空间曲率张量非0的时候，基底也是沿线变化的。因此协办导数为0，并不是说“平移”后矢量本身不变，而这种变化，恰好归咎于空间本身的几

黎曼空间平行移动（二）

费曼人生 0位粉丝	1楼 我想问您在黎曼空间中把一个矢量平行移动（就只是沿着一个路径），当曲率不为0时，它本身（与坐标无关）会变吗？ 矛盾产生： 因为仿射空间中就是根据矢量不变推出平行移动条件的，所以由此应该是不变的。但是如果曲率张量不为0，把一个矢量沿闭合路径平行移动，结果到最初点时，分量变化了，而这一点的基矢又一定，意味着矢量本身（与坐标无关）改变了。
2009-11-22 16:54 回复

李微商 22位粉丝	2楼 当一个矢量平行移动一圈，如果发生变化，就说明该空间是一个曲率（内禀）不为零的黎曼空间，这正是判别空间弯曲与否的一个条件。没有改变的则曲率（内禀）为零。 一个矢量A_i在一个空间平行移动到另一点，它的改变量和它本身以及移动量dx成比率，再考虑一个比率系数Γ^i_jk的话（实际上就是仿射联络）就可写成： δA_i=Γ^j_ik*A_j*dx^k 只要空间曲率（内禀）不为零，则仿射联络场Γ^j_ik不为零，所以矢量A_i平移后就有变化量δA_i，可用上式算出。
2009-11-23 11:04 回复

超级云K CloudK 478位粉丝	3楼 广义黎曼空间里面，矢量“平移”以后当然就不是原来的矢量了，因为空间的曲率张量非0的话，那么空间本身就不平，所以所谓的“平移”本来就不是欧式观念下的那种平移。 LZ对于“矢量沿线平移”这句话理解的有问题，原话必然是说“矢量是沿线平移的”而不是说“矢量是沿线平移不变的”。矢量沿线是平移的，等价于该矢量沿线的协办导数为0。这其实反映的是某个矢量场F，在p,q两点（p,q∈曲线γ（τ），τ为γ的仿射参数）取值的差对于q-p的微商。即dF/dt|p=lim(F|q-F|p)/Δτ，Δτ→0,q=p+Δτ,协办导数为0只是意味着F|p和F|q点处矢量场在基底上的分量一样，并不能说明两点的矢量是一样的，原因很简单，因为空间曲率张量非0的时候，基底也是沿线变化的。因此协办导数为0，并不是说“平移”后矢量本身不变，而这种变化，恰好归咎于空间本身的几何性质。
2009-11-23 12:16 回复

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4楼 楼主的问题很好，只是有些细节没有搞清楚，才产生了所谓的矛盾： 注意楼主所说的移动其实有两种，虽然它们都是平行移动，但是是有本质不同的。一种平行移动是保持矢量不变的移动，注意种移动只给定一个初始点和初始点的一个初始向量，但并不给出移动的路径，这个初始向量本身也指定了它的移动方向，就按它自己所指定的方向移动下去，如果指明是平行移动的话，就产生一系列不变的矢量，并且产生一个路径，不用说大家都知道这个路径就是所谓的测地线；而另外一种移动就是不但给出移动的初始点，初始向量，还指定移动的路径，自然这路径不一定是测地线，这个初始的矢量就按这个指定的路径移动下去，如果这路径不是测地线，那么移动得到的矢量就是一定要变化的。如果闭合路径是一条完整的测地线，而不是几条测试线拼凑起来的，那么平行移动的矢量也是不变的，例如球面上的任何矢量沿大圆移动，当回到初始点时一定是不变的。