设想有一只碗，碗底形状就好比是势能函数U(x,y)，往碗里倒水，每一点的水深h(x,y)就是一个和空间坐标有关的函数，且取决于势

经典力学的谐振子与薛定谔方程的谐振子解

已有 181 次阅读2011-6-4 14:31|个人分类:随便瞎写|系统分类:科普集锦|关键词:量子力学

初等量子力学中，在讲到薛定谔方程时，一般都会求解几个势场作为范例，其中就包含了谐振子解。刚才在豆瓣上看到有人提问，似乎对这个解的含义不甚明了。

量子力学中的波函数Ψ(t,x,y,z)，可以看作一个经典场。这个经典场的特别之处在于其统计诠释，不过在这里可以不管这个。薛定谔方程决定了波函数在时空中的分布，即以(t,x,y,z)为变量，Ψ的函数形式。在定态情形，波函数可分离变量：Ψ(t,x,y,z) = χ(t)ψ(x,y,z)，因此定态薛定谔方程其实给定了一个经典场ψ(x,y,z)在空间中的分布。当然这个分布和势能表达式是有关的，因为定态薛定谔方程中有势能项。打个并不贴切的比方：设想有一只碗，碗底形状就好比是势能函数U(x,y)，往碗里倒水，每一点的水深h(x,y)就是一个和空间坐标有关的函数，且取决于势能分布。假如碗底的形状有二次形式：U = (1/2)mω(x^2 + y^2)，就意味着势能有谐振子形式。倒入一定高度的水（相当于总能量给定），就不难写出此时h(x,y)的表达式。

谐振子的定态波函数解也是差不多的意思，只不过求解过程要更复杂些，最终求得的，是在谐振子这个势场中，波函数经典场的空间分布函数。

定态波函数解和力学中一个动来动去的谐振子有很大不同。定态波函数解的意义已在上面叙述。而经典力学的谐振子，可以理解成一个波包在势场中运动，它的波函数Ψ(t,x,y,z)也是薛定谔方程的解，但却不是定态薛定谔方程的解。

将Ψ(0,x)（只考虑一维，t = 0时的波包）用能量基矢展开：Ψ(0,x) = c_{n}Ψ_{n}(0,x) ，等号右边要对n求和。其中Ψ_{n}(t,x) = Ψ_{n}(0,x) exp(-iE_{n}t)，因此Ψ(t,x) = c_{n}Ψ_{n}(0,x)exp(-iE_{n}t) （等号右边对n求和）。这里的含时项不能从和式中提出，因此Ψ(t,x)不能分离变量，也无法得到关于Ψ(t,x)的定态薛定谔方程。但可以计算各能量本征态的演化，叠加而成Ψ(t,x)的演化规律，从而得到波包的运动图像。这个图像可以和经典谐振子做类比。