庞加莱群01 洛伦兹群01 他把这个群表示为四维时空的线性变换群，它混合了时间和空间坐标，但保持了二次齐次式的不变性。庞加莱进

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henryharry2 2011-03-04 13:33 按照几何纲领，相互作用可以通过连续经典场实现，而这种场与度规、仿射联络和曲率之类的时空几何结构是密不可分的。这个几何化相互作用的概念导致了对引力场的深刻理解。

 

henryharry2 2011-03-04 13:34 第三个发展是群的观念，这是数学上一个基本的结构。数学上总是要运算。研究几何的话，把这个东西从这个位置移动到其他的位置，也是个运算。而这样的运算，也称为运动，有一个特别的性质，也就是说：把一个物体从甲地移到乙地，再移到丙地，可直接把物体从甲地移到丙地，即两个运动的结果，可经由一次运动来达成，具有这个特殊性质的，便称其成一群。研究几何的对象，应是研究几何的性质，经运动群后是不变的。这个观念立刻便有了重要的发展。 研究几何性质在射影群之下不变的是所谓射影几何。射影几何的发展，把几何的概念推广了，不只是有普通的欧几里得几何讨论几何性质经运动群后不变的，也可以讨论射影几何中，投影后仍是不变的性质。有许多经运动群后不变所性质，在投影变换后是变了的，像距离、角度，但是还有些更重要的性质在大一点如投影下是不变的，而这些性质能经过投影群不变，在几何上自有其重要的意义。 在几何学的发展之中，有许许多多几何学，像欧几里得几何学、射影几何学……及其他种种几何学，自然就要有一个人把它综合集结起来，那就是德国的数学家Felix Klein(1849~1925)。他在23岁的时候讲演的内容——埃尔朗根纲领，就是这个新几何学。他把几何学建立在群的观念上：一个空间有一个变换群，允许把空间的图形从这个位置移到另一个位置，因此有了一个群之后，便有一种几何，研究所有图形的几何性质经过这个变换群不变的。这个群可以是欧几里得运动群，也可以是投影变换群，或者其他种种的群，因为群的选择不同，也就得到许多种不同的几何学。其中包括非欧几何学，根据Klein的观点，非欧几何学只要在空间中有一个所谓二次的超曲面，讨论在所有的投影变换下，使这个二次超曲面不变的。例如，在平面上有一个圆周，非欧几何就是要讨论在投影变换群下仍不改变的性质。所以非欧几何就变成研究圆内点所构成的空间的性质，也就是双曲平面(hyperbolic plane)上讨论。因此由Klein的观点，非欧几何学就变得极易处理。

 

henryharry2 2011-03-04 13:35 黎曼几何最初在二维的情形是高斯(1777~1854)发展的，他在1827年写了一本差不多50页的小册子，研究在二维即曲面的情形及在这样的ds平方之下，所能够发展的几何性质，他的目的是为了应用，因为当时的德国政府要他主持一个测量工作，为了给这个测量工作一个理论基础，于是高斯写下了这篇在微分几何上最要紧的论文，微分几何自此诞生。以前关于把微积分用在几何上的问题，只能说是微积分在几何上的应用，在高斯这篇文章之后，微分几何便成了一门独立的学问，就是从度规得到一切的几何性质。 黎曼(1826~1866)在1854年，在为取得大学教授资格的公开演讲上，发展了黎曼几何的第一篇论文。黎曼几何并不像其他我们所谈的欧几里得几何，或者Klein的埃尔朗根纲领几何，或者是射影几何，需要整个的空间，在黎曼几何的情形下，我们只需要空间的一部分，因为ds平方有意义，我们便可测量弧长、面积、角度……等几何性质，不需要知道全部的空间，也就是说，在这样的一个小块里，便可发展全部的几何性质，这是黎曼几何革命性的观念，使几何局部化，这个和物理上的场论是完全符合的。 真正使黎曼几何受到重视的是爱因斯坦的广义相对论。大致说起来，爱因斯坦的广义相对论是要把物理几何化，也就是说把物理的性质变为几何的性质，因此黎曼几何就成为物理学家一定要念的一门数学。到了黎曼空间一样有曲率的概念，只是因为黎曼空间是高维的，所以它的曲率概念就变得相当复杂。在爱因斯坦的广义相对论的基本公式里，大致说起来，物理的力是一个曲率；数学家讲曲率和物理学家讲力其实是同一个观念。

 

henryharry2 2011-03-04 13:36 我觉得物理学里有很多重要的工作，是物理学家要证明说物理就是几何。比方说，你从牛顿的第二运动定律开始。牛顿的第二定律说，F=ma，F是力，m是质量，a是加速度，加速度我们现在叫曲率。所以右边这一项是几何量，而力当然是物理量。所以牛顿费了半天劲，他只是说物理就是几何。不但如此，爱因斯坦的广义相对论也是这样。爱因斯坦的广义相对论方程里，Rab是里奇曲率，R是标量曲率，K是常数，Tab是能量-应力张量。他的左边是几何量，是从黎曼度量得出来的一些曲率。 所以爱因斯坦的重要方程式也就是说，几何量等于物理量。以上是陈省身的说法，在老先生的说法里，有可能力等于曲率，也有可能加速度等于曲率。当然，陈省身并没有认真对待这两种说法，才会出现两种看似相互矛盾的说辞。实际上，加速度等于曲率是广义相对论的观点，而力等于曲率是我们的观点；在大尺度上，这两种想法导出的结果是趋于一致的；而在微观尺度上，两种想法有很大的区别。 以牛顿引力为例，按照加速度等于曲率推广得到广义相对论；而按照力等于曲率加以推广，在小距离处，(对合)引力的曲率变化是与距离平方成反比的，大大偏离了广义相对论。我们又从另一个角度推导出似乎强相互作用中的轴矢量就是引力，这也是我们的理论优于圈量子引力和弦理论等其他引力理论之处；对于我们来说，统一场论的顶峰一直隐约可见，只要我们能证明庞加莱原理成立(又一个庞加莱猜想？)那么我们就离统一场论的顶峰不远了；而其他的量子引力理论似乎都还没有找到明确的目标。

 

henryharry2 2011-03-06 06:59 第一点，在美学立场上，物理学家觉得很难相信大自然遵从了绝大多数数学上可能的对称，却不遵从余下的那些对称。当然，也许实际出现的就是这样不完全的对称，那是很令人遗憾的。仿佛巴赫在用无数相互交织的乐音实现他那天才的对称的乐曲时，忘了最后几个节拍。 第二点，假如理论是超对称的，即使在忽略了引力的标准模型里，与量子过程相关的那些问题也将迎刃而解。基本的问题在于，每一种粒子都是微观的量子“热浪”中的一条浪花。物理学家发现，在这沸腾的量子池塘里，某些粒子相互作用的过程，只有在标准模型里的参数经过精细调节——精确到千万分之一——从而消除了可恶的量子效应以后，才可能是没有矛盾的。那样高的精度大概相当于用枪去瞄准月亮上的一个目标，而偏差还不能超过一个变形虫的大小。虽然类似的数字精度能够在标准模型中实现，但许多物理学家还是怀疑这样一个理论——它太敏感了，如果所依赖的数在小数点后面第15位有一点儿改变，它也会崩溃。 超对称性极大地改变了这种状态，因为玻色子和费米子有消除量子力学效应的倾向。它们就像地块跷跷板的两端，如果玻色子的量子波浪向上，费米子就要将它压下去。因为超对称性保证了玻色子和费米子是成对出现的，所以某些疯狂的量子效应就从一开始就基本平息下来了。这样看来，超对称标准模型——在原来的标准模型里添加所有的超对称伙伴粒子——的和谐，不再依赖于令人难过的敏感的数字调节。尽管这是一个很困难的专业问题，许多物理学家还是认为，它使超对称性更有吸引力了。

 

henryharry2 2011-03-06 07:00 超对称性的第一个间接证据来自大统一的思想。 自然界四种力的一个令人疑惑的特征是，它们本来强度的变化范围太大了。电磁力不足强力的百分之一，弱作用大概比电磁力还弱一千倍，而引力只是弱力的千亿亿亿亿分之一。1974年，格拉肖和他在哈佛的同事乔基(Howard Georgi)根据他本人和萨拉姆、温伯格曾赢得诺贝尔奖的开创性研究，在电磁力、弱力和强力间建立了类似于电磁力与弱力间的联系。他们提出的引力外的三种力的“大统一”与电弱理论有一点根本的不同：电磁力与弱力是温度降到一千万开尔文时从更对称的统一中分离出来的，而乔基和格拉肖证明，与强力的统一只有在更高的温度下——约一万亿亿亿开尔文才是显著的。从能量看，这相当于质子质量的一千万亿倍，或者说，大约比普朗克质量小四个数量级。 乔基和格拉肖大胆地把理论物理学领进了一个大能量的领域，比过去人们所能探索的能量高出好多个数量级。同一年里，乔基、奎恩(Helen Quinn)和温伯格在哈佛将三种力的潜在统一性在大统一的框架下更具体地揭示出来了。他们的成果对力的统一和超对称性与自然界的关系的评判起着重要作用，所以我们花点儿工夫来解释一下。我们都知道，两个带相反电荷的粒子的电吸引力和两个有重量物体间的万有引力随着物体间距离的减小而增强，这是经典物理众所周知的简单特性。但是，当我们研究量子物理对力的强度的影响时，就会出现一点奇异的东西。那么，为什么会量子力学的影响呢？答案还是在量子涨落。

 

henryharry2 2011-03-06 07:01 例如，当我们考察一个电子的电力场时，我们实际上是隔着一团“云雾”看它——那是在电子周围空间随处出现的瞬间的电子-正电子生成和湮灭形成的“雾”。物理学家先前就发现，这团热腾腾的云雾一般的微观涨落会使电子的力变得模糊，仿佛隔着薄雾看远处的灯塔，不过请注意，当我们走近电子时，一定穿过了那层遮在眼前的粒子-反粒子云雾，从而不太能感觉它们逐渐消失的影响，这意味着，电子的电场强度随我们的靠近而增强了。 物理学家认为，这种量子力学的电磁力的强度的增加，与在经典物理中说的电磁力的本来强度随距离减小的增加，是截然不同的。这说明，力的增强不仅是因为我们离电子更近了，而且还因为我们能看到更多的电子所赋予的电场。虽然我们这里都在说电子，实际上其他带电粒子也一样可以这么讲，在越小的距离尺度上，量子效应使电磁力变得越强。实际上，经典物理相当于曲率等于加速度的观点，而使用力等于曲率的观点(庞加莱原理)，增强效应就更加显著，量子效应引起的增强相当于庞加莱原理和经典物理的一种中间情况。 标准模型里的其他力呢？它们的本来强度如何随距离改变？1973年，普林斯顿的格罗斯和威切克(Frank Wilczek)，哈佛的波利泽尔(David Politzer)分别独立研究了这个问题，发现一个令人惊讶的答案：粒子生成与湮灭的量子云把强力和弱力的强度放大了。就是说，如果我们穿过这团沸腾的量子云，在更近的距离来看这些力时，它们还没有经历那样的放大作用。因此，从近距离看，强力和弱力更弱了。

 

henryharry2 2011-03-06 07:02 当然，那个尺度离我们寻常的经验是很遥远的，不过，感应这么小尺度所必需的能量却是黑洞内部特有的。就像千差万别的物质在足够的高温下熔化，形成均匀的等离子体一样，强力、弱力和电磁力在黑洞内部的高温下会融合成一个“大统一”力。这一点简单地画在图7.1上。 [attachment=2132] 虽然我们的技术还不能深入这样小的距离尺度，也产生不了那么炽热的温度，但实验家们在1974年已经在日常条件下把那三种力的测量强度大大精确化了。这些数据(图7.1的三条力度曲线的出发点)是乔基、奎恩和温伯格的量子力学外推的前提。1991年，欧洲核子中心(CERN)的阿马尔蒂(Ugo Amaldi)、德国Karlsrube大学的德波尔(Wim de Boer)和弗尔斯特瑙(Hermann Fürstenau)用这些数据重做了乔基三人的计算，发现了两样重要的东西。第一，引力外的三种力在微小距离尺度(也就是高能/高温状态)几乎是一致的，但并不完全相同，如图7.2。第二，假如有超对称性，这小小的然而确定无疑的力的偏差就会自动消失。原因是，超对称性需要的新的超伙伴粒子会产生新的量子涨落，这些涨落正好能使那些力的强度趋于一点。

 

henryharry2 2011-03-06 07:05 大多数物理学家都感到这太难以相信了：大自然竟会这样来选择力——让它们在微观尺度上几乎统一、相等，却还留下一点儿偏差。这就像玩儿拼图游戏时，最后留下一块图板，总不能很好地放进它应该放的地方。超对称性灵巧地把那块图板的形状修正了一点儿，于是可以恰到好处地还原。当然，让人们相信——至少不要拒绝——超对称性，理由还不是那么充分有力。 [attachment=2133] 我们讲过，超对称性如何能将理论提高到最大的对称形式，但你可能会说，宇宙本不在乎这些只有数学才有的最大对称形式；我们讲过，超对称性如何让我们摆脱在标准模型里为避免量子问题而调节参数的困难，但你可能会说，真的自然理论也可能就在自我破坏与自我协调间走钢丝；我们讲过，超对称性如何修正引力外的三种力在小距离的内禀强度，使它们能融合成一个大统一的力，但你还是可以说，在大自然的设计中，似乎没有什么东西说明这些力应该在微观尺度上相同。而且，最后你可能会说，我们为什么还没找到一个超伙伴粒子，最简单的答案是，宇宙不是超对称的，超伙伴并不存在。

 

henryharry2 2011-03-06 07:07 20世纪60年代从维尼齐亚诺的研究中生出的弦理论包括了所有对称性，但不包括超对称性(那时还没发现呢)。以弦概念为基础的第一个理论，更准确地该叫玻色子弦理论。玻色子的意思是，弦的所有振动模式都具有整数自旋——没有半整数的自旋模式，也就是弦没有费米子的振动模式。这带来两个问题。首先，如果要拿弦理论来描述所有的力和物质，就必须想办法让它把费米子振动模型也包括进来，因为我们知道物质的粒子都是1/2-自旋的。 第二点，也是更令人困惑的一点，在玻色子弦理论中，有一种振动模式的质量(更准确说是质量的平方)是负的——即所谓的快子。虽然在弦理论以前，物理学家就研究过，在我们熟悉的正质量粒子外还可能存在快子，但他们也发现那样的理论在逻辑上很难(几乎不可能)是合理的。同样，在玻色子弦理论背景下，物理学家为了使奇异的快子振动模式的预言变得合理，曾探讨过各种可能的框架，结果都失败了。这些特点使人们越来越明白，玻色子弦理论虽然很有趣，但一定还存在某些根本性的错误。1971年，佛罗里达大学的拉蒙(Pierre Ramond)担起了修正玻色子弦理论以囊括费米子振动模式的挑战。经过他和后来施瓦兹和内弗(André Neveu)的研究结果，弦理论出现了新面目。令人惊讶的是，在新理论中，玻色子和费米子的振动模式是成对产生的。每一个玻色子对应着一个费米子，每一个费米子也对应着一个玻色子。 到1977年，特林大学的格里奥茨(Ferdinando Cliozzi)、帝国学院的谢尔克和奥利弗(Dayvid Olive)才发现这些成对出现的粒子的正确意义。新的弦理论包括了超对称性，而看到的这些成对出现的玻色子和费米子振动模式就反映了这种高度对称的性质。超对称弦理论——即超弦理论——就这样诞生了。而且，他们三个还有另一个重要结果：他们证明玻色子弦那令人困惑的快子振动不会损害超对称的弦。这样，一点点的弦困惑慢慢地消失了。

 

henryharry2 2011-03-06 07:08 不过，拉蒙、内弗和施瓦兹的研究的最初影响并不在弦理论。到1973年的时候，物理学家韦斯(Julius Wess)和朱米诺(Bruno Zumino)发现，超对称性——在新构造的弦理论中出现的那种新的对称性——甚至也能用在以点粒子为基础的理论中。他们很快就迈出重要一步，把超对称引进点粒子的量子场论框架。在那个时候，量子场论是主流粒子物理学家们的核心——而弦理论正慢慢成为它边缘的一个课题——所以，韦斯和朱米诺后来的大量研究都集中在所谓的超对称量子场论。前面讲过的超对称标准模型就是这些探索的一个辉煌成果。我们现在看到，在崎岖的历史征途上，点粒子理论也从弦理论获得过巨大的寿命。 我们的理论同样脱胎于强相互作用的实验事实。我们发现，强相互作用中确实存在超对称性，这样三种力的耦合常数能够交于一点。依据是轴磁场与极磁场的对偶性，电荷是极矢量的源，而质量是轴矢量的源；实验依据是核子所带的同位自旋，同位自旋相当于一种磁量子数，由于极磁场与轴磁场对偶，中子与质子只能选定一个同位自旋的第三分量。我们还比超对称量子场论和超弦理论更前进了一步，按照广义相对论的加速度等于曲率的观点，四种力很难统一；可是按照力等于曲率的观点，需要比较的是耦合常数的平方，就会使轴矢量有一个2的n次方的强化因子；这样根据庞加莱原理，引力的强度在小距离处就会迅速地追上其他三种力。 另一方面，我们还发现，极磁场和轴磁场存在两种对偶性，正对偶和反对偶，它们分别相当于杨-Mills场中的正对偶和反对偶，我们知道，瞬子正是由于杨-Mills中的反对偶而产生的，那正是量子场论反常的所在之处。随着超弦理论在20世纪80年代中叶的复兴，超对称性又在它原来的背景下出现了。在这个框架下，超对称性的表现远远超过了前面所讲的。

 

henryharry2 2011-03-06 07:23 弦理论起源于20世纪60年代的强相互作用研究，在弦理论中，人们抛弃了基本粒子是点粒子的假设而代之以基本粒子是一维弦。弦可以是闭合的(闭弦)，也可以是打开的(开弦)，自然界中各种不同粒子都是一维弦的不同振动模式；当然今天我们已经有了新的认识，即矢量的双荷=开弦，轴矢量圈的自旋=闭弦。自然界中所发生的一切相互作用，都可以用弦的分裂和结合来解释。毫无疑问，将四种基本相互作用力自然地统一起来是弦理论最吸引人的特点之一。 弦理论认为卷曲的额外维大小只有普朗克尺度。受弦理论启发。最近物理学家意识到额外维的尺度有可能会很大，甚至会大到亚毫米尺度，利用它能够解释粒子物理学中存在已久的等级问题(hierachy problem)，即弱电能标(~1TeV)和普朗克能标间的巨大差异。这两个能标在实验证实方面存在一个重要的不同点：人们已经完成了弱相互作用和电磁相互作用的统一，弱电能标是已经确立的实验事实，如今粒子加速器的能量刚好达到这一量级。反观普朗克能标，与之相联系的牛顿反平方定律只被验证到毫米尺度，这与普朗克尺度相差32个量级。 考虑到这一事实，美国学者Arkani-Hamed等人通过假定大尺度的额外紧致维提出了所谓的ADD模型。这一模型认为我们生活的时空是4+n维，其中4代表通常意义上的时空，n代表额外紧致维空间的维数。当通常的空间距离远大于紧致维空间的尺度时，牛顿引力的反平方定律成立，当空间距离接近于紧致维空间的尺度时，则牛顿引力的反平方定律不再成立。

 

henryharry2 2011-03-06 07:24 这样，等级问题可在4+n维时空下得到解决，引力与其他3种相互作用在弱电标度下统一起来，自然界只存在一个基本作用标度，即弱电标度。从实验上来看，由于弱电作用在弱电尺度下已有很强的实验支持，因此弱电作用应被限制在通常的4维时空中，即在标准模型中，粒子不能进入n维紧致空间，只有引力相互作用可以在4+n维全空间中自由传递。 ADD模型对引力与其他相互作用相比为何显得如此之小给出了一个自然的解释：因为引力可以在额外维中传播，绝大部分“引力线”漏到额外维中去了，从而使得引力看起来显得很弱。标准模型中的粒子不能进入额外维，只有引力场线能够延伸入额外维。进一步的计算可以给出额外维尺度的量级，在n=1时，这一尺度约为太阳系的尺度，天文观测表明在这一尺度下支撑着天体运动的牛顿反平方定律是成立的。因此n不可能为1。当n=2时，这一尺度约为0.3mm，即在两个额外维的情况下，ADD模型预言牛顿反平方定律会在亚毫米范围出现偏差，虽然已有的引力反平方定律的实验一般只验证到毫米距离以上，但最近有关亚毫米距离下的反平方定律的实验检验已经有了一些初步结果。 有了ADD模型，引力耦合强度就会在某个尺度上赶上其它三种力；很明显，使用庞加莱原理，也会形成一个高维空间，Girard-Hilbert空间是一种轴矢量的Hilbert空间，众所周知，Hilbert空间是无限维的，只不过Hilbert空间是一种抽象空间，并不对应任何真实的物理空间。我们发现，应用了庞加莱原理后，引力耦合强度会在核子或弱相互作用的尺度上赶上其它三种力。

 

henryharry2 2011-03-06 07:43 The general procedure for finding arbitrary representations of the 庞加莱群 relevant to physics is to: (1) Describe spin 0. As we have seen, this means starting with the coordinate representation, which is reducible, and apply the constraint p平方 + m平方 = 0 to get an irreducible one. (2) Find 洛伦兹群的任意的, 有限维, 不可约表示. This we have done in the previous section. (3) Take the direct product of these two representations of the 庞加莱群, which give the orbital and spin parts of the generators. (The spin part of translations vanishes.) We then need a further constraint to pick out an irreducible unitary piece of this product, which is the subject of this section.

 

henryharry2 2011-03-06 07:47 We have already constrained the momentum: The equation p平方 + m平方 = 0 as an operator equation acting on a field or wave function is the “Klein-Gordon (或相对论薛定谔)方程”. States or fields that satisfy their field equations are called “在-(质量-)壳”, while those that don't (or for which the equations haven't been imposed) are “off-shell". 下一步是限制“自旋” (actually, its Lorentz generalization). The basic idea of the extra constraint is very simple: The Lorentz group introduces states of negative probability, since the Minkowski space metric is indefinite. For example, if we write the naive Lorentz invariant Hilbert-space norm for a vector wave function, the time component will have negative probability. (Similar remarks apply to spinors, e.g., for the metric γ0 for the Dirac spinor.) The solution to this problem, in first-quantized operator language, is to constrain the spin to eliminate the negative-metric component, in analogy to the way we have already constrained the momentum by the Klein-Gordon equation. We thus impose constraint to kill the part of the Lorentz generators in the direction of the momentum, where “w” is a constant to be determined. (Its term can be attributed to ordering ambiguities.) This equation is the general field equation for all spins (acting on the field strength), in addition to the Klein-Gordon equation (which is redundant except for spin 0). We will see that this constraint is appropriate for mass-less particles. Massive particles then follow from dimensional reduction: adding a further spatial dimension and fixing its component of momentum to a constant, the mass, so p平方→ p平方 + m平方.

 

henryharry2 2011-03-06 07:48 根据Felix Klain，n维流形的几何学是由n维流形的变换群的不变性理论来表征的。Klein简单优美的方法迅速被同时代的大多数数学家接受。这个思想一个令人惊奇的应用是庞加莱与闵可夫斯基的发现，即狭义相对论不过是四维时空流形的几何学，它能够表征为洛伦兹群的不变性理论。在1905年的论文中，庞加莱引入了几个对正确掌握狭义相对论的几何意义至关重要的思想。他选择了长度与时间单位，使得c=1，开始了一场给相对论时空的对称性投下无比光辉的实践。他证明洛伦兹变换形成了一个李群。 他把这个群表示为四维时空的线性变换群，它混合了时间和空间坐标，但保持了二次齐次式的不变性。庞加莱进一步注意到，如果人们用复值函数(it)取代t，这样(it,x,y,z)就是四维空间的坐标，那么洛伦兹变换只不过是这个空间绕着固定原点的转动。除此之处，他还发展了一些物理上有意义的标量和矢量，例如电荷与电流密度，能够组合成具有洛伦兹不变性的四分量实体。 虽然所有这些贡献是由庞加莱作出的，然而狭义相对论的几何解释主要是由闵可夫斯基发展起来的。在1907年的论文中，闵可夫斯基理解了造成“我们关于空间与时间思想的完全变化”的相对论原理的最深刻意义：现在，“空间与时间中的世纪在特定意义上是一个四维的非欧流形”。在1908年的论文中，他注意到相对性公设“将意味着只有空间与时间中的四维世界才是由现象给出的”。

 

henryharry2 2011-03-06 07:50 根据闵可夫斯基，物理事件恒定地包含着地点与时间的组合。他把“在某一时间点的一个空间点，即数值x,y,z,t的系统，称为世界点”。既然任何地方、任何时刻都存在着物质，他就集中“注意力到世界点上的物质点”。从而，他得到了一幅关于“物质点的持续轨道，世界中的一条曲线，一条世界线”的图景。他说：“根据我的意见，物理定律可能会发现它们作为这些世界线之间相互关系的最完美表达。”出于这个理由，他宁愿把相对性公设称为“世界公设”，它“允许对四个坐标x,y,z,t作相同处理”。他宣称：“从今以后，空间本身和时间本身注定消逝为只不过是阴影，只有两者的一种组合才将保持一种独立的实在性。” 由狭义相对论引起的关于空间与时间思想的变化，包括时间的相对化，使得惯性系等价(只是作为物理事件的不同部分而进入同时事件的集合)，并使得以太成为多余。结果，体现为以太的绝对空间被惯性系的相对空间取代了，尽管非惯性系仍然是相对于一个绝对空间来定义的。在狭义相对论的闵可夫斯基表述中，每个惯性系的相对空间与相对时间能够通过单个四维流形——闵可夫斯基称之为“世界”，现在通常称之为闵可夫斯基时间——的投影得到。 闵可夫斯基认为，狭义相对论把具有独立于动力学过程的固定运动学结构赋予了四维流形。这抓住了狭义相对论作为新运动学的本质。这种运动学结构表现为一种由闵可夫斯基度规表征的编时几何学(chrono-geometry)，唯一地决定了闵可夫斯基时空的惯性结构(由自由下落系统定义，并由仿射联络表征)。闵可夫斯基把物理实体表示为一个世界点上的几何客体(他把它们称为时空矢量)。由于这种表示独立于参考系，它就被唯一地决定。因此，四维流形被设想为物理事件的一个舞台，物理定律被表述为几何客体之间的关系。

 

henryharry2 2011-03-06 07:52 即使不考虑质子衰变问题，SU(5)大统一理论还有其他的问题。其中的一些问题对于各种大统一理论具有普遍意义。最初，很多物理学家为电弱能标及大统一能标之间出现的荒漠感到忧心忡忡。实验物理学家写成的历史表明，只要提高能量就会发现新的粒子：最早是原子核，然后质子，再后夸克，最后W玻色子与Z玻色子。按最小SU(5)模型的预言来看——除了期待的Higg玻色子——在电弱能标(100GeV)和大统一能标之间，没有任何新的物理，新的粒子。 我们在看到任何有意义的现象之前，要将我们的加速器能量升高到现有水平的万亿倍之上。假如真的有这样的新物理荒漠，假如质子的衰变太过缓慢以至于不能观测到，这实际上就意味着根本不可能检验大统一理论的正确性。那就实在太令人灰心丧气了。 另一个值得注意的对大统一理论的批评是，尽管大统一理论可以解释标准模型中的一些参数，但无论如何也不能解释全部参数。比如，大统一理论既不能告诉我们夸克和轻子为什么具有我们观测到的质量，也不能解释费米子为什么会有三代。更为严重的是，要是我们仔细地计算，就会发现标准模型的三个耦合常数随能量的演化并不能真正地交于一点。它们的确可以靠得很近，但是近并不等于相交。统一并没有发生，这一点差不多毁了整个大统一的概念。(按照我们的理解，核子内部似乎确实存在超对称性。)

 

henryharry2 2011-03-06 07:53 也许最为严重的问题在于，大统一理论要忍受一个可怕的困扰：所谓的规范等级问题。虽然这个问题看起来很像一个技术问题，但是解决这个问题的诸多尝试却在过去的20年间推动了粒子物理学很多方面的发展。后面，我们还会再次碰到这个问题。 这里，我们先来看一下它到底说的是什么。标准模型中，费米子通过与标量(自旋为0)Higgs场(弥漫于整个宇宙)的相互作用获得质量。费米子的质量正比于费米子场与Higgs场的耦合常数。Higgs场通过自相互作用和与其他粒子的相互作用获得质量。但是由于Higgs场是一个标量场，因而会导致一些问题。标量场的相互作用与自旋非零的场的作用是截然不同的。由量子效应带来的标量场质量的修正与理论中最大的质量标度相同，这一点与有自旋的粒子截然不同。在大统一理论中，最大的质量标度就是大统一能标的量级，也就是10的15次方GeV。 换句话说，根据量子力学，Higgs粒子可观测到的质量将高达10的15次方GeV。而粒子加速器上电弱理论的精确测量却表明Higgs粒子的质量必定与顶夸克的质量很接近。更准确地说，在本文写作的时候，Higgs粒子的质量既不会小于114GeV，也不会大于249GeV。如果Higgs粒子的质量真的很大——甚至不必大于10的15次方GeV——通常的标准模型公式就是错误的。

 

henryharry2 2011-03-06 07:54 所以，一方面根据实验结果及标准模型框架下的理论计算，Higgs粒子实际上是很轻的(应该在100GeV的量级上)；而另一方面，量子效应又告诉我们Higgs粒子必须极端的重(10的15次方GeV的量级上)。这样构成的矛盾就是规范等级问题。最终我们只能说，从大统一理论中滋生出两个不同的能量标度：一个是电弱相互作用统一的能量标度；一个是大统一时候的能量标度。对于一个自旋为零的标量粒子来说，考虑了量子效应后，我们很难将这两个标度分开。 事实上，关于这个问题还是有一个解决办法的。在与其他的粒子相互作用之前，Higgs粒子有一个“裸”质量。我们可以精调这个裸质量使之正好消掉所有由相互作用带来的额外的大质量，只剩下一个几百个GeV的可观测质量。但是，为使结果与观测相符合，我们将不得不精调24位数字。用精细调节参数的办法来获得一个可以与实验相比较的结果这个办法相当丑陋；更诚恳的态度是举手承认你的理论行不通。等级问题的一个还能令人接受的解决办法是：假定在TeV的量级时，有未知的新世界。 对于所有合理的大统一理论，规范等级问题都是致命的杀手。虽然我们不喜欢Higgs粒子，但讨论一下也无妨，我们认为大统一理论的问题出在其野心太大了，我们将范围缩小，电弱统一理论只是探讨弱相互作用问题，而大统一理论只是想解决强相互作用问题；由于弱相互作用和强相互作用之间类似于串行量子化和并发量子化之间的关系，这里庞加莱原理在起作用，由于要乘上一个并发因子，就可以一下子将能标提高很多倍。这样，就可以解释规范等级问题，而且似乎重费米子超导体中也有这个问题。

 

henryharry2 2011-03-06 08:00 但这时引入超对称却有很重要的意义，因为，假如大自然真的具有超对称性，则大统一理论的很多麻烦立即就烟消云散了。回忆一下，大统一理论的主要失败之处在于标准模型中的三个耦合常数并不能收敛于一点；大统一理论的另一个大麻烦就是所谓的规范等级问题。 重新计算耦合常数的变化，并将超对称的贡献考虑进去时，人们发现耦合常数的确相交于一点！在超对称的大统一理论(SUSY GUT)中的确可以实现真正的大统一；另一方面，对Higgs粒子质量进行计算时，由“正常”粒子引起的大质量贡献被超对称粒子的贡献精确抵消掉：在超对称中，等级问题根本不是一个问题！这一切都好的太令人难以置信了。所以让我们来好好地了解一下超对称，看看它究竟是什么样子并且能够导致些什么。 假定我们可以整体地将一个费米子改变半个自旋使之成为一个玻色子，如果大自然真的具有超对称性，则在我们的整体变换下大自然将不发生改变。变换下的不变性就是：对称性。关于超对称，首先遭遇并且最重要的一个明显麻烦在于，没有一个已知基本粒子拥有能使得超对称变换发生的超对称伙伴。比如，不论是光子、弱相互作用玻色子还是胶子，都与电子的性质完全不同；我们根本找不到电子的超对称伙伴。既然如此，我们又怎么能够大谈超对称解决了所有的物理困难呢？

 

henryharry2 2011-03-06 08:01 超对称场论必须要承认的一点是，这一问题很难回答。超对称场论所能做的只是假设标准模型中的每个粒子都有其超对称伙伴，并且超对称伙伴的自旋与原来的粒子相差1/2。超对称场论还得进一步假设，因为某种原因，目前实验上看不到任何超对称伙伴，这样就逃避了看不到超对称伙伴的麻烦。命名超对称粒子依据这样的规则：在标准模型的费米子前面加上一个“s”就是它的超对称伙伴，规范玻色子后面加一个“ino”就是它的超对称伙伴。 这样费米子的超对称伙伴就是标量电子；夸克的超对称伙伴就是标量夸克；而规范玻色子常称为“—微子”，比如，光子的超对称伙伴就是光微子；胶子的超对称伙伴就是胶微子；等等。符号表示上，我们将标准模型粒子上面加上一个(~)来表示相应的超对称伙伴；显然，超对称的术语非常的丑陋，尽管如此，超对称场论还是常常使用到它们。 超对称能够解决耦合常数的问题。当超对称场论计算高能量处耦合常数的演化时，必须要将粒子的超对称伙伴的影响考虑进去；超对称粒子的出现改变了耦合常数的演化。而超对称之所以能够解决规范等级的问题则是因为：超对称粒子对Higgs粒子质量的贡献与标准模型粒子对Higgs质量的贡献相等并且反号，所以两者相消。由超对称大统一理论描绘的世界图景具有非凡的对称性及高度简单性。想象一个有箭头的量子粒子，其箭头能够指向想象的空间的方向。箭头指向一边的时候，这个粒子是一个夸克；当它指向另一边时，它就是光子了；再次转动箭头，这个粒子就是电子了，诸如此类。而在这箭头改变指向的时候，物理规律并不改变。想想看吧，这才是基本的东西应该有的样子。

 

henryharry2 2011-03-06 08:03 物质和反物质的湮灭是概念上极有趣的过程。我们将通过考虑电子-正电子湮灭成双光子这样一个例子来研究该过程。我们立刻注意到，这些Feynman图与描述Compton散射的图极为类似；事实上，若时间轴的方向旋转90度，则它们的Feynman图完全等同。当然，实验上两个过程将以完全不同形式出现。在对湮灭中发射出两个光子而在Compton散射中，一个光子被电子吸收，又有一个光子从电子上发射出来。Feynman图所示过程的S-矩阵元能够利用通常规则容易地写出，我们必须考虑正确的运动学：两个粒子进来和两个光子离开。 我们用出射平面波来描述两光子。显然，S矩阵元对光子交换是对称的，按照Bose统计，它就是应该是这样。为确保这一对称性两个图贡献必须相干加在一起。我们将首先对此过程作解释。一个动量和自旋为(p-,s-)的正能电子在过去产生，并沿时间轴向前运动。它被散射成四动量-p+沿时间轴向后运动的负能态。动量-p+的负能电子的波函数为v(p+,s+)，在散射过程中，它将其能量通过发射两个光子转移成辐射能。 与通常一样，δ函数表示入射和出射粒子间能量-动量守恒，只有电子进入反应区：两个光子和正电子退出反应区。然而正电子有四动量-p，因为它是被负能电子所代表。一个电子-正电子对湮灭成单独一个光子在运动学上是被禁的，这是容易理解的。这种假想的过程是不可能的，最容易的就是放到质心系中去理解。注意，该论断仅对电子是自由粒子时适用。湮灭正电子与束缚在原子核中的电子成单光子是可能的。在这种情况下，第二个光子被原子核所吸收。

 

henryharry2 2011-03-06 08:05 在着手计算湮灭散射截面之前，我们回到湮灭和Compton散射间的密切关系上。两个过程通过交叉对称相关联，而交叉对称是当我们把电子-电子散射和电子-正电子散射作比较时首次碰到的。那里，我们注意到B+A→C+O类型的过程与B+Ō→C+Ā类型过程之间通过一个代换规则互相关联。在对湮灭过程中，我们能把B定义为电子，A为正电子，以及C、O两个光子。交叉就导致Compton散射；我们能定义O=Ō，因为光子的反粒子就是它本身。 对湮灭(电子+正电子→γ+γ) Compton散射(电子+γ→γ+电子) 对产生(γ+γ→正电子+电子) p- pi -p+ p+ -pf -p- k1 -k -k1 k2 k -k2 为给出完整的描述，我们注意到可以第二次应用交叉对称。从而Compton过程与表示γ+γ→正电子+电子的过程有关。这是一个由双光子产生电子-正电子对的过程，这三个过程可以按照代换规则相互关联；从而所有这三个过程本质上受到同一物理的支配，仅仅运动学条件不同。我们再次强调交叉对称是严格的，不是局限于微扰论一个特定阶的。然而，碰撞的运动学量是不同的，因为现在终态中有两个光子，在入射道中存在两个有质量的粒子。

 

henryharry2 2011-03-06 08:08 这种种原因都使我们得出一个看法：超对称真是太美妙了。它不但允许三种力实现真正的大统一；还能够解决规范等级问题。还有别的什么妙处吗？是的，或许吧。比如，有人认为，它还能够解决宇宙中隐身了的物质的问题。总之，关于超对称，值得一提的还有很多。 我们看到，超对称大统一理论之所以出现问题是因为它管的太宽了——试图将电磁力、弱力和强力都包含进来。对SU(5)大统一理论的细致研究表明，三个耦合常数并未相交于一点。尽管靠得很近，但毕竟彼此错开。这意味着至少在简单的SU(5)大统一理论中并未发生大统一。 由于只有强力的耦合常数有些异常，只要我们缩小范围，只让强作用包含超对称，三种力的耦合常数相交于一点是可能的。事实上，按照我们的分析，强相互作用中的夸克和胶子之间确实存在超对称性；首先，实验表明重子和介子中的荷确实是成双成对的，根据交叉对称性，成双成对的夸克荷湮灭时，确实与双胶子产生过程是对偶的。其次，假如横向极化分量和纵向极化分量是对偶的，那么，在我们看来，成双成对的无质量的胶子仿佛像有质量一样；光子型黑洞给了我们最好的证明，在光子型黑洞中，光子本来属于无质量的规范场，可是由于光子禁闭，仿佛光子有了一个质量；现在由于胶子禁闭，胶子也仿佛有了质量。

 

henryharry2 2011-03-06 08:09 或许超对称最引人入胜的一点是以下要讨论的内容。假定你对一个粒子连续做超对称变换。比如，先将一个自旋1/2的费米子变成一个自旋为0的玻色子，然后再来次超对称变换将它变回自旋1/2的费米子。这个费米子就会移到空间中的另一个点。换句话说，重复超对称变换会使我们得到一个空间变换——而空间变换属于庞加莱变换。 正如我们早前提到的那样，局域庞加莱不变性正是引出广义相对论的对称性！就这样，我们发现了超对称与引力之间蛛丝马迹的联系。具有整体变换不变性的物理定律，并不一定同时要满足局域变换不变性。将一个整体变换转换成局域变换的时候必须要引入一个抵消场——规范场——于是就产生了力。我们说过，我们并不认为规范场满足平移不变性，但是我们的对合原理——也就是John Cramer量子化方法——仍然能够模仿出平移变换对称性来，这样我们在不需要超对称伙伴的情况下，量子引力理论仍然满足局域变换不变性。 考虑地球和月亮之间的引力，地球向月亮发射一个牛顿引力子，这相当于平移变换；也会引起时空的弯曲，可是光子的自旋是1，可以转过360度，但牛顿引力子的自旋是0，按照拉盖尔公式，只能转过180度，只能是月亮向地球发射一个超前的牛顿引力子，相当于负能态，于是就可以转过360度了。这就是说，通过对合原理，牛顿引力确实具有超对称性，并且我们发现牛顿引力场是一个自对偶的场。

 

henryharry2 2011-03-06 08:12 到目前为止，我们都还是在讨论整体对称性变换的超对称。当我们在一点做超对称变换时，则所有的点也都要做同样的超对称变换。听起来整体变换好像比局域变换更重要些似的。不过，局域变换的限制性更强因此威力也更加巨大。如果我们研究局域超对称性，那就意味着我们可以在不同的点进行不同的超对称变换而保持物理规律不发生变化。相当强的要求，不是吗？ 我们知道电磁场方程具有整体相位变换不变性的特点；我们也可以使电磁场在局域相位变换下具有不变性，只不过我们要引入抵消规范场。当我们获得在不同的时空点为Dirac场选取不同相位的自由的时候，我们为理论引入了光子。在整体对称性下我们可以有电荷的概念，但是只有在局域对称性的概念下，我们才有光子和光。这个结果内涵深刻。或许你会想，要求理论具有局域超对称变换不变性也将导致一个内涵同样深刻的结果；也许你会要求在不同的时空点有自由选择粒子或超对称粒子的自由，以便能够得到更加有意义的物理。你的想法一点都没错：当你要求理论具有局域超对称性的时候，的确会得到很多内涵深刻的结果。 就像以前一样，要使理论具有局域对称性，你就必须要引入抵消场。事实上，若要求超对称性是局域的，则将会引入两种规范场。一种规范场传递与超对称变换有关的信息；数学上，这样的规范场必须是自旋3/2的场。另一种规范场传递的是两种超对称变换的交汇，等价于时空变换信息，这种规范场应该是自旋为2的无质量场。自旋为2的无质量场的引入强烈地刺激着一批物理学家的神经。如果你相信量子尺度上的引力也是通过交换某个粒子来实现的，那么你就可以推测出那个粒子——引力子——的某些性质。引力子必须是无质量的，原因在于引力和电磁力一样是长程力。因为引力是吸引力，所以引力子的自旋必须是0,2,4…这样的偶数，具有奇数自旋的粒子(比如电磁场的光子)产生的是排斥力。

 

henryharry2 2011-03-06 08:14 如果爱因斯坦引力子是自旋为0的粒子，我们就不能观测到引力透镜的效应——光在引力场中发生弯曲，而这一现象是天文学家已经实实在在观测到的现象，所以爱因斯坦引力子的自旋不可能是0。自旋大于2的情况则由理论自洽性的技术原因被排除掉了。这样我们就只剩下一种可能了：爱因斯坦引力子是自旋为2的无质量粒子。于是我们发现，引力子其实就是局域超对称理论的规范粒子。 我们反过来再看一遍。假如一开始我们就假设在量子场论中，引力场是通过交换自旋为2的无质量粒子实现的，则我们就将推出广义相对论方程。所以只要要求理论具有局域超对称性，就将自动地得到引力相互作用。这是超对称所引发的另一个壮美的结果! 令超对称性是一个局域超对称性时，人们会自动得到广义相对论，所以局域超对称理论被称为超引力。 上面是Stephen Webb的观点，事实上，我们不需要核子以外的超对称性，而利用对合原理也能推导出广义相对论；超对称在实验上没有被观测到，是站不住脚的。而且，我们发现，整个宇宙中可能爱因斯坦引力子所起的作用超过牛顿引力子，但在我们的日常生活中，应该是牛顿引力子起主要作用，超引力理论和超弦理论都“忘记”了牛顿引力子。比如，两个核子之间除了能够交换自旋为0的π介子外，还可以交换自旋为1的ρ介子和自旋为2的张量介子；因此，引力子也应该可以有各种不同的自旋。

 

henryharry2 2011-03-06 15:27 我们将阐述圈量子引力是怎样从几个简单的思想发展成为一幅具体的最短可能尺度上的时空图像的。这几章的风格上比其它章节更具叙述性。圈量子引力的故事实际上最早开始于20世纪50年代。最初的思想来自于一个看起来跟引力毫无关系的学科，超导体物理学。在物理学中经常会发生这样的事情：少数真正好的思想总是在不同的领域之间传递。材料物理，比如金属物理和超导体物理，已经成为物理思想的一个十分丰富的来源。毫无疑问，在这些领域中，理论和实验之间的相互推动十分紧密，这使得发现物理系统自组织行为的新途径成为可能。 基本粒子物理学家没有机会像这样直接地检测他们所提出的物理学模型，所以，我们从材料物理中获取新思想的事情已经发生好几次了。超导电现象是一个非常奇特的现象。它是指某些金属在一定的条件下，电阻可以变为零。临界温度通常很低，仅仅比绝对零度高几度。我们要讨论的一系列思想要追溯到20世纪50年代，那里人们才刚刚了解简单超导体的工作机理。还存在第二类超导体，在某种情况下场线可以是离散的。假如你让磁场穿过超导体，那么磁场将会分裂为离散的场线，并且每一条场线都携带着一个基本单位的磁通。实验表明，通过超导体的磁通量总是这一基本单位的整数倍。 超导体中的磁场线呈离散分布是一个非常奇妙的现象；它既不同于电荷的分立性，也不同于物质的离散性，因为它跟一个携带力的场有关。而且，由于它依赖于材料性质以及通过的磁场，所以我们看起来可以随意地让它产生或者消失。我们说过，“薛定谔蛋”中的磁荷总是成双成对的，很像第二类超导体；另一方面，量子化的最小质量系统又很像“薛定谔蛋”，轴磁荷也总是成双成对的。

 

henryharry2 2011-03-06 15:28 我们有确凿的证据表明，就像原子内部具有电子、质子和中子一样，在质子和中子的内部存在着夸克。然而，在这两者之间有点不同，那就是夸克看来是束缚在质子内部的。没有人看到过游离于质子、中子以及其他粒子之外作自由运动的夸克。没有一个人能够找到一条让夸克脱离质子或者中子的途径。我们说夸克是被禁闭的。现在，我们需要澄清的是，在质子内部是不存在这样一种力，它既可以像原子中的电场那样充当维持电子在原子核外运动的电场的角色，而又使得夸克永远也不能展现在我们面前呢？ 有一个办法可以很简单地描述强相互作用，设想两个夸克是由一根长度一定的弦相连的。这根弦具有一个很奇特的性质，即：我们想让它伸长多少，它就能伸长多少。无论这根弦有多长，只要拉伸它，我们就不得不施加能量给它。反过来，要施加能量给这根弦，我们必须拉伸它。这意味着夸克之间存在着力的作用。这种对束缚夸克的作用力进行描述的弦模型是十分成功的，它能解释许多实验结果。但是，它同时也带来了这样一些问题：弦是用什么做的呢？它本身是一个基本的实体吗？抑或它是由某些更基本的东西所组成的吗？几代粒子物理学家潜心研究，所要回答的正是这个问题。 我们所拥有的一个重大线索是，这根在两个夸克之间伸展的弦的行为就跟超导体中一条磁通线一样。这蕴含着一个简单的假设：真空或许也是一种超导体，只不过在其中变得离散的不是磁通线而是使夸克的色荷结合在一起的力线；这是基本粒子物理学在过去几十年中最富有创造力的思想之一。它能够解释夸克为什么会被禁闭在质子和中子之中，以及许多有关基本粒子的事实。但是真正令人感兴趣的是，这一思想显然含有佯谬，因为可以用两种迥然不同的方式来看待它。

 

henryharry2 2011-03-06 15:29 人们可以把色-电场作为基本实体，然后试图把夸克之间的弦理解为由空间的某种性质所导致的图景，而这个性质就是，空间跟电的超导体类似。这正是从事量子色动力学研究的物理学家所选择的方式。对于他们来说，关键的问题在于弄清为什么真空在某种情况下能够表现出超导体的性质。这并不像听起来那样不可思议。我们还可以采用另一种方式来理解这些被伸展的弦所联系在一起的夸克；这就是不把弦看作是某种场的力线所组成的，而把它们本身视为基本的实体；这一图景产生了最初的弦理论。根据最早的弦理论家所言，弦是基本的，而场只不过是对弦在某种条件下的行为所作的近似描述。 这样，我们就有了两幅图景；在其中的一幅中，弦是基本的，场线是一种近似描述；而在另一幅图景中，场线是基本的，而弦是一种从中导出的实体。人们对这两种方式都进行了大量的研究，并且每一种方式都在解释实验结果中取得了某种程度的成功。当然，这两者之中可能只有一个是正确的，它是哪一个呢？在20世纪60年代，只存在一幅弦图景。20年后，这个图景为创建弦理论(作为一种可能的量子引力理论)植下了种子。量子色动力学发明于20世纪70年代，它很快就取代了弦图景，因为它作为一个基本理论看起来更为成功一些。但是20世纪80年代中期，弦论又重新获得了生机。 现在，当我们迈进21世纪的时候，两个理论都取得了巨大的成功。但实际上，其中一个理论比另一个更基本的问题依然存在，不过，我们仍然无法分辨究竟是哪一个。还存在第三种可能性，即：弦图景和场图景仅仅是看待某一相同事物的两种不同方式而已。它们或许一样基本，实验不可能确定孰优孰劣。 这一可能使得许多理论家兴奋不已，因为它对我们怎样来思考物理的某些最深层的本能发起了挑战。它被称为对偶性假设(hypothesis of duality)。

 

henryharry2 2011-03-06 15:30 在线性量子场论中，这一对偶性假设或许可以从量子理论中的波粒二象性导出。对偶性假设的重要性不亚于波粒二象性或者相对性原理。对偶性假设告诉我们，两个看起来不同的现象其实只是描述同一事物的两种不同方式而已。如果情况真的是这样，那么对偶性假设将对我们理解物理学产生深远的影响。对偶性假设还提出了一个自19世纪中期以来就一直困扰着物理学的论点。 这就是，世界上看起来存在两类事物：粒子和场。这一二元论式的描述看来是必需的，因为，正如我们自19世纪以来就知道的，带电粒子并不是直接相互作用的。相反，它们是通过电场和磁场来进行相互作用的。许多现已观察到的现象都支持这一假设，其中包括粒子之间的信息传递速度是有限的。而信息传递速度是有限的原因就在于信息是通过场中的波来传递的。 许多人对需要假设两种截然不同的实体来解释世界而感到不安。19世纪，人们曾经试图用物质来解释场，这就是著名的以太理论，爱因斯坦对此作了极其有效的批判。现代物理则反过来试图用场来解释粒子。但这并没有解决全部问题，最严重的是场理论中到处都是无穷大量。出现这些无穷大量的原因在于当某人接近某个带电粒子时，他周围的电场强度将变得越来越大。

 

henryharry2 2011-03-06 15:31 有两条途径可以解决这一问题，并且我们将会发现这两个办法在量子引力中也都起着非常重要的作用。一条途径是，否认空间是连续的；另一条途径是，承认对偶性假设，人们能做的就是用弦来取代粒子。这可能是有效的，因为在远处人们不可能真的区分出某物是一个点还是一个小圈。但是，如果对偶性假设是正确的，那么弦和场就将变成看待同一事物的两种不同方式了。采用这样的办法，通过接受对偶性假设，几个困扰物理学近两个世纪的问题就可以被解决了。 其实对偶性假设是成立的，通过极矢量与轴矢量的对偶性，这一点看得非常明显。这里的场指的明显是极矢量场，而弦则是轴矢量场的表象，因为连接在弦的两端的两个夸克之间具有轴对称性。因此，从极矢量与轴矢量的对偶性就可以推导出弦与场的对偶性，如果你愿意的话，可以给出这种结果的详细的数学证明，说不定能得个Wolf物理学奖之类的。我们这里将不给出严格的证明，因为有众多物理学界的大腕十分相信对偶性假设，他们之中包括L. Smolin、K. Wilson、Polyakov和特Hooft等。 我们想说，对偶性假设其实有局限性，只适用于强相互作用的场合；因为只有强相互作用中极矢量才与轴矢量对偶，弱相互作用中虽然极矢量与轴矢量也对偶，但这种对偶性会随着中间矢量玻色子的衰变而破缺。这可以解释一个问题，由于胶子没有质量，色-电场应该是一种长程力，但实际上我们观测到的颜色场总是短程力，现在你可以明白其原因了，那是由于极矢量和轴矢量的对偶性；虽然极矢量场与轴矢量场都是长程力，而极矢量场与轴矢量场之间通过一个垂直变换联系，这个垂直变换就将两者的合力变成短程力了。另外，似乎强相互作用中的磁通总是双向的，不同于单向的Abrikosov磁通。

 

henryharry2 2011-03-06 15:32 我们没有给出对偶性假设的详细证明，但是会提供许多间接的证明，因为有许多人相信对偶性假设，Kenneth Wilson就是其中的一位。Wilson提出了一个卓有成效的方法理解真空的电超导体模型，并且此方法一经提出就对许多物理学家的毕生研究产生了重大影响，其中就包括Lee Smolin。Wilson要求我们不要视空间为连续的而把它想像成一种由许多格点所组成的网络，并且点与点之间由线相连。 我们称这种网络为格点(Lattice)的正则图。在概念上，把空间想像成离散的格点而不是连续体是非常重要的。Wilson向我们宣称，通过在格点上画场线，我们可以非常简单地描述QCD的色-电场。他并不试图证明真空像一个超导体，而仅仅假设场线是离散的，它们可以沿着格点移动。Wilson还写出了用于描述场线是怎样在格点上移动和怎样相互作用的规则。从那以后，每一个人都称色-电场线为Wilson圈。 Wilson的观点跟其他任何一个先前考虑过这些问题的人都大相径庭。他告诉我们，就像在电学中一样，如果存在某种电荷，场线将会有一种群聚的趋势。这种群聚的方式是：当它们变得非常长的时候，它们会失去离散性，而表现出跟通常电场线相似的性质。支配Wilson理论的规则非常简单，简单到可以把它解释给一个孩子听。但是如果物理学在假想了空间是离散的而不是连续的之后变得容易描述多了，那么这一事实本身是否也是一个支持空间是离散的强有力的证据呢？如果是的，那么在某一非常小的尺度之下，空间看起来是否就跟Wilson的格点一样呢？

 

henryharry2 2011-03-06 15:33 Polyakov告诉我们，他为了追求一个愚蠢而又虚幻的梦想奉献了他的一生；这就是把QCD表示成一个关于色与电流的线和圈的动力学理论，这跟Wilson圈相同；他试图从理论中找出一段量子化的电流图是基本实体的描述。受到Wilson和Polyakov的启发，Smolin依据这些理论系统地阐述了圈量子引力。圈量子引力是引力的一个量子理论，这个理论可以做一些别的理论未曾做过的事情，即：它能够在普朗克尺度上为我们提供一个关于物理学的精确描述，在这一描述中，空间仅仅是从一系列分立的基本物体之间的关系中构造出来的。这些基本的物体仍然是Wilson以及Polyakov的圈，不过，它们不再是生活在格点上，甚至空间中的了；相反，它们的相互关系定义了空间。 Polyakov曾经说过，得到一个纯粹关于圈的并且能够用一些简单得足以精确求解的方程来描述真实世界某一方面的理论是他的最大梦想。而最终Smolin等得到的正是这样一个理论。而且，当把它用于构造量子化的爱因斯坦引力理论时，所得到的理论将仅仅取决于图之间的相互关系，即它们怎样打结、连接和纽绞的。对于打结的第一种可能都存在一个解。 就这样，现在被称为圈量子引力的量子引力理论诞生了。人们花了好几年的时间才揭示了量子引力方程的解的意义。一个直接的结果是，量子几何是离散的：力线像超导体中的磁场线一样是离散的。把这一思想表示成引力场的圈图，可以证明，它蕴含着任何表面的面积都是某一基本单位的整数倍。其中的最小单位是普朗克面积，即普朗克长度的平方。这意味着所有表面都是分立的，它们都是由携带某一有限面积的面积元所组成的。同样，体积也是如此。

 

henryharry2 2011-03-06 15:34 Alexander Polyakov告诉我们，他试图中从理论中找出一段量子化的电流圈是基本实体的描述，他的信仰完全是一个关于对偶性假设的宣言。对偶性思想仍然是基本粒子物理和圈量子引力研究的一个主要驱动力。对偶性的观点非常简单，他认为看待同一事件有两种方式，一个根据弦，另一个根据场。人们已经证明，在某些非常专门的理论(它们都依赖于非常具体的为了简便起见而作出的假设)中对偶性是有效的。 在这些理论中，人们或者把空间的维数从三降为一，或者引进许多附加的对称性，从而使得理论可以非常简单地被人理解。即使对偶性没有解决启发人们发明它的问题，它仍然被证明是圈量子引力论的中心概念。这里所发生的正是一个非常好的科学思想怎样从它们的出发点传播到别的领域的非常典型的范例。通过极矢量与轴矢量的对偶性，我们简单地论证了弦与场对偶性是成立的并且有一定的局限性。 你会看到，有那么多世界顶尖的大师是多么地看好这样一个理论结果。跟许多优美的思想一样，这一思想经过若干次尝试后确保其正确。受到Wilson和Polyakov的启发，并进一步得益于特Hooft、佩斯金(Michael Peskin)和Stephen Shenker关于格点理论的课程，Smolin依据Wilson格点理论系统地阐述了量子引力。Wilson的格点理论可以消除无穷大，但格点理论却具有致命的缺陷。格点理论的错误在于Wilson的格点是一个绝对的、固定的结构，因此，它与爱因斯坦引力理论的相关特性是矛盾的。为了解决这一问题，格点本身将不得不是一个随时间演化的动力学结构。Smolin从这次失败的尝试中深深地体会到，人们不可能用在固定不变的背景中运动的东西，来构造出一个成功的量子引力理论的。

 

henryharry2 2011-03-06 15:35 正如所发生的那样，广义相对论已经存在了。但是，说也奇怪，它被广泛地误解了，甚至许多专门研究广义相对论的物理学家也对它产生了误解。不幸的是，广义相对论一般被认为是一个生产时空几何结构的机器，因而人们就像牛顿对待他的绝对时空一样，把时空看作为固定和绝对的实体而物体则在其中运动。可是，一个需要回答的问题是，到底是哪一个绝对时空描述我们的宇宙呢？在牛顿理论中我们没有选择，而广义相对论则提供了一个在各种可能的时空中进行选择的机会，这是与牛顿绝对时空的唯一差别。某些教科书正是这样介绍的，而且甚至有些哲学家也是这样介绍的，按理说，他们应该对此有一个更恰当的理解，但是他们看起来也是按照上述方法来解释时空的。 Julian Barbour的一个重要贡献就是，他令人信服地指出了这根本不是理解相对论的正确方式；相反，广义相对论必须被理解成一个描述关系网络的动力学演化的理论。关于时空只不过是动力学演化关系的理论和一般数学表达方式；Julian证明了爱因斯坦的广义相对论可以被理解为仅仅是这样一种理论的一个例子。这一论证揭开了广义相对论时空描述的关系本性。圈量子引力发明了某种类似于Wilson格点理论的东西，但是其中不存在固定的格点，因而整个结构都是动力学和表示关系的结构。 爱因斯坦绝对时空观对量子场论的影响是全面的，影响到了量子场论和弦理论。因此我们对爱因斯坦绝对时空观修正的每一步都是必须的；光速不变原理和相对性原理都是对的，爱因斯坦的错误是在数学上，要用射影空间中的无穷远点代替光速，这同时可以解决无穷大的问题。另外一个重要的问题就是纵向分量的问题，很明显弦是极矢量和轴矢量场的纵向极化分量，如果弦与场的对偶性成立的话，前提条件就是纵向极化分量必须存在，换句话说，必须有一套相应的轴矢量狭义相对论。

 

henryharry2 2011-03-06 15:45 但是物理学家们发现，如果宇宙是超对称的，自然粒子必然成对地出现，而自旋相差半个单位。这样的粒子对，不论看做点还是看做振动的小圈，都叫做一对超伙伴。因为物质粒子自旋为1/2，而多数信使粒子的自旋为1，这样看来，超对称让物质粒子与力的粒子配成了对，结成了伴。这似乎是一个美妙的统一图景。问题出在一些细节上。当物理学家想在标准模型中寻求超对称时他们发现，没有一个能做另一个的超伙伴。 再走近些看，超对称性似乎是一种很不“节约”的特征，它需要一大堆新的粒子。因为这些超伙伴粒子一个也没有发现过，你可以把拉比为μ子说过的那句话说得更干脆些，“没有人想要超对称”，而且你可以完全拒绝这个对称性原理；然而许多物理学家还是强烈地感到，那么干脆地把超对称性扔了，还为时过早，原因有三点，我们后面就来讨论。 虽然弦理论有点“脑筋不正常”，但很多方面都是与量子细胞场论同构的，这样说来弦理论也不失为量子细胞场论的一个“好兄弟”。量子细胞场论是隐含了无需实验支持的超对称性的，那就是射影空间中无穷远点与普通点之间的对称性；以电磁相互作用为例，电子内部隐含了一个U(1)群，与电磁场的U(1)群是同构的；所以你也可以将电子看成是某种“弦”。这样就把量子细胞场论的“内部几何”与弦理论联系了起来；以引力为例，量子细胞场论的“外部几何”与(对合的)广义相对论是同构的，而“内部几何”与“外部几何”是对偶的，实际上“最小耦合”就是将“内部几何”与“外部几何”耦合起来；于是，量子细胞场论就将(对合)广义相对论与超弦理论统一了起来，只要引力场的量子是闭弦就可以了。

 

henryharry2 2011-03-07 07:53 在线性量子场论框架下我们终于将几种流行的理论统一了起来：纵向极化分量的绑定=弦理论；极磁荷与轴磁荷的垂直变换=扭量理论；规范玻色子的驻波解=非交换几何。它会实现森的目标，因为一整套圈的方法起源于他试图了解超引力如何量子化的努力。 我们的假设是没有问题的，而且弦理论和圈量子引力可以描述同一个世界的证据也在积累起来；一条证据是相同的数学概念结构在两边不断出现。这是一种关于如何将量子理论与相对论结合起来的想法，是由法国数学家孔涅发明的。基本思想非常简单：在量子物理中我们不能同时测量粒子和位置和速度。但是如果我们想要做的话，我们至少可以精确地确定位置。然而，应当注意到粒子位置的确定事实上需要三个不同的测量，因为我们必须测量粒子相对于三条坐标轴的位置。所以我们可能考虑不确定原理的一个延伸，就是人们一次只能精确测量这些分量中的一个。当不可能同时测量两个量时，它们被认为是非交换的，并且这种思想导致一种新的几何，称为非交换几何；在这样一个世界中，人们不能定义点的概念。 于是，孔涅的非交换几何给我们提供了另外一种描述世界的方法，在其中常规的空间概念被打破了。没有了点的概念，从而问及在一个给定区域内是否存在无穷多个点也就失去了意义。真正神奇的是，孔涅发现相对论、量子理论和粒子物理的一些大的片段都可以被引入到这样的一个世界。起初，孔涅的思想独立于其他的方法发展。但是在过去的几年中，人们惊奇地发现无论是圈量子引力还是弦理论所描述的世界，其几何都是非交换的。

 

henryharry2 2011-03-08 10:14 下图是Escher的版画“圆形极限”，也称为“天堂与地狱”。形象地描绘了Lobatchevsky几何；在这张画中每一个存在于体空间中的天使与魔鬼都同样大小；在接近于圆周的地方距离会拉长，空间的负曲率造成了扭曲。很多这样的图堆积在一起形成了一个塔，从塔的正面来看就是反de Sitter时空的一幅快照： 我们发现Lobatchevsky几何与庞加莱双曲几何是对偶的，这种对偶性类似于单重椭圆几何与双重椭圆几何的对偶性，单重椭圆几何与庞加莱双曲几何对偶，双重椭圆几何与Lobatchevsky几何对偶；这种对偶性是一种动态对偶性，不知道数学家们是否早已发现了这种对偶性，美国新数学丛书《几何变换》第四册有用到庞加莱双曲模型证明Lobatchevsky的命题，可惜的是唯独第四册没有中译本，所以我们也不知道这算不算是几何学上的一个新发现。 这种对偶性也是射影空间中角度变换与平移变换对偶性关系的一个扩充。如果量子场论中的轴子或者轴矢量服从Lobatchevsky几何，那么就直接排除了真空凝聚的可能性，也就排除了真空自发性破缺的可能性；换句话说，量子场论的许多推论前提都是错的，唯一可能正确的理论只有量子细胞场论，并且看起来作为统一场论核心的自对偶三角形确实服从Lobatchevsky几何。

 

henryharry2 2011-03-08 11:03 人们发现，某些微分几何概念很可能是统一场论的数学基础。在研究同位旋量时，Yang-Mills所用的本质上是SU(2)丛的一个联络。这是非阿贝尔规范场理论的第一个实例；从联络可以定义作用量。四维欧氏空间上的SU(2)丛中使作用量取最小值的联络被称为瞬子；它的曲率有一个简单的表达式，称为自对偶关系。从而瞬子是Yang-Mills方程的自对偶解。当四维欧氏空间紧致化为四维球时，SU(2)丛除了一个同构外由一个拓扑量子数决定。Atiyah-Singer证明，对于给定的拓扑量子数k，四维球上曲率自对偶的联络的集合称为模或参数空间，是一个光滑流形，其维数是8k-3。用物理术语来说，这就是拓扑量子数大于零的瞬子空间的维数。 Atiyah和Ward注意到，自对偶的Yang-Mills场可以很好地纳入彭罗斯的扭量方案。他们把求所有自对偶解的问题转化为代数几何问题：在复三维射影空间中全纯向量丛的分类问题。这个问题已由K.巴思、G.霍罗克斯等人非常接近地研究过了，用了他们的结果，可以最终地找出所有自对偶解。事实上，回到物理，这些数学结果可以翻译成物理学家感到满意的显式公式。 瞬子通过以下的结果表明它和爱因斯坦的关系；群SO(4)局部同构于SU(2)╳SU(2)，所以四维黎曼流形M上的黎曼度量通过投影给出一个SU(2)丛的联络。依投影的方法而区分，M为爱因斯坦流形的充要条件是这些联络为自对偶或反自对偶。我们需要指出的是，丛和联络这两个几何概念是非常简洁的，我们相信爱因斯坦会喜欢它们。

 

henryharry2 2011-03-09 06:52 既然对合超对称性肯定是成立的，我们就可以引用超对称量子场论的一些成果，虽然无法全盘照搬过来，但某种程度的“嫁接”总是可以的。在探求物质世界运作的过程中，随着近几年来标准模型的发展和验证，第一个求知阶段的研究已近大功告成。标准模型对于基本粒子以及自然作用力的描述很清楚，至于我们所看到的许多物理现象，也能够成功描述。标准模型包含质子、原子核、原子、分子、凝聚态、恒星等等诸多行为的基本原理，它已经解释了许多以前所不了解的事，做了数百次成功的预测，其中还有许多深具戏剧性。如果标准模型能成功描述世界，怎么会有统一量子场论超越它呢？有两点原因： 第一、标准模型无法解释宇宙学上的一些问题；宇宙是一门从大尺度研究宇宙的学问。例如，标准模型无法解释为何宇宙是由物质而非反物质所构成的，也不能解释宇宙的暗物质是什么。(对合)超对称理论却能够对这两个谜题提出解释。 第二点，物理学的疆界正在改变中。现在，科学家不但问世界如何运作，标准模型大致可以回答这个问题；还会问为什么世界如此运作的，标准模型不能够回答这个问题。爱因斯坦在20世纪初问“为什么”，但是一致到最近10年来，问“为什么”才成为粒子物理学的常态科学研究，而非仅是哲学性的思考。在回答“宇宙为何如此运作”的理论中，建立在十一维世界的弦理论是最具企图心的，弦理论预测自然界应该是超对称的。

 

henryharry2 2011-03-09 06:53 如果大自然是超对称的，我们所能获得的犒赏之一，便是实现跨越层层尺度的旅程。超对称理论也是有效理论，它可以说是能将我们从标准模型带领至约一个普朗克长度的基始理论的倒数第二个有效理论。超对称理论属于有效理论，是因为它仍然需要输入一些参数，如粒子的质量和相互作用强度等，这些输入值应该能由接近普朗克尺度的理论所预测。 在接近普朗克尺度下，超对称标准模型仍然可作为有效理论，它独特的性质容许它涵盖大范围，而不像一般的有效理论在更小的距离下即竖起白旗。但是普朗克长度太小了，在这种尺度下，永远不可能直接进行实验。幸好，仍有许多方法来测试普朗克尺度的物理学，目前也已经有一些间接的方法可进行研究。不过，超对称理论将让我们增加许多系统性的测试机会，使得我们能够对普朗克长度下的情况作预测，并且针对未来几年对撞机所能达成的物理性质探究预作计算；超对称理论也能根据对撞机取得的数据，计算普朗克长度不会出现何种理论。 引力比通常的规范场论需要再前进一步，即规范移动一段距离后仍保持不变，我们已经通过吸收体理论解决了这个问题，并且对合量子化的极限恰好是矩阵力学。基于超对称的理论——如超引力和超弦理论——仍然是有效理论，我们的理论不是有效理论，而是显示出终极理论的模样。我们还发现，非对称量子场论根本不需要重正化，而广义相对论恰好是属于非对称量子场论范畴的——超引力和超弦理论想的太多了。

 

henryharry2 2011-03-09 07:02 选自Gordon Kane的《超对称》一书。两个世纪以来，物理学家积极企图以统一方式描述自然界的作用力。若忽略隐藏其中的一贯性，我们可将自然作用力分成5种。Maxwell成功地统一了电力与磁力，标准模型则统一了弱作用及电磁力的描述，来自于对短距离的相互作用的了解。根据标准模型计算，电磁作用力、弱作用力以及强作用力在距离愈短的情况下，就变得愈相像，然而最后不论尺度多小，它们的强度仍然有所不同。 但值得注意的是，若以超对称标准模型进行同样的计算，在距离小到普朗克尺度的100倍左右时，这三种作用力的强度基本上变得一样大。这并非理所当然，因为标准模型并没有要求作用力要有相同的强度。即使它们真的强度相当，标准模型更没有要求它们在普朗克尺度的100倍附近变得相同，而这正是所有作用力将在普朗克尺度完全统一的征兆。 一些合理的尝试显示，重力在普朗克尺度之下，的确会变得和其他作用力一般大小，这对于相信科学家终究能够找到大自然的简洁描述的人，是一大鼓舞。超对称以两种不同而相容的方式，显示电磁以及强、弱作用力的描述终将和重力统一：首先，在普朗克尺度下，所有作用力的强度变得相近；其次，由于超对称牵涉时空的对称，它必然与重力描述有所关联。

 

henryharry2 2011-03-09 07:06 从大约1984年到2009年的二十多年间，弦论和圈量子引力理论由两个不同的研究群体完全独立地发展了起来，每一个群体都成功地解决了预设的问题。对每个群体而言，另一群体不能成功是显而易见的。持有弦理论观点的人对持有圈量子引力观点的人说：“你们的理论没有给出一个关于引力子与其他粒子相互作用的自洽描述，只有我们的理论才描述了引力同其他相互作用的自洽统一”；无论哪一个群体中都没有人能够应付这个挑战。看来许多人犯了可以理解的错误，就是将量子引力部分问题的解同整个问题的解相混淆了。 圈量子引力面临的问题是证明一个由演化的自旋网络描述的量子时空如何会演变成一个大的经典宇宙，这个宇宙可以用普通几何和爱因斯坦的广义相对论来近似地描述。然而，在能够这样做之前，圈量子引力必然解决一个更基本的问题，那就是，理解在我们能够看到的尺度上，看起来是如此平滑和规则的时空几何，是如何产生于用自旋网络描述的原子的。既然引力子应该与经典时空中的波动相联系，只有解决了这个问题圈量子引力才能够了解引力子是什么。 广义相对论是用于描述时空的大尺度结构的，而弦理论和圈量子引力理论都是描述普朗克尺度下的引力行为的，所以两种理论都无法回答它们在大尺度下是否就是经典的广义相对论。量子细胞场论中的Weyl规范是由对合关系生成的，在大尺度范围内产生出椭圆几何，与广义相对论用到的狭义黎曼几何是兼容的，在小尺度范围内Weyl规范看起来很像一个闭弦。看起来量子细胞场论正是弦理论没有说清楚的那个环节，在物理学中的作用很像是Gauss的极妙定理在几何学中的作用，将小范围的曲率同大范围的微分几何联系起来，在广义相对论和弦理论之间搭起了一座桥梁。鉴于量子细胞场论与神秘的M理论有许多惊人的相似之处，希望量子细胞场论的观点能够点燃所谓的“第三次超弦革命”。

 

henryharry2 2011-03-09 07:38 设有两个三角形，一个三角形的顶点的极线组成第二个三角形，这时，称这两个三角形互为配极三角形，配极三角形对应边的交点在同一直线上。自配极三角形的顶点中，只可能有一个在二阶曲线内，两个在二阶曲线外。如果点P的极线p通过点Q，则点Q的极线q也一定通过点P，此定理称为配极理论的相对论原则。 为了说明Gergonne对于对偶原理的理解，我们来考察他是怎样对偶化Desargues的三角形定理的。首先我们注意三角形的对偶是什么；三角形由不在同一条直线上的三个点，以及联接它们的三条线组成。对偶的图形则由不在同一个点上的三条线，以及联接它们的三个交点组成；这对偶的图形又是一个三角形，所以三角形称为是自对偶的。Gergonne发明了把对偶的定理写成两栏的格式，把对偶的命题并排写在原来命题的旁边。 自对偶三角形是自配极三角形在高度弯曲时空的一个实现；我们发现，组分夸克模型、QCD理论、弦理论和圈量子引力可以通过自对偶三角形统一起来；自对偶三角形可以解决弦理论的多余空间维问题。圈量子引力由红、白、蓝三种基色组成，我们认为，圈量子引力也应该存在单色问题和禁闭问题，因此，圈量子引力也应该改成红、绿、蓝三基色为宜。

 

henryharry2 2011-03-09 10:52 Felix Klein在1871年阐述了埃尔朗根纲领；这就是几何学定义为研究有连续自同构群的空间，例如欧氏空间具有刚体运动群，射影空间具有射影直射变换群等。其中包括非欧几何学，根据Klein的观点，非欧几何学只要在空间中有一个所谓二次的超曲面，讨论在所有的投影变换下，使这个二次超曲面不变。例如：在平面上有一个圆周，非欧几何就是要讨论在投影变换下圆周仍不改变的性质。因此根据Klein的观点，非欧几何学就变得极易处理。 Klein的埃尔朗根纲领与狭义相对论完美地结合，狭义相对论中的一个原理是洛伦兹群下场方程的不变性，这导致了Klein这们处于世纪转折时期最有影响的德国数学家成为狭义相对论最早的支持者之一。洛伦兹结构在相对论中起了基本的作用，它还有几何学的解释。当我们研究空间中球的几何时，将球变为球的所有接触变换构成一个15参数群，而把平面变为平面的变换构成一个10参数的子群，后者与4个变量的洛伦兹群同构，所导致的几何学就是拉盖尔的球几何学。 Klein的埃尔朗根纲领的成功自然地引起了Klein空间或现在称之为齐性空间中的微分几何的研究；跟随Weyl之后产生了维布伦的相对论的射影理论，维布伦的理论是四维的，但切射影空间有五维的齐次坐标，维布伦的射影理论在几何上是简单的，他的出发点是空间的路径，它们是带电粒子的轨线；道路空间几何学涉及到射影联络。

 

henryharry2 2011-03-09 10:53 在Klein制订埃尔朗根纲领时，已观察到黎曼几何并不包括在内，因为一个一般的黎曼空间除恒等变换外并不含有其他等长变换。Elie Cartan在他的主要论文《仿射联络的流形及广义相对论理论》中给出仿射联络的论述以及它向有挠率联络的推广；它比仿射联络论的内容更丰富；它的思想可以容易地推广到任何李群的纤维丛的联络理论中去。 用几何的话来说，仿射联络是一族仿射空间即纤维，它们由一个基底空间所参数化，使得这一族仿射空间是局部平凡的，并且有一个纤维沿着基底空间的曲线展开的法则，使线性关系得以保持。类似地，我们可以把Klein空间当作纤维并且用作用于Klein空间的李群来代替完全线性群，并且也有一个对应的展开法则；Cartan称这样的结构为一般空间。 一般来说，这个联络是非和乐的，即展开依赖于基底空间的曲线。换句话说，沿一条闭曲线作展开时，空间并不回到原来的位置，它的变差是由联络的曲率来度量的；显然，Klein空间本身是一个曲率恒等于0的一般空间。从Cartan的观点来看，黎曼空间是一个以欧氏空间为纤维的空间，并且具有Levi-Civita联络；这解决了微分几何中的一个基础的问题，因为这样就有了一个概念，它包括了Klein空间、黎曼空间以及这两种空间的推广。

 

henryharry2 2011-03-09 10:55 欧氏空间只有一个切空间，现在的空间情况复杂了一些，每点都有一个切空间，但都是平坦空间；这个现象在几何上有一个重大的发展，就是把切空间竖起来；我们就叫它为纤维丛，或叫矢量空间丛。Maxwell方程就是建立在一个矢量丛上，这个纤维丛是复数空间；现在是一把复线，你如果能有法子从这个纤维到另外一个纤维有一个平行性的话，就能立刻得到Maxwell方程。现在纤维丛上有一个平行性，这个平行性的微分，等于电磁场的强度F，然后把这个F再求它的余微分的话，就得到流矢量J。用下面两个简单的式子，就把Maxwell方程写出来了，F=dA，δF=J。在电磁学里，要把Maxwell全部写出来的话，书上往往是一整页；其实简单地说，也就是平行性的微分是场的强度，而场的强度的余微分就是流矢量。 所以Maxwell方程就是建立在一个复的纤维丛上，你怎样把每个纤维拼起来呢，需要群的概念，即U(1)群，群里有一个运算，把一个纤维可以挪到其他一个纤维，这是个可交换的群，叫做Abel群。欧氏平面可以引进复坐标便成为复线，它的欧氏度量变为埃尔米特度量；所以电磁学的基础是洛伦兹流形上的埃尔米特线丛。电磁学的概念可以推广到高维的复矢量空间丛和埃尔米特空间丛。杨振宁先生用到一个非Abel群SU(2)群。用SU(2)联络，把同样的方程写出来，就是Yang-Mills方程，F=dA，δF=J。 在物理上有一个Bohm-Aharonov实验，就是说：电磁学中的Maxwell方程写成那样的形式是不对的，因为它没有把所有的电磁现象都表示出来，应该利用圆周丛联络A，F=dA才是描写所有电磁现象的方程式。Bohm-Aharonov实验是这样的，有一个内有磁场的圆筒，外面没有磁场，而在圆筒的外围接有线圈，那么圆筒内的磁场，便和通电的路径有关。

 

henryharry2 2011-03-09 10:56 广义相对论用到的是黎曼几何，黎曼几何中一个重要的事实就是，你不仅要考虑黎曼流形本身而且必须考虑流形上的纤维丛；我们的方法是，直接考虑纤维丛；而通常的张量分析方法通过强调局部坐标系来回避它。大量的几何研究都是关于那些在局部坐标变换下服从简单规律的问题；关于局部问题，Elie Cartan对此当然是很熟悉的，他为他的几何实在，仿射联络、射影联络、正则联络等等的一般理论引进了切空间的概念。Cartan意义下的切空间并不总是切向量空间，这构成了难以理解他的工作的原因之一。 我们的问题是研究微分流形上以局部坐标系形式给出的几何实在，这样的问题一般总有可能在某种意义下定义在与该流形关联的一个自然的纤维丛上。于是这个几何实在以唯一的方式在纤维丛中定义了一组线性微分形式，对于黎曼几何来说，这个自然的纤维丛就是流形上全部标架所形成的空间，而相应的微分形式给出的实际上是Levi-Civita平行；关联的纤维丛的性质由解决所谓等价问题而得到最佳的确定。 一般情况 特殊例子 纤维丛(Circular Point) 球面的切向量流形 纤维丛的点 切向量 底空间 球面 纤维 同一基点上的向量 投射 把切向量映射到其基点 纤维中的变换群 同一基点的向量空间中的仿射或旋转群 纤维丛的一个简单例子就是三维欧氏空间中所有与某一球面相切的非零向量形成的流形。这是个拓扑流形，虽然很特殊；然而结果表明，具有类似性质的流形在拓扑学在微分几何的应用中发挥了重要的作用。

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