无限深势阱的波函数在边界一阶导数不存在，又或者有限深势阱在边界二阶导数也不存在

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kof9595995 2009-12-7 01:03

请教：关于波函数在无穷远的极限

最近在读Griffiths 的QM，他提到过几次只是要求平方可积的话，波函数并不一定无穷远极限为零，但是这样的波函数在现实中是不会出现的，但是为什么不会呢？
附一个例子：
[tex]\psi(x) =
\begin{cases}
0 & x < 1 \\
1 & x \in [n, n + n^{-2}) \\
0 & x \in [n + n^{-2}, n+1)
\end{cases}
[/tex]
n 取所有正整数
[tex]\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x)|^2 \, dx
= \sum_{n = 1}^{+\infty} \int_{n}^{n + n^{-2}} 1 \, dx
= \sum_{n = 1}^{+\infty} n^{-2} = \pi^2 / 6
[/tex]

小杰 2009-12-7 05:03

回复 1# 的帖子

你找一個數學上的反例，並沒有意義。
除非你能說明在現實中能給出相應的位能。

理論上，平面波應該可作為一種反例，
但現實中平面波就是不存在。

這者種話題其實有點無聊，就好像大家知道正圓是什麼，
但你不能在現實中找出一個。

blackhole 2009-12-7 08:04

不连续

kof9595995 2009-12-7 10:01

回复 2# 的帖子

平面波的话我们总可以把它化为波包啊，至于势能，可以是每逢[tex] x \in [n + n^{-2}, n+1)[/tex]就是一个势能为无穷的barrier，这样的势就可以。

kof9595995 2009-12-7 10:06

回复 3# 的帖子

可以是像4楼说的那种势吧，而且想要的话，完全可以构造出更连续的波函数，比如把每个小矩形替换成面积相等的余弦函数，使余弦函数的波谷与x=0相连，这样一阶导数都是处处存在的，而且也是V=0的解

[[i] 本帖最后由 kof9595995 于 2009-12-7 10:08 编辑 [/i]]

kof9595995 2009-12-7 10:48

厄，5楼举得例子可能不太恰当，那样的波函数应该不是解，但是我大概要表达的意思就是总可以构造出更平滑的波函数

dfj 2009-12-7 17:23

我觉得就跟2楼的意思差不多吧，并不是很严肃的结论，就像在现实中，即使宇宙学也不能研究无穷远的东西一样。

kof9595995 2009-12-7 19:59

可是无穷远可以不收敛为零的话，很多结论都不能用了么，比如一些厄米算符的本征值可能不是实数了

blackhole 2009-12-7 20:20

一个周期函数要想有傅里叶级数展开，必须满足在一个周期内只有有限个峰。本楼的情况是不是跟这个类似？

kof9595995 2009-12-7 22:49

[quote]原帖由 [i]blackhole[/i] 于 2009-12-7 20:20 发表 [url=http://www.fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=35769&ptid=3937][img]http://www.fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
一个周期函数要想有傅里叶级数展开，必须满足在一个周期内只有有限个峰。本楼的情况是不是跟这个类似？ [/quote]
不过我的例子不是个周期函数啊, 而且对物理上可行的波函数的基本要求是归一化吧，可以做傅里叶展开似乎不是个基本要求

[[i] 本帖最后由 kof9595995 于 2009-12-7 22:50 编辑 [/i]]

dfj 2009-12-8 03:12

这种函数的导数在无穷远应该会趋近于无穷大，对应能量无穷大。

henring 2009-12-8 09:12

可不可这样理解：
关于波函数无穷远处趋向于零是物理上的一个要求，因为波函数－－作为一个专门的概念是指态矢在坐标空间的表象－－－联系的是粒子出现在某地的几率。
假如我们不对一个自由粒子做这样的限定的话，就意味着该粒子可以出现在宇宙的任何地方。 做了这样的边界条件， 我们同时又使用不可能真实存在的，具有“平面波”形式的波函数对应一个自由粒子，并且处于势场的真实粒子用它作傅立叶展开。之所以采用这个策略是只不过是因为“平面波”样子的波函数具有数学上更多方便的操作性。在物理上我们也可以使用其他的“波”来表达实际的粒子。或者说， 对于弱耦合情况， “平面波”波函数 是一个很好的近似描述。

但是从数学上就又是另一回事了。 一个平方可积的函数，在无穷远的边界上的确不一定是零。
“平面波”形式的波函数和经典物理中的质点，检验电荷，都具有理想模型的特征，只不过在QM中我们又无法完全回避理想模型带来的现实问题。

说得不妥当的话， 请更正。

kof9595995 2009-12-8 17:13

[quote]原帖由 [i]dfj[/i] 于 2009-12-8 03:12 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=35790&ptid=3937][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
这种函数的导数在无穷远应该会趋近于无穷大，对应能量无穷大。 [/quote]
一楼给出的例子导数恒为零，除了一些不可导点

kof9595995 2009-12-8 17:16

[quote]原帖由 [i]henring[/i] 于 2009-12-8 09:12 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=35800&ptid=3937][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
可不可这样理解：
关于波函数无穷远处趋向于零是物理上的一个要求，因为波函数－－作为一个专门的概念是指态矢在坐标空间的表象－－－联系的是粒子出现在某地的几率。
假如我们不对一个自由粒子做这样的限定的话，就意味着该粒子可以 ... [/quote]
粒子可以出现在宇宙任何地方应该不算是不可接受的吧，至于平面波，经过一些小心的处理，比如傅利叶变换还是可以归一化的，而且无穷远处也为0。
总之我不明白如果1楼那样的波函数可以符合薛定谔方程的话，有什么可以阻止它的存在呢？

[[i] 本帖最后由 kof9595995 于 2009-12-8 17:21 编辑 [/i]]

dfj 2009-12-8 17:35

[quote]原帖由 [i]kof9595995[/i] 于 2009-12-8 17:13 发表 [url=http://www.fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=35840&ptid=3937][img]http://www.fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]

一楼给出的例子导数恒为零，除了一些不可导点 [/quote]
都不可导了，那就更不满足薛定谔方程了。

即使你通过你在上面某楼说的方法平滑化，在远处导数也会趋近于无穷大。

kof9595995 2009-12-8 18:14

[quote]原帖由 [i]dfj[/i] 于 2009-12-8 17:35 发表 [url=http://www.fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=35844&ptid=3937][img]http://www.fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]

都不可导了，那就更不满足薛定谔方程了。

即使你通过你在上面某楼说的方法平滑化，在远处导数也会趋近于无穷大。 [/quote]
可是无限深势阱的波函数在边界一阶导数不存在，又或者有限深势阱在边界二阶导数也不存在。

dfj 2009-12-8 19:03

[quote]原帖由 [i]kof9595995[/i] 于 2009-12-8 18:14 发表 [url=http://www.fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=35845&ptid=3937][img]http://www.fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]

可是无限深势阱的波函数在边界一阶导数不存在，又或者有限深势阱在边界二阶导数也不存在。 [/quote]
就看能量本征值方程吧。系统能量必是有限的；可是在远处某些点，二阶导数趋于无穷；为了获得有限的能量，必须此处势能也趋于无穷来抵消；势能趋于无穷意味着(在这些点)波函数趋于零，可这正是你所要构造的。

kof9595995 2009-12-8 20:20

[quote]原帖由 [i]dfj[/i] 于 2009-12-8 19:03 发表 [url=http://www.fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=35848&ptid=3937][img]http://www.fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]

就看能量本征值方程吧。系统能量必是有限的；可是在远处某些点，二阶导数趋于无穷；为了获得有限的能量，必须此处势能也趋于无穷来抵消；势能趋于无穷意味着(在这些点)波函数趋于零，可这正是你所要构造的。 ... [/quote]
不是很明白，能否详细说说，而且1楼里的二阶导数也不是无穷啊

kof9595995 2009-12-29 18:49

再不道德的顶上来，希望大家帮我再看看

留空 2009-12-29 20:54

1.数学上，我觉得追究这里的严格性问题意义不大，算符厄米性的问题应该不会被破坏，因为厄米性是根据积分定义的，而有限区间外波函数不等于0的集合测度可以任意小.

2.物理上，如上所说，粒子出现在有限区间外的概率可以任意小，可见在实际中粒子可以看作被束缚在有限区域内。

kof9595995 2009-12-29 21:56

厄米性一定不会被破坏吗？比如动量，我看一般教材上给的证明都是先分部积分，然后因为无穷远为零，分部积分积出来的部分为零，所以是厄米的，要是无穷远不为零怎么保证这个证明的严格性？

kof9595995 2009-12-29 22:04

好像很多定理的证明都要用到波函数无穷远为零的假设，比如归一化波函数随时间演化仍然是归一化的，动力学量的期望值满足牛顿定律等等，但波函数无穷远为零好像从来不是量子力学的基本假设，我好奇的是如果真的出现了无穷远不为零的波函数，上述定理会不会被违反？这样的波函数有什么特别的性质没有？

phoenix 2009-12-29 22:29

这种波函数的奇特性质就是你永远也观察不到它，也就是它的定义包含了你观察不到它这个结论，所以也因该没啥性质，再说宇宙不一定是无穷大的

kof9595995 2009-12-29 23:05

为啥观测不到？

留空 2009-12-31 00:39

关于积分的定理对函数的要求都是“几乎处处”如何如何。比如你先把这个波函数在某个有限区域外的值全部取为0，那么显然可以证明算符厄米性（也就是两个积分相等），而区域外的部分积分可以随着区域的增大任意减小。所以当区域取为全实数轴时，两个积分还是相等。

kof9595995 2009-12-31 01:01

[quote]原帖由 [i]留空[/i] 于 2009-12-31 00:39 发表 [url=http://www.fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=37148&ptid=3937][img]http://www.fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
而区域外的部分积分可以随着区域的增大任意减小。[/quote]
这个对psi平方的积分倒是显然的，但对加上算符后再求积分的波函数恐怕不是显而易见的吧，怎么证明呢？