翻开大多数海内外的一本中级理论物理学教材（即本科高年级和硕士低年级），都是简要地回顾了一下牛顿力学（包括拉格朗日力学在内）和哈密顿力学两种力学的所谓的“物理学”差异性，几乎从不论述它们二者的几何学差别性。而有的美国教授正确地说道，把在一个正交空间中展现的牛顿力学，放进两个互为倒易的斜交空间重新表述出来的力学就是拉格朗日力学。可是，却没有把“牛顿力学和哈密顿力学的几何差别”陈述出来。
当然，在高等物理学的教材（硕士高年级和博士年级）中，很多国内外的作者几乎是清一色地把“哈密顿力学和拉格朗日力学的差别”诠释为“余切丛和切丛上的函数”（微分几何中，一个微分流形的余切丛是流形每点的余切空间组成的向量丛；一个微分流形的切丛是一个由流形各点上切空间组成的向量丛，其总空间是各切空间的不交并集），固然这是正确滴。可是，切丛和余切丛的关系又是什么呢？呵呵，遗憾的是几乎没有一个专著明确指出和推导。仿佛我们除了只有一个“勒让德变换”来从数学上来连接“哈密顿力学和拉格朗日力学”之外，再就无能为力了！
然而，更重要的问题却是：“同一个物理学质点的几何模型，真的会有任何物理学上的差别吗？”换言之，当我们选择不同的数学几何学来描述在光滑自由空间中同一个物理质点的加速运动的时候，无疑地将产生数学上的形式差别，可是这会出现物理学上的本质差别吗？
欧几里德几何学比较特殊，它是在笛卡尔正交坐标系里展开讨论的。这是牛顿力学首选的数学模型，人人对它都耳熟能详。碰巧的是，它的两个左右共轭的空间恰好一模一样，镜像一般而无需任何区分。正是这个特点，让我们觉得欧几里德几何学是在自然那不过的，并且直觉上感到这是很简单、又很真实的几何学。
欧几里德几何学是仿射几何学的一个子几何，它可以被称作是“正交几何学”；而仿射几何学也可以称作是“斜交几何学”。显而易见的是正交的欧几里德几何学是斜交的仿射几何学的一个子几何，因为假如坐标系的个坐标轴恰好是正交的——即彼此相互垂直的话，这时的仿射几何学依旧是仿射几何学，但是，同时还可以被称作是欧几里德几何学了。
就一般情况下，仿射几何学各个坐标轴之间呢，彼此都不相互垂直。这时的几何学就不是欧几里德几何学了，而是仿射几何学了。显然，它要比欧几里德几何学复杂得多。能带来更丰富的几何学内容，还必须引进很多欧几里德几何学一系列的它所没有的、但又是必需的很多的几何概念集。
首先，它的左共轭空间和右共轭空间很不相同，双双如影随形，密不可分地紧紧关联着，这种双形式可以和欧几里德几何学有着形式上的某种特征的“相似性”！当然，左右两个共轭空间也可以没有任何相关联地独立描写而单独体现，这个时候，就会能凸显出它和欧几里德几何学有着形式上的很大差异。
可是，令人遗憾的是，现有的很多教材却没有能够让我们的学生直观地看清这个特点。我们以北大或者南开的数学系的本科一年级的“空间解析几何学”为例的话，我们就会发现，这些国家教委认可的标准教材的缺陷很大，因为它们一律都没有能正确地、完整地介绍仿射几何学。它们呢，只是轻描淡写了仿射几何学的右空间的情形，对于共轭的左右两个空间只字不谈。
仿射几何学情形非常类似于“复几何学”的结构。因为在复几何学里，分一个“复空间”和另一个如影随形的“复共轭空间”。仿射几何学也是一样，分一个“右共轭空间”和另一个如影随形的共轭的“左共轭空间”。有的作者翻译成“刀空间”和“刃空间”；有的作者翻译成“协变空间”和“逆变空间”、也有的作者翻译成“正空间”和“倒易空间”、还有的作者翻译成“空间”和“对偶空间”、== 。
但是，最流行的翻译是“空间”和“对偶空间”；以及“协变空间”和“逆变空间”。可是，假如追求数学的一贯传统，严谨、准确、精确的话，我个人认为翻译成“空间”和“共轭空间”，或者一个“右共轭空间”和另一个“左共轭空间”才是最佳的！
先来说说当下这种最流行的翻译“空间”和“对偶空间”；以及“协变空间”和 “逆变空间”为何不好？
一、“空间”和“对偶空间”
实际上，众所周知，仿射几何学是射影几何学的一个子几何。在这个比仿射几何学更为一般的射影几何学中，“空间”和“对偶空间”都是早就有着自己的约定俗称的严格定义了，这两个名词已经被射影几何学早就牢牢占用了，拥有了确定无疑的含义。
其次，在克莱因的几何系统里，“空间”和“对偶空间”也早就有着特别的严格区分的定义了。而且，克莱因的几何系统里，“空间”和“对偶空间”和射影几何学上，“空间 ”和“对偶空间”严格区分的定义完全相同！所以，“空间”和“对偶空间”早就有了固定的的各自的不同的定义。比如，在克莱因的几何系统里，“欧几里德几何学”和“对偶欧几里德几何学”（有人翻译成“伴欧几里德几何学”）是两种不同的几何学哦。
因此，在这种情况下，假如仿射几何学，继续借用“空间”和“对偶空间”这对名词，又必须重新赋予不同于克莱因的几何系统和射影几何学上“空间”和“对偶空间”的定义的话，是极其容易引起概念上的严重混乱的！
很遗憾的是，很多数学和物理学的教材和专著，不论是在研究生水准的高等的微分几何学；还是初等的本科的空间空间几何学上，国内自己编写的、或者翻译的，很多不幸地都借用了“空间”和“对偶空间”这对名词！
二、现在，我再来说说翻译成“协变空间”和“逆变空间”为何也不好？
“协变空间”和“逆变空间”这对名词，一直是物理学上一对相互运动的两个不同坐标系的空间的习惯称谓。通常物理学上的这两个不同坐标系的空间，存在一定的转换关系：比如一对彼此相对匀速直线运动的两个空间；一对彼此相对转动的两个空间；一对彼此匀加速直线运动的两个空间；一对彼此相对匀加速转动的两个空间。==
这时，习惯上往往把相对静止的空间和相对运动的空间分别称作是“协变空间”和“逆变空间”。假如仿射几何学，继续借用“协变空间”和“逆变空间”这对名词，但是却必须赋予不同于物理学上“协变空间”和“逆变空间”的定义，也同样极其容易引起概念上的严重混乱！要知道，在仿射几何学中，所谓的“协变空间”和“逆变空间”之间的关系是坐标系原点重合且相对静止的关系哦。
最典型的恶心例子，就是爱因斯坦本人犯的错误——即他所称的“广义相对论” 。正如福克等人尖锐指出的那样：爱因斯坦所谓的“协变空间”和“逆变空间” 之间的“广义相对性原理”——从来也不是一对彼此匀加速直线运动的两个空间之间的协变性和逆变性！他的广义相对论从来没有论证“物理定律能够在一对彼此匀加速直线运动的两个空间之间保持自己的原有形式不变”！
原来在黎曼几何学里，所谓的“协变空间”和“逆变空间”之间的关系永远都是是相对静止的关系。因此，任何方程都可以在这两个空间中保持绝对不变的形式。如果继续借用“协变空间”和“逆变空间”这对名词，但是却必须赋予不同的数学含义的数学传统做法，把爱因斯坦彻底弄糊涂了，他以为只要是采用了黎曼几何学，任何物理定律统统都能够在两个相对作匀加速直线运动空间之间保持自己的原有形式不变！就是他苦苦追寻的“广义相对性原理”啊！呵呵很不幸！这是爱因斯坦犯的一个低级的错误！这是是数学家设下的伏击不仔细的物理学家的可怕圈套哦。全世界学习物理专业的人，很吃亏，每每被数学家暗算，惨痛啊！哈哈哈，数学家写的这些微分几何使用的这些名词竟然物理书上的完全相同名词，N多！比比皆是。但是，数学家的传统习惯又从不注明它们原来和物理学上的其实是完全不同的含义。
有意思的是比如，国内物理学博士生选用的教委制定的侯伯宇兄弟俩写的“物理学家用的微分几何学”，却继续沿用爱因斯坦的这个极其错误的说法。
所以，“协变空间”和“逆变空间”这对名词，最好不要引进仿射几何学借用，再被赋予不同的定义。
综合上述，不难看出，当下这种最流行的翻译“空间”和“对偶空间”；以及“ 协变空间”和“逆变空间”为何不好，它们会带来非常混乱的恶果！共轭——这是牛、马、驴、骡夹在脖子两边的凹形曲木。复几何学最早使用“空间”和“共轭空间”来称复数空间和共轭复数空间。这种翻译很精准，可是复几何学，却没有明确指出：这是两个不同的几何空间。呵呵，不过这虽然不是正确的理解方式，但是却也没有制造出混乱和错误。我们姑且不予深究——除非你做各类几何的系统研究，比如，克莱因复几何学系统，就不能在这么粗枝大叶了！当你只是研究一个单独的复几何学，则不会出错。
言归正传。仿射几何学必须引入“空间”和“共轭空间”。欧几里德几何学“空间”和“共轭空间”因为完全相同而无需任何区分，但在仿射几何学，“空间”和“共轭空间”因为完全不同而必须严格区分开来哦。至于“空间”和“对偶空间”；以及“协变空间”和“逆变空间”。我们则在保持不改变原有的意义上继续沿用。这样的话，我们就不会重犯肤浅的错误，而把爱因斯坦的“广义相对论”正确的、精确地称作是“经典引力场论”，同时，还能清晰地认识到“广义相对论”，至今连“八”字的一“丿”瞥还都没有呢！
即物理定律能够在一对彼此匀加速直线运动的两个空间之间保持自己的原有形式不变——的广义相对论至今上没有建立起来！
物理定律能够在一对彼此匀速直线运动的两个空间之间保持自己的原有形式不变 ——的狭义相对论至今已经初步建立起来了，但是远远不完整！
物理定律能够在一对彼此匀速直线运动的两个空间之间保持自己的原有形式不变 ——的伽利略相对论至今已经初步建立起来了——即经典牛顿力学，但是同样是远远不完整！
类似地，物理定律能够在一对彼此匀速转动的两个空间之间保持自己的原有形式不变——的相对论转动力学至今上没有建立起来！
类似地，物理定律能够在一对彼此匀加速转动的两个空间之间保持自己的原有形式不变——的相对论转动力学至今上没有建立起来！
描述牛顿经典力学的伽利略几何学，在20世纪初叶才刚刚建立，初步确立起来了我们对伽利略几何学的认识。但是这部分数学研究成果，在今天的经典物理学中，还没有充分的展现。这个不幸的历史，造成了哈密顿力学和拉格朗日力学的继续分裂，貌似只有一个勒让德变换才是连接这两大力学的唯一桥梁。值得注意的是，各种国内外的中级力学和高级力学的硕博研究生的教材，所给出的各种“从牛顿力学推导拉格朗日力学”的种种为数学家所不齿的加油添醋的所谓的“虚位移推导”——没有一个是完全正确合理的！切莫误入歧途哦。
哈密顿力学和拉格朗日力学的分裂，现有人人熟知的这些几何学是没有能力来弥合的。怎么办呢？这就需要我们创造性地发展现有的经典几何学和纤维丛几何学，从而加以完整化。继而填平哈密顿力学和拉格朗日力学之间的大约近300年的历史鸿沟——在几何表述上严格证明二者是伽利略对偶几何学上的一对力学。
转载
(4686 bytes)
()
09/19/2011 postreply
11:40:48
选择“Disable on www.wenxuecity.com”
选择“don't run on pages on this domain”
