛􀎔􀠀􀕬􀗖􀥤􀺍􀔫􀙙􀠃􁊔􀢨􀰟􀷻􀚇􀚼􀕰􀦛􀵕􀘢􀚘􀚇􀎖􀪌􀖘􀚆􀎔􀘌􀵕􀚙􀡶􀕕􁡨􀩦􀲦􀤱􀟷􀔫􀠥􀎔􀦁􀴮􀡎􀢤􀚆􁐊􀚇􀢬􀚶􁙟􀮴􁁴􁋝􀖏􀎔􀢨􀕢􁆖􀛊􁄰􀤱􀠃􀙙􀕭􀎖􀗽􀨢􀺗􀤢􀥃􁊙􀠡􀨜􀕲􀳷􀝎􀤱􀡃􁍿􀎔􁜰􀲦􁦅􀤄􀮃􀖫􀕭􁜣􁗩􀗊􁉄􀘼􀤱􀤄􀞚􁎘􁎘􀔫􁞚􀎖􀵕􀚼􁆄􀤢􀺟􀹯􁍞􀕂􀚍􁐋􅣀􀰽􀤱􁜳􀱅􀎔􀗥􀨔􀟪􀩡􁆄􀤢􀕰􀔫􀤱􀝺􀬚􀎖􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀷗􀞯􀤱􀸣􀔫􀬡􁞆􀻧􀎔􁟲􀚇􀛺􀜓􀸃􀬀􀡎􀢤􀤱􁁦􀾓􁇙􀎖􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀻢􁞭􀗠􀷼􀵓􀥺􀵄􀚰􀎖􀚇􀝦􁢊􀔿􀭃􀮴􀗖􀎔􀠅􀟺􀽎􀚍􁐚􀦁􀽘􀷡􀠥􀗊􀸃􀵅􀔫􁞚􀭃􁖂􁃠􀠺􀚆􁨠􁊘􁈘􀺍􀹵􀧳􀗊􁟡􀻢􀤱􁞭􀳯􀎖􀚇􀠅􀟺􀽎􀚍􁐚􀤱􀸓􀕭􀎔􀻢􁞭􀤱􁈎􀳯􀨢􀔫􀙙􀫹􀤢􁇢􁉹􀢓􀚆􀕂􀵾􁆵􀎔􀛖􀹯􁢃􀕗􀷰􀸫􀸂􀘳􀤱􁄀􀮷􀛩􀩡􀎖􀾥􀛖􀎔􁊙􀣍􀷡􁘲􀳯􀥃􀨁􀳯􀤱􀛺􀜓􀸃􀠐􁎅􀎔􀗔􀪎􀠩􀨢􀔫􁌟􀗱􀹯􁁦􀾓􀤱􀹵􀧳􀢤􀎔􀘘􁂊􀗐􀬀􀡎􀢤􀤱􀷻􁓵􀖱􀱨􀗣􀗐􀝮􀭲􀎖􀗔􁇢􁉹􀗐􀪝􁖂􁍿􀟢􀠐􀼴􀫪􁖞􀬡􀴂􁠲􀎔􀠀􀚇􀗔􁟡􀻢􀤱􁊔􁧭􀕭􀵓􀠩􀥨􀗏􀝙􀪭􀤱􀡳􀷻􀎚􀗽􀫞􀠟􀬡􀻢􁞭􁞭􀥯􀡐􀡳􀎔􀕬􁌥􀲦􀡨􀟡􀧫􀨢􀜡􀕬􀙵􀎔􀠟􀬡􀻢􁞭􀝙􀚫􀚍􀚻􁞭􀳯􀤱􀮴􁁴􀕽􀾥􀪌􀙵􀎖􀘴􀷼􀚇􀤱􁀲􁃜􀗣􀗐􀼴􀫪􀎔􀦞􀨢􀻢􁞭􀤱􁁜􀽚􁍖􀲦􀡨􀟡􀧫􀾤􁣂􀎖􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀠃􁊔􀰟􀚕􀛺􀜓􀸃􁃣􀵓􀚕􀚼􀻢􀱊􁂯􀎛􀚕􀣠􀜃􁊙􀗲􀠢􀔺􁖂􀚶􀔫􁞚􀴗􁟕􀤱􀲝􁒭􀎔􀜃􀗱􀗐􀴲􀛺􀜓􀸃􀸓􀕭􀤱􀻢􁞭􀘴􁃞􀖉􀖱􀿓􀚤􀗣􀗐􀼴􀫪􀎚􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳

+ + sin x  = 0

l

g

 

&

x & ax & 􀎔􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀎰􀋄􀎱􀊳􀠡􀕭􁧢􁑇x  􀗖􀥤􀤱􀨢􀻢􁞭􀤱􀟡􀧫􀎔a 􀨢􀤼􀯛􀕭􀤱􁐰􁚴􀦏􁑇􀎔g 􀨢􀫹􀔺􀗣􀺒􀧫􀎔􀛖l 􀦞􀨢􁐘􁟝􀤱􀥯􀧫􀎖􁅝􀾥􀎔􀜃􀤱􀔺􁖂􀗐􀖗􀤢􀷻􁑇􁖂􀛔􀮃􁄎􀜫􁀹􀜃􀺍􁑌􀔫􀬡􀖱􀿓􀚤􀨢􀾤􁇞􀣫􁇞􀤱􀎔􀚂􀩡sin x􀨢􀔫􀬡􀥺􁒵􀢤􁂈􀎖􀝺􀬚􀗱􀗐􀳚􀤱􁂛􀚶􀴲sin x􀭶􁁲􀎔􀖏􀚫􀌆􀋼􀌁...

3!

1

x = x x3 + 􀤱􀝮􀚤􀎖􀾥􀧵􀎔􁞭􀟡􀩷􀕛􀤱􀫻􀠫􀛞􀾥􀗠􀷼􀎰􀳏􀚻􁂈􀗱􀙤􁒌􀪊􀸃􀎱􀎔􀔫􀖊􀴂􁠲􀔾􀚃􀠩􁟡􀻢􀗊􀗱􀼳􀼽􀤱􀧳􀳯􀎖􀛶􀤉􀺍􀨢􀔫􀬡􁑑􁄷􀤱􀥴􀣽􁈎􀳯􀎔􀕬􁌥􁞭􁝺􀚕􀛶􀝼􀢴􀎔􀘌􀸶􀴲􀳖􀚇􀤢􀷻􁖂􀭮􁉃􀟢􀤱􁡹􀡳􁞚􀕂􀎖􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀕬􀢉􀤱􀨢􀎔􀏈􀵕􀚼􀎔􀗆􀕗􁍖􀖆􀗌􁈘􁀑􀢉􅣂􀝶􁑗􀤱􀘳􀩒􀏉􅣂􀬃􀱳􀤱􀡎􁠲􀵕􀘢􀚇􀔳􁣊􀪝􁖂􀿇􀭶􀗾􀕭􀿇􀘳􁈘􀎖􁊙􀣍􀛺􀜓􀸃􀗐􀖗􀗔􀟪􀧵􀣚􁜨􀗲􀠢􀞬􀡳􁓵􀤱􀋄􀋊􀐔􀋄􀋌􀗈􀪧􀪝􁖂􀭮􀠐􁎅􀎔􀝙􀪭􀤱􀿨􀝝􀛿􀗏􁍂􀨍􀔱􀔫􀩄􁋰􀥯􀤱􀮴􁁴􀎖􀺍􀩄􀮴􁁴􀕈􀹺􁈘􀣍􁋰􀥯􀎔􀗐􀫀􀣍􀔳􀬚􀼓􀗏􁎄􀗐􀩡􀺍􀼉􀨢􀗈􀩺􀤱􀙤􁎎􀔱􀎖􀠃􁊔􀕂􀎔􀗔􀬚􀴱􀣹􀤱􀻢􁞭􁍖􀷗􀞯􀗽􀚶􀔫􀞡􀕰􁎟􀎖􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀟷􁏖􀎔􀷗􀞯􀟒􀺶􁟲􀟪􀚇􀛶􀹠􀡋􀎛􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀚕􀣠􀜃􀴲􁞭􀳯􀕭􀤱􁐘􁟝􀤎􁞭􀟡􀖱􀙻􀨜􀗐􁁜􀽚􁦀􀿜􀔺􀎔􁆖􁈘􁧢􁑇􁧢􀽄􀕰􀧵􀎔􀖱􀿓􀚤􀎰􀋄􀎱􀴲􀗱􀞏􁐊􀚫􀎚􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳&x&+ax& + sin x = F coswt'􀎔􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀎰􀋅􀎱􀊳􀠡􀕭F 􀩡􀘆􀗣􁦀􀿜􀔺􀤱􀵎􀧫􀎔􀛖w􀩡􁦀􀿜􀔺􀤱􁙮􀷷􀎖􀝺􀬚􀜓􀘴􁈽􁆰􁁞􀛩􁑇􀬖􁑓􁚵􀤱􀕠􀜂􀎔􀿨􀣠􀚕􁉹􀔿􀢬􀙂􀎚􀊳􀊳圖三、令係數c = 0.05w = 0.7 時,利用RK4 近似法模擬彈簧在不同驅策力下的運動情形。圖(a)與(b)為外加驅策力強度

F

 

= 0.5的結果,此時彈簧為週期震盪。圖(c)與(d)為F = 0.7 的結果,此時彈簧展現出複雜的混沌行為。更詳盡的結果,

請參閱力學課本( by Marion Thornton,第4 版) 174 頁。

􀊳􀊳􀊳􀊳􀷗􀞯􀤱􀟪􁐙􁎘􁎘􀘏􀘏􀵕􁞭􀳯􀤱􀕬􀹵􀦞􁣉􀧳􀕭􁈂􀔱􀗠􀠐􀎖􀾥􀛖􀚇􀚼􀕰􀦛􀎔􀻢􁞭􁂛􀹯􁀮􀜂􀕭􁖂􀘳􀤱􀪝􁖂􀶔􁍞􀶒􀞗􀎖􀏈􀔫􀙙􁟡􀻢􀗊􁛵􀫉􀨐􀼳􀤱􀕛􀤨􁃠􀎜􀏉􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀔮􀋃􀚣􀗖􀗐􀫾􀎔􁅝􀷗􀞯􀤱􁄗􀢚􁍖􀷼􁀽􀺔􁋬􀚆􀹯􀙣􁦀􀥃􀢬􀵷􀠹􀧵􀎔􀹺􀚍􁟱􀚶􀤱􁊔􁧭􀿨􀣠􁍖􀷻􁓵􁑓􀧀􀎔􀫹􁄅􀹯􀮞􀗠􀠐􁁞􀛩􁛀􁧭􀎖􀳈􀔱􀥣􀡨􀬖􀶕􁃢􀤱􁄗􀢚􀕰􀘆􀎔􀷗􀞯􀬥􀘥􀔱􀪝􁖂􀭮􁎁􀩡􀏈􁓤􁠧􀲛􁇆􀐈􀾤􀝧􀏉􀤱􁨠􁃢􀎖􀹛􁥞􁈽􀕗􀕠􀿓􀮃􀊳

Van Der Pol 􀣍􀔲􀋃􀚣􀗖􁍹􀜂􀔱􀔫􀯅􀰟􀤼􁌥􀎖􀗔􀚇􀋡􀋴􀌇􀌈􀌅􀋸􀽚􀗢􀕂􁇡􀫪􀰟􀤼􁌥􁗑􀯽􀤱􀢤􁔆􀎚􀏈􁅝􀞏􁧢􀟓􀸭􁈽􀩌􀕕􀕛􀮴􀎔􀟓􀸭􀦁􀸂􀘳􀹵􀧳􀤱􀖘􁚨􀎙􀲛􁇆􀤱􀬃􁓳􁉝􀤝􁑔􀶪􀛿􀤱􀎔􀵕􀔫􀩄􁙮􀷷􁈂􀕂􀗼􀔫􁙮􀷷􀎔􀔫􀘟􁠦􁁲􀔫􀩄􁙮􀷷􀼉􁄎􀟂􀟂􀚆􁠙􁁞􀕀􀔫􀩄􁙮􀷷􀎖􀏉􀳝􀛖􀎔Van Der Pol 􀕈􁄎􀣹􁃠􀠩􀔫􀠄􀸆􀤣􀎖􀏈􁅝􁙮􀷷􀕀􀫾􀠩􀨬􀬡􀜅􀬖􀦛􀎔􀲛􁇆􀤱􀬃􁓳􁧢􀵓􀚕􀙵􁕳􀬃􀎰noise􀎱􀔫􀱳􀎖􀜀􀾤􁓵􀚕􀛶􀎔􀺍􀗽􀨢􀔫􀬡􀚻􀫞􀤱􀷼􁀽􀎖􀏉􀚕􀙵􀹺􀚍􀪝􁖂􀭮􀔫􀱳􀎔Van Der Pol 􁗢􀟠􀔱􀷗􀞯􀤱􁞆􀻧􀎖􀾥􀛖􀎔􀗲􀠢􀤱􀲝􁒭􀾤􀤄􁨃􀗔􁁞􀛩􀚶􀟓􀸭􀤱􀖉􀣫􀛖􀢙􀸃􀔱􀺍􀬡􀷼􁀽􀎖􀸅􀺶􀎔􁊙􀟷􀮴􀤱􀪝􁖂􀛖􀟢􀎔􀰼􀝧􁍖􁡹􀡳􀎔􁒵􀢤􁍖􀗱􁜦􀧫􀢤􀕩􀨢􀻈􀫹􀫞􀤱􀎖􁈘􀔱40 􀚍􀚣􀎔􁅝􀪔􀟒􀥃􀛞􀥯􁋨􀛊􁉺􀤱􀗲􁤄􀕭􀨉􀵺􀗠􀺍􀠄􀘢􀚫􀧀􀤱􁗖􀘯􀮴􀎔􁞆􀻧􀪹􀧵􀤱􁃠􁉝􀕩􁊬􁊬􅠚􀽐􀔱􀲦􀠐􀎖􀣍􀨢􁒵􀱉􀤱􁞚􀛭􀚫􀔱􁒵􀎔􁒵􁍖􁒵􁁲􀡨􁙑􁌵􀠀􁕩􁍋􀚫􀫿􀎖􀛟􀚼􀎔􀷗􀞯􁞲􁣲􀤱􁔚􁊢􀛿􀗏􀺔􁋬􀗱􀟠􀔱􀎖􀊳3. 快版

「節奏從精血空隙中響起 擺頭 凝視 伸手 輕擁 腳下踩著輕快的舞步

一轉身十萬光年已在恆河彼端微笑」

􀊳􀊳􀊳􀊳􀷗􀞯􀷻􁓵􀚇􀔮􀋃􀚣􀗖􀚫􀩡􀔫􀥰􁄅􀤱􁖂􀪝􀎔􀘳􁊪􁖂􀭮􀕈􀞊􁋝􁀑􀔫􀬡􀥺􀵄􀫹􀫞􀤱􀟡􀛥􀎖􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀘳􁊪􁖂􀚇􀔲􀔼􀗈􀪧􀘷􀔫􁆢􀠠􀻂􁑇􁖂􁂜􀙻􀤱􀘳􀤢􁖂􀭮􀢬􀻌􀙅􀎖􀗔􀬚􁈂􀹅􁊙􀘳􀤢􀬡􁧯􀤱􀖉􁣊􁍖􀪔􀟒􀎔􀲾􁊙􀤢􁌟􀤱􁁦􁁞􀛩􀹠􀷻􀎖􀘳􁊪􁖂􀭮􀜓􀘴􁑇􁖂􀜂􀩡􀸭􀫠􀤱􀕠􀠠􀎔􀼴􀫪􀻢􀔫􀤢􁌟􀤱􀨯􁋊􀎔􀢨􀨢􀚍􀬡􀤢􁌟􀢖􀚼􀯣􀥯􀤱􀵣􀝮􀎖􀩡􀔱􁟡􀖏􀼴􀫪􀤱􁈘􀿓􀎔􀮁􀖉􀖱􀿓􀎰􀋷􀋼􀋹􀋹􀋸􀌅􀋸􀌁􀋶􀋸􀊳􀋸􀌄􀌈􀋴􀌇􀋼􀌂􀌁􀎱􀦁􀚫􀩡􀘳􁊪􁖂􀭮􀔫􀬡􀪌􁅝􀚶􀔺􀤱􀕠􀠠􀎖􀮁􀖉􀖱􀿓􀻈􅣄􁟡􀤱􀝮􀚤􀩡􀎚

( ) n 1 n X = f X

+

 

􀎖􀽄􀘁􁇩􁎅􀎔􀲳􁠋􁑇􁁦􀤱􁧢􀖏􀗽􀫞􀤵􁈐􁑇􁁦􀤱􀲦􁞚0 X 􀎔􀾥􀧵􀜓􀘴􀪌􀙵􀤱􀠤􁑇􁣂􀦏􀖘􁟿􁦤􀗖􀎔􀦁􀗱􀵓􀠩􀝙􁖞􀤱􁑇􁁦􁖵􀗾􀎖􁅝􀾥􀎔􀠤􁑇( ) n f X 􀨢􀔫􀬡􀥺􀵄􀫹􀫞􀤱􁣂􁝶􀎖􁕣􁌥􀙚􀛶􀔫􀬡􀠤􁑇􁂛􀱨􀞌􀛰􀰟􁊔􀗈􀩺􀤱􀔫􀿭􁒵􀱉􀎙􀾥􀛖􀎔􀚇􁊔􁎾􁚨􀘴􀕂􀎔􀺍􀿭􁒵􀱉􀦥􁊙􀪝􁖂􀭮􀬚􀼿􁥻􀔱􁏁􀫞􀤱􀢬􀚶􀲛􀮒􀎖􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􁅝􀾥􀎔􀠡􀕭􀗥􀜶􀔱􀷗􀞯􀤱􁞆􀻧􀎖􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀶸􀎰􀋥􀌂􀋵􀋸􀌅􀌇􀊳􀋠􀋴􀌌􀎱􀨢􀔫􀛯􀧳􀮃􀕰􀕗􀎔􀲦􀥣􀚇􁖾􀩊􀺳􀶻􀪔􀟒􀷻􁓵􀤢􀷻􀎔􀧵􀠐􀦛􀢓􀦶􀛵􀵕􀠃􁚨􀘴􁑇􁖂􀤱􀻑􀕓􀧵􀪔􀟒􀎖􀋄􀋌􀋊􀋄􀚣􀗔􀠩􀽏􀣥􀽎􁉅􀤱􀳏􀿛􀪔􀟒􀳃􀧱􀔱􀋆􀚣􀎔􀿨􀣠􀿇􀷼􀛞􀕡􁇿􀔫􁆢􀘳􀤢􁖂􀭮􀷗􀚇􀔫􀲦􀎖􀿛􀠩􀗔􀘥􀚤􀚫􀩡􀽏􀣥􀽎􁉅􀤱􀶒􀶄􀎔􀗔􀕢􁆖􀥘􀔱􀾤􁑇􀬡􀶠􀡙􀜓􀘴􀬺􀡨􀤱􀫠􁌩􁖲􀪔􀟒􀼴􀫪􀘳􁊪􁋭􁆵􀤱􀮁􀖉􀖱􀿓􀎖􀠃􁊔􀕂􀎔􀶸􀽘􀚇􀦶􀛵􀤱􀲱􀼔􁐊􀕀􀺍􁣊􀖱􀿓􀤱􀠡􀕭􀕰􀔫􀎔􀳚􀩡􀪔􀟒􀘳􀤱􀸾􁠲􀎖􀾥􀛖􀎔􀺍􀦥􀚫􀩡􀗔􀾤􁌐􀤱􁊄􁨑􀎖􀶸􀢬􀵶􀲘􀤱􀠤􁑇􀸆􀵄􁟡􁑥􀎔􀠡􀝮􀚤􀚕􀕀􀢬􀙂􀎚􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳(1 ) n 1 n n X = rX X

+

 

􀎖􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀎰􀋆􀎱􀊳􀖱􀿓􀚤􀤱􀙤􀙼􀩡􀋟􀌂􀋺􀋼􀌆􀌇􀋼􀋶􀊳􀌀􀋴􀌃􀎔􀨢􀔫􀬡􁆖􁈘􁞼􀔫􀖏􀤱􀮁􀖉􀖱􀿓􀎰n X 􀤱􀬖􀕿􀣍􀋃􀐔􀋄􀕰􁁴􀎱􀎖􀠡􀕭n rX 􁂈􀗖􀥤􀶜􁆢􀞢􀗖􁒵􀢤􀖏􀤱􁜗􀫜􀎔2

n

 

 

rX 􀦞􁄆􀙂􀶜􁆢􀚇􀘳􀚘􁤁􀤞􀕀􀢬􀺗􀚫􀤱􀯣􀱛􀎖􁕣􁌥􁖞􀬡􀖱􀿓􀚤􀕢􀹯􁟡􀖏􀵓􀕬􀵅􀔫􀿭􀔳􁁴􁄿􀖾􀎔􀹺􀚍􀤢􁌟􀤱􁋭􁆵􀕽􀗱􀹯􀠡􀢘􁊔􀚆􀜧􀷼􀗠􀠐􀎖􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀶸􀤱􀜺􁞫􀠐􀛞􁓳􁧢􀦏􁑇r 􀸂􀘳􀤱􁐙􁥼􀎖􁅝􀦏􁑇􀩷􀕛􀤱􀮴􀬢􀎔􀟓􀸭􁝟􀣍􁡹􀡳􀤱􀡳􀬖􀎖􀾥􀛖􁅝􀦏􁑇􀺔􁋬􀗣􀕕􀎔􁡹􀡳􀤱􀯽􀢤􀺔􁋬􀴽􁑭􀎔􀶜􁆢􀤱􁑇􁁦􁁲􀡨􀚇􀠟􀬡􁑇􀬖􁁴􀠐􀢓􁞭􁛯􀎖􀦏􁑇􀙦􀕕􀔫􁞚􀎔􀟓􀸭􀚶􀔱􀖚􀴽􀚆􁀫􀤱􀘎􀕕􁧢􀖏􀎚􀶜􁆢􁑇􁁦􀙦􀕈􀞲􀚶􀙚􀛶􀹵􀧳􀢤􀛖􀾤􀤄􁉃􀛷􀎖􀠡􁁴􀟒􀺶􀿇􀘳􀔱􀕹􁏖􀠃􀎛􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀩡􀔱􁁞􀔫􀞡􀖉􀣫􀢬􁛧􀵓􀤱􀿨􀣠􀎔􀶸􀴲􀻢􀔫􀦏􁑇􀕀􀢬􀚶􀤱n X 􁍦􁂃􀲦􀠐􀎔􀾥􀧵􀸃􁃞􁓳􁧢􀦏􁑇r 􀎔􀠀􀫹􁓤􁍦􁂃􀳯􀜂􁢄􀚫􀢬􁘯􀤱􀖉􀣴􁉹􀎖􀋟􀌂􀋺􀋼􀌆􀌇􀋼􀋶􀊳􀌀􀋴􀌃􀖉􀣴􁉹􀤱􀙤􁎎􀚕􁉹􀘄􀢬􀙂􀎚􀊳􀊳圖四、Logistic map 的分歧圖。隨著係數r 的增加,族群數量的變化將趨於混沌。􀊳􀘷􀣍􀫠􁌩􁖲􀤱􀦓􀫻􀎔􀶸􁅝􀚣􁨠􁊘􀠩􀤱􁂛􀨢􀖉􀣴􁉹􀸩􀸃􀤱􁔚􁊢􀎖􀾥􀛖􀎔􀗔􀢬􀵓􀠩􀤱􀿨􀣠􀔫􁑌􁧫􀖨􀳯􁕗􀎖􁙟􁀑􀳶􁑇􁧢􀖏􀎔􀟓􀸭􀺔􁋬􀘷􁁜􀽚􀔫􀎔􁈘􀾀􀠩􁁜􀽚􀔲􀎖􀖉􀖭􁄎􁁋􀠐􁁋􀝶􀎔􀵕􀋇􀎕􀋋􀎕􀋄􀋉􀎕􀋆􀋅􀎞􀟰􀺒􁏺􀗣􀎖􀾥􀧵􁁌􁁋􀨬􀬡􀡳􀬖􀧵􀎔􁁜􀽚􀢤􀳤􀚆􁧢􀚫􀷗􀞯􀔫􀗂􀎔􀢬􀚶􁑇􁁦􀤱􀤂􀳯􀕬􀙦􁙅􀼛􀙚􀛶􀺵􀤄􀎖􀜀􀚇􀺍􀔫􀗂􀷗􀞯􀳴􀴑􀕭􀎔􁡹􀡳􀤱􀼛􁛩􀔾􁄎􁁉􀾥􀗠􀷼􀎔􀸂􀘳􅣆􀚕􀋆􀎕􀋈􀎕􀋊􀤱􁁜􀽚􀿗􀕑􀎖􀞓􀗗􀔳􁇟􀸆􀤱􀨢􀎔􁜕􀾥􀲾􁊙􀪌􀙵􀤱􀟓􀸭􀎔􀳶􁑇􀤱􀠄􁃞􀞏􁧢􀕈􀱨􀭶􀷼􀝙􀙤􀫮􀸆􀤱􀬅􁎎􀎜􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀔫􀔰􀔮􀋃􀚣􀗖􀘳􁊪􁖂􀭮􁖂􀹬􀕂􀤞􀴚􀤱􀯁􀖨􀚇􀣍􀘳􀤢􀶜􁆢􁑇􁁦􀤱􁧢􁔢􀎖􀔫􀩔􀘳􀤢􁖂􀭮􁎁􀩡􀘳􀤢􀶜􁆢􀚇􀡐􀡳􀤱􁛩􁉼􀕀􁋝􀖏􀎔􀘘􁝟􀥨􀔫􀬡􁡹􀡳􀤱􁑇􁁦􀎔􀚂􀚼􁟡􀻢􀤱􀖱􀿓􀜛􀗱􀼴􀫪􀚼􁣊􀛩􀩡􀎖􀗼􀔫􀩔􁖂􀥃􀦞􁎁􀩡􀶜􁆢􁑇􁁦􀤱􀲦􁆵􀘘􀕬􀚚􀺵􀤄􀎰􁅝􀾥􀳝􀚶􀠏􀘆􀎱􀎔􀚼􁣊􁓤􁠧􀤱􀘳􀤢􀴂􁠲􀸶􁏁􀷡􁃋􀤱􁑇􁖂􀝾􀘏􀖱􀱨􀬳􀣫􀎖􀶸􀤱􀪔􀟒􀿨􀣠􀧾􀤴􀵷􀬳􁁲􀺍􁣊􀤞􀴚􀤱􀯁􀖨􀎚􁕣􁌥􀲛􁇆􀤱􀞢􀔫􀺝􀙝􀸆􀵄􁓤􁠧􀎔􀠡􀕭􀦥􁞆􁟲􁀑􅣄􁒯􀤱􀿨􁋌􀎔􀠀􀘷􁟡􀻢􀤱􀮁􀖉􀖱􀿓􀢬􀖭􀲻􀎜􁑇􀚣􀕰􀖃􀎔􀷗􀞯􀤱􀪔􀟒􀶊􀲦􀷻􁓵􀘳􀤢􁖂􀹕􀙼􀤱􀟆􁑷􀎖􀘳􀤢􁖂􀭮􁁲􀡨􁍖􀤢􀷻􁖂􀭮􀎕􁑇􁖂􀭮􁥋􀖫􀙽􀜂􀎖􀗔􀬚􀚇􁟱􀚶􀤱􀸭􀫠􀠢􁤄􀕭􀞵􀠷􁇷􀮱􀎔􀠀􀿇􀷼􀷗􀞯􀚰􀕢􁟲􀚇􀱋􀪪􀘑􀺾􀰖􁂚􀨩􀰐􀤱􀪧􁙕􀎔􀗐􀖗􀹺􀚍􀘳􁊪􀲖􁙕􀤱􁉹􀥤􁇙􀎖􀞓􀩷􀥃􀎔􀔳􁧯􀖨􁦬􁍖􀖃􀚇􀼛􁛩􀟓􀸭􀤱􀧳􀳯􀙍􀠠􀚶􀷗􀞯􀤱􁣉􀧳􀎖􀛟􀚼􀎔􀶸􁎁􀩡􀷗􀞯􀕢􀗱􀛞􀚫􀔫􀭮􀎖􀗔􀚇􀋡􀋴􀌇􀌈􀌅􀋸􀢬􁐊􀤱􀚃􁥽􀖮􀺵􀼼􀠩􀎚􀕬􁌥􀻁􀜓􁆺􁠏􀽄􀎕􀘥􀙌􀠤􁑇􁍖􁒵􀢤􁑇􁖂􀚍􁏖􅣄􁒯􁀎􁣝􀎔􀘌􀬚􀸶􀟒􁔟􀵽􀔱􀥺􁒵􀢤􀷼􁊔􀗈􀩺􀤱􀰟􀪌􀎖􀗽􀚶􀚃􀠩􀥺􁒵􀢤􀪔􀟒􀤱􁒤􁡱􀕭􀎔􀝺􀬚􀖱􀱨􀴜􀎔􀢨􀨢􁂛􁂛􀚶􁖲􁄎􀎔􀞓􁁀􀖊􀚆􁛵􁇞􀗈􀩺􀤱􀘡􁔆􀎖􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀼓􀚣􀗐􀧵􀎔􁁄􀯅􀻵􀎰􀋙􀋸􀋼􀋺􀋸􀌁􀋵􀋴􀌈􀌀􀎱􀿇􀷼􀘷􁁜􀽚􁈘􀾀􀠩􀷗􀞯􀤱􀽚􀳴􁁴􀕭􀎔􁁜􀽚􀗣􀬍􀤱􁜯􀩺􀳶􁑇􀤱􁁏􁠦􀺶􀚶􀨬􁌟􀹵􀧳􀢤􀚘􀚇􀎖􀗔􀿇􀷼􀸣􀋅􀬡􁜯􀩺􁁏􁠦􁍖􀸣􀋄􀬡􀤱􀖺􀠏􀎔􀧾􀩡􀸣􀋆􀬡􁍖􀸣􀋅􀬡􀤱􀖺􀠏􀎔􀙵􀮴􀙍􀩡􀸣n +1􀬡􁍖􀸣n􀬡􀤱􀖺􀙨􀎖􀽄􀘁􁇩􁎅􀎔􀠡􁣂􀦏􀩡􀎚􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳lim 4.669...

1

1

 

=

−−=

+

−®¥

n n

n n

n

 

r r

r r

d

 

􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀎰􀋇􀎱􀊳d 􀹯􁌠􀩡􁁄􀯅􀻵􀵄􁑇􀎖􀗗􀔳􁇟􀸆􀤱􀨢􀎔􀢬􀚶􀭶􀷼􀗠􀷗􀞯􀛩􀩡􀤱􀟓􀸭􀎔􀕬􁌥􁈼􀭴􀟓􀸭􀕈􀚓􀎔􀘳􀤢􀟓􀸭􀎕􀖏􁖂􀖘􁚨􀟓􀸭􀕈􀚓􀎙􀘷􁁜􀽚􀛩􀩡􁈘􀾀􀠩􀷗􀞯􀤱􁈘􀿓􀕭􀎔􀼓􀗏􁋨􀟩􀕂􀫪􀤱􀹵􀧳􀢤􀎖􀏈􀺍􀨢􀕂􀧦􁙊􀰎􀕀􀠐􀤱􀴯􁒘􀎜􀎛􀏉􀾤􁜢􀤱􁨬􁉮􀢓􀢓􀪆􁋨􁁄􀯅􀦅􀤱􁋝􁝑􀕭􀎖􀕬􁈘􀎔􀺍􀔾􀨢􀗼􀔫􀬡􁋰􀥯􀨚􀠃􀤱􁁲􁌤􀔱􀎖􀊳4. 呼喚

「我已聽見銀河的潮汐

聽見星星爭吵著,秩序混亂地散場

以及我們收斂的呼吸……」 --羅志成 (長夜為冠)--

􀊳􀊳􀊳􀊳􀷗􀞯􀿇􀭶􀟱􀕾􀎔􀕢􀚶􀋇􀋃􀬡􀚣􁙰􀎖􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀋇􀋃􀬡􀚣􁙰􁎅􀥯􀕬􀥯􀎔􁂛􁂛􁨃􁅝􀥣􀸣􀔫􀞅􀷗􀞯􀤱􀙣􁦀􀥃􀎔􀵕􀋅􀋃􀋀􀋆􀋃􁄣􀤱􀖻􁙰􀕛􀕗􀎔􀚫􀩡􀠟􁨐􁞉􀘻􀤱􀥯􀥃􀎖􀗔􀬚􀚶􀠄􀕢􀨢􀙼􁋨􀖚􀕀􀤱􁖂􀥃􀎔􀚶􀠄􀚰􀚇􁄐􀩺􀛾􀚶􀔫􀮂􀕰􀚆􀎖􁅝􀾥􀎔􁊙􀣍􀚙􀡶􀔫􀛍􀔿􀔼􀔮􁏙􀚣􀤱􁖵􀗾􀛖􀟢􀎔􀺍􀋇􀋃􀚣􀕬􁈘􁖣􀥘􀔫􀷼􀎖􀜀􀨢􀎔􁊙􀺍􁆢􀪔􀟒􀥃􀛖􀟢􀎔􀗔􀬚􀕢􁆖􀧬􀙅􀲦􀔫􀭚􀝛􀳛􀷻􁓵􀤱􀚆􀴗􁠩􀝮􀎖􀺍􀭚􀷻􁓵􁄩􀢓􀤵􀠐􀎚􀵕􀚙􀡶􀕕􁡨􀩦􀤱􀔫􁛳􁁴􀲦􀎔􀦁􀷡􀷡􀠥􀚇􀘳􀡎􀤱􁄭􁙰􀎔􀠀􀴲􀨍􁥛􁂚􀢭􀕀􀗰􀎔􀤴􀠩􀾤􀫻􀚣􀧵􀚙􀡶􀤱􁌐􁙰􀎖􀏈􀷗􀞯􀳯􀔺􁖂􀤱􁄕􀫀􀼉􀨢􀘳􀤢􁋝􀖏􀤱􀿓􀝧􀎔􀢨􀧸􀛕􀿓􀝧􀎖􁑇􀔼􁏙􀚣􀦛􀎔􀗈􀩺􀕂􀗽􀚘􀚇􀔫􁋠􀔫􁋠􀤱􀬺􀧀􁔆􀎔􁑇􀔼􁏙􀚣􀗐􀧵􀎔􀝺􀬚􀗠􀷼􀚇􀗈􁁴􀎖􀚂􀚼􀎔􁇷􀲛􀝮􀚫􀎔􁚏􀚘􀚇􀝺􀬚􀛞􀟪􀤱􀿨􁋌􀎖􀘳􀡎􀵕􀷗􀞯􀕭􀿇􀭶􀎔􁇷􀲛􁧩􀾥􀕬􀖷􀣍􀸵􁗨􀎔􀙵􀮴􀹯􀻌􀺗􀎔􀾤􀕭􀘳􀚶􀎖􀏉􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀖺􀲦􀠡􀘌􀬅􀛩􀔼􀚍􀬡􀗈􀪧􀤱􁖂􀪝􀎔􀺍􀥰􀪝􁖂􀚕􀙵􃄪􁓦􀕭􀤱􀘔􀠝􀎔􀾥􀛖􀎔􀦥􀹠􀹠􀗚􁋨􀚣􁎘􀤱􀘳􀡎􀔺􀎖􀺍􁑌􀤱􀘳􀡎􀔺􀎔􀽘􁨃􀙣􁦀􀥃􀚃􁖋􀲦􀕛􀮴􀬢􁊙􀪝􁖂􀤱􁊄􁃣􀎫􁖿􀵣􀚆􁕍􀔵􀘢􀤵􀤱􁏆􀴑􀎖􀩷􀛟􀿛􀠩􀗔􀬚􀚣􀪧􀕕􀔱􀎔􀕽􁊙􀺍􁔉􀪝􁖂􀖤􁈏􀵄􁃢􀕬􀗱􀧸􁤜􀎔􁃢􁤚􀼉􁉝􀳚􀔱􀔫􀻱􁌇􁣝􀤱􁊄􀎖􀕬􁈘􀎔􁊄􀨢􀰟􁊔􀗊􀚘􀚇􀤱􀎖􀚇􀜃􀙛􀶨􀖚􀕂􀤱􁂆􀵑􀎕􁦫􁀑􀛞􀕡􀹵􀧳􀤱􀖨􁈂􀎕􁨠􁊘􀱻􀖵􀛼􀭶􀤱􀧎􁊪􀮴􀎔􀺍􀠄􁊄􁉼􀼉􀖤􀖏􀚫􁊔􀤢􀎔􀮓􀮓􁥻􀗠􀘌􀶤􁛔􀔾􀲮􀔳􀤱􁞆􀻧􀎖􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀺝􀖉􀭃􁖂􀭮􁎁􀩡􀎔􀘳􀡎􀹯􀻌􀺗􀤱􀘾􀤱􀎔􀨢􀚂􀩡􀚙􀡶􁃣􀔱􁇞􀘌􀛞􀟪􀎖􀔳􁣊􀕰􀢬􀗐􀴮􀡎􀢤􀚆􀪔􀟒􀪝􁖂􀎕􀭃􁖂􀎔􀨢􀚂􀩡􀚙􀡶􁃣􀪎􅠚􀛞􀕡􀤱􁣋􀶨􀎔􀵕􀸣􀔫􀬡􀘳􀡎􁓭􀘳􀕰􁎾􀼉􀹯􀭖􀔵􀋗􀋡􀋔􀤱􁝅􂡍􀿨􁋌􁇙􀎖􁆖􁈘􁋰􀥯􀤱􀿛􀧱􀎔􀺍􀬡􀴗􀚂􀤱􁂚􀢭􀘢􀽘􁞰􁈘􀎔􀔫􀤴􀡅􀻦􁀑􁋝􀖏􀤱􀤢􁌟􀎔􀽛􀢓􀽕􁐝􀕰􁈁􀎖􀕬􁌥􁈘􀾀􀤱􀝮􀚤􀨢􀩷􁏖􀎔􀘾􁑑􀦥􀨢􀡨􀸶􀕬􁧢􀎖􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀛖􀜃􀎔􀚇􀜃􁧯􀖃􁈶􁀑􀔫􀛍􁏙􀚣􀘢􀽘􀳖􁄢􀤱􀡅􀻦􀎔􀔾􀴲􀚇􀚶􀫻􀤱􀘳􀡎􀕭􀎔􀖧􁏆􀜃􀟨􀙻􀛶􀖱􀡋􀎛􀊳􀊳

􀏄􀏄􀏄􀏄􀕕􀕕􀕕􀕕􁖂􁖂􁖂􁖂􀺝􀺝􀺝􀺝􀴱􀴱􀴱􀴱􁠲􁠲􁠲􁠲(1)~􀺳􀺳􀺳􀺳􀥘􀥘􀥘􀥘􀘳􀘳􀘳􀘳􀥯􀥯􀥯􀥯􁑓􁑓􁑓􁑓􀧀􀧀􀧀􀧀􀕰􀕰􀕰􀕰􀪔􀪔􀪔􀪔􀟒􀟒􀟒􀟒􀏅􀏅􀏅􀏅􀜂􀜂􀜂􀜂􀥃􀥃􀥃􀥃􀎚􀎚􀎚􀎚95􀱍􀱍􀱍􀱍-􁂓􁂓􁂓􁂓􀫵􀫵􀫵􀫵􀻻􀻻􀻻􀻻􀊳􀊳􀪔􀟒􀺳􀥘􀤱􁖵􀗾􀚰􀚇􀋄􀋉􀋄􀋄􀚣􀼉􁁲􀡨􀔱􀎔􀋞􀋞􀋞􀋞􀋸􀋸􀋸􀋸􀌃􀌃􀌃􀌃􀋿􀋿􀋿􀋿􀋸􀋸􀋸􀋸􀌅􀌅􀌅􀌅􀼉􀼼􀗠􀔱􀺳􀤱􀽒􁧯􀩡􀖄􀟡􁊙􁌠􀤱􀝮􀤣􀎔􁁲􀶔􀔱􀧵􀔳􁊙􀽒􁧯􀤱􀪔􀟒􀎖􁙟􁀑􀪝􀝾􀤱􁁞􀞡􀎔􁨠􁊘􀺳􀥘􀤱􀕠􀠠􀘷􀛚􀸓􀺔􁋬􁋝􀖏􀠩􁅃􀪌􁖲􀎕􁧩􁃞􁢴􀎔􀩷􀛟􀨢􀋫􀋀􀌅􀋴􀌌􀎖􀪔􀟒􀤱􁊙􁀽􀕈􀵕􀖚􀤼􁆵􀕀􀤱􀺳􀥘􀎔􀠩􁊔􁧭􀧛􀔳􀕠􁍹􀺗􀗠􀤱􀺳􀥘􀎖􀚇􀕾􀖚􀎔􀝺􀬚􀵓􀗐􀘷􀙺􁌟􀕠􀠠􀔱􁇞􀺳􀥘􀤱􁋌􀺗􀎔􀦥􁝫􀨢􀾤􀤄􀔱􁇞􀗔􀪭􁣝􁉹􁑌􀤱􀝮􀚫􁖲􀠫􀩡􀛶􀎔􀢬􀗐􀝺􀬚􁃣􁙄􀤄􁇢􁉹􀷲􀾓􀗔􀤱􀝮􀚫􀬺􀚂􀎔􀠀􁟶􀘷􁈽􁆰􁑓􁚵􀠐􀪎􀪎􀝺􀬚􀤱􀷲􀾓􀤱􀿨􀣠􀨢􀜡􀙽􀷻􀎖􀊳􀊳􀊳􀺳􀥘􀨢􀘷􀖽􁍣􀯛􁒷􁊬􁕩􀿨􀛖􀚫􀎔􀗔􀠉􁅃􀖽􀖉􀕗􀸴􀚫􀙧􀮴􀪌􀕵􀿨􀙽􀚫􀖄􀖱􀽒􀟓􀤱􀿨􁋌􀎰􁉹􀔫􀎱􀗣􀗐􀥵􁀑􀎔􀢬􀗐􀝺􀬚􀪎􀠩􀤱􀺳􀥘􀺟􁄎􀨢􀖄􀟡􁊙􁌠􀤱􀎖􀖄􀖱􀽒􀟓􀗥􀜶􀔱􀠟􀬡􀖄􀟡􀝮􀤱􀴗􀫿􀎔􀖗􀖄􀬡􀰢􀝮􀤱􁆆􀫿􀎙􀠠􀚶􀘄􀬡􀿨􀽒􁁗􀎔􀠡􀕭􀔿􀬡􁎖􁁗􀚇􀙵􀔫􀬡􀴗􀫿􀕂􀗐􀋉􀋃􀌂􀪌􀙌􀎔􀸣􀘄􁁗􀎰􀗌􁁗􀎱􀦞􁍖􁎖􁁗􀢬􀚇􀤱􀴗􀫿􀦿􀤴􀎖􁅝􀖽􁍣􀯛􁕩􀿨􀚫􀙧􀮴􀬢􀎔􀚕􀣠􀗌􁁗􀘳􀥯􀤱􀖺􁎖􁁗􁊬􀧰􀚍􀤱􁇩􀎔􀽒􁧯􁄎􀿇􀭶􀚫􀘓􀫿􀤣􀎙􀫉􀨢􀗌􁁗􀿇􀭶􀤱􁈈􀝶􀤱􁇩􀎔􀽒􁧯􀦞􁄎􀿇􀭶􀚫􀨪􀤣􀎖􀕬􀙵􀤱􀶺􀙙􀞬􀡳􀔱􀺳􀽒􁧯􀘳􀥯􀤱􀝮􀤣􀎖􀠡􀗔􀤱􀪔􀟒􀥃􀚇􁊔􁧭􀧛􀕭􀵳􀠫􀙺􁌟􀶺􀙙􀎔􀠀􀗊􀞄􀗠􁐙􁥼􀺳􀥘􀘳􀥯􀝮􀤣􀤱􀶺􀙙􀩡􁄵􀧫􀖗􁛘􀧫􀎖􀊳􀎰􁉹􀔫􀎱􀊳􀊳􀊳􀚇􀚶􀔱􀸲􀪽􀛞􀳯􁖲􀤱􁄗􀢚􀎸􀋄􀎹􀗐􀧵􀎔􀝺􀬚􀦁􀗱􀗐􁁲􀡨􁑓􁚵􀺳􀥘􀤱􀘳􀥯􁑓􀧀􀎖􀛕􁐞􀖄􀟡􀽒􀯑􀎰􀋶􀋸􀋿􀋿􀎱􀶈􀙨􀛖􀚫􀤱􀔲􁍂􀘓􀫿􀎔􀞢􀬡􀽒􀯑􁖑􀚶􀔫􀬡􀗥􀜶􀠡􀯽􀢤􀤱􁊔􁑇􀎖􁅝􁑇􀚗􀩡􀋄􀢨􀞓􀕕􀮴􀎔􀋶􀋸􀋿􀋿􀩡􀙧􀎙􁅝􁑇􀚗􀖺􀋄􁝫􀕛􀮴􀎔􀥤􀙂􀠡􀩡􀗱􀛞􀘷􁞩􀽋􀤱􀖽􁍣􀯛􀎖􀝺􀬚􀴲􀛞􀳯􁖲􀖉􀚫􀠟􀬡􀺝􀖉􀎰􀌅􀋸􀋶􀋸􀌃􀌇􀋼􀌉􀋸􀊳􀋴􀌁􀋷􀊳􀌁􀌂􀌁􀌅􀋸􀋶􀋸􀌃􀌇􀋼􀌉􀋸􀎱􀎔􀞢􀬡􀺝􀖉􀪃􀠌􀘴􀻈􁔣􀥨􀤱􀋶􀋸􀋿􀋿􀗰􀫠􁌩􀎖􀸣􀔫􀬡􀺝􀖉􀨢􀡳􁆠􀌅􀋸􀋶􀋸􀌃􀌇􀋼􀌉􀋸􀤱􀺝􀙝􀎔􀺍􀺝􀖉􀨢􁑓􁚵􀙧􀤱􀿨􀽒􀎔􀗥􀜶􀔱􁑇􀚗􀕕􀣍􀋄􀗐􀖗􀚶􁔣􀡺􀕕􀣍􀋄􀤱􀋶􀋸􀋿􀋿􀎔􀠀􀚇􀌅􀋸􀋶􀋸􀌃􀌇􀋼􀌉􀋸􀊳􀌆􀋼􀌇􀋸􀸲􀪽􀤱􁑇􀬖􀗣􀕂􀔫􀵄􁑇􀓫􀎔􀘴􀠐􀥤􀙂􀖽􀖉􀕗􀿨􀚫􀙧􀠀􁏺􀗣􀙧􀤱􀫹􁁦􀎖􀸣􀔲􀬡􀺝􀖉􀨢􁞩􀽋􁂈􀎔􀠡􁑓􁚵􀖽􁍣􀯛􀤱􁞩􀽋􀎖􁞩􀽋􁂈􀨢􀹻􀡳􀌅􀋸􀋶􀋸􀌃􀌇􀋼􀌉􀋸􀊳􀌆􀋼􀌇􀋸􀩡􀋃􀧵􀎔􀙦􀘷􀻍􀕀􀤱􀸲􀪽􀗰􀘓􀝁􀎰􀕭􀖨􀸲􀪽􀰎􀕀􀋄􀋂􀋅􀤱􀫹􁁦􀖗􀖄􀬡􀻈􁔣􀥨􀸲􀪽􀤱􀙺􀋄􀋂􀋄􀋅􀤱􀫹􁁦􀎱􀎖􀊳􀊳􀎰􁉹􀔲􀎱􀊳􀕂􀫪􀤱􁞩􀽋􁂈􀨢􀯅􁖕􁞩􀽋􀖱􀿓􀎚􀊳2 u

a u

t

= Ñ

􀊿􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊻􀋄􀊼􀊳􀚇􁞩􀽋􁈘􀿓􀕭􀎔􀮴􁁴􀌇􀛯􁆜􀋣􀥤􀙂􀚫􀌈􀊻􀌇􀊿􀋣􀊼􀠐􀥤􀙂􀎔􀋴􀩡􁞩􀽋􀵄􁑇􀎔􀠡􀕭􀊳

2

( )

2

( 6 ( , ) ( , ))

3

N nn p

u u t p u t N

Î

Ñ » −+

 􀊿􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊻􀋅􀊼􀊳􀴲􀕂􀚤􀗖􀔵􁞩􀽋􀖱􀿓􀕭􀎔􀗊􀫹􁄅􀡳􁆠􀵄􁑇􀓩􀐈􀋋􀋴􀎔􀦞􀗱􀵓􀠩􁞩􀽋􀺝􀖉􀤱􀖄􀟡􀽒􀯑􀥨􀛿􁇞􀩡􀎚􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳( )

( 1, ) ~ ( , ) ( 6 ( , ) ( , ))

12

nn p

u t p u t p u t p u t N

a

+ + −+

 􀋁􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀊻􀋆􀊼􀊳􀛖􀧵􀎔􀝺􀬚􀴲􀠟􀬡􀺝􀖉􀪌􀗣􀗐􀧵􀎔􀙦􀕬􀳖􀤱􀫹􁓤􀎔􀤴􀛟􀙧􀠩􁈒􁢰􀩺􀢨􀥃􀫹􁓤􀛟􀝺􀬚􁃣􀫞􀤱􀿨􀣠􀩡􀖷􀎖􀕬􁈘􀚼􁑓􀧀􀿨􁋌􀗽􀨢􀘴􀣍􀔲􁍂􀤱􀺳􀥘􁑓􀧀􀎔􀠀􀕬􁔞􀘴􀣍􀔿􁍂􀤱􁑓􁚵􀎖􀊳􁇡􀸲􀖃􀭲􁓮􀟠􀎚􀊳􀋖􀋿􀋼􀋹􀋹􀌂􀌅􀋷􀊳􀋔􀋁􀊳􀋥􀋸􀋼􀌇􀋸􀌅􀊿􀊳􀋖􀋻􀋴􀌂􀌆􀊿􀊳􀋦􀌂􀋿􀋼􀌇􀋼􀌂􀌁􀌆􀊳􀋴􀌁􀋷􀊳􀋙􀌅􀋴􀋶􀌇􀋴􀋿􀌆􀊿􀋔􀊳􀋿􀌂􀋶􀋴􀋿􀊳􀋶􀋸􀋿􀋿􀌈􀋿􀋴􀌅􀊳􀋹􀌂􀌅􀊳􀌆􀌁􀌂􀌊􀊳􀋶􀌅􀌌􀌆􀌇􀋴􀋿􀊳􀋺􀌅􀌂􀌊􀌇􀋻􀊳􀊿􀊳􀋅􀋆􀋅􀋅􀋅􀋆􀋆􀋆􀋁􀋁􀋁􀋁􀊳􀊳􀊳􀊳􀋄􀋄􀋄􀋄􀋁􀊳􀋅􀋃􀋃􀋈􀊳􀊳􀗐􀕀􀨢􁑓􁚵􀿨􀣠􀕭􀤱􀔫􀺝􀙝􀎚􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀗐􀕀􀨢􁊔􁧭􀧛􁍹􀺗􀗠􀤱􀔳􀕠􀺳􀥘􀎸􀋅􀎹􀎚􀊳􀊳􀊳􀊳􀊳􀳶􀛕􁇷􀮱􀎚􀊳􀋄􀋁􀥳􀯽􀢮􀽎􀤱􀪝􁖂􀧸􁥯􀎔􀋻􀌇􀌇􀌃􀋍􀋂􀋂􀋴􀋿􀌈􀌀􀌁􀋼􀋁􀌁􀋶􀌇􀌈􀋁􀋸􀋷􀌈􀋁􀌇􀌊􀋂􀌑􀌆􀋼􀌁􀌁􀋸􀌅􀋂􀋶􀌂􀌀􀌃􀋿􀋸􀌋􀋂􀋴􀋿􀋼􀋹􀋸􀋂􀋶􀋴􀋂􀋼􀌁􀋷􀋸􀌋􀋁􀋻􀌇􀌀􀋿􀊳􀋅􀋁􀋞􀋸􀌁􀌁􀋸􀌇􀋻􀊳􀋚􀋁􀊳􀋟􀋼􀋵􀋵􀌅􀋸􀋶􀋻􀌇􀊿􀊳􀋻􀌇􀌇􀌃􀋍􀋂􀋂􀌊􀌊􀌊􀋁􀋼􀌇􀌆􀋁􀋶􀋴􀋿􀌇􀋸􀋶􀋻􀋁􀋸􀋷􀌈􀋂􀌑􀋴􀌇􀌂􀌀􀋼􀋶􀋂􀌆􀌁􀌂􀌊􀋶􀌅􀌌􀌆􀌇􀋴􀋿􀌆􀊳

请您先登陆,再发跟帖!

发现Adblock插件

如要继续浏览
请支持本站 请务必在本站关闭/移除任何Adblock

关闭Adblock后 请点击

请参考如何关闭Adblock/Adblock plus

安装Adblock plus用户请点击浏览器图标
选择“Disable on www.wenxuecity.com”

安装Adblock用户请点击图标
选择“don't run on pages on this domain”