downside: now all dimsions are out, and over weighted
标题: [问题讨论] 关于分析力学的变分原理疑问 [打印本页]
http://www.astronomy.com.cn/bbs/viewthread.php?action=printable&tid=162505
作者: bojone 时间: 2011-3-7 21:50 标题: 关于分析力学的变分原理疑问
牛顿力学表现为路径上的动能与势能之差对时间的积分取极值。不过我不明白是为什么要是动能与势能之差？换句话说，满足这个最小原理是为了什么，有啥好处
作者: gohomeman1 时间: 2011-3-7 22:03
你可真厉害，都开始学分析力学了。
这个貌似要熊这一级的的高手来解说啦。
作者: 月照松江 时间: 2011-3-7 22:43
我学过经典力学，理论力学，没听过分析力学呢？就是理论力学吧？早就饭吃了，当时大家最不喜欢的就是理论力学，我现在好像什么都想不起了。对了，有件事记得，我用理论力学的作业后面给女朋友写信打草稿，可能被老师发现了，呵呵，看我的眼神不对头。
作者: bojone 时间: 2011-3-7 23:10
理论力学也叫分析力学啦
我只是简单研究了一下变分学而已，并联系到物理，于是提问
作者: feng1734 时间: 2011-3-8 00:36
本帖最后由 feng1734 于 2011-3-8 00:38 编辑
牛顿运动定律 和 最小作用量原理 可以在纯粹的数学推导过程中(不用附加任何物理上的内容,单纯的微积分运算)证明是彼此等价的,,等价的内容被表述为不同的形式,,面对不同的问题时,效率上互有胜负,,,,,
牛顿运动定律被认为是自然的,易于接受的,这是因为对我们来说直观的物理问题都是由初始时刻系统的状态来求解未来任意时刻系统的状态,牛顿运动定律就是被书写成这种形式的,而最小作用量原理则只能去求解系统以前时刻的状态,,,,
类似于 动能与势能之差 这种东西要想赋予它某种真实的物理意义显然非常困难,,而牛顿力学中 力 的概念就要容易接受得多,就是干扰,扰动么,是人天生的感官就能测量到的,,,,
另外,寻找作用量这样的事基本可以说完全是靠猜,,,,,,,
作者: hwh 时间: 2011-3-8 08:15
并不是一定要满足最小原理，也有可能满足的是最大原理，所以应该是满足极值原理！有什么好处？方便计算呗！
作者: bojone 时间: 2011-3-8 11:01
总不能总是先发展一套理论体系，再去寻找作用量吧？
作者: bojone 时间: 2011-3-9 18:32
个人看法是：作为宇宙的一种“普适原理”，它应该满足我们的某些直观上的美感，并且从中能够具有启发性。
一个鲜明的例子就是守恒原理，每一种守恒意味着一种对称，而对称是一种美；还有通常来说平衡就意味着总能量取极值，这也能满足我们的直观：能量越高的东西越不稳定
对于最小作用量，牛顿力学体现为动能与势能之差，但是在狭义相对论中和冠以相对论中都有不同的形式，他们在某些情况下应该是近似相等的。但是，理论力学通常研究的不仅仅是“是什么”，而且要研究为什么要这样，换句话说，这样有什么好处（计算方便不属于此范围内，因为造物主并不需要考虑人的感受）。
因此，最小作用量究竟是什么以及为什么要这样取，应该有其背后的含义....
作者: shinbade 时间: 2011-3-11 17:46
一般在“理论力学”的最后几章，讲述分析力学。
分析力学与理论力学处理的对象并无不同，只是方法、风格上有差异。分析力学强调使用原理，逻辑推理；而理论力学尚残存有形象思维的成分。
作者: bearcat 时间: 2011-3-14 14:24
本帖最后由 bearcat 于 2011-3-14 14:26 编辑
突然发现又被g版点名了……
不过，这个问题涉及的东西比较多，一句话两句话说不清楚。
先勉强说几句，看看能不能有帮助吧。
理论力学可以看成是研究“物理学”的学问。
就是说，那么多物理学分支，比如牛顿力学啊、电磁学啊、材料力学啊、流体力学啊、量子力学啊……这些学科看似都很不一样，如何把它们用一个思路来理解呢？
于是就诞生了理论力学。
理论力学从宏观上给出一套方法，只要提供所研究的对象的若干基本性质（比如对称性等），就可以利用这套方法构造出针对这个对象的整套物理学理论。
一般来说，理论力学有哈密顿体系和拉格朗日体系两种常见的表达方式。
哈密顿体系定义了一个与“能量”相貌接近，与“时间”关系暧昧的物理量，叫“哈密顿量”。一旦这个量与广义坐标和广义动量的函数关系被合适的定义好了，整个物理学体系就被定义好了。这个体系适合研究随时间演化的任何物理学对象，比如质点、刚体、流体、弹性体、场等，甚至经济体、社会等非物理学对象。
拉格朗日体系定义了一个“拉格朗日量”，它对时间空间一视同仁，适合研究某些更普遍的情形，比如包含洛仑兹对称性的体系等。如果你定义这个拉氏量是“质点的动能和势能的差”，再引入些普遍的基本假设，就可以通过若干固定数学方法得到整套牛顿力学。
作者: bearcat 时间: 2011-3-14 14:34
至于你问的“为什么是这个形式”，我只能回答，如果是这个形式的话，就可以推出一般意义上的牛顿力学。
只要假设最小作用量原理，就可以利用变分方法得到拉格朗日方程。
对于一个定义好的拉氏量，比如那个“质点的动能与势能之差”，把这个拉氏量带入到拉格朗日方程里去，就得到了牛顿定律。
你可以自己试试推导一下。
作者: bearcat 时间: 2011-3-14 14:57
本帖最后由 bearcat 于 2011-3-14 15:52 编辑
或者这么理解。
牛顿力学是一个以微分方程的方式表达的理论形式，而理论力学是以积分方程从整体上表达的形式。
如果不要牛顿定律，换一个与“整体”有关的定律来替代会怎么样？
比如要解决这样的问题：已知物体（在保守力的作用下）在一段时间内从A运动到B，初始速度和末速度都知道，那么如何求物体的运动轨迹或运动方程？
我们可以找到一个物理量，起名叫作用量：它等于“动量”与“位移的变化量”的点乘积在路径上的积分。这个真实的轨迹一定会在所有可能的轨迹中达到这个量的最小值。这个结论可以用牛顿定律证明出来，但实际上我们这里假设这个结论是第一原理，牛顿定律是导出的。
那么，基于这个“最小作用量原理”，我们就可以推导出整个牛顿力学。
但是，如果这个物体在非保守力的作用下运动呢？如果问题更复杂呢？
这就要扩充定义这个作用量了。
因为积分变量和积分函数都是矢量，计算上挺讨厌的，而且不利于推广。考虑到时间是不可逆的，所以可以把这个积分变量代换成时间，这样比较简单。
所以，作用量就写成了一个新定义的标量在路径上对时间的积分的形式。这个标量物理量被称作拉氏量。
你推导一下就知道，与牛顿力学对应的拉氏量就必须是那个奇怪的形式。
作者: feng1734 时间: 2011-3-14 17:20
或者这么理解。
牛顿力学是一个以微分方程的方式表达的理论形式，而理论力学是以积分方程从整体上表达的形 ...
bearcat 发表于 2011-3-14 14:57
“动量”与“位移的变化量”的点乘积在路径上的积分
这个是自由粒子的吧,,得到的只是a=0，,,,,,,
作者: gohomeman1 时间: 2011-3-14 17:31
回复 10# bearcat
喂，你这个帖子都不显形，准备玩潜伏还是消失啊！
作者: bearcat 时间: 2011-3-14 19:38
“动量”与“位移的变化量”的点乘积在路径上的积分
这个是自由粒子的吧,,得到的只是a=0，,,,,,, ...
feng1734 发表于 2011-3-14 17:20
我没看明白你的意思，也许是因为你没看明白我的意思？
作者: feng1734 时间: 2011-3-14 20:55
本帖最后由 feng1734 于 2011-3-14 20:58 编辑
我没看明白你的意思，也许是因为你没看明白我的意思？
bearcat 发表于 2011-3-14 19:38
我理解错了,,我以为你的意思只是做了一个换元,纯粹在数学上把积分上下限由时间换成了坐标,,,,,现在才发现你这个是另外的不同的作用量,这个我理解起来有困难,,,,,,,,
话说,用这个作用量导出牛顿定律应该很麻烦吧,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
作者: zwhzjh 时间: 2011-3-15 02:11
呵呵，对我这个大菜鸟来说，一说起“力学的最小作用量原理”就让我想起bojone不太喜欢的“光学费马原理”，不知两者在物理学的本质上有没有很强烈的共通之处？（再次向熊学弟请教）
作者: nngs 时间: 2011-3-15 09:15
想当年我还是非常enjoy分析力学的，但现在都忘得差不多了。分析力学里的物理思路非常牛，但非常抽象，感觉就象是没有测不准原理的量子力学。LZ好好琢磨，我是没时间帮你琢磨了
作者: feng1734 时间: 2011-3-15 10:18
搜到的,我并不熟悉变分法,,对将变分符号直接移到积分号里面的过程我感觉不太有信心,,,,,
http://tieba.baidu.com/f?kz=795453561
经典力学中的变分法，这个标题对于初学者来说可能足够吓人，但是其内涵是很清楚的，而且并不难理解。
我们都知道，一个粒子从A点运动到B 点，原则上可以选取无穷多种路径，但事实上宏观粒子只会选择一个路径来走，这一点与量子力学的费曼路径积分不同（路径积分是说，粒子实际走过所有路径，但是在走向宏观的路上，依靠相位差来消去相位差较大的路径，从而得到宏观的那一条路径）。
如果你将宏观的真实路径稍微变一下，譬如说，真实路径的坐标是x，你将它变一下，增加一个量：
x+δx
就叫做对坐标x的变分。其实就是将路径的曲线稍微“拨弄”了一下。
变分算符δ和微分算符d的运算法则完全一样，现在我们来讨论一下，在计算中，δ与求导符号d/dt到底是否可以互换：
δ(dx/dt)=(δ(dx)dt-dxδ(dt))/〖dt〗^2
=δ(dx)/dt-dxδ(dt)/〖dt〗^2
=d(δx)/dt-dxd(δt)/〖dt〗^2
如果δ与d/dt可以互换，就必须有：
δ(dx/dt)=d(δx)/dt
但是我们看到，δ(dx/dt)等于d(δx)/dt还要再减去一项dxd(δt)/〖dt〗^2，这就是说，一般情况下，δ与d/dt不满足互换的条件！那么怎样才能满足它呢？我们只需要多余的一项等于0：
dxd(δt)/〖dt〗^2=0
那么也就只能有：
δt=0
因为我们不可能要求dx或dt总是等于0，所以只要选择δt=0。这就是说，一旦确定了运动起点的时间，运动终点的时间也就确定了，所以在这里，时间t根本没有变分的余地！每走过一条路径（不论是真是假）所花费的时间都是相同的！这叫做“等时变分”。
通过一般的物理系理论力学教程我们知道，引入拉格朗日函数L=T-V，并利用等时变分：
δ∫Ldt=0……哈密顿原理
我们可以得到拉格朗日方程：
d/dt(∂L/(∂q`))-∂L/∂q=0
这是与牛顿方程等价的方程。
我们所讨论的是等时变分，对于不等时变分，它也不是没有用处。譬如，莫培督最小作用量原理与哈密顿原理就不同，莫培督原理是“等能量变分”。
莫培督构造作用量：
S=∫2Tdt
其实，它也是：
S=∫(T+V)+(T-V)dt
=∫[(机械能)+L]dt
取变分：
δS=δ∫[(机械能)+L]dt
=∫δ(机械能)dt+∫δLdt=0
由于是等能量变分，每条轨道的机械能都相等，所以δ(机械能)=0，我们有：
δS=δ∫Ldt=0
虽然形式类似，但这还不是哈密顿原理。我们还需要加上“等时变分”条件，即δt=0的条件，才能由此再推出拉格朗日方程。
莫培督原理的用处并不仅在于退化为哈密顿原理，它可以推导出光学的费马定理：光沿着光程最小的路径传播。
为此，我们将S=∫2Tdt改写成：
S=∫mvds=∫pds……（∵2Tdt=mv^2dt=mvds,p是动量）
由此我们实现了作用量的几何化。
由于量子力学中的波粒二象性：
p=h/λ
我们有：
S=∫pds
=∫hds/λ
=h/λ0∫(λ0/λ)ds
其中λ0为在真空中的波长，λ为在介质中的波长，由于光波的频率ν确定，所以：
S=h/λ0∫(c/u)ds……（c是光在真空中的速度，u是在介质中的速度）
=h/λ0∫nds……（折射率n=c/u）
取变分：
δS=(h/λ0)δ∫nds=0
即：
δ∫nds=0
这就是光学中的费马定理。
作者: bearcat 时间: 2011-3-16 03:45
呵呵，对我这个大菜鸟来说，一说起“力学的最小作用量原理”就让我想起bojone不太喜欢的“光学费马原理”， ...
zwhzjh 发表于 2011-3-15 02:11
可以这样理解：
其实只有一个最小作用量原理，无论在光学还是力学中，都是那一个。
在力学和光学中，作用量的定义的具体形式不同，除此之外都一样。但这点差别就导致由此得来的理论形式大相径庭。
作者: bearcat 时间: 2011-3-16 03:51
回复 bearcat
喂，你这个帖子都不显形，准备玩潜伏还是消失啊！
gohomeman1 发表于 2011-3-14 17:31
最近比较忙，我的确处于半潜伏状态……
不过，还不至于消失。
作者: bearcat 时间: 2011-3-16 04:07
回复 18# nngs
量子力学一般就是用理论力学的方式表达的。
在哈密顿体系表达下的经典力学（即“理论力学”课程的大部分）中，简单的加入量子力学的若干假设，把哈密顿量换成哈密顿算符，经典力学就自然的变成量子力学了。
如果把用拉格朗日体系表达的经典场论用同样的方式加入量子力学的假设，就是量子场论了。如果那个经典场论是电磁场，对应的就是精彩的量子电动力学了。
理论力学并非力学，这个名字不好，叫分析力学就更乱了。
它其实是表达和推演各种动力学理论的一套（或者是几套）抽象方法，是其他物理学（或非物理学）理论的总纲。
作者: nngs 时间: 2011-3-16 06:25
记得当时学理论力学的最后阶段时，老师讲到算符对易时说，经典力学里的算符都是对易的，但量子力学里面就不能都对易了，这就更准确反映了我们生活的世界的本质.
作者: bojone 时间: 2011-3-17 13:57
回复 17# zwhzjh
现在不会不喜欢费马原理了，因为我研究的最小作用量原理包含了它，而且这个原理是如此地美妙
作者: bojone 时间: 2011-3-17 14:03
本帖最后由 bojone 于 2011-3-17 14:04 编辑
回复 12# bearcat
关于熊猫所讲的，我基本还能够理解。我开始所想的，是想询问下各个力学体系（牛顿、广狭义相对论、量子力学等）的最小作用量是否存在“共通之处”，意思是，最小作用量能否给我们构建新力学体系的启示，而不是构建了力学体系后再去寻找作用量？
当然，即使是“事后”所寻找的作用量，依旧有十分大的威力，可以十分方便的参与实际计算，不管怎样，这个好处是非常好的。
对了，关于地球自转后扁率计算时，零级近似是直接用等势面的形状来描述的，换成力学就是离心力与引力的合力与表面垂直，我觉得对应的作用量应该是总能量最小，但是从这个作用量出发，无论怎样我也导不出“离心力与引力的合力与表面垂直”这一结论，请求解释。
作者: bojone 时间: 2011-3-17 14:07
搜到的,我并不熟悉变分法,,对将变分符号直接移到积分号里面的过程我感觉不太有信心,,,,,
经典力学中的变 ...
feng1734 发表于 2011-3-15 10:18
关于定义2T的做法，我也想过，但是为什么从2T出发不能反推出牛顿力学呢？
作者: feng1734 时间: 2011-3-17 14:59
本帖最后由 feng1734 于 2011-3-17 15:24 编辑
回复 26# bojone
按照那段网上搜来的说法,,只要加上一个等时变分的限制,由以 两倍动能 作为作用量的莫培督最小作用量原理 是可以推出以 动能-势能 作为作用量的哈密顿最小作用量原理,进一步也就能推出拉格朗日运动方程,也就是牛顿运动方程了,,,,不过,我对于这种由等能量变分向等时变分的推导过程其实是看不大懂的,,,,,,,,
也有可能可以直接由莫培督最小作用量原理推导牛顿运动方程,,不过我没找到哪里有这样的介绍,,,,
另外,有了哈密顿最小作用量原理也就有了牛顿运动方程,可以计算出任意一条等能量轨道的 两倍动能 对 时间 的积分,,,,由哈密顿最小作用量原理推导莫培督最小作用量原理应该是不成问题的,,,,,,
作者: feng1734 时间: 2011-3-17 15:08
回复 bearcat
关于熊猫所讲的，我基本还能够理解。我开始所想的，是想询问下各个力学体系（牛顿、 ...
bojone 发表于 2011-3-17 14:03
量子力学理的作用量和以往的作用量完全不同,,量子力学里是没有经典力学的 轨道 概念的,,,,,,,
作者: 家猫战斗力 时间: 2011-3-17 20:38
路过~
作者: bearcat 时间: 2011-3-18 04:04
回复 zwhzjh
现在不会不喜欢费马原理了，因为我研究的最小作用量原理包含了它，而且这个原理是如此 ...
bojone 发表于 2011-3-17 13:57
是的。
事实上，每个“原理”都非常美妙～
因为“原理”都不是用数学方法推证出来的，而是直接体现了人的物理直觉的命题，里面蕴涵了整个物理。
作者: bearcat 时间: 2011-3-18 05:19
回复 25# bojone
其实，很多物理学理论就是使用理论力学的方法直接构建出来的。不需要马后炮似的先构造理论再找作用量……
一般来说，构造一个理论所必须的原理性的定义是拉格朗日量或者哈密顿量。
一般用对称性来限制这些定义的可能范围，很常见的情况是，加上几个很显然的限定后，拉氏量或者哈密顿量的函数形式基本上就没啥可选的了。
举个例子说吧：
熊是做量子色动力学的，这个理论研究夸克和胶子的相互作用。可关键问题是，现在夸克和胶子都从来没有被观测到过！
按理说，这样的情形应该有大量千奇百怪的理论共存才对，毕竟隐藏在深处的物理你根本不知道，还不是怎么说怎么有理？
可是，一旦假设了几种显然的对称性（比如关于时空平移旋转的庞加莱对称性），若干与研究对象直接相关的特殊对称性（比如针对强相互作用的SU(3)对称性），再有几个基于物理直觉的限定（比如相互作用是局域的），再加上为了保证逻辑自恰所要求的性质（比如“可重整化”），量子色动力学的拉氏量的函数形式居然就被唯一确定了！
最奇妙的是，套用这个唯一可选的理论去计算，（只要能准确算出来并且能在实验中测量的）所有计算结果都和实验吻合。
顺便说，最小作用量原理可以作为经典物理的第一原理，但对于量子体系来说，这个原理需要做一点修改：作用量最小的轨迹是“最可能”轨迹，但其他轨迹也有贡献。
这样其实更漂亮一些，否则很难想象这个作用量只有取值最小的那一点是有物理意义的。
沿着这个思路继续下去，其实，物理学的根本理论，可以归结到基于随机变量的统计学……
熊在美国的导师就非常推崇信奉这一点：所有的理论本质上都是统计学！
作者: bearcat 时间: 2011-3-18 05:33
回复 bearcat
对了，关于地球自转后扁率计算时，零级近似是直接用等势面的形状来描述的，换成力学就是离心力与引力的合力与表面垂直，我觉得对应的作用量应该是总能量最小，但是从这个作用量出发，无论怎样我也导不出“离心力与引力的合力与表面垂直”这一结论，请求解释。
bojone 发表于 2011-3-17 14:03
你弄混了最小作用量原理和能量最低原理了，他俩不是一个层次的。
能量最低原理基于能量守恒定律和耗散系统前提。
而能量守恒定律在理论力学里是定理，它来源于系统的时间平移对称性和拉格朗日方程。
拉格朗日方程可以通过最小作用量原理导出。
实际上，关于地球形状的问题，拉氏量仍然应该定义成T-V，而作用量仍然是拉氏量对时间的积分。
这只是个弹性体模型而已，还没有离开牛顿力学框架。
你需要做的，只是找一套简单方便的广义坐标即可。
真正需要重新构造拉氏量的体系，是那种完全不同的体系，甚至连能量怎么定义都不好说的那种。
作者: feng1734 时间: 2011-3-18 08:00
本帖最后由 feng1734 于 2011-3-18 08:10 编辑
回复 bojone
其实，很多物理学理论就是使用理论力学的方法直接构建出来的。不需要马后炮似的先构造理论 ...
bearcat 发表于 2011-3-18 05:19
听说,量子色动力学完全是照搬了量子电动力学那一套东西建立起来的,,,,,
话说,是不是因为量子力学里的作用量都是量子化的,也就是离散的,于是每个作用量都是驻值,于是每个作用量对应的轨道都有贡献,,,,,,,
作者: bearcat 时间: 2011-3-18 11:21
本帖最后由 bearcat 于 2011-3-18 11:26 编辑
回复 33# feng1734
可以认为量子色动力学是照搬量子电动力学建立的，因为它们之间的差别只有那个规范对称性：色动力学是SU(3)，电动力学是U(1)，其他都一样，都是按照理论力学指出的同一套规则推演的。
但是，由于SU(3)群是个非阿贝尔群（即对称群的元素a*b不等于b*a），而U(1)是个阿贝尔群，所以因此推导出来的东西大相径庭，千差万别。
比如，在电动力学里，完全可以有自由的电子和光子，但是在色动力学里，就不可能有自由的夸克或胶子；在电动力学里，光子和光子之间没有相互作用，但在色动力学里，胶子和胶子之间的作用非常复杂，甚至有可能形成叫做“胶球”的奇怪粒子。
至于第二个问题，坦白的讲，我不知道如何回答你，因为你一句话错了好几处，以至于我都不知道你在问什么。
量子化和离散化是两回事。很多科普书上的讲解还停留在一百年前的理解，用原子能级、轨道作为例子。
从正则量子化的角度讲，量子化其实就是引入了算符的非对易性，即算符a*b不等于b*a。（正如23楼n版所言）
这样，被量子化的是整个“理论”，因为是加入了新的关于算符非对易性质的假设。作用量没有被“量子化”一说。
整个理论被量子化后，所有的物理量（包括作用量）都仍然是连续的。只是在某些边界条件下，哈密顿算符的本征值是取分立的值而已。
作者: feng1734 时间: 2011-3-18 11:33
回复 34# bearcat
整个理论被量子化后,作用量仍然可以是可以连续取值的,,,,,,?
作者: bearcat 时间: 2011-3-18 13:37
回复 bearcat
整个理论被量子化后,作用量仍然可以是可以连续取值的,,,,,,?
feng1734 发表于 2011-3-18 11:33
是的。
别太执着于那些从科普书上得到的似是而非的观念，尤其是误解的时候。
话说，作用量要是不能连续取值，哪儿还有啥变分法，连微分都不能了。
科普书里讲的东西，其实只是哈密顿算符的本征值谱是分立函数而已，而且还得是某些确定边条件下才成立。
在帖子里三言两语说不清楚，就算你觉得似乎弄明白了，其实也是一知半解。
要理解量子力学，去看教科书是唯一的途径。
本科级别的《量子力学》门槛不算太高，稍微懂点微分方程就可以开始学习了。
作者: bojone 时间: 2011-3-18 17:28
本帖最后由 bojone 于 2011-3-18 17:51 编辑
回复 bojone
按照那段网上搜来的说法,,只要加上一个等时变分的限制,由以 两倍动能 作为作用量的莫培督 ...
feng1734 发表于 2011-3-17 14:59
我对此表示困惑，用2T作用量和用T-V为作用量是不同的，这里这样涉及到了一种奇怪的数学运算。
一般我们认为，对等号两边的式子进行相同的运算处理，结果是相等的，但是我发现了一个例外，就是偏微分
例如x+y=1,那么∂(x+y)/∂x=1，而∂(1)/∂x=0，两者不等。
其实我是很困惑这一点的，因此利用能量守恒对作用量L进行等量代换我感觉有点问题
而我在维基看到：
请特别注意，这方程式看起来简易精致，然而，隐藏在使用方面有很大的问题。欧拉的作用量积分于路径；而这作用量积分于时间。变分法要求积分域两端固定不变。虽然路径两端是固定值，转换至时间，为了要满足能量守恒，时间间隔的两端可能不是固定值。亚可比因此批评拉格朗日的方法有瑕疵[11]。后来，于1816年，奥凌迪·若立格（Olinde Rodrigues）想出新点子，将这时间作用量的变分详细计算出来[1]。
http://zh.wikipedia.org/zh-hans/ ... F%E5%8E%9F%E7%90%86
作者: bojone 时间: 2011-3-18 17:32
回复 bojone
其实，很多物理学理论就是使用理论力学的方法直接构建出来的。不需要马后炮似的先构造理论 ...
一般来说，构造一个理论所必须的原理性的定义是拉格朗日量或者哈密顿量。
一般用对称性来限制这些定义的可能范围，很常见的情况是，加上几个很显然的限定后，拉氏量或者哈密顿量的函数形式基本上就没啥可选的了。
bearcat 发表于 2011-3-18 05:19
我就是希望能够了解下这些“限制条件”的信息（哪怕非常显浅的层面）。也就是说，拉格朗日量或哈密顿量应该（或可能）满足那些条件，才满足我们的“要求”（或者说“美感”，当然这太主观的）
尽管以我目前的知识还不可能在数理上进行讨论
作者: bojone 时间: 2011-3-18 17:41
本帖最后由 bojone 于 2011-3-18 17:46 编辑
你弄混了最小作用量原理和能量最低原理了，他俩不是一个层次的。
能量最低原理基于能量守恒定律和耗散系 ...
bearcat 发表于 2011-3-18 05:33
也许是我表达不清了，我想说的是，流体静力学平衡应该要满足能量最小原理的（我一直认为，平衡就对应着能量极值），所以地球的形状应该满足总能量最小才是稳定的。但是我列出总能量表达式并希望求能量极值曲线时，即求[attach]337646[/attach]的驻定曲线时，发现了难以求解...这里的r=(x,y)，我没有将弧长表达呈y对x的导数的形式（就是|r|那部分），而是引入了t，这是为了使式子更具对称性，实际上这个能量和时间t无关
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