尤亦庄 phymath01 波和振子是不同的 能量密度和能量是不同的

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【一个著名的问题】

电磁波在真空中传播,电场和磁场同相位,时而同时最大又同时为零，在E=B=0的时候能量到哪里去了?  

 

曾 经有一种错觉，就是认为动能最大的地方，势能最小，反之亦然。现在看来，这种看法未必正确。仔细分析其起源，也许可以追溯到开始接触简谐振动的时候。对于 这种几乎是最简单的机械运动的认识，基本上贯穿了整个中学阶段对物理的学习。动能势能相互转化，总能量守恒的观念，早已在幼小的心灵中打下深深的烙印。

 

于 是，在面对电磁波的时候，问题就显示出来了。对于电磁波，其(正则)动能密度寓于4-矢势随时间变化的“速度”之中，即 E^2 分量；而其(正则)势能密度寓于4-矢势随空间变化的“梯度”之中，即 B^2 分量。有意思的是，对于真空中自由传播的平面电磁波，这两个分量居然同时同地达到最大。岂不是意味着动能势能凭空产生又凭空消失了？

 

回答这个问题的关键在于两点：

(1)波和振子是不同的，

(2)能量密度和能量是不同的。

 

E^2 分量和 B^2 分量同时同地取得极大，这只能说明在整个时空中，能量密度不是均恒分布的(也就是，在空间上不均匀，在时间上不守恒)。并且事实上，能流密度也不是均恒分 布的。更重要一点在于能量密度最大的地方，能流密度也最大。能量在整个时空中有一个稳恒的流动：随着时间的流逝，能量密度从空间的一个地方转移到另一个地 方。这正是电磁能的传递，其速度为光速。与此对应的物理现象是E和B的极大值都随时间在空间中移动，即表现为电磁波。

 

电磁场的能量密度确实不守恒，但那不是凭空的，能流密度的存在即是其原因。由此，能量守恒定律并未被动摇，被动摇的仅是关于动能和势能必须相互转化的观念。

 

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作为一个简单而不失物理意义的例子，我们试以一个1+1维的标量场来说明这个问题。考虑一个经典的标量场，它是空间x(空间仅有一维)和时间t的函数，并且满足Lagrangain 

其中c是波速上限，m是静止质量。假定这个标量场描 述的是沿着x轴放置的一条弦上每一个质点的位移，这个Lagrangain给出了落在一条沟渠底部的弦(a string in the channel)[1]。根据经典场论，可知场的运动方程和守恒量[2]。若m=0，就得到一条无色散的波动方程。这描述了一条理想的弦。若c=0，弦上 的点与点之间就失去联系，那么每个点都满足关于平衡位置的振动方程。这描述了许多独立的谐振子。

 

分别考虑以下两种极限情况：

(1) 波动极限：m=0

(2) 振子极限：c=0

 

(1)波动极限

在t=0时刻，释放一个波包（如下红色曲线），该场在空间中的分布随时间演化如下（随颜色渐变为蓝）

 

能量密度和能流密度如下图所示，背景表示标量场在时空中的分布，绿色的箭头指示能量-能流密度矢量的方向，其深浅表示该矢量的大小。能量-能流密度矢量的物理意义包含两个方面，其时间方向的分量表示能量密度，空间方向的分量表示能流密度。

能量密度随波包运动，所以对于给定空间中的一点，能量密度是不守恒的。在某个给定的时刻，将能量密度对空间积分，我们得到了该时刻场的能量，可以看到这个量不随时间改变。所以能量是守恒的。

 

(2) 振子极限

在t=0时刻，释放一个波包（如下红色曲线），该场在空间中的分布随时间演化如下（随颜色渐变为蓝）

能量密度和能流密度如下图所示，背景部分为标量场在时空中的分布，暖色为正，冷色为负。从原点沿时间方向望去，该标量场呈正负交替振荡，对应于谐振子的振动。在空间方向，该激发被局域在原点附近的波包内，因为波速c=0,场的激发是无法在空间中传递的。

对于这样一个振子，观察其能量密度。能量密度在空间上的任何一点都守恒（即不随时改变）。这是振子不同于波的地方，振子的能量密度和能量均是守恒量。并且在这里，动能和势能是相互转化的。

 

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尽管电磁波是一个定义在4维时空中的矢量场，但以上关于能量及能量密度的讨论还是可以类比的。最后，用教我电动力学的尹教授的一句话来结束此文：如果电磁场的动能和势能真的相互转化了，那么电磁波的能量就没法传递了。现在回想起来，此真理也。

 

 

参考文献：

[1] Alexander Altland and Ben Simons, Condensed Matter Field Theory, Cambridge University Press. http://www.douban.com/subject/2225199/

[2] Michael E.Peskin and Daniel V.Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley Publishing Company. http://www.douban.com/subject/141642