福克-普朗克方程（Fokker-Planck equation）

来源: marketreflections 于 2011-11-01 20:53:57 [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次

与描述随机系统的朗之万方程相对应的概率分布函数所遵从的演化方程，由福克和普朗克首先从朗之万方程导出。设宏观变量a(t)代表一稳定的随机过程，遵从朗之万方程

$dota(t)=-\gamma a(t)+F(t)$ （1）

式中随机力F(t)代表一噪声源，它满足下列条件

〈F(t)〉=0

〈F(t)F(t′)〉=2Aδ(t-t′) （2）

其中A表示噪声强度。式（2）表明F(t)具有白谱，且是一高斯过程，显然a(t)也是一高斯过程，且是一马尔科夫过程，即无后效性的随机过程。a的概率分布函数P(a,t)遵从下列方程

$\frac{\partial}{\partial t}P(a,t)=\frac{\partial}{\partial a}\gamma aP(a,t)+D\frac{\partial^2}{\partial a^2}P(a,t)$ （3）

式（3）右端第1项是漂移项，第2项是扩散项，其中

D=∫₀^∞〈F(t₀)F(t₀+t)〉dt （4）

是扩散系数。式（3）即为与式（1）相对应的F-P方程。并有

P_e(a)=Ce^-γa²/2D （5）

其中C为常数，P_e(a)表示平衡分布。容易得出

$\gamma=\frac{D}{(:a^2:)_0}$

$=\frac{1}{(:a^2:)_0}int_0^oo(:F(t_0)F(t_0+t):)dt$ （6）

而〈a²〉₀则是a(t)的平衡涨落的均方值，即a(t)的相关函数

〈a(t)a(t′)〉=〈a²〉₀e^-γ|t′-t| （7）

的强度。式（4）是根据涨落耗散定理得到的。