关于二次量子化，sage兄多次谈到过这个术语应该抛弃，我理解他所说的意思是，借用广义坐标和广义动量概念的拉格朗日力学描述，可以把经典场量子化统一地纳入一次量子化的理论框架之中，因此二次量子化的叫法是有问题的。基于这种理解，我怀疑客栈里有些网友其实没有真正弄明白sage兄所说的意思（当然，可能有错误理解的恰恰是我本人）。因此这里专门发一帖，与大家一起聊聊这个问题。

历史上，人们把“将粒子的位置矢量与动量矢量换成一对共轭算符（满足正则对易关系的）”的做法，叫做一次量子化，而把量子力学中的经典场量（或波函数——这里的波函数不一定有几率幅的含义）进一步地换成场算符的过程，叫做二次量子化。但是，由于场量可以看作广义坐标，因此经典场量变成算符的过程，跟把粒子的位置矢量换成算符的过程，在广义的意义上是一回事，因此把场量换成算符的过程称作二次量子化，是没有必要的。

具体来说，历史上，人们把粒子的色散关系E=P^2/2m或E^2＝P^2+m^2（及其各种变形）中的能量E、动量P这些经典量变成算符，作用于波函数，得到量子力学方程。此过程的本质在于：把粒子的坐标和动量换成算符，满足一个量子对易关系。人们把这个称为一次量子化过程。其特点是：粒子的坐标和动量由经典量换成满足对易关系的算符（于是其它的经典力学量也变成算符），而波函数仍然保持是c数的复函数。通过一次量子化过程，可以使得原来的经典粒子有了波动性。

后来，人们在一次量子化的基础上，进一步把波函数升级为Fock空间中的算符，完成二次量子化过程。其特点是：不但一些经典力学量要换成算符，而且波函数也要换成算符（而且波函数不再局限于概率幅解释）。通过所谓的二次量子化过程，可以使得原来的经典波场有了粒子性——“二次量子化”这个术语因此就跟“场量子化”术语相关联。（当然，这是基于历史上的看法。场与粒子的概念，在量子场论中是统一的，甚至此时连“波粒二象性”的说法都不需要）

但是，人们发现，如果把经典场量看作广义坐标，进而把经典场体系纳入拉格朗日力学体系（跟粒子的力学体系相比，这里相当于有了不可数无穷多个自由度），定义与广义坐标正则共轭的广义动量，再把体系的广义坐标与广义动量看作算符，令它们同样满足通常意义下的粒子的坐标与动量算符之间的那种量子对易关系，那么就可以得到直接从经典力学到一次和二次量子化过程所完成的理论。由于这个过程是完全平行于一次量子化过程的，可以统一纳入一次量子化的理论框架。基于这个原因，有些人不认为还额外地存在一个所谓的二次量子化过程。

尽管如此，量子力学与量子场论终究是有分别的，有了量子场论并不等于就可以抛弃通常意义上的量子力学。例如电子的量子力学与量子场论其内容是不同的，虽然前者可以作为后者的近似，我们仍然需要给量子力学尤其是非相对论量子力学保留一个位置。为了区分量子力学和量子场论，我们仍然需要采用“场量子化”这个概念，以区别通常（例如）从粒子的经典力学过渡到粒子的量子力学这一“一次量子化”过程。在性质上，一次量子化使得经典力学中的粒子有了波动性；场量子化使得经典波动场有了粒子性。因此，场量子化也好，二次量子化也好，我们总需要有一个称呼，来区分量子力学与量子场论。你完全可以把“场量子化”看作是“二次量子化”的另一个称呼，这只是叫法的不同，没有带来物理上的原则性对与错的问题。

因此，我觉得这更多的只是一个术语上的合理与否的问题，而不是原则性的物理对错问题。因为你可以坚持要把时空空间中的位置坐标与动量换成算符的过程称作一次量子化过程，而把广义坐标广义动量换成满足量子对易关系的算符的过程，称作二次量子化，以区别于前一种情形（我们需要一样东西来标志量子力学与量子场论的不同，毕竟电子的量子力学内容跟电子的量子场论内容是不同的）。除非“场量子化”这个概念也应该抛弃，也是多余的，否则“二次量子化”这个称呼，可以视为一个约定成俗的东西，不妨把它看作是“场量子化”的别称。

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2009-3-26 14:35 编辑 ]

而波函数仍然保持是c数的复函数。
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这里“仍然”是什么意思？

二次量子化过程。其特点是：不但一些经典力学量要换成算符，而且波函数也要换成算符（而且波函数不再局限于概率幅解释）。
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这里的“经典力学量”是指粒子的x和p等物理量？量子场论里面没有p，只有x，而且x不是算符，只是时空参数。
如果\psi（我不愿意用“波函数”，因为波函数就是概率幅）不再具有概率幅解释，那么它就只能是经典场，而那个Shrodinger方程只是某种经典场（具体是什么样的场，是描述什么的，可以不用管）所满足的方程。此时完全没有什么“量子”因素在内，当然也就谈不上它是“一次量子化”的结果。既然没有“一次”，也就没有“二次”，只有（经典）场的量子化。这就是“二次量子化”名词不合适的原因。

"例如电子的量子力学与量子场论其内容是不同的，虽然前者可以作为后者的近似，我们仍然需要给量子力学尤其是非相对论量子力学保留一个位置"

当前在量子计算和量子信息的研究中，也是这样看待一个光子的——前提是在低能量情况下，光子数是守恒的，并且一般来说研究的对象是光子的偏振性质，而不是光子实体本身（能级、动量、位置之类）。在这个层次的简化下，把光子看作是一个类似电子的遵守薛定谔方程的粒子。
这种做法当然是近似的，我觉得没有什么问题。经常有人质疑说因为光子没有静止质量，所以不可能存在非相对论情况，其实是没有弄明白所研究的问题。

[ 本帖最后由 Bennett 于 2009-3-24 17:15 编辑 ]

这里的“经典力学量”是指粒子的x和p等物理量？量子场论里面没有p，只有x，而且x不是算符，只是时空参数。
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虽然你这个地方说得不准确，但我明白你想说的意思。可惜，很多人就是在这个地方犯错，把两个不同问题搞混淆了。

的确，在量子场论中，与量子力学中不同的是，场量作为时空坐标的函数，其中的空间坐标与时间坐标是平权的，一同构成四维时空连续统，即空间坐标与时间坐标一样，都是参数——不象量子力学中，波函数中的时间坐标是参数，而空间坐标对应位置表象下的位置算符。我想这就是你想说的意思，对此我从一开始就是认同的。

但是，你想过没有：即使在量子场论中，每个场量子的空间位置和动量仍然存在测不准关系。进一步地，每一对正则共轭量都存在这种测不准关系，这无论在量子力学中，还是在量子场论中，这一点是不变的。事实上，人们之所以坚信引力也应该是量子化的，并且为此付出坚持不懈的努力，就因为人们坚信，测不准关系在引力那里也应该成立，它是普适的。
这是怎么回事呢？
举个例子来说明：例如，把经典力学中电子的相对论色散关系E^2=P^2+m^2利用Dirac矩阵线性化之后，再把的能量和动量换成算符作用于电子波函数，得到Dirac方程，这个过程就是所谓“一次量子化”过程，这无论在量子力学还是在量子场论中，都是一样的，只是在后者那里，电子的波函数进一步变成场算符（相关的话题本楼主贴已谈）。这就是说，即使在量子场论中，场所满足的量子力学方程本身，就可以看作是由经典力学中的色散关系通过把坐标和动量换成算符再作用于场算符而得到（色散关系中的能量算符是哈密顿算符，一般地，它是位置和动量的函数，尤其是包含势能情形）。即量子场论中，跟量子力学一样都存在这种把经典哈密顿量中的坐标和动量换成算符而变成哈密顿算符的过程，这跟量子场的“场算符作为时空坐标的函数，其中的空间坐标与时间坐标都是参数”并不矛盾。单个场量子的位置和动量之间（以及其他共轭对之间，例如频谱宽度与能级寿命之间），仍然存在测不准关系，这一点是普适的。

量子场论是多粒子理论，量子力学是单粒子理论（也有多粒子量子力学，那是另外的话题）。连续的经典场，量子化为离散的多粒子体系——此所谓“场量子化给经典的波动场赋予粒子性”；而对于经典粒子，到了量子力学那里，单个的粒子就有波动性，此所谓“一次量子化给经典粒子赋予波动性”——即量子场之所以是波动的，不是因为场整体才有波动性质，而是每一个单个的场量子就有波动性，场整体的波动性来源于单个场量子的波动性的叠加。

这就是说：一方面，量子场的场量作为时空坐标的函数，其中的空间坐标与时间坐标都是参数；另一方面，对于量子场中的每个场量子而言，其位置和动量、时间间隔和能量涨落、...等等之间仍然存在测不准关系。量子场论是兼容量子力学，而不是否定量子力学；量子力学是量子场论的低能近似（我不知道算不算树图近似）。

总之，“把经典哈密顿量H(x,p)中的坐标x和动量p换成算符而得到哈密顿算符的过程”，与“场算符作为空间与时间坐标的函数，其中空间坐标与时间坐标一样只是参数”这一事实，彼此不矛盾，因为这原本是两个方面的事情。从经典色散关系出发到到量子场满足的薛定谔方程，就存在“把经典哈密顿量H(x,p)中的坐标x和动量p换成算符而得到哈密顿算符”的过程，虽然量子场中包含的空间坐标变量只是一个参数。
（对于Dirac场而言，这一点是显然的；对于电磁场、Klein-Gordon方程，通过旋量表示或者其他办法，也能给出其量子场满足的包含哈密顿算符的薛定谔方程）。

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2009-3-24 20:11 编辑 ]

“量子场论是多粒子理论，量子力学是单粒子理论（也有多粒子量子力学，那是另外的话题）”

所谓的多粒子量子力学与量子场论适用范围的分野其实是粒子数守恒与否，或者说高能与低能的不同。
在粒子数守恒的情况下，多粒子体系的运动是可以近似地使用薛定谔方程来描述的。而高能情况下，粒子的产生和湮灭随时能够发生，此时非相对论的量子力学就不再适用了。

[ 本帖最后由 Bennett 于 2009-3-24 22:27 编辑 ]

即使在量子场论中，每个场量子的空间位置和动量仍然存在测不准关系。
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不解。你这里的“场量子”是指什么？
我对场量子是这样理解的。拿自由场来说，存在场能量和场动量的公式，它们是用广义坐标（场量）和广义动量密度来表示的。把后者的傅立叶展开公式（即含产生和湮灭算符的公式）代入，则场的能量和动量可以写为各种“模”的和。一种模就是一种场量子。每种场量子都具有确定的能量和动量，但我不知道它还具有空间位置。

即使在量子场论中，场所满足的量子力学方程本身，就可以看作是由经典力学中的色散关系通过把坐标和动量换成算符再作用于场算符而得到
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你是不是说，量子场论中存在算符x,p等，还存在算符\psi(x)？两类算符同时存在？这肯定是不对的。以量子场论中的Dirac场为例：

其中是场算符。此时，你是不是认为也是算符，是单粒子的动量算符？
此时，绝对不是算符，或者说，它只是数学上的微分算符而已，不具备物理意义，不是量子理论中作用于态矢Hilbert空间中的那种算符。

1）例如光子是电磁场的场量子；电子是Dirac场的场量子

2）“绝对不是算符，或者说，它只是数学上的微分算符而已”把我雷到了

那你知道空间平移生成元是什么？

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2009-3-25 09:59 编辑 ]

正反粒子的量子数是相反的，因此粒子数仍然是守恒的。

当然我明白你的意思，没有正反粒子对的产生与湮灭时，可以用单粒子的量子力学

我不回你的帖子，因为我赞同你的说法

）“...绝对不是算符，或者说，它只是数学上的微分算符而已”把我雷到了
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真的不是。比如，能够作用在态矢上吗？

那你知道空间平移生成元是什么？
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这个就是场的动量。具体的，对于力学量，有

就象时间平移生成元是Hamilton（能量）H一样：

这里的和都不是生成元，只是空间和时间平移的数学表达。

（我写不了公式）
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教你一个方法：点击“编辑”，就可以任意拷贝了。

讨论到这个份上，最好还是尽量严格按照书本来，避免不自觉地凭想当然。

首先说一下生成元的这个概念（你给的不是定义，而是推论）。
对于一个描述对称变换的李群，以场量作为李群的表示空间时，李群的群元g可以写成指数形式，例如g=exp(－iθT)，其中θ是连续变量的群参数（让群参数变量形成一个空间流形，流形上每一点对应一个群元，则此流形就是所谓群流形，研究它的拓扑性质，就能够研究群的某些性质），而T就是生成元，生成元满足的几个对易关系如果是封闭的（即生成元之间的所有对易子，只需用到所有生成元，就能形成一个循环），则我们说生成元的这个对易关系构成了一个封闭的李代数。

时空平移群的群元可以写成g=exp(－iθ^μT_μ)，其中T_μ＝是生成元，由薛定谔方程，时间分量可以改成哈密顿算符，因此，生成元是能量和动量算符。

从另一个角度来看，Dirac场跟时空平移对称性相关的Noether荷，就是能量与动量，它可以看作是能量和动量算符的量子力学平均，但这个平均仍然是Fock空间中的算符（因为正比于粒子数算符），只有在Fock空间中的状态矢量上再平均一次，才得到经典的c数的能量与动量。因此，在量子场论那里，从量子力学意义上的力学量算符到经典力学量要经过两次平均，这个过程反过来，就是对应所谓的一次和二次量子化。

当然这种论述对于Klein-Gordon场和电磁场等要麻烦一些，只能采用旋量表述，能够给出它们的薛定谔方程之后，上述对于Dirac场的论述才适用。

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2009-3-25 10:55 编辑 ]

从另一个角度老看，Dirac场跟时空平移对称性相关的Noether荷，就是能量与动量，它可以看作是能量和动量算符的量子力学平均，但这个平均仍然是Fock空间中的算符（因为正比于粒子数算符），只有在Fock空间中的状态矢量上再平均一次，才得到经典的c数的能量与动量。因此，在量子场论那里，从量子力学意义上的力学量算符到经典力学量要经过两次平均，这个过程反过来，就是对应所谓的一次和二次量子化。
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这一段绝对不能苟同。看来你真的认为两类算符同时存在，所以有两次平均。你的意思是说，在场量子化（二次量子化）中，一次和二次量子化是同时存在的。这无论如何不能接受。
期望见到其他人的意见。

我的说法，至少对应Dirac场是成立的。对于Dirac场而言，以下两种观点是完全等价的：
1）利用广义坐标和广义动量这一抽象的数学描述，使得所有量子化均可以在一次量子化的框架下得到数学形式上的统一，此时我们不必承认还额外有一个二次量子化。
2）一次量子化和二次量子化的观点。

对同一件事情往往同时存在多个不同角度上的描述或解释，就如同量子力学同时存在波动力学描述、矩阵力学描述或路径积分描述一样。在量子力学的路径积分表述中，用到粒子的位置算符本征态和动量算符本征态，可以通过不断地插入它们的完备性关系来获得路径积分表述。在这里，用到的就是粒子的位置坐标与动量这一对共轭对；在场量子化的路径积分表述中，以基本场量作为广义坐标，利用广义坐标及其广义动量，完全平行地给出场量子化的路径积分表述。场量子化是量子力学中的一次量子化推广而来，如果有了（广义坐标，广义动量）就否定（坐标，动量），前者就成了无源之水无本之本。

A）采用观点1）而不采用观点2），那么：需要把场量这种广义坐标和及其广义动量，与时空空间中的粒子位置坐标与动量统一看待，不仅是数学形式上统一，在物理上也统一。但我们知道，狭义相对论使得空间与时间统一起来，需要把二者平等看待。但实际上，这种平等更是数学形式上的，在物理上，时间与空间仍然有着巨大的差异，不能相提并论。即是在号称万物的终极理论的超弦理论那里，时间与空间也是不同的角色。

B）采用观点2）而不采用观点1），那么，对于Klein-Gordon场和电磁场等似乎不好办，因为前者似乎不存在单粒子意义上的量子力学内容，不存在几率幅含义的波函数，因而无法定义量子力学平均；而后者不存在非相对论近似。
但是，对于任意的自旋粒子而言，不考虑自旋的非相对论量子力学内容都是一样的，不管它们对应的量子场场量是什么，在非相对论量子力学中，这些场量“退化”而成的波函数都有几率幅解释，都可以由此定义量子力学平均。非相对论量子力学是描述任意物质粒子的微观运动规律的，而不管粒子是什么自旋的粒子。这是为什么呢？因为在非相对论近似下，波函数的正能解与负能解脱藕，正粒子解中不再含有负粒子解的成份（后者是前者的相对论效应），反之亦然——这相关于正反粒子对的产生与湮灭。此时，任意自旋粒子的波函数，都有几率幅含义。正因为如此，我们才有了量子力学。否则，世上压根就没有量子力学这回事。但是到了相对论量子力学那里，涉及到了正反粒子对的产生与湮灭，单粒子意义上的量子力学存在这样或那样的不自洽，例如负能困难，或者不再存在几率幅含义的波函数，从而难以定义量子力学平均。如果一定要定义波函数，那就需要推广其含义，由几率幅推广到能量幅、荷幅或粒子数幅等等。量子场论中通过Fock空间中的态矢，定义跃迁几率幅（对角元对应几率密度），进而可定义量子力学平均。

在这里，Dirac场显得特殊，美而简单，也许它最基本。自旋1/2可以形成其它自旋，但是整数自旋组合不出自旋1/2。

量子场论是兼容量子力学而不是否定量子力学，量子力学是量子场论的低能近似理论。无论量子力学还是量子场论，坐标－动量共轭对之间的测不准关系总是成立的

本楼其实就是讨论量子场论与量子力学之间，到底是什么样的一种过渡关系。

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2009-3-25 14:48 编辑 ]

如果从量子粒子概念出发构造场论，则：

(1) 在量子场论中时空位置是参数，不是可观察量，所以不存在位置波函数。如果存在位置波函数，那么就要问问它的物理意义是什么。

(2) 在 Fock 构造中用到的波函数都是动量波函数，非要说这些波函数满足波动方程的话，就是满足动量本征方程。所以在量子场论里没有类似 Schrodinger 或者 Dirac 的波动方程。

(3) 场算符表面上看像是动量波函数的 Fourier 变换，如果套用量子力学的概念，似乎场算符就是位置波函数，然而位置波函数概念本身同量子场论的假设（时空坐标是参数）不相容。所以虽然形式上相似，但概念上不能这么理解。场算符满足的场方程不是单粒子波动方程，因为场算符本身就涉及无穷多个具有不同动量和自旋的粒子。

如果从经典场论经过量子化过程构造量子场论，则

(1) 经典场方程的解完全不必满足归一化条件，不可能被解释为单粒子波函数。至于星空兄提到的非相对论近似，正负能解脱耦，我暂时还没有发言权。

(2) 经典场的 Fourier 分量被解释为单粒子产生和湮灭算符。经典场是时空的函数，其 Fourier 分量则是动量的函数，所以产生和湮灭算符是动量的函数，作用于真空得到的是动量波函数。



关于对称性的生成元。在量子力学中 显然不是 H 本身，如若两者可以等同， 那Schrodinger 方程就完全失去了意义。微分算符只能作用于 Hilbert 空间中的一条参数曲线，即对参数求导，而不能作用于 Hilbert 空间的任意矢量。 同样道理，在场论中 也不是动量算符，不能作用于 Hilbert 空间的矢量。



还说一句，讨论问题最好就事论事，要避免对争论对手的知识水平和理解能力进行嘲讽或鄙视。在这方面我也需要自省，与诸君共勉。

经典场的 Fourier 分量被解释为单粒子产生和湮灭算符。场算符满足的场方程不是单粒子波动方程
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应该是量子场才能这样理解。

我说过，量子力学是量子场论的低能近似。为方便起见，我们谈到的“量子力学”均指非相对论量子力学，因为相对论量子力学其实只是一个过渡理论，唯一自洽的相对论量子力学只能是量子场论。而非相对论量子力学的波动方程就是单粒子的波动方程，此时在低能下不涉及粒子对的产生与湮灭。

例如，Klein-Gordon方程描述自旋为0的粒子，它只能理解为量子场论中的场方程，而不存在单粒子意义上的相对论量子力学内容。通过一些技巧，即把量纲为[1/length]的Klein-Gordon场（标量场）通过它的时空坐标微分组合，引入新的量纲为[1/length]^3/2的场量，这个场就满足跟原来Klein-Gordon方程等价的一个方程，此方程具有薛定谔方程的形式——但是，只有在非相对论极限下，它才会过渡到非相对论量子力学中的薛定谔方程，而量纲为[1/length]^3/2的场量，此时通过正负能分量脱藕，变成具有几率幅含义下的位置波函数。

不管什么自旋的粒子，从它的描述多粒子的量子场论方程过渡到描述单粒子的非相对论量子力学方程（薛定谔方程），原来的场量就会过渡到具有几率幅含义的位置波函数（有的是直接过渡，例如Driac场，非相对论近似下只需去掉其中的一个跟静止质量相关的指数因子；有的需要费一点周折，例如Klein-Gordon场）。在量子场论中，不同自旋场的场量和它们满足的方程，差别很大，形态各异。但是过渡到非相对论量子力学时，却统一地对应具有几率幅含义的位置波函数满足薛定谔方程。正因为如此，我们才有量子力学这门学科，这门学科不会因为量子场论的出现而被淘汰。

量子场论研究存在粒子的产生与湮灭的多粒子情形，量子场本身就是场量子的集合，但是，对于场中的每个场量子而言，它的位置和动量存在测不准关系——这就是量子力学告诉我们的。如果单个的场量子的位置不可观测，在我的理解中，那么单个的场量子在实验室中根本就无法观测到，因为我们根本不知道它在哪里出现过，更谈不上被探测器所捕获。我这栋楼前面的一些帖子，反复从不同角度来说明这种意思。

另外，关于对“薛定谔方程”这个概念的理解，我记得在客栈过去的讨论中曾经多次提到过，只要 作用于波场等于H作用于波场，这个方程就叫做 “薛定谔方程”。例如，blackhole兄在六楼写的那个方程，就是Dirac量子场满足的波动方程，它就是薛定谔方程形式。即在量子场论中的波动方程，同样可以是薛定谔方程。薛定谔方程不是非相对论量子力学中的专利。

大家都是老网友，都是熟人。谈论中难免有时会表达自己对对方看法的感受，但我不认为这些是嘲讽或鄙视（至少对我而言是这样）。因为我们有时对对方的观点感到惊讶或者强烈反对、或者高度共鸣，此时带有描写性的语言就会出来。

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2009-3-26 14:33 编辑 ]

对本楼总结一下：
1. 概述
1）blackhole 兄和季兄说的大多是对的，我的一些反驳，更多的是对另一类说法的解释，以证明另一类说法是等价地成立的。
2）本楼本质上主要谈及量子力学和量子场论之间的过渡关系，以及在这种过渡中，各种物理概念在量子力学和量子场论之间是如何衔接的。

2. 量子力学和量子场论
1）自洽的相对论量子力学只能是量子场论，因为不存在单粒子意义上的相对论量子力学。因此以下的“量子力学”均指非相对论量子力学。
2）量子场论是场的量子理论，其中量子场对应基态真空及其在基态上激发的场量子集合，简言之是一个多粒子集合的力学体系；量子力学描述单个粒子的量子运动，其中的单个粒子，可以是量子场的单个场量子（例如光子，是电磁场的场量子；电子是Dirac电子场的场量子），也可以是不同场量子构成的、不考虑虑内部结构自由度的复合结构（例如通过量子力学研究一个微观粒子整体的量子力学行为，该微观粒子是由分子或原子组成），并且前提是这些单个的场量子能量足够低，不会带来正反粒子对的产生与湮灭。
3）根据2）可知，量子场的波动性，不是场量子集体组合成的一种机械波动现象（即不能理解为机械媒质传播的那种机械波），而是因为单个场量子就有波动性——这可由量子力学给出。例如电磁波的双缝干涉实验，可以归之于单个的光子就具有的波动性。让单个的光子先后一个一个地穿过双缝，照样可以在感光照片上形成干涉条纹。量子场论告诉我们，经典的、在时空中连续分布的场，其实是对应离散的场量子的集合（即连续的波场具有粒子性）；量子力学告诉我们，单个的场量子作为粒子，具有波动性（即粒子具有波动性）。
4）在量子力学中，哈密顿算符是位置算符x和动量算符p的函数，位置算符x和动量算符p之间满足正则对易关系，它意味着单个场量子的位置与动量之间存在测不准关系。在量子场论中，哈密顿算符是广义坐标与广义动量的泛函，广义坐标与广义动量之间满足正则对易关系，其结果之一是：量子场包含的场量子数量与场所处的相位之间存在测不准关系。
5）在非相对论近似下，量子场论中的基本场量经过某种组合变形之后得到的量。可以退化为量子力学中具有几率幅含义的波函数，而量子场满足的方程也可以化为相应的量子力学中的薛定谔方程。

在量子场论中的能量和动量算符，作为广义坐标与广义动量的泛函，对应时空平移对称性的Noether荷，是Fock空间中的算符——记为A；量子力学中的能量和动量算符，对应经典力学中的哈密顿量和动量把其中的经典位置x和动量p换成量子力学算符之后的结果——记为B。在非相对论近似下，量子场论中的A退化为量子力学中的B的量子力学平均，而不是直接退化为B。即在非相对论近似下，有A→<B>，而不是A→B。这是因为A是Fock空间中的算符，而B是量子力学态矢量构成的Hilbert空间中的算符。

附：对于自由场而言，在求Noether荷的积分中，一旦利用场的运动方程，在至多相差一个四维散度项的情形下，跟拉格朗日密度成正比的项贡献为零。利用这一点，有

如果把场的广义动量π和广义坐标η的乘积对三维空间积分（并乘以因子-i），看作是一种内积（此时动量空间与坐标空间可以看作是互为对偶的空间）：
(π, η)
那么，可以严格地证明，与变换对称性相关的守恒Noether荷Q，与该对称变换的生成元F之间，存在以下一一对应关系：
Q=(π, Fη)

进一步地，在非相对论近似下，通过一些变换技巧，可以发现上述关系变成量子力学中求力学量的量子平均公式：
Q=(π, Fη) → Q=<F>=(Φ, FΦ)
其中内积(Φ, Φ)与内积(π, η)都是无量纲的。

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2009-3-30 10:05 编辑 ]