Weinberg量子场论书摘及笔记 （2）
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Weinberg《量子场论》1.2节的笔记，这节内容讲的是量子场论的诞生。
电磁场的量子化
在人们对粒子的认识过程当中，光子是很特殊的。人们首先用场的观念去考察光，然后再认识到它的粒子性。因此，电磁场成为了最先被量子化的场。
Born, Heisenberg和Jordan在1926年的文章中讨论了一维的电磁场，将电磁场的哈密顿量写成为不同振动频率的谐振子的迭加形式。（Eq. (1.2.4)）而谐振子的运动则是量子力学中所熟知的。
Eq. (1.2.5)上面的一个方程式相当于给出了正则动量的定义：给定坐标，找一个物理量，使之符合哈密顿正则方程，这样的物理量就称为该坐标的正则共轭动量。
由此，类比量子力学中的对易关系，可以得到电磁场的对易关系。再根据量子力学中对谐振子的处理方法，定义升降算符，可以得到升降算符的对易关系。
P16出现的
，应该还只是解释为谐振子的能级。升降算符使谐振子的能级升高/降低1。如果把场看成是粒子组成的，就是粒子数，升降算符的作用是产生/湮灭一个粒子。因此，这样的场是量子化的。
由此可见，场量子化，在数学上相当于给场加上一个正则对易关系。这些对易关系是Lorentz-invariant的。（具体计算在第5章。）
（需要说明的是，此时其实并没有给出场的对易关系，给出的实际上是各个简振模的系数（把系数看成是广义坐标）的对易关系。Heisenberg和Pauli在1929年才把对易关系直接加到场上。）
随后将电磁场量子化的方法运用到同步辐射上去，最终的计算结果是Dirac在1927年给出的，可以得到Einstein在1917年给出的一个结果。（Eq. (1.2.21)）
二次量子化
之后，人们将量子化方法推广到其它场，这种推广称为“二次量子化”：量子力学中，给算符加上对易关系，是一次量子化，而量子力学中的波函数实际上是经典场。（事实上，相对论及非相对论量子力学中讨论的都是单粒子问题，或者是粒子数守恒的问题，这些问题和场是否量子化根本就没有关系。）现在给场加上对易关系，是又一次量子化。
个人感觉一次量子化和二次量子化并没有什么太大的区别。以谐振子为例，量子力学中，将算符量子化，（先有的是坐标和动量的对易关系，然后得到升降算符的对易关系，）于是可以得到量子化的能级；量子场论中，由场的对易关系可以得到产生、湮灭算符的关系，于是可知产生、湮灭的粒子都是一份一份的，即场是量子化的。可见主要区别在于物理图象的不同。量子力学中以做简谐振动的粒子为研究对象，能量是粒子带有的；量子场论中，并不关心振动的粒子——这只是一个基底，一般来说，我们并不关心这个基底本身。基底的振动产生了一个场，能量是这个场带有的。场论中，这个场才是我们感兴趣的对象。
反对易关系
由于Pauli不相容原理，电子场量子化应该遵循的应是反对易关系，而非对易关系。The choice between commutation and anticommutation relations is dictated solely by the particle's spin: commutators must be used for particles with integer spin like the photon, and the anticommutators for particles with half-integer spin like the electron.
The Heisenberg-Pauli formalism
P21举了复标量场的例子，给定拉格朗日量，通过最小作用量原理，可得到场方程。计算出场的正则共轭动量，就能写出场量子化条件。并且不难写出哈密顿量表达式。
解决负能级问题
虽然电子存在负能级解，但实际上我们并没有观察到带有负能量的电子，（只能观察到带有正能量的正电子。）但Eq. (1.2.41)的哈密顿算符并不是正定的——电子的产生算符可能会产生能量为负的电子。
很容易想到对于负能级电子，我们可以直接考虑正电子。既然产生一个正电子等于消灭一个处于负能级的电子，湮灭一个正电子等于在负能级上填充一个电子，于是就可以通过Eq. (1.2.42)定义正电子的产生、湮灭算符。这样做的好处是，电子和正电子的产生算符都会产生一个能量为正的粒子，而且这样的处理方式对电子和正电子显得更为“公平”。
对Dirac场做展开，必须注意到电子是带有“荷”的，正电子带的荷和电子相反。Eq. (1.2.43)等号左边的场算符所“带”的荷和等号右边是相符的——这个场算符作用到某个态上，可以使态的荷+1。
Eq. (1.2.44)是哈密顿量，等号右边的前两项都是正的。
是所有负能级都被电子填满后，处于负能级的电子的能量。可测的能量，the physical energy operator是
，即我们认为负能级都被电子填满后的能量为0。这样，无论产生电子还是空穴（正电子），我们测得的能量都是正的。
spin-0粒子的负能级问题
以P21提到的复标量场为例。Eq. (1.2.55)中，
以二次形式出现，结合Eq. (1.2.59) 
的表达式，可知spin-0粒子的能量必定是正的。事实上，谐振子能量为
，这就决定了谐振子可以有负频解，但不会有负能级。
（谐振子和玻色子都满足对易关系，所以可以通过和谐振子的对比知玻色子不存在负能级问题。而费米子满足的是反对易关系，因此不能用这样的对比。）
复标量场有两个自由度，因此存在两种粒子，解释为粒子和反粒子。对于标量场而言，粒子和反粒子仍然是带有不同的“荷”的，（但是可以不带有电荷。）
哈密顿量用产生湮灭算符表达的形式是Eq. (1.2.64)。这里也有，是零点能的贡献。注意到这里的是正的，而前面电子场的是负的。
负几率问题的解决
并不是粒子数密度，而是“荷”密度。对全空间积分，得到的算符
也不是粒子数算符，而是总的“荷”数的算符，或：粒子数减去反粒子数。粒子数不守恒，“荷”数守恒。
波函数的再认识
The wave fields
,
, etc, are not probability amplitudes at all, but operators which create or destroy particles in the various normal modes.
电磁场的量子化
在人们对粒子的认识过程当中，光子是很特殊的。人们首先用场的观念去考察光，然后再认识到它的粒子性。因此，电磁场成为了最先被量子化的场。
Born, Heisenberg和Jordan在1926年的文章中讨论了一维的电磁场，将电磁场的哈密顿量写成为不同振动频率的谐振子的迭加形式。（Eq. (1.2.4)）而谐振子的运动则是量子力学中所熟知的。
Eq. (1.2.5)上面的一个方程式相当于给出了正则动量的定义：给定坐标，找一个物理量，使之符合哈密顿正则方程，这样的物理量就称为该坐标的正则共轭动量。
由此，类比量子力学中的对易关系，可以得到电磁场的对易关系。再根据量子力学中对谐振子的处理方法，定义升降算符，可以得到升降算符的对易关系。
P16出现的
，应该还只是解释为谐振子的能级。升降算符使谐振子的能级升高/降低1。如果把场看成是粒子组成的，就是粒子数，升降算符的作用是产生/湮灭一个粒子。因此，这样的场是量子化的。由此可见，场量子化，在数学上相当于给场加上一个正则对易关系。这些对易关系是Lorentz-invariant的。（具体计算在第5章。）
（需要说明的是，此时其实并没有给出场的对易关系，给出的实际上是各个简振模的系数（把系数看成是广义坐标）的对易关系。Heisenberg和Pauli在1929年才把对易关系直接加到场上。）
随后将电磁场量子化的方法运用到同步辐射上去，最终的计算结果是Dirac在1927年给出的，可以得到Einstein在1917年给出的一个结果。（Eq. (1.2.21)）
二次量子化
之后，人们将量子化方法推广到其它场，这种推广称为“二次量子化”：量子力学中，给算符加上对易关系，是一次量子化，而量子力学中的波函数实际上是经典场。（事实上，相对论及非相对论量子力学中讨论的都是单粒子问题，或者是粒子数守恒的问题，这些问题和场是否量子化根本就没有关系。）现在给场加上对易关系，是又一次量子化。
个人感觉一次量子化和二次量子化并没有什么太大的区别。以谐振子为例，量子力学中，将算符量子化，（先有的是坐标和动量的对易关系，然后得到升降算符的对易关系，）于是可以得到量子化的能级；量子场论中，由场的对易关系可以得到产生、湮灭算符的关系，于是可知产生、湮灭的粒子都是一份一份的，即场是量子化的。可见主要区别在于物理图象的不同。量子力学中以做简谐振动的粒子为研究对象，能量是粒子带有的；量子场论中，并不关心振动的粒子——这只是一个基底，一般来说，我们并不关心这个基底本身。基底的振动产生了一个场，能量是这个场带有的。场论中，这个场才是我们感兴趣的对象。
反对易关系
由于Pauli不相容原理，电子场量子化应该遵循的应是反对易关系，而非对易关系。The choice between commutation and anticommutation relations is dictated solely by the particle's spin: commutators must be used for particles with integer spin like the photon, and the anticommutators for particles with half-integer spin like the electron.
The Heisenberg-Pauli formalism
P21举了复标量场的例子，给定拉格朗日量，通过最小作用量原理，可得到场方程。计算出场的正则共轭动量，就能写出场量子化条件。并且不难写出哈密顿量表达式。
解决负能级问题
虽然电子存在负能级解，但实际上我们并没有观察到带有负能量的电子，（只能观察到带有正能量的正电子。）但Eq. (1.2.41)的哈密顿算符并不是正定的——电子的产生算符可能会产生能量为负的电子。
很容易想到对于负能级电子，我们可以直接考虑正电子。既然产生一个正电子等于消灭一个处于负能级的电子，湮灭一个正电子等于在负能级上填充一个电子，于是就可以通过Eq. (1.2.42)定义正电子的产生、湮灭算符。这样做的好处是，电子和正电子的产生算符都会产生一个能量为正的粒子，而且这样的处理方式对电子和正电子显得更为“公平”。
对Dirac场做展开，必须注意到电子是带有“荷”的，正电子带的荷和电子相反。Eq. (1.2.43)等号左边的场算符所“带”的荷和等号右边是相符的——这个场算符作用到某个态上，可以使态的荷+1。
Eq. (1.2.44)是哈密顿量，等号右边的前两项都是正的。
是所有负能级都被电子填满后，处于负能级的电子的能量。可测的能量，the physical energy operator是，即我们认为负能级都被电子填满后的能量为0。这样，无论产生电子还是空穴（正电子），我们测得的能量都是正的。spin-0粒子的负能级问题
以P21提到的复标量场为例。Eq. (1.2.55)中，
以二次形式出现，结合Eq. (1.2.59) 的表达式，可知spin-0粒子的能量必定是正的。事实上，谐振子能量为，这就决定了谐振子可以有负频解，但不会有负能级。（谐振子和玻色子都满足对易关系，所以可以通过和谐振子的对比知玻色子不存在负能级问题。而费米子满足的是反对易关系，因此不能用这样的对比。）
复标量场有两个自由度，因此存在两种粒子，解释为粒子和反粒子。对于标量场而言，粒子和反粒子仍然是带有不同的“荷”的，（但是可以不带有电荷。）
哈密顿量用产生湮灭算符表达的形式是Eq. (1.2.64)。这里也有
，是零点能的贡献。注意到这里的是正的，而前面电子场的是负的。负几率问题的解决
并不是粒子数密度，而是“荷”密度。对全空间积分，得到的算符也不是粒子数算符，而是总的“荷”数的算符，或：粒子数减去反粒子数。粒子数不守恒，“荷”数守恒。波函数的再认识
The wave fields
,, etc, are not probability amplitudes at all, but operators which create or destroy particles in the various normal modes.
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