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突出显示以下搜索字词： 注意 ② 物体 既 会 辐射 能量 也 会 吸收 能量
1 张三慧《大学基础物理学》：第22章毛骏健《大学物理学》：第15章 www.docin.com 2 到十九世纪末期，物理学的经典理论已经基本完善了。开耳文在一篇文章中也说：“在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只需要做一些零星的修补工作就行了”。开耳文接着又指出：“但是在物理晴朗天空的远处，还有两朵小小令人不安的乌云”。事实上还有第三朵小小的乌云，这就是放射性现象的发现，它有力地表明了原子不是构成物质的基本单元，原子也是可以分割的。所有这些实验结果都是经典物理学无法解释的，它们使经典物理处于十分困难境地。在二十世纪初期，建立起了近代物理的两大支柱-- ----相对论和量子论。量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基础理论。 www.docin.com 3 张三慧《大学基础物理学》：第22章第1节毛骏健《大学物理学》：第15章第1节 www.docin.com 4 任何物体在任何温度下都要发射各种波长的电磁波，并且其辐射能量的大小及辐射能量按波长的分布都与温度有关。 ①.物体在任何温度下都会辐射能量。一、热辐射 一、热辐射 1.热辐射现象 1.热辐射现象 注意 ②.物体既会辐射能量，也会吸收能量。辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。此时温度恒定不变。这种由于物质中的分子、原子受到热激发而发射电磁波的现象称为热辐射。 www.docin.com 5 ——描写物体辐射本领的物理量? M 1、单色辐出度 2.几个概念 2.几个概念??? d dE M ?? dE 如果从物体单位表面上发射的、波长在? 到?＋d?之间的辐射功率为 ,则 与d?之比称为单色辐出度。? dE ? M 是温度Ｔ和波长?的函数，常写成 。 ) , ( T M ?表示在一定温度 T 下，单位时间内从物体表面单位面积上波长在 ? 附近单位波长间隔内辐射出的能量。描写物体在温度T 时向外辐射能量本领的物理量。??? 0 ) , ( ) ( ? ? d T M T M 从物体单位表面积上发射的各种波长辐射的总功率。辐出度仅是温度的函数。 ) (T M 2、辐出度表示在温度 T 时单位时间内、单位面积整个波长范围内的辐射出能量。 www.docin.com 6 3、吸收比当辐射从外界入射到物体表面时，被物体吸收的能量与入射能量之比称为吸收比。入射总能量吸收能量? ) , ( T ? ?波长在从? 到?＋d?间隔范围内的吸收比称为单色吸收比。用 表示。 ) , ( T ? ? ) , ( ) , ( ) , ( 0 T M T T M ?? ???在热平衡下，任何物体的单色辐出度与单色吸收比的比值与物体的性质无关，对于所有物体，这个比值是波长和温度的普适函数。好的吸收体也是好的辐射体。基尔霍夫定律辐出度较大的物体，其吸收本领一定也较大；辐出度较小的物体，其吸收本领也一定较小。 www.docin.com 7 3.黑体 3.黑体黑体是指在任何温度下，全部吸收任何波长的辐射的物体。 1 ) , ( ? T ? ?对于任意温度或波长，绝对黑体的吸收比都恒为1：根据基尔霍夫定律，黑体既是完全的吸收体，也是理想的发射体。黑体是一种理想的模型，在自然界中并不存在完全理想的黑体。可把一个开小孔的不透光空腔看成黑体。如远处不点灯的建筑物。 www.docin.com 8 二、黑体辐射 二、黑体辐射 T S L 平行光管三棱镜热电偶实验中将开有小孔的空腔视为黑体，使其恒温，测量从小孔中辐射出来的各种波长范围的单色辐出度与波长之间的关系。实验装置黑体的辐射分布 黑体的辐射分布 K 1700 K 1500 K 1100 ) , ( 0 T M ?? o 由空腔辐射体的单色辐出度与波长的能谱曲线可知： 1）每一条曲线都有一个极大值。 2）随着温度的升高，黑体的单色辐出度迅速增大，并且曲线的极大值逐渐向短波方向移动。 www.docin.com 9 K 1700 K 1500 K 1100 ) , ( 0 T M ?? o 1.斯特藩-玻耳兹曼公式斯特藩—玻尔兹曼公式说明了黑体辐出度与温度的关系。 4 0 ) ( T T M ? ? —斯特藩常量 4 2 8 K m W 10 67 . 5 ? ? ?? ? ? ? ?含义：对于黑体，温度越高，辐出度越大且随T增高而迅速增大。三、黑体的两个定律 三、黑体的两个定律 b T m ? ? K m 10 898 . 2 3 ? ? ?? b 2. 维恩位移公式维恩位移公式表示了黑体单色辐出度最大值相对对应的波长与温度的关系。含义：随着温度的升高，单色辐出度的峰值向短波方向移动。 www.docin.com 10 例：一直径10 cm ，焦距50cm的凸透镜将太阳的象聚焦在置于焦平面上的一个涂有黑色的粗糙金属片上，金属片的大小与太阳的象一样大。设太阳温度为 5．9×10 3 K，太阳与金属片均视为黑体，求金属片可达到的最高温度。﹜r L R﹛ d f 4 太阳 太阳 T M ? ? 解：太阳辐出度到达透镜功率： 2 2 2 4 ) 2 ( 4 d L R M P ??? ? ? ?太阳 太阳会聚到达黑色金属光屏成象，设其温度为T， 2 4 2 r T P ? ? ? ? 又 f r d R ? ) ( 1569 8 4 2 2 4 K f L T T ? ? ?太阳由几何光路图有：代入整理得： www.docin.com 11 四、普朗克的能量子假设 四、普朗克的能量子假设维恩根据经典热力学得出一个半经验公式：维恩公式维恩公式在短波部分与实验结果吻合得很好，但长波却不行。维恩理论值? ) , ( 0 T M ?实验 T=1646k 瑞利和琼斯用能量均分定理和电磁理论得出瑞利—琼斯公式瑞利—琼斯公式在长波部分与实验结果吻合，但在紫外区的单色辐出度为无穷大。瑞利-琼斯 1900年德国物理学家普朗克在维恩位移公式和瑞利 --金斯公式之间用内插法建立一个普遍公式。 www.docin.com 12 1900年德国物理学家普朗克在维恩位移公式和瑞利--金斯公式之间用内插法建立一个普遍公式：式中：k为玻尔兹曼常数， 1 2 ) , ( / 2 2 0 ?? kT h e h c T M ?? ???普朗克公式 1 1 2 ) , ( / 5 2 0 ?? kT hc e hc T M ????这个公式与实验结果相符合。 ) , ( 0 T M ??实验瑞利-琼斯维恩理论值 T=1646k 瑞利-琼斯普朗克理论值写成波长形式： h称为普朗克常数。 www.docin.com 13 ①.金属空腔壁中电子的振动可视为一维谐振子。这些振子可以吸收或辐射能量。对频率为?的谐振子，它具有的最小能量是h?，能具有的其它能量值是h?的整数倍。 ②.空腔壁上带电谐振子所吸收或发射的能量是h?的整数倍。? nh E ? ) 3 , 2 , 1 ( ? ? n s J 10 626 . 6 34 ? ? ?? h 普朗克常数 * 振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量。 *能量是分立的，不是连续的。存在着能量的最小单元（能量子?=h?)；为了能够从理论上推导出这个公式，普朗克提出了一个与经典物理学概念截然不同的“能量子”假设： www.docin.com 14 张三慧《大学基础物理学》：第22章第2节毛骏健《大学物理学》：第15章第2节 www.docin.com 15 A K G V 阳极阴极 W 石英窗 1.光电效应 1.光电效应当光线照射金属表面时，金属中有电子逸出的现象，称为光电效应。逸出的电子称为光电子。一、光电效应 一、光电效应光线经石英窗照在阴极上，便有电子逸出----光电子。光电效应实验当 K、A 间加反向电压，光电子克服电场力作功，当电压达到某一值U C 时，光电流恰为零。 U C 称反向遏止电压。 2 max 2 1 mv E k ? | | C U e ?截止电压的大小反映光电子初动能的大小。 www.docin.com 16 2.爱因斯坦的光量子假设 2.爱因斯坦的光量子假设 1.内容光不仅在发射和吸收时以能量为h?的微粒形式出现，而且在空间传播时也是如此。也就是说，频率为? 的光是由大量能量为? =h? 光子组成的粒子流，这些光子沿光的传播方向以光速c 运动。 A mv h m ? ? 2 2 1 ?在光电效应中金属中的电子吸收了光子的能量，一部分消耗在电子逸出功A，另一部分变为光电子的动能 E k0 。 2.爱因斯坦光电效应方程式中：A为电子逸出金属表面所需作的功，称为逸出功； 为光电子的最大初动能。 2 0 2 1 m K mv E ? www.docin.com 17 初动能及反向遏止电压与? 成正比，而与光强无关。（2）遏止电压 | | C U 3.光电效应的应用 | | 0 C k U e E ? A h ? ? ?由可知， e A e h U C ? ??（1）截止频率? 0 , 0 0 ? k E ? , 0 ? ? ? A h? h A ? 0 ? , A h ? ? ? h A ? ? 0 ? ?当入射光频率? > ? 0 时，电子才能逸出金属表面，产生光电效应。不同金属具有不同的截止频率。 A mv h m ? ? 2 2 1 ? www.docin.com 18 例：已知银的光电效应截止波长? 0 =350nm，当用波长为250nm的紫外光照射时，则逸出光电子最大初动能E k 和银的逸出功W 0 分别为（ ） , 68 . 5 26 . 2 ) ( , 10 68 . 5 41 . 1 ) ( 19 eV eV B J eV A 和 和?? . ) ( , 10 5 . 3 10 26 . 2 ) ( 19 19 以上都错 和 D J J C ? ?? ? A 解： 0 0 ? h w ? 0 w E h k ? ? ? ? 0 w h E k ? ? ? ? 0 ? c h ? ) ( 10 68 . 5 19 J ?? ? 19 2.26 10 1.41( ) J eV ?? ? ? 0 w c h ? ?? www.docin.com 19 二、光子的质量、能量和动量 二、光子的质量、能量和动量由相对论光子的质能关系 2 mc E ?? h ?光子的质量 2 / c E m? 2 / c h? ?由相对论质速关系 2 0 ) / ( 1 c v m m ?? 0 0 ? m 有光子的静止质量为零。光子的能量就是动能。 mc c E P ? ? c h??? h ? 2 mc E ?? h ?由狭义相对论能量和动量的关系式光子的能量和动量的关系式为： 4 2 0 2 2 2 c m c p E ? ? pc E ?光子的动量： www.docin.com 20 张三慧《大学基础物理学》：第22章第3节毛骏健《大学物理学》：第15章第3节 www.docin.com 21 一、康普顿效应 一、康普顿效应 1.康普顿效应 1.康普顿效应在X 射线通过物质散射时，散射线中除有与入射线波长相同的射线外，还有比入射线波长更大的射线，其波长的改变量与散射角?有关，而与入射线波长?0和散射物质都无关。引言：爱因斯坦断言光是由光子组成，但真正证明光是由光子组成的是康普顿效应实验。波长的改变量满足如下关系： 2 sin 2 2 0 ?? ? ? ? c ? ? ? ?式中： 称为康普顿波长，它表示散射角为90 o 时，散射波长改变的值。 m c 12 10 4 . 2 ?? ? ?这种改变波长的散射称为康普顿效应。 www.docin.com 22 X 射线是由一些能量为? =h?的光子组成，并且这些光子与自由电子发生完全弹性碰撞， X-ray 0 ??? 2.康普顿效应的光量子理论解释 2.康普顿效应的光量子理论解释在轻原子中，原子核对电子的束缚较弱，可以把电子看作是静止的自由电子。碰撞前：光子能量为h? o ，动量为h? o /c；电子的能量为m o c 2 ，动量为零。碰撞后：光子散射角为?，光子能量为h?，动量为 h?/c；电子飞出的方向与入射光子的夹角为?，它的能量为 ，动量为 。 2 2 0 1 c v v m ? 2 2 2 0 1 c v c m ? www.docin.com 23 ?? c h P / 0 0 ? ? mv P ? c h P / ? ?反冲电子 反冲电子碰撞过程能量守恒 2 2 2 0 2 0 0 1 c c v m h c m h ?? ? ? ? ?? P 0 P e P 动量守恒 ① ? ?? ? cos 1 cos 2 2 0 0 c v v m c h c h ?? ?? ?? sin 1 sin 0 2 2 0 c v v m c h ?? ? ② ③ www.docin.com 24 联立以上三式，可以解得：? ? ? ? ? ? 0 2 sin 2 2 0 ?? ? c m h ?其中：散射波长改变量： 2 sin 2 2 0 ? c m h ?康普顿效应中，发生波长改变的原因是：当一个光子与散射物质中的一个自由电子碰撞后，电子获得一部分能量，同时光子将沿某一方向散射，散射的光子能量减小，频率减小，波长变长。 2 2 2 0 2 0 0 1 c c v m h c m h ?? ? ? ? ?? ?? ? cos 1 cos 2 2 0 0 c v v m c h c h ?? ?? ?? sin 1 sin 0 2 2 0 c v v m c h ?? ? 2 sin 2 2 ?? ? c ? ? C m h c 0 ? ? m 10 43 . 2 12 0 ?? ? c m h 为康普顿波长 www.docin.com 25 注意几点: 2 sin 2 2 0 ?? ? c m h ? ①.散射波长改变量?? 的数量级为10 ?12 m，对于可见光波长?~10 ?7 m，??<<?，所以观察不到康普顿效应。 ②.散射光中有与入射光相同的波长的射线，是由于光子与原子碰撞，原子质量很大，光子碰撞后，能量不变，散射光频率不变。 ④.在重原子中，内层电子比轻原子多，而内层电子束缚很紧，所以原子量大的物质，康普顿效应比原子量小的弱。 ③.当? =0 时，光子频率保持不变；? =? 时，光子频率减小最多。康普顿散射进一步证实了光子理论的正确性，还证明了在微观领域中也是严格遵守能量、动量守恒定律。 www.docin.com 26 例：一个静止电子与一能量为4.0?10 3 eV的光子碰撞后，它能获得的最大动能是多少？解：当光子与电子发生正碰而折回时，能量损失最大。 c m h e 2 0 ? ? ? ?碰撞后，电子获得的能量最大，为：这时光子的波长为：这时光子的能量为：? hc E ? c m h hc e 2 0 ??? c m h E hc hc e 2 0 ?? 0 2 2 0 2E c m c m E e e ?? E E E e ? ? 0 ) 2 1 ( 0 2 2 0 E c m c m E e e ?? ? eV 62 ? www.docin.com 27 二、光的波粒二象性 二、光的波粒二象性光具有波动性，又有粒子性，即波粒二象性。光在传播过程中表现出波动性，如干涉、衍射、偏振现象。光在与物质发生作用时表现出粒子性，如光电效应，康普顿效应。光子能量和动量为? h E ?上两式左边是描写粒子性的E、P；右边是描写波动性的?、?。h 将光的粒子性与波动性联系起来。? h ? c h P ??关于光的本性问题，我们不应该在微粒说和波动说之间进行取舍，而应该把它们看作是光的本性的两种不同侧面的描述。波粒二象性是客观物质的共同属性。 www.docin.com 28 张三慧《大学基础物理学》：第22章第4节毛骏健《大学物理学》：第15章第5节 www.docin.com 29 1923年，德布罗意最早想到了这个问题，并且大胆地设想，人们对于光子的波粒二象性会不会也适用于实物粒子。一、德布罗意物质波的假设 一、德布罗意物质波的假设 1.物质波的引入 1.物质波的引入光具有粒子性，又具有波动性。光子能量和动量为? h E ?上面两式左边是描写粒子性的E、P；右边是描写波动性的?、?。h 将光的粒子性与波动性联系起来。? h ? c h P ??实物粒子：静止质量不为零的那些微观粒子。一切实物粒子都有具有波粒二象性。 www.docin.com 30 实物粒子的波粒二象性的意思是：微观粒子既表现出粒子的特性，又表现出波动的特性。粒子性：主要是指它具有集中的不可分割的特性。波动性：指周期性地传播、运动着的场。它能在空间表现出干涉、衍射等波动现象，具有一定的波长、频率。实物粒子的波称为德布罗意波或物质波，物质波的波长称为德布罗意波长。 2.德布罗意关系式 2.德布罗意关系式德布罗意把爱因斯坦对光的波粒二象性描述应用到实物粒子，动量为P 的粒子波长： P h ? ?频率与能量关系： 2 mc h E ? ? ? mv h ? v m h 0 ??德布罗意公式 www.docin.com 31 例：试计算动能分别为100eV、1keV、1MeV、 1GeV的电子的德布罗意波长。解：由相对论公式： 2 2 2 0 2 0 , P C E E E E E K ? ? ? ?得： 2 0 2 2 0 2 1 2 1 c m E E c E E E c P k k k k ? ? ? ? ? ?代入德布罗意公式 ，有： P h ? ? 2 0 2 2 c m E E hc k k ?? ?若： 则： 2 0 c m E k ??若： 则： 2 0 c m E k ?? k k E m h c m E hc 0 2 0 2 2 ? ? ? k k E hc E hc ? ? 2 ? www.docin.com 32 （1）当E K =100eV时，电子静能E 0 =m 0 c 2 =0.51MeV，有： 2 0 c m E k ?? ) ( 10 23 . 1 2 10 0 m E m h k ?? ? ? ?（2）当E K =1keV 时， 有： 2 0 c m E k ?? ) ( 10 39 . 0 2 10 0 m E m h k ?? ? ? ?以上两个结果均与X射线的波长相当，（4）当E K = 1MeV 时，有： ) ( 10 73 . 8 2 13 2 0 2 m c m E E hc k k ?? ??? ? 2 0 2 2 c m E E hc k k ?? ? www.docin.com 33 例：质量m= 50Kg的人，以v=15 m/s 的速度运动，试求人的德布罗意波波长。解： 15 50 10 63 . 6 34 ???? m 10 8 . 8 37 ?? ? ) ( 10 24 . 1 15 m E hc k ?? ? ? ? 2 0 c m E k ??（4）当E K = 1GeV 时， ，有： P h ? ? mv h ?人的德波波长仪器观测不到，宏观物体的波动性不必考虑，只考虑其粒子性。德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。光速c是个“大”常数；普朗克常数是个“小”常数。 2 0 2 2 c m E E hc k k ?? ? www.docin.com 34 eU mv ? 2 2 1 由 mv P ?代入 meU P 2 ? P h ? ? 15000 10 6 . 1 10 1 . 9 2 10 63 . 6 19 31 34 ? ? ? ? ???? ?? meU h 2 ? m 10 1 11 ?? ?电子的德波波长很短，用电子显微镜衍射效应小，可放大200万倍。例：求静止电子经15000V 电压加速后的德波波长。解：静止电子经电压U加速后的动能 C.J.戴维森与G.P.革末的电子衍射实验以及汤姆逊的电子衍射实验均验证电子具有波动性。 www.docin.com 35 张三慧《大学基础物理学》：第22章第5节毛骏健《大学物理学》：第15章第6节 www.docin.com 36 一、波函数 一、波函数物质波可以用一个随时间和空间变化的函数来描述，这个函数称为波函数，通常用?来表示。 ) , ( t x ? ) , ( t r ??在一维空间量，波函数写成 ，在三维空间里写成 。 1.自由粒子的波函数 1.自由粒子的波函数自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动过程中作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和动量保持不变。自由粒子物质波的频率和波长也是保持不变的。结论：自由粒子的物质波是单色平面波。 P h ? ? , h E ? ?对应的德布罗意波具有频率和波长： www.docin.com 37 结论：自由粒子的物质波是单色平面波。一个频率为?、波长为?沿x方向传播的单色平面波的表达式为： ) ( 2 cos ) , ( ?? ? x t A t x ? ? ?利用波粒二象性的关系式，用描述粒子性的物理量来代替描述波动性的物理量，有： ) ( 2 cos ) , ( 0 px Et h t x ? ??? ? ) ( 2 0 ) , ( Px Et h i e t x ? ???? ? 0 ?为波函数的振幅写成复数形式，有：这个波函数既包含有反映波动性的波动方程的形式，又包含有体现粒子性的物理量E和P，因此它描述了微观粒子具有波粒二象性的特征。定态波函数 www.docin.com 38 ＊?为?的复共轭函数。根据波动理论，波函数的强度正比于? 0 2 。注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来表达。不能用实数形式来表达。利用复指数函数的运算法则，有：＊?? ? ? ? ? 2 2 0 | | 在一般情况下，粒子的波函数不是单色平面波的形式，而是空间和时间的复杂函数。对三维空间，沿矢径 方向传播的自由粒子的波函数为： r ? www.docin.com 39 光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较： 1）从波动性看，对光的衍射，空间某处光强与光波在该处振幅平方成正比，衍射极大值对应光振动振幅平方的极大值，衍射极小值对应振幅平方的极小值。为人们所接受的对于波函数的解释是由玻恩首先提出来的。用这种观点分析实物粒子衍射实验，可以看到在衍射极大值处，波函数的振幅平方??＊具有极大值，在衍射极小值处，波函数的振幅平方??＊具有极小值。 2）从粒子的观点看，对光的衍射现象，光的衍射极大值处找到光子的几率最大，极小值处找到光子的几率最小。二、波函数的物理意义 二、波函数的物理意义 www.docin.com 40 同样，这种观点对实物粒子衍射来说，在衍射极大值处，找到粒子的几率最大，衍射极小值处，找到粒子的几率最小。综合以上的波动和粒子观点，得到：在某时刻t，在空间某处 ，波函数 的平方正比于粒子在该时刻、该地点出现的几率。 r ? ) , ( t r ??玻恩在这个基础上，提出了关于波函数的统计解释：波函数模的平方 代表时刻 、在 处粒子出现的几率密度。 2 | ) , ( | t r ?? r ? t 强调：波函数本身并没有直接的物理意义，有物理意义的是波函数模的平方。物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律。 www.docin.com 41 dV dV W * 2 | | ?? ? ? ? * ?是?的共轭复数。粒子在该体积内出现的几率为：注意：在空间某处 附近找到粒子的几率除和波函数平方值大小有关外，还和这个区域的大小有关。 r ?可以认为在一个很小的体积元范围内波函数是相同的，为粒子在某点附近单位体积内粒子出现的几率，称为几率密度。即： 2 | |? 2 | | ? ? ?波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态。 www.docin.com 42 微观粒子的运动所遵循的是统计性规律，波函数正是为描写粒子的这种统计行为而引入的。根据波函数的统计解释可说明电子单缝衍射实验。播播放放动动画画波函数的概念也和通常的经典波的概念不同，它既不代表介质运动的传播过程，也不是那种纯粹经典的场量，而是一种比较抽象的几率波。波函数既不描述粒子的形状，也不描述粒子运动的轨迹，它只给出粒子运动的几率分布。 www.docin.com 43 量子力学中描述微观粒子状态的方式与经典力学中同时用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全不同。这种差别来源于微观粒子的波粒二象性。微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的，决定性的。量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；即只知道|?| 2 大的地方粒子出现的可能性大，|?| 2 小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。 www.docin.com 44 粒子在某一个时刻t，在空间某点上粒子出现的几率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单值的、有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发生突变，所以波函数还必须是连续的。 1 | | 2 ?? dV V ?由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以应有： 1.标准条件 2.归一化条件波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件，称为波函数的标准条件。也就是说，波函数必须连续可微，且一阶导数也连续可微。三、波函数应满足的条件 三、波函数应满足的条件 www.docin.com 45 这称为波函数的归一化条件。 1 | | 2 0 ?? dV V ?如果波函数对整个空间的积分值是有限的，但不为零，则可以适当选取波函数的系数，使这积分值为1，这个过程称为波函数的归一化过程。量子力学中的波函数具有一个独特的性质：波函数?与波函数? / =c?（c为任意常数）所描写的是粒子的同一状态。原因：粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小。如果把波函数在空间各点的振幅同时增大一倍，并不影响粒子在空间各点的几率。所以将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。 www.docin.com 46 例：设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为： ) cos( ) exp( ) , ( b x t iE A t x ???? ? 0 ) , ( ? t x ? ) 2 / , 2 / ( b x b x ? ? ? ) 2 / 2 / ( b x b ? ? ?其中A为任意常数，E和b均为确定的常数。求：归一化的波函数；几率密度w？ 1 ) ( cos 2 / 2 / 2 2 ??? b b dx b x A ? 1 | ) , ( | | ) , ( | | ) , ( | 2 / 2 2 / 2 / 2 2 / 2 2 ? ? ?? ? ????? ? b b b b dx t x dx t x dx t x A ? ? ?即：解：由归一化条件，有： 1 2 2 ? ? b A b A 2 ? www.docin.com 47 (2)求出归一化的波函数和几率密度几率密度为： ) ( cos 2 ) , ( ) , ( 2 2 b x b t x t x ?? ??? ? ) 2 / , 2 / ( b x b x ? ? ? ) 2 / 2 / ( b x b ? ? ? 0 ) , ( ) , ( 2 ? ? t x t x ? ?如图所示，在区间（?b/2,b/2)以外找不到粒子。在 x=0处找到粒子的几率最大。 ) , ( t x ? x o b/2 -b/2 ) , ( 2 t x ? www.docin.com 48 解：式中：L为势阱宽度，n为量子数（n=1，2，?）。例： 已知一维无限深势阱中粒子的归一化定态波函数为： ) 0 ( sin 2 ) ( L x l x n L x n ? ? ? ??求：（1）粒子在 区间出现的几率；并对 4 0 L x ? ? 1 ? n ? ? n 和 的情况算出概率值。（2）在 的量子态上，粒子在 区间出现的概率密度最大。 4 L x ? ? ? n （1）粒子在 区间出现的几率： 4 0 L x ? ? 2 sin 2 1 4 1 sin 2 ) ( 4 0 2 2 4 0 ??? n n dx L x n L dx x W L L n ? ? ? ? ?? ? www.docin.com 49 当 时 1 ? n 当 时? ? n % 9 2 1 4 1 1 ? ? ?? W % 25 4 1 ? ?? W （2）粒子在 区间出现的概率密度为： 4 L x ? 4 sin 2 ) 4 ( 2 2 ?? n L L n ? ? ?其最大值对应于 ，有： 1 4 sin ? ?? n 2 ) 1 2 ( 4 ? ?? ? k n ) 1 2 ( 2 ? ? ? k n ) , 2 , 1 , 0 ( ? ? k ) , 2 , 1 , 0 ( ? ? k 2 sin 2 1 4 1 sin 2 ) ( 4 0 2 2 4 0 ??? n n dx L x n L dx x W L L n ? ? ? ? ?? ? www.docin.com 50 张三慧《大学基础物理学》：第22章第6节毛骏健《大学物理学》：第15章第6节 www.docin.com 51 经典力学中，物体位置、动量以及粒子所在力场的性质确定后，物体以后的运动位置就可确定。因此可用轨道来描述粒子的运动。播放动画 1.电子单缝衍射 1.电子单缝衍射但微观粒子，具有显著的波动性，不能同时确定坐标和动量，而只能说出其可能性或者几率。我们不能用经典的方法来描述它的粒子性。 www.docin.com 52 o x y ? x P ? x ? a 电子通过单缝位置的不确定范围为：a=?x，电子通过单缝后，电子要到达屏上不同的点，坐标不能确定，具有x方向动量?P x ，大部分电子落在两个一级暗纹之间，动量在x 方向不确定度为?P x 。根据单缝衍射公式，其第一级的衍射角满足：从-? 1 到+? 1 范围内都可能有电子的分布，即电子速度的方向将发生改变。 a ?? ? 1 sin x ???入射电子在x 方向无动量，电子在单缝的何处通过是不确定的!只知是在宽为a的缝中通过。 www.docin.com 53 电子通过单缝后，动量在x方向上的分量P X 的大小为： 1 sin 0 ? ? ? ? p p x 代入德布罗意关系： 得出： p h ? ? h p x x ? ? ? ?电子通过单缝后，在x方向的动量的不确定量为： x P P P x ?? ? ??? 1 sin x h P x ?? ?即考虑到更高级的衍射图样，则应有： x h P P x ?? ? ? ? sin 即 h p x x ? ? ? ?上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准确的量值关系。 www.docin.com 54 式中：量子力学严格证明给出： 2 / ? ? ? ? ? x p x S J h ? ? ? ??34 10 0545887 . 1 2??推广到三维空间，则还应有：由于公式通常只用于数量级的估计，所以它又常简写为：? ? ? ? ? x p x , ? ? ? ? ? y p y ? ? ? ? ? z p z 2.海森伯不确定关系 2.海森伯不确定关系海森伯不确定关系告诉我们：微观粒子不能同时用坐标和动量进行准确的测量。 1927年海森伯提出：当我们同时测量一个粒子的位置q和动量p时，粒子在某方向上的坐标不确定量与该方向上的动量不确定量的乘积必不小于普朗克常数。即： , ? ? ? ? ? p q www.docin.com 55 3.能量和时间的不确定关系 3.能量和时间的不确定关系在量子力学中，对能量和时间的同时测量也存在类似的不确定关系，即：? ? ? ? ? t E ? E 表示粒子能量的不确定量，而?t可表示粒子处于该能态的平均时间。对于原子尺寸的粒子，我们不能用经典的方法来描述，轨道的概念是没有意义的，因为它是建立在有同时确定的位置和动量的基础上的。 www.docin.com 56 例:某原子的第一激发态的能级宽度为? E=6 ?10 -8 电子伏，试估算原子处于第一激发态的寿命?t。解:根据时间与能量的不确定关系， ) ( 10 09 . 1 10 6 . 1 10 6 10 05 . 1 8 19 8 34 s E t ?? ??? ?? ? ????? ??例:电子在原子大小范围(? x=10 -10 米)内运动，试求电子所能有的最小能量。解:根据位置与动量的不确定关系， ) / ( 10 05 . 1 10 10 05 . 1 24 10 34 s m kg x p x ? ? ????? ????? eV J m p E 78 . 3 ) ( 10 05 . 6 10 11 . 9 2 ) 10 05 . 1 ( 2 ) ( 19 31 2 24 2 ? ? ?? ???????? www.docin.com 57 例：氢原子从第四激发态跃迁到第一激发态时所发射光子的波长为 ，若测定此波长的精确度??/?=10 -5 ，则此光子位置的不确定度?x? 。解： ??????? ? ? ? ? 25 1 4 1 6 . 13 2 5 E E hc E ? ) ( 435 ) ( 10 35 . 4 7 nm m ? ? ???? h p ? ???????? ? ? ? ? h h p 2 ? ? ? ? ? ? x p 又 1 2 ??????????? ? ????? p x ? ) ( 92 . 6 mm ? nm 435 mm 92 . 6 www.docin.com 58 不确定关系是由物质本身固有的特性所决定的，而不是由于仪器或测量方法的缺陷所造成的。不论测量仪器的精度有多高，我们认识一个物理体系的精确度也要受到限制。 4. 不确定关系的物理意义 4. 不确定关系的物理意义不确定关系是物质的波粒二象性引起的。是波粒二象性的深刻反应，也是对波粒二象性的进一步描述。由于微观粒子的波动性，位置与动量不能同时有精确值。?x越小（位置越精确），衍射现象越显著，?P x 越大，动量不确定度越大。在同一时刻 ? ? ? ? x P x 不确定关系指明了宏观物理与微观物理的分界线：在某个具体问题中，粒子是否可作为经典粒子来处理，起关健作用的是普朗克恒量h的大小。 www.docin.com 59 例：若电子与质量m = 0.01 Kg 的子弹，都以200 m/s 的速度沿x 方向运动，速率测量相对误差在 0.01% 内。求在测量二者速率的同时测量位置所能达到的最小不确定度?x 。解：（1）电子位置的不确定度电子动量不确定度％ 01 . 0 ? ? P P x ? % 01 . 0 ? ? v m e % 01 . 0 200 10 11 . 9 31 ? ? ? ?? 1 32 s m kg 10 8 . 1 ? ?? ? ? ? x P x ?? ?? m 10 89 . 5 3 ?? ?? ? ? ? ? x p x 对于原子尺寸的粒子，我们不能用经典的来描述，轨道的概念是没有意义的。 www.docin.com 60 （2）子弹位置的不确定度％ 01 . 0 ? ? P P x ? % 01 . 0 ? ? mv % 01 . 0 200 01 . 0 ? ? ?子弹动量不确定度 1 4 s m kg 10 0 . 2 ? ?? ? ? ? x P x ?? ?? m 10 25 . 5 31 ?? ? m 10 30 ?? x ?子弹 很小，仪器测不出，用经典坐标、动量完全能精确描写。对微观粒子不能用经典力学来描写。 www.docin.com 61 在原子尺度内，是个良好的近似。 , ? ? ? ? ? y p y ? ? ? ? ? t E ?? 估算氢原子可能具有的最低能量电子束缚在半径为r 的球内，所以 r x ? ? r p p / ? ? ? ?按不确定关系 r p / ~ ? ? r e m p E o e ?? 4 2 2 2 ? ?当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：代入上式得： r e r m E o e ?? 4 2 2 2 2 ? ?? 5. 不确定关系的应用 5. 不确定关系的应用 www.docin.com 62 m m e h r e o o 10 2 2 10 53 . 0 ?? ? ???基态能应满足： 0 ? dt dE 0 4 2 2 3 2 ? ? ? r e r m o e ???由此得出基态氢原子半径：基态氢原子的能量： eV h m e E o e 6 . 13 8 2 2 4 min ? ? ? ??与波尔理论结果一致。本例还说明：量子体系有所谓的零点能。因为若束缚态动能为零，即速度的不确定范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大，即不被束缚。这与事实相左。 www.docin.com 63 ?? 解释谱线的自然宽度 s t 8 10 ?? ? 原子中某激发态的平均寿命为普朗克能量子假说不确定关系谱线的自然宽度 2 ?? ? ? ? E t ? 2 h ? ?? h E ?它能解释谱线的自然宽度 www.docin.com 64 张三慧《大学基础物理学》：第22章第7~9节毛骏健《大学物理学》：第15章第7~8节 www.docin.com 65 经典力学中，已知力F 及x 0 、v 0 ，可由牛顿方程求质点任意时刻状态。当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻粒子所处的状态也要由薛定谔方程来决定。一、薛定谔方程 一、薛定谔方程所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。 1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。 www.docin.com 66 ) ( 0 ) , ( px Et i e t x ? ???? ?动量为P 、质量为m、能量为E的自由粒子，沿 x 轴运动的波函数为： 1.自由粒子的薛定谔方程 1.自由粒子的薛定谔方程这个方程还应满足以下两个条件：（1）方程是线性的，即如果? 1 和? 2 都是这方程的解，那么? 1 和? 2 的线性迭加（a? 1 +b? 2）也应是方程的解。这是由态迭加原理决定的；（2）这个方程的系数不应包含状态的参量，如动量、能量等。否则方程只能被粒子的部分状态所满足，不能被各种可能的状态所满足。对时间求微商和对x 求二阶偏导，再根据E=P 2 /2m 消去有关参量E、P，得： 2 2 2 ) , ( 2 ) , ( x t x m t t x i ?? ?? ??? ? ?? www.docin.com 67 这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。此时的薛定谔方程为： 2 2 2 ) , ( 2 ) , ( x t x m t t x i ?? ?? ??? ? ??若粒子不是自由的，而是在某力场中运动，其势能函数为E P ＝Ｕ(x,t)，则粒子的总能量应为： ) , ( 2 2 t x U m p E ? ? ) , ( ) , ( ) , ( 2 ) , ( 2 2 2 t x t x U x t x m t t x i ? ??? ?? ??? ? ?? 2.薛定谔方程的一般形式 2.薛定谔方程的一般形式 www.docin.com 68 如果粒子的势能并不随时间而变化，即U=U(x)，它不包含时间。 ) ( ) ( ) , ( t f x t x ? ? ? 3.定态薛定谔方程 3.定态薛定谔方程在这种情况下，可以用分离变量法把波函数写成空间坐标函数和时间函数的乘积，即：代入解得： ) , ( ) , ( ) , ( 2 ) , ( 2 2 2 t x t x U x t x m t t x i ? ??? ?? ??? ? ?? Et i e x t x ??? ? ) ( ) , ( ? 即： Et i ce t f ??? ) ( 其中?（x）满足：定态薛定谔方程? ?? E x x U x x m ? ???? ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 ?式中：E是粒子的能量 www.docin.com 69 所描述的状态称为定态。 Et i e x t x ??? ? ) ( ) , ( ? Et i e x t x ??? ? ) ( ) , ( ? 即： Et i ce t f ??? ) ( 其中?（x）满足：定态薛定谔方程? ?? E x x U x x m ? ???? ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 ?式中：E是粒子的能量? =?（x）称为定态波函数常数E是微观粒子的总能量，所以定态也就是微观粒子能量不随时间变化的状态。粒子处于定态时粒子在空间的几率密度与时间无关： 2 2 2 | ) ( | | ) ( | | ) , ( | x e x t x Et i ? ? ? ? ??? www.docin.com 70 讨论定态问题就是要求出体系可能有的波函数和在这些态中的能量E。 ) , ( t x ?由于波函数?(x,t) 和定态波函数?(x) 以公式：联系起来，所以问题就归结于解定态薛定谔方程求出能量E的可能值和波函数?(x) 。 Et i e x t x ??? ? ) ( ) , ( ? 5.应用定态薛定谔方程处理实际问题的一般步骤 5.应用定态薛定谔方程处理实际问题的一般步骤（1）找出问题中势能函数的具体形式，代入相应的薛定谔方程；（2）用分离变量法求解波函数；（3）由波函数归一化条件和标准条件，确定积分常数；（4）求概率密度并讨论其物理意义。 www.docin.com 71 二、薛定谔方程的简单应用 二、薛定谔方程的简单应用 1.一维无限深势阱 1.一维无限深势阱考虑在一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域内（x=0到x=a）为零，而在此区域外势能为无限大，? ) (x U ) 0 ( a x x ? ? ? 及 ) 0 ( 0 a x ? ? ) (x U x a o 粒子只能在宽为a 的两个无限高势壁间运动，这种势称为
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