流形，英文manifold01，直译似为“多层空间”，:磁场强度H沿任何闭合路径的线积分nq0:等于这闭合路径所包围的各个电流之

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	btsmth 数学科学 Atiyah-Singer指标定理漫谈（谨以此文纪念几何大师陈省身陈老）
2011-10-28 22:37:58 一位普通的业余数学漫步者。∮ω=∫dω-----知道这个公式就没白学过微积分. ∑ind p = χ(M), ∫∫K(x)dA = 2πχ(M), χ(M) = V-E+F = 2(1-g) H^p ≌ H_{n-p} ↓ ↓ ω = dα + δβ + γ , △γ=0 , y^2=x(x-a^p)(x+b^p) H_p ≌ H^{n-p} A-S: dim kerD - dim cokerD = ∫_{T^*M}Ch[σ(D)]∧Td(M)	Atiyah-Singer指标定理漫谈（谨以此文纪念几何大师陈省身陈老） http://www.btsmth.com/show_topic.php?en_name=Mathematics&gid=108674 楼主 SCIbird (自然,深刻与神奇是数学最吸引我的地方) 谨以此文纪念几何大师陈省身陈老诞辰100周年∫∫K(x)dA = 2πχ(M) Atiyah-Singer指标定理漫谈 今天是几何大师陈省身陈老诞辰100周年，为表示对陈老纪念，破例写篇长文以自己的方式缅怀陈老！ 按陈老的观点，如果从20世纪众多数学成果中选出两个代表，那几乎必然是费马大定理（FLT）和Atiyah-Singer指标定理（A-S）了。 本文根据张伟平院士关于《Atiyah-Singer指标定理简介》的科普讲座（见下方链接），以及个人对指标定理的理解简单整理成文。 http://www.nim.nankai.edu.cn/activites/lecture_2007.htm（第31讲） 按我个人的理解，尽管数学中很多大定理的证明细节是琐碎和巨大的，但如果抽丝剥茧后，其核心思路是清晰的。记得网上有几篇网 友写的关于指标定理的文章，试图尽力解释A-S，但似乎不太理想。本文也试图尝试解释下A-S，不过限于篇幅和精力，本文以漫谈形 式简单回顾下Atiyah-Singer指标定理。注：不过也不能指望本文很通俗易懂。 似乎数学中每一个大定理都要涉及如下问题：许多研究对象、一堆概念以及这些对象之间的关系（如映射等）。Atiyah-Singer指标 定理横跨分析、微分几何和拓扑三大领域，涉及了许多现代数学概念，以至于要明白这个定理在说些什么都不是一件太容易的事情。 为避免文章内容过于庞大，而迷失重点，诸如流形，度量，联络，曲率形式，微分形式，de Rham上同调，流形上Stokes公式，向量 丛（如切丛和余切丛）和截面等概念，可参看陈老的名著《微分几何讲义》，里面说的很细致，这里不细说了。 个人观点：了解以上概念，并有一些拓扑知识，再通过适当默认某些概念和结论，应该可以认识Atiyah-Singer指标定理的轮廓了。 当然，想了解数学细节还是那句老话---看原始作者的原创文章，即Atiyah和Singer的五篇经典论文，别无二法。 先给出Atiyah-Singer指标定理的一个粗略描述： 设M是n维紧致可定向光滑流形， D是M上的所谓椭圆微分算子（一种线性算子），满足核空间ker D和余核空间coker D都是有限维的 （学过泛函分析的人易知这个D是Fredholm型算子）。因此可以定义一个整数 a-ind(D):= dim ker D - dim coker D，称为D的解析指标。 指标定理说明: dim ker D - dim coker D = ∫_{M}｛陈类｝ （这是张伟平院士习惯的科普写法） 其中，陈类是流形上的拓扑不变量，由de Rham定理知陈类可由微分形式表示，｛陈类｝则表示与陈类有关的多项式，∫_{M}｛陈类｝ 可称为拓扑指标。因此，指标定理定理也可表述为：解析指标 = 拓扑指标。 解析指标的定义比较自然，而拓扑指标就有些复杂了，｛陈类｝具体展开其形式十分复杂---神奇的是它在底流形M上的积分为整数。 以这两种截然不同的方式定义了两个整数是相等的，这就是解析指标 = 拓扑指标的含义。 流形，英文manifold，直译似为“多层空间”，此概念最早由Riemann提出，后由外尔给出严格表述。“流形”的中文译名据说出自 拓扑学家江泽涵，取自文天祥的正气歌里一句“天地有正气，杂然赋流形。”这里的流形有多样化的意思，与Riemann的原始想法很 接近。数学老师们（如科大的龚升老先生）在讲流形时喜欢用“局部欧”来相容流形，即在同胚意义下，局部看流形就是欧式空间。 整体看却十分复杂。流形的严格数学定义很抽象，这里不细说了。 联络的英文直译似为“联系”，但究竟联系着什么，伍鸿熙老师的解释是“联系着切空间”，在其著作《黎曼几何初步》一书中伍鸿 熙老师花了30页的篇幅来讲联络，对联络这一概念进行相当详细地剖析，推荐一看。 曲率这个名字有些神秘，高维空间究竟“曲”在哪里？如果说联络是方向导数的推广，那么在欧式空间中对光滑函数累次求导与顺序 无关（相当于求导次序可交换）这一性质推广到联络未必成立，那么曲率形式R(X,Y)=[D_X,D_Y]-D_[X,Y]意味着某种非交换性，以此 来体现空间的非对称性，这算是对“曲”的一种解释。也有人说，平行移动可以解释“曲”的性质，还有人说和乐群也能解释空间弯 曲，这已经超过了我的能力范围了。希望有明白人能详细说说。 陈老的书似乎更注重向量丛上的曲率形式（二次微分形式），记ω为联络方阵，则曲率方阵为 Ω=dω+ωΛω，在坐标变换下曲率方 阵有着很好的齐次性质。曲率方阵里的元素为2次形式，是可以交换的，这样可以引进微分形式的“多项式”，陈类就源于此思路。 陈老曾经评论说：线性代数研究一个线性空间，自然考虑一族线性空间，这就引出了向量丛的概念；平面曲线的曲率是二阶导数，曲率 形式是二阶导数在高维空间的推广。关于向量丛有一个比喻很形象：将脑袋视作一个底流形，头发就是向量丛，每根头发相当于一个线 性空间。当然这个例子对应的是平凡从，而向量丛E通常是局部平凡而整体不平凡的，由流形M来参数化。 向量丛的代表是切丛和余切丛，为直观理解还得退回到低维情形。注意到流形是曲面的某种高维类似物，切空间是切平面的高维推广。 一族切空间就是切丛。余切空间似乎就没有几何直观可类比了。不过对于充满“对偶精神”的人，他/她认为显然，切空间的对偶空间 （切空间上的线性函数所成空间）就是余切空间，一堆余切空间就是余切丛了。 为什么要研究向量丛呢？一个理由是向量丛是线性空间之集合，其结构性质通常要比底流形好（操作相对容易等等），又因为向量丛是“种” 在底流形上的，这样我们可以使用“逼近”思想。很多底流形上难处理的问题可以“飞到”向量丛上来处理，然后在拉回底流形上去。 截面可视作函数的推广，设π:E-->M为投影映射，截面s:M-->E，使得复合映射 πs:M-->M为恒等映射。例子：切丛上的截面为向量场。 有时候为了方便形象，人们不区分映射s与其像集s(x)，下面的例子可以形象地描述下截面s(x)：考虑二维平面，X-轴视作底流形M， 与X-轴相交（例如垂直）的一族平行直线可视作向量丛E，则s(x)的图像是一条曲线，这是通常的函数图像。 前面提及了向量丛通常是整体非平凡的，那么如何来区分不等价的向量丛呢？这就引出了示性类的概念，它是底流形上的上同调不变量。 借助de Rham定理，我们可以用微分形式来表示某些示性类。陈老的贡献是利用曲率形式构造了“陈类”，这是底流形M上的一种重要的 拓扑不变量，同时陈老也给出了获得陈类的可操作实用方法（这一点可能更重要）。注：陈类可能是陈老最重要的数学贡献！ 陈类的构造思路大致如下：对流形M上的复n维向量丛E，取定联络方阵ω，则对应曲率方阵为 Ω=dω+ωΛω， 考虑 det(I + (i/2π)Ω) = 1 + c_1(Ω)+...+c_n(Ω) 其中c_k(Ω)为2k次微分形式，称为第k个陈类，陈老证明它们属于de Rham上同调，且与联络的选取无关，对应到一个de Rham上同调类 c_k(E)∈H^2k(M,Z)，记c(E)=1 + c_1(E)+...+c_n(E)，称为总陈类。 我们前面指出曲率形式是2次形式可交换，因而有了类似多项式环的结构。从陈类构造角度看，要从代数不变量入手，这些陈类是“矩阵 特征值”的对称多项式。假定存在分解 c(E)=(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)，展开可知 c_1(E)=x_1+x_2+...+x_n ... ... c_n(E)=x_1x_2...x_n 即这些陈类为x_1，x_2，...，x_n的初等对称多项式。 当然，上面c(E)=(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)是形式分解.当复向量丛E可以表示成复线丛L1,L2,...,Ln的直和时， 因为c(Li)=1+c_1(Li)=1+x_i,所以此时存在分解c(E)=(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)。 不过好在我们有下面的“分裂原理”：该原理说，为证明关于陈类的多项式恒等式成立，只需要证明在“线丛分解”假设成立情况下，即 假设存在分解c(E)=(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)，证明恒等式成立即可。 x_1，x_2，...，x_n称为幻影不定元或陈根。由对称多项式理论知关于x_1，x_2，...，x_n的任意对称多项式都可以由初等对称多项 式c_1(E),...,c_n(E)表示。这样结合分裂原理，我们得到一种操作方法：先代入x_1，x_2，...，x_n进行形式计算，得到结果后再用 c_1(E),...,c_n(E)来替换x_1，x_2，...，x_n。 由此我们可以定义“陈特征”Ch：Ch(E):= e^{x_1}+...+e^{x_n} 和Todd类：Td(E)=(x_1/(1-e^{-x_1}))...(x_n/(1-e^{-x_n})) 上面的定义都是形式幂级数，不过因为紧致流形M是有限维的，所以幂级数实际是多项式。 下面说说椭圆微分算子D 设M是紧致光滑可定向流形，E，F是M上的复向量丛，记T(E)和T(F)分别表示E，F截面的集合。椭圆微分算子定义为D:T(E)-->T(F), 这是一个整体的定义，其局部表示为 D = ∑a_p(x)D^p, p<=N，N为微分算子的最高阶。D^p是一些偏导数算子（这里不方便表示），不同坐标下可能会引进一些低次 交叉项（类比直角坐标和极坐标下Laplace方程形式）。 我们仅仅关心最高阶项，引入“主象征”这一概念。即用 i*dx^j(i为虚数),代替偏导算子d/dx_j，这实质上在做Fourier变换。 得到σ(x,ζ)=∑a_p(x)ζ^p , p=N 若固定x，得到 σ( ,ζ)：E_x --> F_x是一个同构（对所以x成立），则称微分算子D是椭圆的（自然要求E，F维数相同）。 举个平凡例子：C-R算子--- D= d/dx + i*d/dy, 则其主象征σ(D)= i*ζ_1-ζ_2= i*(ζ_1+i*ζ_2)可逆，故C-R算子是椭圆的。 对椭圆微分算子D定义核空间 ker D={s∈T(E):Ds=0} ，余核空间 coker D= T(F)/Im(D) ,Im(D)=DT(E) 它们都是有限维的，因而可以定义解析指标 a-ind(D):= dim ker D - dim coker D 大数学家盖尔芳得曾猜想解析指标a-ind(D)应该是一个拓扑不变量，但他不知道是哪些拓扑不变量。 Atiyah和Singer经过努力证明了下面： （Atiyah-Singer指标定理）dim ker D - dim coker D = ∫_{M} Ch(D)Td(M) Atiyah最早使用了配边理论，后来改用简化K-理论简化了原证明，第三种证法是热方程方法。下面简单介绍下指标定理的K-理论证明 思路。思路还是很简单的：利用K-理论，Atiyah用一种抽象方法重新定义了“拓扑指标t-ind”，并且证明t-ind的上同调表示为 t-ind(D)=∫_{M} Ch(D)Td(M) 为证明“解析指标=拓扑指标”，Atiyah采用了公理化方法，建立了两条公理A和B，并证明满足公理A和B的拓扑指标是惟一的。剩下的 工作就是分别“验证”解析指标和拓扑指标满足公理A和B，由惟一性等号成立。当然，验证过程还有很多细节要处理的。 K-理论被Atiyah称为线性空间上代数拓扑，用来处理流形上的复向量丛同构类的。设X为一紧豪斯多夫空间，V(X)代表X上的所有复向量 丛等价类。设P(V)表示V(X)中元素对(E,F)的集合，引入等价关系“～”： 称(E,F)～(E1,F1) ，若存在丛G，使得E+F1+G = E1+F+G。再做商集 P(V)/～ =:K(X),K(X)是一个Abei群。 设M是紧致光滑可定向流形，对切丛TM，Atiyah诱导定义出了K(TM). 因为M紧致，故对充分大的整数m，M可嵌入到高维欧式空间R^m中， 对嵌入i:M-->R^m,扩充为嵌入i:TM-->TR^m. Atiyah由此抽象地定义了一个同态 i_{!}满足 i_{!}: K(TM)-->K(TR^m) 特别地，设P为单点集，嵌入j:P-->R^m映到原点，由此定义出的j_{!}:K(TP)-->K(TR^m)是一个同构。（TP也是单点集，K(TP)同构于 整数集Z） 拓扑指标定义为复合映射 t-ind : K(TM)-->K(TR^m)-->K(TP) ≌ Z，即t-ind=j_{!}^{-1}(i_{!}), Atiyah证明了这样定义的拓扑指标不依赖于嵌入的选取，因而是个well定义。 K(TM)中的元素u称为象征，给定u，Atiyah导出了拓扑指标的上同调形式（配合）， t-ind(u)= {Ch(u)Td(TM⊙C)}[TM], 其中TM⊙C表示复化切丛。（在拓扑中不区分切丛和余切丛） 注：陈特征有这个性质，它是一个环同态 Ch:K(X)-->H^*(X;Q). 若X满足其它条件（如X是CW复形），则Ch是环同构。 对椭圆微分算子D，其对应的象征类[E,F,σ(D)]∈K(TM)，[E,F,σ(D)]有时也记作σ(D)，所以写成积分形式 t-ind σ(D) = ∫_{T^*M} Ch[σ(D)]Td(TM⊙C) 在处理解析指标时发现两个问题：1.主象征相同的椭圆微分算子具有相同的解析指标；2.对奇数维流形，任取u∈K(T^*M)，未必存在一个 椭圆微分算子D，使得σ(D)=u。 问题1使得我们集中讨论主象征；问题2通过引入所谓椭圆拟-微分算子来解决。 因而Atiyah-Singer指标定理的标准形式如下： dim ker D - dim coker D = ∫_{T^*M} Ch[σ(D)]Td(TM⊙C) 说明：这里使用的是紧支上同调。 另外一种常见表示是底流形M上的，这就需要利用Thom同构φ^{-1}拉回到底流形M上。记Ch(D)=φ^{-1}(Ch[σ(D)]),Td(M)=Td(TM⊙C) 则 dim ker D - dim coker D = ∫_{M} Ch(D)Td(M) 注：1. 有的A-S定理表述带有正负号，可通过约定定向规避。 2. 可定义ind(u)=a-ind(D),其中σ(D)=u. 然后利用公理化方法证明 ind(u)=t-ind(u)。 3. 拓扑表达式中为什么出现Todd类Td(M)? 因为证明要使用交换图表，为使得陈特征能与Thom同构交换，必须乘以一个“关联因子”， 而Todd类与这个关联因子有关。 4. Atiyah最初发现所谓Spin流形的A-亏格是整数，始终不解。他像Singer请教，Singer起初也想不明白，后来有一天来了灵感， 发现A-亏格是Dirac算子的解析指标，因而Atiyah和Singer开始专研Dirac算子。后来Smale（证明4维以上Poincare猜想那位大师） 路过牛津，与Atiyah聊起彼此工作时提到了那个问题。Smale说前几天他看到盖尔芳得的一篇讲椭圆算子指标的文章，建议Atiyah去看看。 Atiyah后来感慨到，需要突破Dirac算子的局限而考虑更广泛的椭圆算子，才有了Atiyah-Singer指标定理。 回复 删除 推荐帖 隔壁田刚等来参加大会了么？ 困扰了... 请问“在线性代数中向量和线性函数是等价的”这句话正确吗？ 怎么估算一个人死于车祸的概率？ 区域内的积分转化为线积分 《冯·卡门》读书笔记 XVII （THE END） 请教几道小学数学题 调和形式 Tetrahedron 一道奥数题
2011-10-28 22:43:16	djh89 (Joshiwa) welcome back! O(∩_∩)O~ 【 在 SCIbird (自然,深刻与神奇是数学最吸引我的地方) 的大作中提到: 】 : 谨以此文纪念几何大师陈省身陈老诞辰100周年∫∫K(x)dA = 2πχ(M) : Atiyah-Singer指标定理漫谈 : 今天是几何大师陈省身陈老诞辰100周年，为表示对陈老纪念，破例写篇长文以自己的 方式缅怀陈老！ : ................... 支持 回复 删除
2011-10-28 23:48:51	nowheredense (dudu) 流形周易里就有了，品物流形 支持 回复 删除
2011-10-29 19:11:55	veeka1 (阿莱) 请问你是学什么专业的呀，对数学这么有兴趣，发过数学类的论文吗？ 【 在 SCIbird (自然,深刻与神奇是数学最吸引我的地方) 的大作中提到: 】 : 谨以此文纪念几何大师陈省身陈老诞辰100周年∫∫K(x)dA = 2πχ(M) : Atiyah-Singer指标定理漫谈 : 今天是几何大师陈省身陈老诞辰100周年，为表示对陈老纪念，破例写篇长文以自己的方式缅怀陈老！ : ................... 支持 回复 删除
2011-10-29 19:45:16	sesame (飧粮斛) 这关闭得也太久了吧 【 在 SCIbird (自然,深刻与神奇是数学最吸引我的地方) 的大作中提到: 】 : 谨以此文纪念几何大师陈省身陈老诞辰100周年∫∫K(x)dA = 2πχ(M) : Atiyah-Singer指标定理漫谈 : 今天是几何大师陈省身陈老诞辰100周年，为表示对陈老纪念，破例写篇长文以自己的方式缅怀陈老！ : ................... 支持 回复 删除
2011-10-29 21:14:46 一位普通的业余数学漫步者。∮ω=∫dω-----知道这个公式就没白学过微积分. ∑ind p = χ(M), ∫∫K(x)dA = 2πχ(M), χ(M) = V-E+F = 2(1-g) H^p ≌ H_{n-p} ↓ ↓ ω = dα + δβ + γ , △γ=0 , y^2=x(x-a^p)(x+b^p) H_p ≌ H^{n-p} A-S: dim kerD - dim cokerD = ∫_{T^*M}Ch[σ(D)]∧Td(M)	楼主 SCIbird (自然,深刻与神奇是数学最吸引我的地方) 隔了一天再看，小错误还不少，比如主象征那块应该是用i*ζ_j代替d/dx_j,不过大体思路还是对的。btw，大家可以练习下改错。 另外，补充几个关于陈老的视频资料 陈省身：数学之美 http://v.youku.com/v_show/id_XMjIwMzg1MTY0.html 山长水远：陈省身的一生（英文） http://v.youku.com/v_show/id_XMjE0NTY2NTU2.html 陈省身香港科大演讲经典（大实话） http://v.youku.com/v_show/id_XMTE1OTc3MDQ4.html 最近科学出版社翻印了关于陈老的《陈省身文选》，等价78元，够狠！粗略看了下，感觉内容90%以上同华东师大出版社的《陈省身文集》。 今日国内外众多院士汇集南开纪念陈老诞辰100周年，想来应该有不少活动吧！ 【 在 SCIbird (自然,深刻与神奇是数学最吸引我的地方) 的大作中提到: 】 : 谨以此文纪念几何大师陈省身陈老诞辰100周年∫∫K(x)dA = 2πχ(M) : Atiyah-Singer指标定理漫谈 : 今天是几何大师陈省身陈老诞辰100周年，为表示对陈老纪念，破例写篇长文以自己的方式缅怀陈老！ : ................... 支持 回复 删除
2011-10-30 08:09:37	djh89 (Joshiwa) 谢谢 scibird， 这两天从优酷下了不少东西，慢慢看。 不过，我发现，找专业的东西，右边的相关还算相关， 但是我昨天找高中数学，右边的相关都是色情。这算什么事儿啊，O(∩_∩)O~ 陈省身曾经到我们学校讲过一次课，关于不变量和某个什么东西的存在性， 我有幸听了，但是完全没有听懂。O(∩_∩)O~ 那个时候如果也做录像，现在就可以再看看，或许能理解一部分。 印象较深的还有周光绍在我们学校做的关于天体物理的演讲。 也是不懂。O(∩_∩)O~，只记得周先生夸自己的秘书字写得好， 制作的幻灯片很漂亮。真是伟人风范啊，O(∩_∩)O~ 【 在 SCIbird (自然,深刻与神奇是数学最吸引我的地方) 的大作中提到: 】 : 隔了一天再看，小错误还不少，比如主象征那块应该是用i*ζ_j代替d/dx_j,不过大 体思路还是对的。btw，大家可以练习下改错。 : 另外，补充几个关于陈老的视频资料 : 陈省身：数学之美 : ................... 支持 回复 删除
2011-10-30 11:27:49	djh89 (Joshiwa) 这算什么视频资料啊，看了俩小时，睡了一个半。 里头根本就没有数学，除了马屁还是马屁，除了名利还是名利。 连strongart都不如。纯粹的垃圾视频。 后面的同学不要再上当啦。O(∩_∩)O~ 【 在 SCIbird (自然,深刻与神奇是数学最吸引我的地方) 的大作中提到: 】 : 隔了一天再看，小错误还不少，比如主象征那块应该是用i*ζ_j代替d/dx_j,不过大体 思路还是对的。btw，大家可以练习下改错。 : 另外，补充几个关于陈老的视频资料 : 陈省身：数学之美 : ................... 支持 回复 删除
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