riemann01 曲率2-形式可以逐点定义，给定点给两个矢量，得一个小平行四边形取矢量沿之平行移动（需“磨光”平行四边形），有

来源: marketreflections 于 2011-11-05 10:08:55 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次 (11628 bytes)

回答: curl01 curve01 第二型曲线积分旋量01 曲面矢量01 环量面密度的概念就是为了描述场中一点作为横场源的强度而. 由 marketreflections 于 2011-11-05 07:32:24

主要是讨论一下内蕴的曲率。

实际上，内蕴的曲率是和度规有密切联系的，等度规的映射保持曲率不变，也就是形象的说，把一张平面卷成圆柱面，内蕴的曲率是不变的。对于黎曼几何，由于联络和度规是一一对应的，所以曲率和平行移动密切相关，先说一下平行移动。

对于高维情况，定义矢量沿着测地线平行移动，不仅要保证曲线的切线和矢量夹角不变，还要保证没有转动。形象的讲，在指定点对于给定的测地线和矢量X，平行移动的方式为：

从起点开始，选取X和给定测地线的切失有一平面，同时，此平面内一切测地线的切失对应的测地线丛组成一曲面（含给定的测地线），在给定的测地线上去步长Δl得新起始点，由曲面的切平面再找测地线丛，得新曲面，重复上述步骤，Δl区域无穷后即可使得曲面的切平面收敛于一个光滑曲面，在曲面上定义平行移动保角和长度就可以了。

然后就可以说一下曲率形式了。曲率2-形式可以逐点定义，给定点给两个矢量，得一个小平行四边形取矢量沿之平行移动（需“磨光”平行四边形），有角度旋转，显然对于整个区域角度可以取为2-形式的积分，2-形式就是曲率形式Ω。

Ω可以表示为Ω=KdS，K是高斯曲率（这个地方不太确定？）

这样的直观说明也许对Gauss-Bonnet定理理解有帮助。

2011-07-15 17:44
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几何量
尘埃之影
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6

2楼

上面说的有点问题，我再补充一下。

最后的“，2-形式就是曲率形式Ω。Ω可以表示为Ω=KdS，”不对，
一般书上说的曲率形式Ω是一个1,1-型的张量，也就是上面的曲率2-形式用度规升上去一个指标。
“Ω可以表示为Ω=KdS，K是高斯曲率”这个是曲面论里的，也就是3维欧氏空间的情况，可以证Gauss-Bonnet定理。

总结一下就是：
曲率张量R（1,3-型张量），和一个指定的二维曲面（由一个法失和一个切失确定）结合，得到曲率2-形式，几何意义如上所述，所得标量可由曲率标量推得。
另一种想法是，曲率张量R的3个协变指标分出两个化成两个外形式的外积，注意到外积的几何意义正好是面积dS，就对应了上面的Ω=KdS，K依赖于一个二维平面（和第一种想法对应），实际上K就是截面曲率。换句话说，就是曲面是在指定点的指数映射的像的高斯曲率。事实上，一般把截面曲率K定义为R/G，G实际上就是平行四边形的面积。