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中学微积分知识告诉我们，对于一条曲线，一阶导数即切线代表倾斜程度，即斜率，二阶导数代表弯曲程度，即曲率。推广到高维情形，依然成立，只是方向多了些，斜率需要多个独立分量（＝流形维度），而曲率就更多了，是一个张量。以二维曲面为例。每点的切线（无限条）构成一个切平面，一个平面可由一个二维向量空间代表。又由于过每一点可以画无限多条曲线，故曲率也很多（无限多），他们的大小满足从基点到一个椭球表面的距离，因此可以用一个椭球面来描写二维曲面某一点的曲率，椭球的三个轴和椭球的方位总共对应6个独立值，叫做曲率张量的6个分量：
d^2/dx^2,d^2/dxdy, d^2/dxdz,d^2/dy^2,d^2/dydz, d^2/dz^2.
高维情形依然有切平面，但曲率张量的分量要多一些。
曲率张量的每个分量是一个二阶导数。曲率张量还是反对称的，即交换指标出现一个负号。这是要点。
因此干脆将曲率张量的每个分量带上相应的dx_idx_j,i,j=1,2,...n. 并且规定dx_idx_j ＝ - dx_jdx_i，这当然与通常微分乘法不同，但体现交换反对称性质，叫外微分。这个看似简单的记号改变，外微分是一个巨大的创新，对简化计算至关重要，更重要的是，它是20世纪微分几何发展的一个主动力。现代微分几何都是用这套记号。很多人都不加"外"字了。这是最紧要的，建议看官在这里反覆几次。
如果有非零元素
, 就有引力场存在. 因此, 整个空间函数g (x ) μν 与引力场相联系, 而给
定点某个点
0 x 的( ) 0 g x μν 与引力强度联系, 后者依赖于参考系.
空间的整体拓扑性质是很有趣的
. 例如, 存在非平庸拓扑的曲面, 它不可能通过连续可
微坐标变换把整个曲面变成平坦的
. 球面就是一个非平庸拓扑的曲面. 相反, 圆柱面是可以
通过坐标变换变成平坦的
. 根据引力和几何的关系, 如果空间是二维的球面, 则空间必须存
在引力场
, 不能让处处的引力强度都等于零；如果空间拓扑和圆柱面一样, 则整个空间原则
上（数学上）可以没有引力场
.
