作用量对时间的微分表象出物体的能量，而作用量对空间的微分表象出物体在该方向的动量,能量再对空间距离微分，和动量对时间的微分度表象

 时间、空间和作用量

曹盛林

（北京师范大学天文系，北京 100875）

摘要：本文从分析力、能量、动量和作用量的关系出发，讨论了将时间、空间和作用量作为基本物理量的可能性及其意义。

关键词：时空 力 能量 动量 作用量

前言

迄今在物理学里，作用量仍被视为一个很特别，很抽象的物理量。通常认为它表示著一个动力物理系统内在的演化趋向。

在分析力学中，虽然用了与微分方程大不相同的变分学方法，使得我们也可以用作用量来分析物理系统的运动，所得到的答案是与牛顿经典力学完全相同。为此人们只需要设定系统在两个点的状态，初始状态与最终状态。这里,作用量是为了建立运动微分方程而拼凑出来的函数。然后，经过求解作用量的极值，我们可以得到系统在两个点之间每个点的状态。值得人们深思的是：随着物理学的发展显示，尽管物理学突破了牛顿力学的框架，而在上世纪建立了爱因斯坦的相对论和波尔为代表的量子力学，它们成了现代物理学的两大支柱。这两大支柱在概念上是如此的不协调，以致爱因斯坦认为“应该对量子论的成功感到羞愧”。而爱因斯坦本人最为看重的相对论研究，其进展至今也不能令人满意。

但从方法上这两大支柱却都可以通过哈密顿原理,利用作用量来建立各自的运动方程。这不仅反映了哈密顿原理的普适性，而且暗示出利用作用量将有可能更本质地表述各类的物理体系的内在特性。但通常的物理学仅仅是为了建立物理体系运动微分方程的方便，而拼凑出一个拉格朗日或哈密顿函数，而并不注意作用量本身可能具有的更深刻含义。

本文我们从分析力、能量、动量和作用量之间的关系来揭示作用量的物理本质。并提出用时间、空间和作用量作为操作型定义的物理量的可能性及优越性。

力、动量、能量和作用量

牛顿力学是物理学的基础,而牛顿力学又是以“力”的概念为出发点的。牛顿第二定律表明:力的作用使物体产生加速度,即

(1)

其中 为受力物体的质量，而 即在力 作用下质量为的质点所得到的加速度。在任意惯性系中加速度可表为

。 (2)

在牛顿力学中，力的作用可以通过时间或空间来进行积分

(3)

此式表明，力的作用通过时间的积累，改变了物体的动量。而对距离的积分

(4)

则是力做了功，它改变了质点的能量。

将式(3)和(4)分别再对 和 积分则可得到相同的一个量 — 作用量 。

(5)

(6)

从上面的讨论可以看出,通常在牛顿力学中,我们可以通过时间和空间的两个路径来看“力”的作用：力的作用通过时间的积累，改变物理体系的动量。牛顿最初就是通过式(3)来处理他的第二运动定律的。后来，莱布尼兹将牛顿的（动量）力，称为死力。他按式(4)从能量观点引出了所谓的“活力”。上面的讨论可看出，“活力”和“死力”的差别仅在于我们在研究“力”的作用时，是通过空间移动，或是通过时间延续来考查力作用的效果。如果对能量和动量再分别对时间或空间积分，则都得到作用量。于是,我们可以得到下面的图形:

动量

(时间) (空间)

力 作用量

(空间) (时间)

能量

也就是说,如果我们定义了时间和空间并建立了确定的度量方法,则我们在力、动量、能量和作用量这四个量中任意再定义一个量就可以确定其余三个量。那么从理论和实践中，究竟再定义哪一个量更能表述客观实际过程呢？从物理学的发展史中，牛顿最初是用质量来表述第三个量，本质上就是定义了能量或动量。

表面上看，定义质量的优点是：和人们日常经验中,物体具有重量直接相联系。此外，牛顿是从孤立系统出发，质量从理论上看是一个表述体系内禀性质的物理量。但质量的度量必须是在相互作用过程中得到的，因此就产生了所谓惯性质量和引力质量等不同的概念。爱因斯坦又利用等效原理假设它们严格相同又由高精度的测量来加以证实！

实际上,孤立系统是不存在的。另外，如果我们承认事物都是在不断地发展和演化的，那么即使我们找到了孤立系统我们原则上也不能用它作为研究的依据，因为它在不断地变化。相反，我们应该选用一些特定的相互作用过程来定义一些物理量并制定单位，因为只有在相互作用过程中，才可能产生不变量。有趣的是，物理学研究对称性总是讨论在一定变换群作用下，所具有的不变性。而数学上群的作用，其物理意义无疑是体系的某种运动的结果，或者更形象地说，就是相互作用的结果。这也表明了不变性，或更确切地说，物理常数，只有在相互作用中才可能产生。

为了理解什么是惯性，人们提出了质量是物体惯性的量度。这看起来是一个非常好的观念，曾经使很多大学低年级物理系学生感到激动，认为是在物理学观念上的一个突破。但认真分析起来，这个观念无形中是把“力”推向一个特殊的地位,并因此引入所谓静止质量和运动质量的概念。而在利用实验验证运动质量的随速度的变化关系时，把“力”视为不变量。实际上,力是一个很不确定的量，由上面的讨论可看出,力是能量对距离或动量对时间的微分量,而能量和动量又是作用量对时间和对距离的微分量。因此力是作用量对时间和距离的二次微分，而微分顺序的变换显示出能量或动量的不同特征。因此，力是一个完全微分量，而作用量是完全积分量，能量和动量则是半微分和半积分量。我们知道，微分量具有瞬态和局部性质，其优点是具有严格的确定性。而积分量具有全局和整体性质，但往往缺少唯一性。力的最典型表现就是打击现象，而作用量的最典型表现就是普朗克常数。量子力学的成就暗示着普朗克常数是一个普适常数。这本来是揭示出，自然界中物质的辐射和转移是以作用量形式出现，其最小“基元”是普朗克常数（或）。这表明，如果将作用量定义为操作型的物理量，那么普朗克常数就是一个天然的单位！自然界中的一切辐射和物质（能量）的转移都以它为基元。但普朗克在引入这个常数时，是从分析黑体辐射的能量分布时偶然发现的。因此他过分着眼于能量（或动量），从而没有充分重视该常数的作用量的本质。更没有进一步去揭示辐射和物质转移具有作用量形式的特征，从而应该把作用量作为一个更基本的物理量,它的自然单位就是普朗克常数。

能量和动量，分别是从时间和空间的侧面来观测物质的演化。而作用量是从时空的整体来考察物质的演化。

哈密顿原理

在力学中,作用量最早是由哈密顿原理引出的。

力学的哈密顿原理：对于所有力学体系存在着如下形式的被称为作用量的积分：

, (7)

对于一切真实运动，应使S为极值，或使其变分 为零。即：

。 (8)

式中的函数是拉格朗日函数，它是力学系统的动能和位能的差。由式(8)按变分学的方法，可得到拉格朗日方程。这里我们只强调指出一点，即能量对时间的积分，是作用量。虽然拉格伦日函数是动能和位能的差，但这仅是为得到拉格朗日方程而采用的。为了得到哈密顿方程所利用的哈密顿函数H就是系统的总能量（动能和位能之和）。

在正则变换中，其母函数就是作用量，它总是等于广义坐标和其对应的广义动量的乘积。而当把时间作为广义坐标时，对应的广义动量就是能量。

普朗克常数和作用量

普朗克最初引入普朗克常数是从考虑黑体辐射振子能量的量子化出发的。他假设：一个固有频率为的振子的能量，应被限制为基本单位 的整数倍。于是得到黑体辐射能量的普朗克分布为

(9)

以此,不仅成功地解释了黑体辐射的能量分布,而且发展出上世纪物理学的两大支柱之一的量子理论。尽管量子理论取得了巨大成就，但其基本观念却十分含混，特别是与相对论似乎是格格不入。

现在，如果我们猜想作用量是表述事物本质的更基本的物理量，那么普朗克常数就包含有更加深刻的物理含义：物质的辐射、转移和各种演化，是以作用量形式发生和进行的。而普朗克常数是作用量在原子尺度上的自然单位。也是自然界中在原子尺度上物质辐射和转移的最小基元。由于这个特征，使得在微观尺度上，能量和动量不再是独立变量。这就是通常的“测不准原理”。

时间空间和作用量

现在我们考虑将时间、空间和作用量作为操作型的基本物理量。时间频率是当前最精密、准确的物理量，是其它物理量的基础。长度已成为时间的导出单位。科学发展史表明，测量提高一个数量级导致对科学问题和自然规律认识的提高，往往会产生意想不到的发明和发现。

1967年国际公约定义：1秒 = 133Cs基态的超精细能级跃迁周期的9 192 631 770倍，目前的不确定度 < 2×10^-15 。而米是光在真空中在1/299 792 458 秒的时间间隔内行进的长度。普朗克常数 （ ）可以通过光电效应加以确定。

对于任意的一个物理系统，如果我们已确定了时间T、空间L和作用量S则我们可以定义系统的能量E和动量P分别为：

和 (10)

而作用于系统的“力”则自然地分为“能量力”和“动量力”它们分别为 和 ：

和 (11)

这里可引出一个有趣的问题：能量力和动量力是否总是等同的？从(11)式可看出：从物理系统作用量变化的观点来看，它们的差别仅仅在作用量对时间和空间微分顺序的变化。

能量、动量和作用量

通常，物理学家总习惯于用能量或动量来表述物理体系的状态。但实际上更本质和更完整地表述物理体系特征的是作用量。考虑质量为m以速度v运动的质点，我们对其施加力F并使之静止下来，按牛顿力学观点我们可以从能量的角度来考虑：令

(12)

由此有

(13)

也就是说，质点在力F作用下，滑动一个的距离就会完全停止下来。但需要多少时间这里是不知道的。当然，我们也可从动量的角度出发：令

(14)

由此有

(15)

也就是说，质点在力F作用下，持续一个的时间间隔就会完全停止下来。但滑动了多大距离这里也是不知道的。

而实际过程中,总是在某段时间内,质点滑动了一定距离后质点才静止下来。如果已知力的大小F，并测出了持续的时间 和滑动的距离则运动质点所具有的作用量S可确定为：

(16)

以此定义运动客体的作用量，它表述了运动客体在力F的作用下完全静止下来的时空轨迹。在对自然实际过程的观测中，实际上我们观测到的总是作用量。

物理学中的观测大体可分为两类：类时观测和类空观测。

类时观测：在某个确定的空间点观测体系不同时间的状态 –- 即状态随时间的演化。此类观测方法适于对于低速运动的观测。

类空观测：在不同的空间点观测同一时间的运动状态。此类观测方法适于对于高速运动的观测,它只能观测一个矢量。类星体的超光速膨胀的观测，就是类空观测的结果。

所谓类时观测本质上是观测一束能量流随时间的积分，如天文观测就是对来自天体的辐射能流进行时间的积分。以往人们把此过程解释为将较弱的讯号通过时间叠加而形成被接收器能识别的“较强”讯号。而忽略了接收讯号是以“作用量”形式发射、传递和接收的本质。也就是说,任何事物是在时空轨道中以作用量的形式发生、发展和消失的。

通常,物理学采用了CGS制（即：厘米、克、秒制），其中克是质量的量度单位。如果我们今后可以采用CHS制（即厘米、普、秒制），其中H是作用量的自然单位普朗克常数h(或 )。那么物理学的一些概念可以从新做出更加简单和合理的解释：

物理世界中的一切演化和运动及其转移，都是以作用量的形式发生和进行的。目前观测到的作用量的最小自然单位是普朗克常数h（或 ）。

物体的运动：是物体作用量转移的时间和空间过程。

物体的惯性：是物体吸收和转移作用量的能力。物体吸收作用量则产生加速度，反之，则产生减速度。当没有作用量的交换时物体维持匀速直线运动。

作用量对时间的微分表象出物体的能量，而作用量对空间的微分表象出物体在该方向的动量。

能量再对空间距离微分，和动量对时间的微分度表象出在该方向的“力”。历史上曾称这两种力分别为“活力”和“死力”。