抛物线01 探测器轨道的特征由其机械能E确定，E<0为椭圆或圆轨道，E=0为抛物线，E>0为双曲线

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关于质点在有心力场中
运动问题的讨论

作者：王华

引子

• 质点在有心力场中运动，其角动量守恒，机械能也守恒。有了这“两大法宝”，解决该类问题就容易多了，下面以一具体的例子来讨论该类问题。

题目

• 如力图4－7－1，飞船总质量为m, 内装质量为m⁰的探测器，绕地球沿椭圆轨道运行，近地点与地心距离为

r1,速度为v1=

r2

r1

v1

v2

力图4－7－1

（1）试证明 ½<a<1

（2）如力图4－7－2，飞船在近地点向前发射探测器，并使探测器沿抛物线轨道运动，发射后，飞船沿圆轨道运行，试求：质量比m⁰/m及发射探测器的相对速度u。

v1

m

u+v1’

v1’

m⁰

m-m⁰

力图 4－7－2

发射前

发射后

（3）如力图4－7－3，若在远地点以上述相对速度u发射探测器，试求探测器运行的轨道。

m

v2

v2’

m-m⁰

u+v2’

m⁰

力图 4－7－3

发射前

发射后

分析

• 1.飞船绕椭圆轨道运行时，角动量守恒，机械能守恒，它们确定了飞船的运动特征，限制了a的取值。
• 2.发射探测器前后，飞船（包括探测器）动量守恒。发射后，探测器沿抛物线运动，其机械能应为零，飞船（不包括探测器）作圆轨道运动所需向心力来自地球引力。
• 3.发射探测器前后，飞船（包括探测器）动量守恒，探测器轨道的特征由其机械能E确定，E<0为椭圆或圆轨道，E=0为抛物线，E>0为双曲线。

解答

• 1.直接求a显然很困难,但由于飞船轨道受约束的特性,可解出远近地点与地心的距离r2与r1的约束关系,根据它们的关系解出 a的取值范围。

飞船绕地球作椭圆轨道运动,设在远地点r2处的速度为v2:

由角动量守恒

mr1v1=mr2v2

即 mr1 = mr2v2 (1)

由飞船地球系统的机械能守恒

½m(2aGM/r1)-GMm/r1

= ½mv²²-GMm/r2 (2)

由(1) (2)解得:

(r1/r2)²-(r1/r2)/a+1/a-1=0

解出两个根｛

其中r1/r2=1为圆轨道,不合题意,舍去.

应取 r1/r2=(1-a)/a

由于 0<r1/r2<1

故有 ½ < a <1

r1/r2=1

r1/r2=(1-a)/a

• 2．飞船发射探测器前速度为v1,设发射后飞船速度为v1’,设探测器相对飞船得速度为u,由动量守恒，

mv1 = (m-m_⁰)v1’+m_⁰(u+v1’) (1)

发射后，探测器沿抛物线运动，总机械能为0。即

E = 1/2*m_⁰(u+v1’)²-GMm_⁰/r1 = 0 (2)

发射探测器后，飞船作圆运动，故

GM(m-m_⁰)/r1² = (m-m_⁰)v1’²/r1

式中M为地球质量，即

v1’ = = v1/ (3)

• 由（1）式 mv1 = mv1’+m_⁰u

即 u = m/m_⁰(v1-v1’) (4)

由(2)(3)式，得：

(u+v1’)²-2v1’² = 0

即 u²+2uv1’-v1’² = 0

把（4）式代入上式，得出m/m_⁰满足得方程为

(m/m_⁰)²(v1-v1’)²+2(m/m_⁰)(v1-v1’)v1’-v1’² = 0

舍去负根后，解出：

m/m_⁰ = ( -1)v1’/(v1-v1’)

• 将（3）式代入，得

m/m_⁰ = ( -1)/( -1)

所以质量比为

m_⁰/m = ( -1)/ ( -1) (5)

代入（4）式，得出探测器得相对速度为

• 3.飞船及探测器在发射探测器前在远地点得速度为v2,在近地点得速度为前述v1,作椭圆轨道运动，由角动量守恒，

mr1v1 = mr2v2

即 v2=(r1/r2)v1

设飞船在远地点以上述相对速度 u发射探测器后，飞船得速度变为v2’,则探测器得速度应该为v2’+u,由动量守恒得：

mv2 = (m-m_⁰)v2’+m_⁰(v2’+u)

即

mv2 = (m-m_⁰)(u+v2’)-(m-m_⁰)u+m_⁰(u+v2’)

• 故发射后探测器的速度为

u+v2’ = [mv2+(m-m_⁰)u]/m

= v2+(1-m_⁰/m)u (6)

式中的相对速度 u前已求出，

利用已知的关系

v1 = (r2/r1)v2

r1/r2 = (1-a)/a

可将u用v2表示，得：

• 代入（6）式，并注意到m0/m已由（5）式

给出，有

• 因

故

式中

• 令

探测器轨道得类型可根据其总能量E来判断

E=1/2mv2-GMm/r

其中v探测器速度可写成

• 对于椭圆轨道，E<0,b<1；对于抛物线轨道

E=0,故b=1;对于双曲线轨道，E>0,b>1.因此

探测器轨道得类型可由b的值来判断。

由前1/2<a<1,可用对y的定义判别

当 y<0, b<1, 为椭圆轨道

y=0, b=1, 为抛物线轨道

y>0,b>1, 为双曲线轨道

• 把（7）展开并化简

因前已得出1/2 < a < 1, 故y<0

探测器将沿椭圆轨道运动

小结

• 通过对上题的具体的讨论，我们对质点在有心力场中的运动有了比较清晰的认识，当然设计到天体问题，通常运算量比较大，需要我们有足够多的细心和耐心，才能把这类问题解答好。

所有跟帖： 

• 轨道的椭圆波动振动能——乙——越来越大，最终发生质变，由抛物线经椭圆质变为圆周轨道 -marketreflections- ♂ (10551 bytes) () 07/31/2011 postreply 07:42:11

• 北京四中 近地卫星的向心力由地球对卫星的万有引力提供,赤道上随地球一同自转的物体的向心力仅由地球对物体万有引力的分力提供，但很小 -marketreflections- ♂ (6750 bytes) () 07/31/2011 postreply 07:57:49