实验上“一次物理量观测，测得值为r” ，希尔伯特空间几何上对应于“把一个系统态矢量|a>，改变到|a1>的方向（塌缩），变为r|

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实验上“一次物理量观测，测得值为r” ，希尔伯特空间几何上对应于“把一个系统态矢量|a>，改变到|a1>的方向（塌缩），变为r|a1>”。

观测量算符及其本征值的直观理解

(2010-12-15 12:05:04)

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标签： 量子力学 算符 态矢量 希尔伯特空间 教育

分类： 量子力学

观测量算符及其本征值的直观理解

写点通俗角度的理解。

实验上“一次物理量观测，测得值为r” ，希尔伯特空间几何上对应于“把一个系统态矢量|a>，改变到|a1>的方向（塌缩），变为r|a1>”。

几何上怎么样做到呢？即几何上如何把任意一个态矢量，变为这个态矢量r|>a1>呢？

我们知道，一个态矢量，需要方向、长度、相位三个指标才能完全确定。一个任意态矢量，要想变为另一态矢量，只有旋转之、拉伸之、转相位之三个办法。

1、一个实数r乘以一个态矢量|a>即r|a>，只能改变矢量的长度，对矢量的相位和方向都没有改变；

2、一个模为1的复数e^(ip)乘以一个态矢量，只能改变矢量的相位，对矢量的长度和方向都没有贡献；

3、一个复数re^(ip)乘以一个态矢量，能改变态矢量的长度和相位，但无法改变态矢量的方向。

4、一个态矢量，要想改变方向，只有用矩阵乘以之。

如果了解刚体力学的转动矩阵，就容易理解上述第4点。

我们把对态矢量的改变，叫一个操作，或叫算符操作，代数上就是用算符乘以这个态矢量。算符可对应于矩阵，实数和复数都是特殊的算符。


设一个算符F对应于以下几何操作：

“将系统态矢量|a>改变（包括方向、长度或相位），改变成为r|a1>，即使之与一基矢量|a1> 平行（即方向一致）”。

代数表示即 F|a> = r|a1>. 其中F是一算符，r为一实数。通常F只能以矩阵的形式出现。

但是，特殊地，当|a> = |a1> 之时，即那个原本要改变的态矢量，本身就与将要改变到的态矢量的方向是一致的，就会有：


F|a1> = r|a1>.


这时，算符F乘以态矢量|a1>，无异于只改变态矢量的长度，即无异于一个实数乘以此态矢量。这时，基矢量 |a1> 就是算符F的本征态矢量，对应于本征态；而r就是算符F对应于本征态矢量a1>时的F的本征值。

回到本帖开头看：实验上“一次物理量观测，测得值为r” ，希尔伯特空间几何上对应于“把一个系统态矢量|a>，改变到|a1>的方向（塌缩），变为r|a1>”。


可知，一个物理观测是对应于一个算符操作的。所以物理观测用算符表示，观测量测得值就是算符的本征值。


（而系统态矢量|a>在 |a1> 上的投影 <a1|a>，是个复数，其模的平方就是系统被测得a1>态的概率。）

 

 

坐标算符在坐标表象中，或动量算符在动量表象中，都会表现为上面那种对角矩阵形式。对角元就是算符的本征值即物理量的观测值（坐标测得值或动量测得值）。

但动量算符在坐标表象中的表示，或坐标算符在动量表象中的表示，就要靠海森堡不确定性原理的对易关系换算出来。