黎曼认识到，在坐标变换之下，ds2通常不是不变的，因为ds2由 n (n+1) / 2 个位置函数 gij

 

黎曼认识到，在坐标变换之下，

d s^{2通常不是不变的，因为d s2由 n (n+1) / 2 个位置函数 g_{ij 确定，而坐标变换只有 n 个关系。要完全确定度量关系，必须给定n (n - 1) / 2 个位置函数。为了保证d s2在坐标变换之下的不变性，黎曼建立了曲率的概念：流形上任一点的曲率，由n (n - 1) / 2 个截面曲率唯一地确定。黎曼把截面曲率称为?曲率量度?，}}

 

論幾何學之基礎假說(第3 頁)

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位置化簡為數量， 則n 元流形中的點的位置可用x1, x2, x3 直到xn 等n 個變量表示； ... 因此，它等於ds2 乘以一個常數， 而ds 也因而等於一個以x 的連續函數為係數的dx ... 若以n 個新的獨立變數的n 個函數，代替原有的n 個函數，則可將原來的式子轉換