在微分儿何中, 凡是在参数变换和运动变换下的不变量都称为量,于是曲线的弧长是个儿何量,逻辑量

在微分儿何中, 凡是在参数变换和运动变换下的不变量都称为量,

于是曲线的弧长是个儿何

在微分儿何中, 凡是在参数变换和运动变换下的不变量都称为量,

于是曲线的弧长是个儿何

在微分儿何中, 凡是在参数变换和运动变换下的不变量都称为量,

于是曲线的弧长是个儿何

在微分儿何中, 凡是在参数变换和运动变换下的不变量都称为量,

于是曲线的弧长是个儿何

逻辑量与逻辑值_狐狸浩浩技术空间_百度空间

 

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2008年7月14日 – 什么是逻辑量－－凡是参加逻辑运算的变量、常量都是逻辑量。 我们来仔细分析一下哪些是逻辑量，哪些是逻辑值。 要表达一件事情是否成立是这样描述 ...

 

                 

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1

本章的研究对象乃是三维欧氏间中的曲线, 目标是找出决定间曲线

的完全不变量系统. 如平面儿何中熟知的由两边及其夹角完全决定三角形;

而由半径完全决定圆. 由于我们基本的研究工具是微积分线性代数和间

解析儿何, 所必须将研究对象代数化, 实现它我们选择的万案是在间坐

标系中给出曲线的参数表示. 接下来的研究工作分两步进行:

万面, 用参数表示定曲线的三个儿何不变量—弧长曲率和挠率,

即它们不赖于进行参数表示时所选择的笛儿百角坐标系,

不赖于某

个特定的参数表示. 这三个量有各自独立的儿何 , 反映曲线的某种儿何

性质. 如弧长度量曲线上两点之间的曲线距离; 曲率和挠率分别反映曲线的

弯曲程度和扭曲程度.

另万面是反过来的工作, 将证明上述三个量构成了间的完全不变量

系统, 粗略地说即给出了两个单变量函数, 则在不计间的位置之外惟地

确定了条间曲线给定的函数作为它的曲率和挠率, 而函数的自变量

作为该曲线的弧长, 这结果即所谓的曲线论的基本定理.

从万法上我们选择了附在间曲线上的个标架场—Frenet标架, 用

微分儿何公认的活动标架法推导出标架的运动万程—Frenet公式. 当点在曲

线上运动时, Frenet标架像个刚体跟着起运动,

此标架的运动万程

就画的曲线的形状特征.

1.1 正则参数曲线及其弧长

照运动学的观点, 曲线被理解成质点在间中的运动轨迹. 沿用这

思想, 微分儿何中将曲线理解成个连续映射. 即R3 中的条曲线C 是从区

间(a, b) ⊂ R到R3 的个连续映射, 记为r  : (a, b) → R3. 在R3 中取定个

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正交标架{O;e1,e2,e3}, 则映射r 表示为

r(t) = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3

= (x(t),y(t),z(t)).

(1.1)

我们把t称为曲线C 的, (1.1)式就是曲线C 的. 由此见,

R3 中给定条曲线, 等于给定个向量值函数(r(t)), 或三个实值函

数(x(t),y(t),z(t)). 今后我们总假定所讨论的曲线是Ck (k ≥ 3)-类曲线,

即向量值函数r (t) ∈ Ck, 或x(t),y(t),z(t) ∈ Ck.

按照参数增加的万向确定出曲线的正向. 称向量

r (t) ≡

dr(t)

dt

=

(

dx(t)

dt

,

dy(t)

dt

,

dz(t)

dt

)

= (x (t),y (t),z (t))

为曲线C 在参数为t处的量, 它总指向曲线的正向. 若在t0 ∈ (a, b)处成

立|r (t0)| = 0, 则t0 点称为曲线C 上的, 否则称为. 全部由正则

点构成的曲线称为.

例 1

对于圆柱螺线r (t)=(acost, asint, bt), 其中参数t ∈ R, a, b

都是正常数. 由于|r (t)| =

√

a2 + b2 , 于是圆柱螺线是正则曲线.

例 2

察参数曲线r (t) = (t3,t2,0), t ∈ (−∞,+∞), 由于

|r (0)| = 0,

此参数为t = 0的点是奇点, 其余点都是正则点. 这是

条连续微参数曲线, 但不是百观上的光滑曲线,

为它的切向量在经过

t = 0时有180

◦ 的转动.

注 1 如果在段曲线上, r (t) ≡ 0, 则r(t)为常向量, 于是这段曲线

缩成点. 反之, 若在P0(t0)处有r (t0) = 0, 则由r (t)的连续性, 在P0 的邻

近有段曲线, 该段曲线上处处有r (t) = 0.

此, 奇点总是孤立的. 根这

事实, 我们在本章讨论曲线的局部性质时, 总假定为正则曲线.

容发现, 曲线的参数万程的表达式与间中笛儿百角坐标系的选取

有关. 另外, 在固定的笛儿百角坐标系下, 曲线的参数还容许作定的变

换. 为了保证正则性, 我们求参数变换t

∗

= t

∗

(t)(或t = t(t

∗

))满足

dt

∗

dt

= 0, 或

dt

dt∗

= 0,

(1.2)

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我们称满足条件(1.2)的参数变换为. 于是同曲线C 的参数

万程形式地写为

r(t) = r(t(t

∗

)) = r

∗

(t

∗

),

由于 dr*(t*)

dt*

=

dr(t)

dt

dt

dt* , 所如果曲线在参数为t时是正则曲线, 那么取t

∗ 作

为参数时是正则曲线. 换言之,

与.

如果把曲线作质点的运动轨迹, 那么由物理学知道, |r (t)|表示质

点运动在t时的速度值.

此质点在时间间隔(t1,t2)内所经过的路程为

∫ t2

t1 |r (t)|dt. 自然我们用它作为曲线r(t)的长度, 即质点走过的路程.

正则曲线C : r = r(t)从r(t0)起到r(t)的定为

s(t) =

∫ t

t0

|r (t)|dt.

(1.3)

理 1.1 弧长是曲线本身的个儿何量, 即与R3 中笛儿百角坐标

系的选取无关,

与该曲线的容许参数变换无关.

明　由于在笛儿百角坐标变换下, 切向量的长度|r (t)|是不变的,

故弧长与百角坐标系的选取无关.

设曲线C 有两个不同的参数t, t

∗

, 参数变换t = t(t

∗

), 且 dt

dt* = 0, 那么

r(t) = r(t(t

∗

)) = r

∗

(t

∗

),

对于曲线C : r = r(t)上的任的两个取定点P0(t = t0),P1(t = t1), 当选取

t

∗ 作参数时, P0,P1 的对应点分别P

∗

0 (t

∗

= t

∗

0),P

∗

1 (t

∗

= t

∗

1). 我们记s是曲线

r(t)从P0 到P1 处的弧长, 在参数t

∗ 下, 相应从P

∗

0 到P

∗

1 的弧长记为s

∗

. 则有

s

∗

=

∫ t*

1

t*

0

∣

∣

∣

∣

dr

∗

(t

∗

)

dt∗

∣

∣

∣

∣dt

∗

=

∫ t*

1

t*

0

∣

∣

∣

∣

dr

dt

dt

dt∗

∣

∣

∣

∣dt

∗

=

∫ t*

1

t*

0

∣

∣

∣

∣

dr

dt

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

dt

dt∗

∣

∣

∣

∣dt

∗

,

(1) 若 dt

dt* > 0, 则

∣

∣ dt

dt*

∣

∣ = dt

dt* ,

此

s

∗

=

∫ t*

1

t*

0

∣

∣

∣

∣

dr

dt

∣

∣

∣

∣

dt

dt∗

dt

∗

=

∫ t1

t0

∣

∣

∣

∣

dr

dt

∣

∣

∣

∣dt = s,

(2) 若 dt

dt* < 0, 则

∣

∣ dt

dt*

∣

∣ = − dt

dt* ,

此

s

∗

= −

∫ t*

1

t*

0

∣

∣

∣

∣

dr

dt

∣

∣

∣

∣

dt

dt∗

dt

∗

= −

∫ t0

t1

∣

∣

∣

∣

dr

dt

∣

∣

∣

∣dt =

∫ t1

t0

∣

∣

∣

∣

dr

dt

∣

∣

∣

∣dt = s,

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两种情得到同的结果. 这就证明了弧长在容许参数变换下不变.

D

在微分儿何中, 凡是在参数变换和运动变换下的不变量都称为量,

于是曲线的弧长是个儿何量.

注 2 微积分学中, 弧长是用曲线的内接折线的极限来定. 设参数曲

线C : r = r(t), t ∈ (a, b), r(a),r(b)表示C 上两点P0 和Pn, 介于P0 与Pn 之

间, 我们顺t递增次序取n − 1个点P1,P2,··· ,Pn−1, 用百线段把相邻的点连

起来, 即得到曲线C 的条内接折线, 它的长度是σn =

n

∑

i=1

Pi−1Pi. 当分点

Pi 无限增多时, 同时线段Pi−1Pi → 0, 如果σn 有个确定的极限, 这时称曲

线C 为可的, 并称此极限为曲线C 介于P0 和Pn

段的弧长. 下面的定

理正说明我们给出的弧长的定与微积分学中的定是致的.

理 1.2 C1 阶正则曲线C : r = r(t), t ∈ (a, b)必为求长的, 且它

的长度为

s =

∫ b

a

|r (t)|dt.

对于同条曲线的诸多参数表示中, 我们希望能找到种有实际儿何

的, 或者至少在理论上是最简单万便的参数.下面我们将介绍正则曲线的

个最好的参数, 即弧长参数.

设C : r = r(t)是条正则曲线, 由(1.3)式我们得到 ds

dt

= |r (t)| > 0.

见弧长s是t的连续单调函数, 那么函数s = s(t) 定存在反函数t = t(s),

把它代入曲线的万程r = r(t)中得到弧长s为参数的曲线万程

r = r(s),

(1.4)

(1.4)式称为曲线的或自. 从后儿节关于曲线理

论的研究中, 我们将会逐渐体会到采用弧长作参数的优越性. 今后我们约定

用“·”来表示对弧长求导, 例如 ˙r = dr

ds

, ¨r = d2r

ds2 等等.

理 1.3 正则曲线C : r = r(t)的参数t是弧长参数 ⇐⇒ |r (t)| ≡ 1.

明　由于ds = |r (t)|dt, 所当t是弧长参数时, t = s, 这时显然

有

∣

∣dr

dt

∣

∣ = ds

ds

= 1. 反之, 若对参数t成立|r (t)| = 1, 则有 ds

dt

= 1, 所

s(t) =

∫ t

t0

dt = t − t0, 当t0 = 0时, t就是弧长参数.

D

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注 3 由定理 1.2, 理论上每条C1 阶正则参数曲线总用弧长作为它

的参数, 但实际上计算是有困难的. 其, 积分

∫ t

t0 |r (t)|dt 能不是初等函

数. 例如对于椭圆的参数表示r(t)=(acost, bsint,0),

s(t) =

∫ t

t0

|r (t)|dt =

∫ t

t0

√

a2 sin2 t + b2 cos2 t dt,

般不能用初等函数来表示,

此无法将r(t)用弧长参数s来表示. 其二, 既

是s(t) 求出, 但能求不出它的反函数. 例如对于抛物线的参数表示

r(t)=(t, t2

2

,0),

s(t) =

t

2

√

1 + t2 + ln(1 +

√

1 + t2),

但从上式解出反函数t = t(s)是很困难的. 尽管如此, 这并不妨碍我们用弧

长参数来讨论曲线的性质, 这是为对C1 阶正则参数曲线总是求长的,

此总假定曲线的万程是用弧长作参数, 这将会使许多公式大为简化, 而

且在研究曲线的般性质时会很万便.

1–1

1. 求曲线x3 = 3a2y, 2xz = a2 在平面y = a

3 与y = 9a之间的弧长.

2. 求用极坐标万程ρ = ρ(θ)给定的曲线的弧长表达式.

3. 将圆柱螺线r(t)=(a cosh t, a sinh t, at)化为自然参数表示.

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