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chernzy 2011-3-30 15:18
路径积分的数学基础
请问有人熟悉这方面的研究吗,henring 2011-3-30 17:28
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你指物理学中的路径积分吗?如果是,基础就是微积分。能算的情形只有高斯型的。chernzy 2011-3-30 20:53
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不是计算的问题,一般听说路径积分还缺少严格的数学基础,所以问问。fnsy 2011-3-31 09:03
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路径积分问题是否可以以微分几何为基础得以解决。henring 2011-3-31 10:24
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哦 数学基础阿。这个问题以前这里略微讨论过。你可以翻老帖/。chernzy 2011-3-31 12:20
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不知道是哪个贴,没找到。PENG_Bo 2011-3-31 18:51
你说的是测度问题吗
chernzy 2011-3-31 21:44
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是的,就是轨道空间给测度做积分,这应该就是随机积分,也不知道两者有什么不同,所以不知道为什么没有严格的数学基础PENG_Bo 2011-3-31 23:52
这不是随机积分。
这个测度需要在非常无限维的路径空间上定义,所以很困难。
这个测度需要在非常无限维的路径空间上定义,所以很困难。
chernzy 2011-4-1 00:32
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"非常无限维的"怎么理解?PENG_Bo 2011-4-1 00:38
特别高阶的无限。
季候风 2011-4-3 12:48
[quote]原帖由 [i]chernzy[/i] 于 2011-3-31 21:44 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=55329&ptid=6378][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
是的,就是轨道空间给测度做积分,这应该就是随机积分,也不知道两者有什么不同,所以不知道为什么没有严格的数学基础 [/quote]
非常不同。随机积分(严格来说, Wiener 测度)是无穷维空间上的概率测度,并不能分解为概率密度和基本测度的乘积(好像连续型随机变量在实数轴的分布那样,分解为概率密度和 Lebesgue 测度的乘积)。而物理学家预期的,正是 [tex]e^{iS} [/tex] 配上一种 “无穷维 Lebesgue 测度”,满足平移不变性和更多有限维 Lebegue 测度所具有的良好性质。这样的测度不可能在任何无穷维 Banach 空间存在。
如果像随机积分一样把 [tex] e^{iS} [/tex] 和并不存在的无穷维 Lebesgue 积分绑定,也许可以构成某种数学上可定义的测度(至少 Witten 似乎在尝试从 cohomology 的角度来定义它),但现在还不确切地知道其可行性。
然而,现代物理并不依赖于这种积分的存在性。任何物理理论都定义于某个能标,从较高能标 [tex] \Lambda [/tex] 作用量导出较低能标 [tex]\lambda [/tex] 作用量可以完全由有限维积分描述
[tex] e^{iS_\lambda(\phi_\lambda)} = \int_{F_{\Lambda,\lambda}} e^{iS_\Lambda(\phi_\lambda + \eta)} d\eta [/tex]
其中积分域 [tex]F_{\Lambda,\lambda}[/tex] 包含两个能标之间的所有(有限个)自由度。当然,这个积分虽然肯定有定义,其收敛性却是个问题。通常用“虚时间”方法解决,而 Witten 最近有些新的见解。即便如此,也并不能说物理学可以如此被数学简单描述,因为在不同的能标上,需要运用不同的自由度组合来方便地表述同一个理论,这似乎远在数学所能控制的范围之内。再有,我们必须有一个参考点,即,必须在某个能标处确切地知道理论的形式,这样才能得到更低能标的作用量。至今为止,我们所用的参考点通常是假想中的无穷能标处,所以需要用重整化这种非数学的手段来实现从无穷能标到有限能标的积分。真实的物理并非发生在无穷能标处,即使无穷维积分的数学理论存在,它也并不是在描述真实的物理。如果一定要让数学来完全地描述物理,我认为必须要有新的数学概念和数学工具,传统的 “测度” 或 “积分” 恐怕难以胜任。
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2011-4-3 12:54 编辑 [/i]]
是的,就是轨道空间给测度做积分,这应该就是随机积分,也不知道两者有什么不同,所以不知道为什么没有严格的数学基础 [/quote]
非常不同。随机积分(严格来说, Wiener 测度)是无穷维空间上的概率测度,并不能分解为概率密度和基本测度的乘积(好像连续型随机变量在实数轴的分布那样,分解为概率密度和 Lebesgue 测度的乘积)。而物理学家预期的,正是 [tex]e^{iS} [/tex] 配上一种 “无穷维 Lebesgue 测度”,满足平移不变性和更多有限维 Lebegue 测度所具有的良好性质。这样的测度不可能在任何无穷维 Banach 空间存在。
如果像随机积分一样把 [tex] e^{iS} [/tex] 和并不存在的无穷维 Lebesgue 积分绑定,也许可以构成某种数学上可定义的测度(至少 Witten 似乎在尝试从 cohomology 的角度来定义它),但现在还不确切地知道其可行性。
然而,现代物理并不依赖于这种积分的存在性。任何物理理论都定义于某个能标,从较高能标 [tex] \Lambda [/tex] 作用量导出较低能标 [tex]\lambda [/tex] 作用量可以完全由有限维积分描述
[tex] e^{iS_\lambda(\phi_\lambda)} = \int_{F_{\Lambda,\lambda}} e^{iS_\Lambda(\phi_\lambda + \eta)} d\eta [/tex]
其中积分域 [tex]F_{\Lambda,\lambda}[/tex] 包含两个能标之间的所有(有限个)自由度。当然,这个积分虽然肯定有定义,其收敛性却是个问题。通常用“虚时间”方法解决,而 Witten 最近有些新的见解。即便如此,也并不能说物理学可以如此被数学简单描述,因为在不同的能标上,需要运用不同的自由度组合来方便地表述同一个理论,这似乎远在数学所能控制的范围之内。再有,我们必须有一个参考点,即,必须在某个能标处确切地知道理论的形式,这样才能得到更低能标的作用量。至今为止,我们所用的参考点通常是假想中的无穷能标处,所以需要用重整化这种非数学的手段来实现从无穷能标到有限能标的积分。真实的物理并非发生在无穷能标处,即使无穷维积分的数学理论存在,它也并不是在描述真实的物理。如果一定要让数学来完全地描述物理,我认为必须要有新的数学概念和数学工具,传统的 “测度” 或 “积分” 恐怕难以胜任。
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2011-4-3 12:54 编辑 [/i]]
henring 2011-4-3 19:19
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经常从季老师这里获益,赞。一直想思考 2011-4-3 20:09
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:) witten最近的那篇文章太数学了,看了一页看不下去了,数学能力还很差...按季兄这么简练说的话,我怎么感觉这观点不新了?比如我觉得物理学家分析重整化群轨道的角度,如要求紫外不动点,就能预言高能有新物理,比如超对称,这样我们可以简单的在重整化轨道.因此我上次就和fantadox兄在车上胡说,随着能标一直加,不同的拉氏项将进来,路径积分就不是那么简单的了。只是我们在物理上如何判断所有能标的物理了,加速器也有极限吧?比如普朗克能标上面还有物理么.因此数学上看来也只能简单建toy model?
有大牛认为在普朗克能标上物理是“随机的"当然这和弦论或者大统一观点相悖.
witten文章的技术都在推导什么了?(论坛没有膜拜的表情:L )谢谢
至今为止,我们所用的参考点通常是假想中的无穷能标处
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其实(E)RG一直把裸量所需要的截断选在一个有限的值,这个值可以变到无穷。当然无穷的好处是洛伦兹对称性显然保持,但群流结构给搞"简单"了.
chernzy 2011-4-9 18:23
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后面物理不太懂。照这样说,路径积分是要有新的积分理论,请问平移不变性的物理意义是什么呢。
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