对於海浪，ψ是超出水面的高度；对於声波，ψ是超气压,是相位偏移，描述了两个波互相之间不同步的程度；k是波数，与波长成反比，由k

来源: marketreflections 于 2011-05-12 05:32:52 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读： 次 (53115 bytes)

波矢

维基百科，自由的百科全书
跳转到： 导航, 搜索

跳过字词转换说明

 

在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 \mathbf{r}\,\! 表示；而其大小則用 r\,\! 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如，{x}^{\mu}\,\! 或 {x}_{\mu}\,\! 。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如，(x)^2\,\! 表示 x\,\! 平方；而 {x}^2\,\! 是{x}^{\mu}\,\! 的第二個分量。

波矢是波的矢量表示方法。波矢是一个矢量，其大小表示波数（|k|=2π/λ），其方向表示波传播的方向。

波矢在狭义相对论背景下可定义为四维矢量。

目录

[隐藏]

[编辑] 定义

参见：行波
正弦波波长λ可以通过测量相位相同的任意相邻两点间的距离得到，这两点可以是相邻的波峰、波谷或是如图所示的零交点。
当波行进时，给定点的值以正弦作正弦振动。

波矢有两种常见的定义，区别在於振幅因子是否乘以2π，两种定义分别用於物理学和晶体学以及它们的相关领域。[1]

[编辑] 物理学定义

理想的一维行波遵循如下方程：

\psi(x,t) = A \cos (k x - \omega t+\varphi)

其中：

  • x为位置；
  • t为时间；
  • ψ（x和t的函数）是对波进行描述的扰动（例如对於海浪，ψ是超出水面的高度；对於声波，ψ是超气压）；
  • A是波的振幅（振动的峰值）；
  • \varphi是相位偏移，描述了两个波互相之间不同步的程度；
  • ω是波的角频率，描述了在一个给定点波振动的快慢程度；
  • k是波数，与波长成反比，由k = 2π / λ求出。

此波在+x方向上行进，相速度为ω / k。

推广到三维情况下，方称为：

\psi \left({\mathbf r}, t \right) = A \cos \left({\mathbf k} \cdot {\mathbf r} - \omega t + \varphi \right)

其中：

  • r是三维空间中的位置矢量；
  • \cdot 是矢量点积；
  • k是波矢。

这一方程描述了平面波。一维情况下，波矢的大小是角波数|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda。波矢的方向是平面波行进的方向。

[编辑] 晶体学定义

在晶体学中，描述相同的波的方程略有不同。[2]在一维和三维情况下的方程分别为：

\psi(x,t) = A \cos (2 \pi (k x - \nu t)+\varphi)
\psi \left({\mathbf r}, t \right) = A \cos \left(2\pi({\mathbf k} \cdot {\mathbf r} - \nu t) + \varphi \right)。

不同点在於：

  • 晶体学定义使用了频率ν，而不是角频率ω，由公式2πν = ω，二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。
  • 波数k以及波矢k的定义方式不同。此处的k=|{\mathbf k}| = 1/\lambda，而在物理学定义中，k=|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda。

[编辑] 狭义相对论

接近单色光的波包可以由波矢

k^\mu = \left(\frac{\omega}{c}, \vec{k} \right) \,

准确描述，若明确的改写成共變和反變形式，则

k^\mu = \left(\frac{\omega}{c}, k^1, k^2, k^3 \right)\, 且
k_\mu = \left(\frac{\omega}{c}, -k_1, -k_2, -k_3 \right) \,。

於是波矢的大小为

k^2 = k^\mu k_\mu = k^0 k_0 - k^1 k_1 - k^2 k_2 - k^3 k_3 \,
=\frac{\omega^2}{c^2} - \vec{k}^2 = 0 \,

最後一步等於零是因为对於真空中的光满足

k = \frac{\omega}{c} \,

[编辑] 洛伦兹变换

对波矢作洛伦兹变换可导出相對論性多普勒效應。洛伦兹矩阵定义为

\Lambda = \begin{bmatrix} \gamma&-\beta \gamma&0&0 \\ -\beta \gamma&\gamma&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} 。

在光被快速移动的波源激发的情况下，若要在地球坐标系（实验室坐标系）中检定光的频率，就要使用洛伦兹变换，如下所示。注意波源位於坐标系S s，地球位於观测系S obs。 对波矢进行洛伦兹变换得到

k^{\mu}_s = \Lambda^\mu_\nu k^\nu_{\mathrm{obs}} \,。

只考虑μ = 0分量的情况，得到

k^{0}_s = \Lambda^0_0 k^0_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_1 k^1_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_2 k^2_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_3 k^3_{\mathrm{obs}} \,。
\frac{\omega_s}{c} \, = \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} - \beta \gamma k^1_{\mathrm{obs}} \,
\quad = \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} - \beta \gamma \frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c} \cos \theta \,

其中 \cos \theta \,是k1关於k0的方向余弦k1 = k0cosθ。

因此

\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{1}{\gamma (1 - \beta \cos \theta)} \,

[编辑] 波源远离观测者

当波源径直地远离观测者时，θ = π，方程变为：

\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{1}{\gamma (1 + \beta)} = \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta} = \frac{\sqrt{(1+\beta)(1-\beta)}}{1+\beta} = \frac{\sqrt{1-\beta}}{\sqrt{1+\beta}} \,。

[编辑] 波源接近观测者

当波源径直地接近观测者时，θ = 0，方程变为：

\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}} \,。
请您先登陆，再发跟帖！

发现Adblock插件

如要继续浏览
请支持本站 请务必在本站关闭/移除任何Adblock

关闭Adblock后 请点击

请参考如何关闭Adblock/Adblock plus

安装Adblock plus用户请点击浏览器图标
选择“Disable on www.wenxuecity.com”

安装Adblock用户请点击图标
选择“don't run on pages on this domain”