布朗01 brownian01 粒子的均方位移增加率,就是它的布朗扩散系数

marketreflections · 2011-07-03 06:23:15Z

布朗01 brownian01 粒子的均方位移增加率,就是它的布朗扩散系数简介

来源: marketreflections 于 2011-07-03 06:23:15 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次 (20189 bytes)

回答: 物理学所研究的空间尺度大小跨越了42个数量级，最小到10－15米由 marketreflections 于 2011-07-03 06:09:18

爱因斯坦的开创性工作精选

已有 1263 次阅读2007-11-4 18:44|个人分类:温景嵩文库|系统分类:科研笔记

爱因斯坦的开创性工作

《创新话旧》第5章（1）

温景嵩

南开大学西南村 69楼 1门 401号

（2007年1月4日于南开园）

第五章创新点（4）──气溶胶力学的新发展

5．1 爱因斯坦等人开辟的道路

气溶胶力学是一门新兴的学科分支，但也有一百年的历史。前面已经讲过，它是在20世纪初由几位杰出的理论物理学家奠定的基础，而且已经比较详细的谈过斯莫鲁霍夫斯基的工作。这里再谈两位就是大家所熟知的爱因斯坦，以及法国的朗之万。他们在20世纪初对悬浮粒子的布朗运动的研究为悬浮体力学（这既包括了水溶胶力学，或液溶胶力学，也包括了气溶胶力学）的研究打下了坚实的基础。朗之万建立了悬浮粒子作布朗运动时的运动方程，爱因斯坦则建立了悬浮粒子布朗扩散理论。本节我们将着重谈爱因斯坦的贡献。

气溶胶粒子的布朗运动，和其他一切悬浮粒子的布朗运动一样，是它们的一个基本力学特征。由布朗运动引起的位移，对于大多数气溶胶粒子而言，都占主要地位，例如半径小于0.1微米（即小于100纳米）的超细气溶胶粒子，在1秒钟内由布朗运动引起的均方根位移大致是10微米，是重力沉降引起位移的100倍。对于0.1─1微米之间的亚微米粒子,每秒钟内布朗均方根位移是1─10微米,仍可与重力沉降位移相比。只是大到几微米的气溶胶粒子,重力沉降位移才占主导地位。因此,原则上气溶胶力学的一切问题,都应该用统计方法处理。气溶胶粒子布朗运动的统计理论,在气溶胶力学中的地位之重要由此可见。爱因斯坦能够紧紧抓住这问题,把英国植物学家布朗在1827年发现的悬浮粒子布朗运动,第一次建立在科学的统计理论基础上,再一次显示出他大科学家善于抓大问题的本色。

爱因斯坦在他1905年的工作中指出，由于人的肉眼分辨率限制，人们在显微镜中观察到的粒子随机运动的均方速度，总是小于理论上根据能量等分原理所预测的数值。因此爱因斯坦建议使用另外一个物理量来描述布朗粒子随机运动，即：它的均方位移增加率，位移是速度的积分，因此更易于观测，易于与理论相比较。当布朗运动的相关时间t₀远小于观测时间时，这个物理量就是布朗运动的扩散系数，这个要求一般可以满足。对于半径小于0.1微米(100纳米)的超细气溶胶粒子,它的相关时间小到10^-8─10^-9秒,已经接近分子运动的t₀，对于半径在0.1─1 微米的粒子而言, t₀仍然很小,在10^-5─10^-7秒之间,就是几个微米大小的气溶胶粒子,它的t₀，也只有10^-3─10^-5秒。显然,一般气溶胶粒子的均方位移增加率,就是它的布朗扩散系数。

爱因斯坦接着用平衡态的统计物理，结合斯托克斯的低雷诺数流体力学解决了计算布朗粒子的布朗扩散系数问题。虽然，布朗扩散过程只有在悬浮体为非均匀分布，体系处在非平衡状态时才会发生，但是爱因斯坦运用他独具特色的研究方法，建议人们可以在这一非平衡态悬浮体上施加一假想的外加势力，使之达到平衡，然后就可以对这一平衡态的悬浮体应用统计物理理论。最后，再利用斯托克斯的阻力公式，就容易导出布朗粒子的布朗扩散系数计算公式，它和体系的绝对温度T 成正比，与斯托克斯阻力公式中的阻力系数成反比，（即6pma,m是介质的粘性系数，a是粒子半径，半径越小，布朗扩散系数越大，）。比例系数是波兹曼常数k。这里需要明确一点，这结果与假想的外加势力无关。首先爱因斯坦计算布朗扩散系数公式，确实与外加势力无关，它在推导过程中被消去了，其原因在于，布朗粒子的随机运动根源于介质的分子对粒子的无规撞击，本来就和外加势力无关，其次布朗粒子做低雷诺数运动时，两种运动彼此相互独立因而线性可加。外加势力的存在就不会对布朗运动有影响，这是一个非常美妙的结果。没有这个假想外加势，我们就无法导出爱因斯坦公式，但公式本身又和假想外加势无关。

爱因斯坦导出的这个布朗扩散系数公式十分重要，其重要性可以与当年斯托克斯和纳维在19世纪导出的粘性流体的粘性应力公式相比拟，没有纳维和斯托克斯的粘性应力公式就不会有黏性流体力学；同样可以说，没有爱因斯坦的布朗扩散系数公式，就不会有气溶胶粒子动力学，或更广义一点，就不会有悬浮粒子动力学。对单个粒子运动的问题，其基本问题是要求解气溶胶浓度对流扩散输送方程。对两个粒子相对运动而言，就要求解对分布方程，这两个方程中的扩散输送项就是布朗扩散输送项，没有爱因斯坦的布朗扩散系数公式，这一项就无法计算，把两个方程无量纲化后，就出现了无量纲相似参数──皮克列特数,这个数的大小决定了方程解的性质。若没有爱因斯坦的布朗扩散系数公式，这个皮克列特数的大小，也不可能计算出。所以应该说爱因斯坦的这一贡献奠定了气溶胶粒子动力学发展的基础。

爱因斯坦对悬浮体力学的贡献相当全面，它不仅对悬浮粒子的动力学做出了如上所述的开创性贡献，而且对悬浮体的动力学也做出了开创性的贡献，这就是我们在第四章中已经提到的悬浮体的有效粘性理论。他清楚的认识到当流体中含有悬浮粒子以后，整个悬浮体，作为一个均质体系，它的各种力学性质要比不含粒子的纯净流体力学性质有改变。悬浮体力学的任务之一，就是要弄清楚，这些变化的规律。爱因斯坦本人就解决了其中的一个基本问题──悬浮体有效粘性的变化规律问题。他的理论预测出悬浮体的有效粘性系数，将随着粒子体积浓度j的增加，按照2.5j的规律增长，此处j仍是粒子体积浓度。这一成果为以后悬浮体的动力学研究同样开辟了一条道路。悬浮体的有效粘性系数增加，是由于黏性流体在含有粒子以后，它的动能耗散率增加了，只有计算了出现粒子以后的动能耗散率的增加规律才会得到悬浮体有效粘性系数增加的规律。而为实现这一目标，首先就必须解决一个纯流体力学问题，即把一个粒子放入低雷诺数的背景流场中去后，它所引起的扰动流场结构是什么。这是一个比斯托克斯在1851年解决一个以定常速度U在背景静止的流场中运动时，所引起的扰动流场还要更复杂的问题。爱因斯坦解决了这个纯流体力学的复杂问题，所以他才得到了有效粘性按2.5j的增长规律。由此可以看到一个有趣的问题，就是在爱因斯坦时代，一个理论物理学家不仅懂得现代物理精通现代物理，而且对于像流体力学这样的经典物理也同样有兴趣，同样很精通，他也是解决流体力学问题的一个能人。这真让人赞叹不已