由于固体中有大量电子，并且每个电子的运动都要受其它电子运动牵连,固体中的能级被周期性晶格势扩展成连续的能带,坐标位置i 和能带指

是

自由电子质量，V 0(r ) =

Σ

i

 

v

 (r  ¡  R i) 是晶格周期势，Ri 取遍所有的晶格格

点

。根据周期性晶格势的特点以及和原子波函数的关联，方程(2.1) 表示的公有化的电

子

波函数可以在等价的布洛赫(Bloch) 表象或者瓦尼尔(Wannier) 表象表示出来： (i) 根

据

布洛赫定理，周期性晶格势作用下电子波函数可以写成布洛赫形式：

ψ

 

k,ν(r) = eik¢ruk,ν(r) . (2.2)

这

里k 是倒格子空间的倒格矢，ν 是能带指标，uk,ν(r) = uk,ν(r + Rn) 是和晶格势有同

样

对称性的周期函数。uk,ν 对能带指标ν 是正交归一的。(ii) 若是和局域的原子波函

数

联系在一起，可以按照瓦尼尔函数展开为：

ψ

 

k,ν(r) =

p

 

1

N

Σ

i

e

i

k¢RiWν(r ¡ Ri) (2.3)

这

里N 是元胞数目，Wν(r ¡ Ri) 表示不同能带的定域瓦尼尔函数，并且对于坐

标

位置i 和能带指标ν 是正交归一的。在紧束缚近似(Tight-Binding Approximation)

下

，Wν(r) 近似为原子波函数φn(r)。很容易得出，瓦尼尔波函数和布洛赫波

函

数的关系为：uk,ν(r) = p1

N

Σ

i

 

e¡i

k¢(r¡Ri)Wν(r ¡ Ri)。

需

要说明的是，由于固体中有大量电子，并且每个电子的运动都要受其它电子运动

的

牵连，从而使这种多电子系统的严格求解是不可能的。然而能带理论是一个近似理

论

：使用单电子近似处理，将原子内除价电子以外的其它电子和原子核近似看成一个离

子实

，同时其它电子的作用用平均场代替后组成近似的晶格势v(r)。然而和原子能级结

构

不同，在固体中的能级被周期性晶格势扩展成连续的能带，我们可以用k ¢ p 方法近

似

给出单电子的能级结构以及固体的等价哈密顿量。