黎曼空间01，根本就不是线性空间，不可以比较它们的线性性质。但忘记线性性质后，可以考虑几何性质。当初在线性代数里定义了维数、基、

欧式空间的定义了内积的线性空间，对n维的欧式空间，任意一个元素可以用n的基元素线性表示。黎曼空间是不是非线性空间？对于一般的n维黎曼空间，个人感觉其上元素不能用其它元素的线性组合表示，那么它的基应该用什么表示？（话句话说，基是线性无关的完备元素组，是线性代数中的概念，基的个数称为维数；对非线性的n维空间，它的维数应该怎么定义，还有基的概念吗？以及坐标的概念？） 还有我们常用的球坐标中基矢er，eth，efi，怎么用较严密的概念来定义（线性空间中正常的基在无需内积时就可以定义，er，eth，efi好像必须在内积空间中才可以定义？）
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2011-05-22 18:38 回复

 

Landmark xiangduilun123 12位粉丝 正式会员 4	2楼 为什么黎曼空间非得为向量空间呢
来自手机贴吧 2011-05-23 11:58 回复

 

ENGINEER波 58位粉丝 初级粉丝 1	3楼 我建议lz先熟悉下流形，切空间等概念
2011-05-23 12:46 回复

 

210.72.203.*	4楼 LZ的问题很好，我最近也在考虑这个问题，还没有找到答案。当然，这个答案不会在流形，切空间等概念之中。
2011-07-17 03:51 回复

 

几何量 尘埃之影 8位粉丝 正式会员 5	5楼 难道LZ的意思是想在任意的黎曼流形上建立整体坐标系么...
2011-07-17 19:54 回复

 

xaviour 107位粉丝 核心会员 6	6楼 引用 210.72.203.* (4楼) LZ的问题很好，我最近也在考虑这个问题，还没有找到答案。当然，这个答案不会在流形，切空间等概念之中。 这个问题问得很初级。
2011-07-17 19:54 回复

 

xaviour 107位粉丝 核心会员 6

7楼 黎曼空间，根本就不是线性空间，不可以比较它们的线性性质。但忘记线性性质后，可以考虑几何性质。当初在线性代数里定义了维数、基、极大线性无关组等概念，但都基于的是整个拓扑空间有线性性质。现在没有线性性质了，当然就不能从线性代数的角度来思考问题了。但是局部上，流形维数、几何无关、极大几何无关组等概念是可以定义的。用到的方法是仿射几何（由于篇幅所限，这里就不介绍，感兴趣可以去任何一本初等的代数拓扑里单纯形的那一章去找）。 当然在流形上，每点构造了一个切空间，这个切空间是线性空间，但首先流形不是线性空间，然后流形上的切丛也可以没有整体的线性结构，而只有逐点给出的线性构造，不能跨纤维：就是说选择p点的一个切向量v，再选择不等于p的点q处的一个切向量u，你是无法定义u和v的和的。加法都没有了，切丛作为一个**甚至都不是群，当然就不能成为线性空间了。都不是线性空间了，当然就没有基的概念。。。 但是你知道基是什么，基是从线性空间里挑出来的一部分元素，使得任意元素都可以表达为这部分元素的组合--也就是说，线性空间有基是因为它是一个加法群，上边的群运算是向量的向量和。现在没有加法了--你从流形上（相应的，从黎曼空间上）任意找到两个点，试问它们加起来等于什么？当然你要是说这个所谓的“加法”是形式加法的话，那么可以成为群，但不是这个黎曼空间成为了群，而是黎曼空间上所有的除子（DIVISOR）按照形式的加法，成为了一个群。这个群中的元素并不属于黎曼空间。 黎曼空间即不是线性空间也不是非线性空间--因为非线性空间在数学里有专门的定义。如果你所说的“空间”指的是拓扑空间的话，那么黎曼空间是非线性的拓扑空间。 对非线性的n维拓扑空间，满足匀齐性条件和无边界条件的话，叫拓扑流形。流形是局部欧几里得的，这句话的意思是，流形M每一点都有一个开邻域，同胚于R^d的一个开球。于是流形M的维数定义为开球B所在的线性空间R^d的线性维数d。 在黎曼空间上以及更一般的流形上，虽然没有基的概念但有几何无关（局部上）的概念。在凸的情况下，可以定义凸多面体中元素的极大几何无关组，然后考虑不凸的情况，只要用一个同胚映射把弯曲的“奇异单纯形构成的复合形”拉直就可以了。 坐标的概念也是类似的。流形M每一点都有一个开邻域，同胚于R^d的一个开球。于是流形M的坐标（必须是局部坐标才行，否则无法进行微分）定义为开球B中的点的坐标在同胚映射下的像（或原像也行，因为是同胚映射，所以像和原像可以被等同）。

2011-07-17 21:56 回复

 

xaviour 107位粉丝 核心会员 6	8楼 引用 xiangduilun123 (2楼) 为什么黎曼空间非得为向量空间呢 黎曼空间不是向量空间。。。。。
2011-07-17 21:57 回复

 

xaviour 107位粉丝 核心会员 6	9楼 引用 210.72.203.* (4楼) LZ的问题很好，我最近也在考虑这个问题，还没有找到答案。当然，这个答案不会在流形，切空间等概念之中。 你说错了，这个答案就在流形，切空间等概念之中。你之所以这么说，是因为你对流形，切空间的理解还不到位，更不够深入。所以你需要更多的时间去慢慢理解。。。
2011-07-17 21:58 回复

 

xaviour 107位粉丝 核心会员 6	10楼 引用 尘埃之影 (5楼) 难道LZ的意思是想在任意的黎曼流形上建立整体坐标系么... 任意黎曼流形，以及一般的拓扑流形上，本来不就有整体的坐标系吗？比如球面，经度和纬度不就是整体的吗？只不过这个整体的坐标系不是线性，或者不满足坐标和点的一一对应而已（比如南极、北极的纬度是90度，但经度却可以是任何一个数--因为所有的经线都过南极或北极这一点，纬线却不是都过极球点）。但局部上，坐标系可以分片线性的。
2011-07-17 22:06 回复

 

几何量 尘埃之影 8位粉丝 正式会员 5	11楼 引用 xaviour (10楼) 任意黎曼流形，以及一般的拓扑流形上，本来不就有整体的坐标系吗？比如球面，经度和纬度不就是整体的吗？只不过这个整体的坐标系不是线性，或者不满足坐标和点的一一对应而已（比如南极、北极的纬度是90度，但经度却可以是任何一个数--因为所有的经线都过南极或北极这一点，纬线却不是都过极... 吧主的意思我明白... 我只是想确认一下LZ的意思而已。 其实黎曼流形上的切丛不就是无穷维的线性空间么。
2011-07-17 23:34 回复

 

烟花不堪剪0 53位粉丝 正式会员 5	12楼 引用 尘埃之影 (11楼) 吧主的意思我明白... 我只是想确认一下LZ的意思而已。 其实黎曼流形上的切丛不就是无穷维的线性空间么。 显然不是。
2011-08-07 09:37 回复

 

xaviour 107位粉丝 核心会员 6	13楼 引用 尘埃之影 (11楼) 吧主的意思我明白... 我只是想确认一下LZ的意思而已。 其实黎曼流形上的切丛不就是无穷维的线性空间么。 你说的不对，首先切丛不是线性空间，当然也就不存在线性维数的概念。第二，作为拓扑流形，切丛的拓扑维数是2n维的，是有限维的（如果我们设底流形X的拓扑维数为n的话，切丛TX的拓扑维数就是2n）
2011-08-09 00:38 回复

 

几何量 尘埃之影 8位粉丝 正式会员 5	14楼 引用 xaviour (13楼) 你说的不对，首先切丛不是线性空间，当然也就不存在线性维数的概念。第二，作为拓扑流形，切丛的拓扑维数是2n维的，是有限维的（如果我们设底流形X的拓扑维数为n的话，切丛TX的拓扑维数就是2n） 表示对代数的概念不太熟，只是记得曾经看过有书说切丛的截面的集set合形成无穷维李代数，所以一直认为流形上每一点的切空间的基的集set合就是切丛的基，原来不能这么理解啊。
2011-08-09 01:04 回复

 

烟花不堪剪0 53位粉丝 正式会员 5

15楼 引用 尘埃之影 (14楼) 表示对代数的概念不太熟，只是记得曾经看过有书说切丛的截面的集set合形成无穷维李代数，所以一直认为流形上每一点的切空间的基的集set合就是切丛的基，原来不能这么理解啊。 Lie bracket作为Lie derivative的特殊情形，用来度量两个向量场之间的差别。给定一个向量场[;X;],Lie bracket的定义满足bilinear和Jacobi identity。特别地有[;[X,X]=0;]，形象地说，向量场[;X;]以[;X;]本身为参照系的话，变化的速率为0.一般地，可以定义一个tensor field的Lie derivative，方法是把这个tensor field拉回到vector field [;X;]再作微分。Lie derivative也可以像Lie bracket一样，用公理来定义。顺便说一下一个线性空间配置一个Lie bracket称为一个Lie algebra。这是微分几何最最基本的知识。LS一定，千万，必须要知道。

2011-08-10 08:03 回复

 

emptyuser	16楼 引用 烟花不堪剪0 (15楼) Lie bracket作为Lie derivative的特殊情形，用来度量两个向量场之间的差别。给定一个向量场[;X;],Lie bracket的定义满足bilinear和Jacobi identity。特别地有[;[X,X]=0;]，形象地说，向量场[;X;]以[;X;]本身为参照系的话，变化的速率为0.一般地，可以定义一个tensor field的Lie derivative，... 我看起来怎么和killing vector field有相似之处。
2011-08-10 16:40 回复

 

几何量 尘埃之影 8位粉丝 正式会员 5

17楼 引用 烟花不堪剪0 (15楼) Lie bracket作为Lie derivative的特殊情形，用来度量两个向量场之间的差别。给定一个向量场[;X;],Lie bracket的定义满足bilinear和Jacobi identity。特别地有[;[X,X]=0;]，形象地说，向量场[;X;]以[;X;]本身为参照系的话，变化的速率为0.一般地，可以定义一个tensor field的Lie derivative，... 不是太明白你的意思，是在讲李导数的定义么？这个我还算了解啦... 翻了一下书发现书上的原文是说切丛的截面形成无穷维李代数，可以用活动标架展开，但是这里说的是切失，不同点的切失是不能相加的，根本没有线性性质。虽然说我不太喜欢在这种细节概念上多想，不过这么基础的东西居然犯错还是不太好意思，见笑了。