只有当物理系统的作用量远大于普朗克作用量 时，量子效应才明显地表现出来，而此时也必须考虑物理系统的量子效应

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第十六章 早期量子理论

内容结构

² 由黑体辐射问题的研究，提出能量子观念

² 能量子观念的推广、应用与实验验证——光量子观念的提出；用光量子观念解释光电效应、固体比热等问题；光量子观念的实验验证——康普顿效应。

² 量子观念在原子理论中的引入与初步研究——玻尔原子理论。

² 应用章节——激光理论。

考试要求

与教学内容调整前相比，考试主要强调基本观念的发展线索、玻尔原子理论的较系统理解。

² 量子观念的发展线索(观念发展线索、推广与实验验证)

² 玻尔原子理论(重点)

² 激光理论(了解，只要求最基本概念)

^＊§16.1 能量子概念的提出

*背景知识——黑体辐射研究简史

量子力学的产生，是由对黑体辐射的深入研究开始的。到十九世纪下半叶，由于钢铁工业的兴起，以及城市照明的电气化，迫切要求开展有关高温测定方法方面的科学研究工作。热辐射的研究工作也就站在了工业发展浪潮的前列，值得一提的是德国帝国技术物理研究所(Physikalisch Technische Reichsanstalt)简称PTR，他们对热辐射研究作出了重大贡献。

当时对热辐射的研究是从理论和实验两方面来进行的。实验物理学家已经制作出了能够精密测定辐射能量的热辐射计，如：美国人兰利(Samuel PierPont Langley)的热辐射计，PTR成员普林舍姆(Ernst Pring sheim)改进了的热辐射计，以及波伊斯(Charles Vernon Boys)创制的微量辐射计：帕邢(Fiedrich Paschen)的灵敏微量辐射计等等，它们为热辐射的实验研究提供了极为有利的工具。另一方面，理论物理学家也对热辐射展开了广泛研究，主要过程简述如下：

1. 基尔霍夫定律

热辐射方面的正式研究工作是由基尔霍夫开始的，他采用热力学第二定律作出证明：[1]

一切物体的辐射能力与吸收能力之比与同一温度下的黑体的辐射能力相等。而黑体的辐射能力只取决于温度。

1861年，他进一步提出，用不透光的壁所围成的空腔中的热辐射同黑体的热辐射相等。这样就建立了物体的热辐射研究的理论模型——黑体辐射模型——用不透光的空腔代替理想黑体，并可在现实实验中进行理想黑体辐射的实验研究。

2．维恩（Wilhelm Wien）公式

(1) 斯忒藩──玻尔兹曼公式

最早对黑体吸收或辐射能量与黑体温度的关系作定量讨论的是斯忒藩（Josef stefan），他对当时所有能够得到的测量结果作了分析，1879年得到如下经验公式：

(16.1-1)

其中：E为黑体辐射的总能量，T为黑体辐射能量时的温度，s为比例常数。

1884年，斯忒藩的学生玻尔兹曼利用电磁理论和热力学理论在理论上对斯忒藩公式作了证明。玻尔兹曼的证明，显示了热辐射理论在纯科学方面的重要性。

(2) 韦伯公式

1888年，韦伯对黑体辐射能量与黑体温度、辐射波长的相互关系作了定量理论研究，并推测能量最大值的波长同绝对温度的乘积是一定值：

(16.1-2)

(3)维恩公式

维恩从纯热力学理论出发，通过研究“平衡辐射的绝热膨胀”得到了维恩公式：[2]

或 (16.1-3)

其中： 、 为系数， 为黑体辐射温度， 为辐射波波长， 为辐射波频率。

1896年，维恩依据斯忒藩──玻尔兹曼公式 并假设韦伯的推测 正确，同时假设黑体辐射的能量按频率的分布和同温度的理想气体分子的能量按麦克斯韦速度分布规律的分布相类同，得到半理论半经验公式：[3]

(16.16.4)

其中：a，b为两常数， 为黑体辐射波长，T为黑体辐射温度。

当时理论物理学家认为维恩的推导过程不大令人信服：假设太多，似乎是拼凑出来的。他们希望用更系统的方法以尽量少的假设从基本理论推出维恩公式，这一工作由普朗克(Max．Planck)花了二、三年时间(1897-1899)完成[4]——他把电磁理论用于热辐射和谐振子的相互作用，通过大量的计算，得到了维恩分布定律，从而由经典电磁理论和热学理论得到的维恩公式，使这个定律获得了普遍意义。

维恩公式得到后，在当时的实验条件下，与物理实验结果较好符合。对上式作简单的数学讨论可得：

维恩位移定律

与温度无关

这些推论容易被实验检验，这激励实验物理学家力图用更精确的实验予以验证。

图16.1.1：普朗克、维恩、瑞利─金斯 公式与实验结果的比较

随着实验条件的改善，1899年，卢梅尔与普林舍姆向德国的物理学会报告了维恩定律在长波方向上有系统偏差，即在 时， 不是与温度无关的量。接着，鲁本斯和库尔班将长波扩展到51．2µm时，得出了此时 的定量关系。因此，而由经典电磁理论和热学理论得到的维恩公式在长波方向与实验结果不符(见图16.1-1)。

 

3.瑞利——金斯公式[5]

瑞利看到维恩分布定律在长波方向的偏离，他假定辐射空腔内的电磁辐射形成一切可能的驻波，并认为在高温和长波的情况下，麦克斯韦——玻尔兹曼的能量均分原理似乎仍然有效。于是在1900年得出：

(16.1-5)

1905年，金斯纠正了瑞利计算中的错误，给出了正确公式：

瑞利—金斯公式 (16.1-6)

其中：

讨论：

A．由瑞利──金斯公式：当 时，显然， 与实验相符，即克服了维恩公式在此情况下， 与T无关的结论。

B．当 时，由瑞利──金斯公式， ，这便是紫外灾难(见图16.1.1)，瑞利为克服这一困难，先验地加入一个因子（切截因子： ）以克服这一困难，即：

(16.1-7)

但没理论依据。

C. 在长波方向上，瑞利──金斯公式与实验相符，即

一　普朗克公式——能量子概念的提出

1899年，普朗克刚从理论上导出了维恩分布定律，使之获得了普遍的理论意义，这时实验物理学家鲁本斯等的实验就得出了维恩公式在长波方向上存在有系统偏差。为此，普朗克将维恩公式和瑞利──金斯公式融合起来，采用内播法,得到了一个经验公式,即今天我们称之为的普朗克公式：[6]

(16.1-8)

结果，这一公式与实验很好符合（见图16.1.1），且很容易在极限情形下回到维恩公式或瑞利─金斯公式中去。作为理论物理学家，普朗克当然不满足于找到一个经验公式，这使他致力于探求这个公式的理论基础，但是，普朗克从热力学的普遍理论出发，经过几个月的努力，都没能直接推出新的辐射定律，最后只好采用他以前不同意的玻尔兹曼的统计方法来试一试，而采用玻尔兹曼方法研究黑体辐射问题，普朗克作了一个革命性的假设：认为所有微观状态的总组合是各单个分离微观状态的集合。这样，自然要求把能量看成一份一份的，分给有限个数的谐振子，就象分给单个分子或原子那样（为什么？）。终于在1900年底，用一个能量不连续的谐振子假设。按玻尔兹曼的统计方法，普朗克推出了黑体辐射公式[7]：

(16.1-9)

讨论：

A. 显然地，普朗克公式在长波、短波极限条件下可以分别回到瑞利——金斯公式和维恩公式中去。

B. 应强调的是，普朗克在作上述公式的理论推导时，关键的一点是将谐振子的能量看作为不连续的能量子，即 ，这一性质称谐振子能量的量子性。正因有这一假设，普朗克才能推出普朗克公式，否则，就只能回到瑞利¾金斯公式中去。

C. 如果我们再作一个大胆的假设，将谐振子能量不连续变化的性质推广到整个物理世界就可以得到结论：谐振子能量变化本质上是不连续的，而是阶跃式跃迁的。考虑到能量的不连续必然导致一系列其他物理量的不连续，于是我们至少可以假设：具有和能量相同量纲的物理量，其变化也是不连续的。因此，能量子假设的重要意义不仅在于它能成功解决紫外灾难问题，而是由此改变了对自然界能量变化方式的经典自然观问题。而也正因这一假设与经典理论如此抵触，导致了许多经典物理学家，如洛仑兹，也包括普朗克本人，都希望将上述公式纳入经典力学体系中去，尽管现在看来，那完全是徒劳无益的。的确，当时，很少有人明白普朗克公式的深刻意义。也因此，能量子假设在其提出之后的三年多时间里被物理学家们遗忘了。

D. 日常经验中的许多宏观物理量没能表现出这种量子阶跃性，只是因为这些宏观物理量的量子效应太微弱以致很难被观察到而已，只有当物理系统的作用量远大于普朗克作用量 时，量子效应才明显地表现出来，而此时也必须考虑物理系统的量子效应。