为什么量子力学观测量要用线性自伴算子

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D ， b

15卷第l期

1996年 1月

大学物理

COLLEGE PHYSICS

、oi 15 No I

j_1II 【u9a

为什么不确定原理是量子力学的基本原理

．

 

圭圭扛_、

(北京大学技术物理系，北京100871)

^

摘要首先给出量子力学观测量甩算子表示的物理基础，然后在此基础卜说明为什 碲宴 氅紧#

睾．的基本原理．

关键调量子力学；观测量；不确定原理

分类号 丽 T ～ 一

1 引言

本文的讨论涉及量子力学的三条基本原

理，它们是：

I 若物理系统有态lA)与lB>，则一定

还有态lc>，在态l C)上既可测到态lA)，也可

测到态lB)，并且此外测不到其他结果．

Ⅱ 在一物理系统的态l )上测到态q)

的概率正比于l(q l )j ，其中(ql )是归一化

态矢量l 与lq)的内积．

Ⅲ 物理观测量用作用于态矢量空间的线

性自伴算子来表示，特别是，正则坐标算子

与其正则共轭动量算子 满足海森伯对易关系

Lq，P J 一Pq 1 【1j

其中I是态的叠加原理，Ⅱ是波函数的统

计诠释，它们的上述表述都是物理的．I的数学

含义是，一个物理系统的所有可能态形成一个

线性矢量空间，每个物理态对应于一确定的矢

量方向．Ⅱ的数学含义是，对物理系统的态进行

观测所得的概率幅定义了态矢量间的一种内

积

Ⅲ的上述表述不同，它只叙述了原理的数

学形式，没有说明原理的物理内容．它的内容有

两点，第一点说物理观测量用线性自伴算子来

表示；第二点说坐标算子与动量算子满足海森

伯对易关系．初看起来，第一点太奇特，以至相

对来说，第二点只像是一个具体关系其实，第

一

 

点可以从I、Ⅱ和观测量的物理性质推出来，

并不包含新的物理内容．真正有新的物理内容

-

 

国家自然科学基垒资助项目

收稿日期：1994—08—25

的是第二点，它可以说是整个量子 字 影里

理的核心本文的目的，就是来讨论这一条原谭

的物理基础，并指出其核心正是海森伯不镝定

原理．下面就分别来讨论这两点．

2 为什么量子力学观测量要用线性自伴算子

来表示

通常教科书上的讲法是从数学的表述来讨

论其物理的含义，而我们这里的讲法是从物理

的性质来提出对数学的要求，请读者注意这种

视角的转换．

一

 

个物理观测量的测得值称为它的本征

值，全体本征值的集合称为它的本征值谱，与一

个本征值相应的态称为它的本征态，全体本征

态的集合称为它的本征态组．不同的物理观测

量，其本征值谱不同，可以分为离散谱，连续潜

和混合谱．以上基本实验事实，是我们讨论的出

发点．为了简单起见，我们只讨论离散谱的情

形，但不难推广到连续谱和混合谱．我们还假设

本征态不筒并．对于有筒并的情形，可以找到另

外的相容观测量来把筒并消除，这只增加麻烦，

而不构成原则上的同题⋯．

设观测量L的本征值谱为：f (f1，f2

⋯

 

)，相应的本征态组为{1 z )l：(1 21，)!f2)，

⋯

 

)．根据本征态的上述定义，如果 ≠~-／,g，则在

态l f )上测不到态2 )．于是，由渡函数的统计

诠释Ⅱ，有(z lf )=0，选择归一化的本征态，

就有正交归一化关系

(z 1f )=占 (2)

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第L期 王正行 为什幺不确定原理是量子力学的基本原理

所以，观测量本征态的正交归一化性质。是从本

征态的物理定义和渡函数的统计诠释Ⅱ推出的

一

 

个普遍要求和结论

对于任意可观测L的物理态1 ．根据态

的叠加原理1，可以写出

=

 

Σ 1f ) (3)

算它与ll )的内积，利用ll 的正交归一性

(2)．就得到展开系数 的公式

( J )=Σ (f f )=Σ = (4)

把(4)式代回(3)式．有

)=Σ lf ) =Σll )(f l ) (5)

由于 )是任意态矢量，所以上式表示

Σlf )(1 =1 (6)

这就是本征态矢量组{l f )}的完备性公式，它

在由{ l )}张成的线性空间成立．

计算在态『 )上测量L 多次所得的平均

值，根据本征态组；『 )}的定义和波函数的统

计诠释Ⅱ，有下述公式

L= l(f l )l

=

 

Σ( l )z ( l )=( L1 ) (7)

其中1 、导0]一化态矢量， 是下述线性算子

L Σl )f (1 (8)

由于本征值} }是观测量的测得值，应是实数

l =f (9)

所以从(8)式可得

￡ =Σ lf )f 《f

=

 

Σ l )l (1 l=Σ !f )f ， =L (1O)

亦即￡是自伴算子．

所以，观测量用线性自伴算子来表示这一

点，可以从态的叠加原理I、渡函数的统计诠释

Ⅱ和观测量的一般性质推出．其实，上述推导的

基本点在狄拉克⋯和朗道 的书中都可以找

到．只不过他们的着重点不在上述逻辑关系，所

以看起来不一定有这里表述的清晰．

用(8)式定义的算子￡作用于它的本征态

lf )，代入(2)式，可以得到

L l )=f f ) (11)

这就是从算子￡求它的本征态和本征值的本

征方程

熟悉希尔伯特空间算子理论的读者不难看

出．这里的讨论是自伴算子谱定理的基础 ]．

可以看出，能够表示一个物理观测量的算子，在

数学上必须满足的条件是：线性．自伴性，在态

矢量空间内作用，本征态组有完备性．后两点既

是对算子的要求，也是对本征态矢量组的要求，

它们往往被疏忽，这会在一些具体问题中造成

问题l4 J，本文就不讨论．

上面的分析表明，在基本原理Ⅲ的表述中。

物理观测量用线性自伴算子来表示这一点并不

包含新的物理内容，不能把它单独作为一条基

本的物理原理这是我们的第一个结论．

从数学上看．确定一个算子的关键是确定

它与其它算子的乘法对易规则．那么，如何从物

理上确定观测量算子的对易规则呢?这需要有

新的物理原理．这就是下一节要讨论的问题．

3 为什么不确定原理是量子力学的基本原理

对于力学现象，最基本的观测量是坐标q

与动量P．从坐标算子；与动量算子 满足的

对易关系(1)，可以在具体表象中确定算子；

与；的表达式l1_5．，从而在很大程度上确定用

坐标和动量来表示的大多数算子．从实际演算

和应用的角度看，这就足够了．把海森伯对易关

系(1)作为基本原理Ⅲ的主要内容，当作理论的

基本假设和出发点，正反映了这种实用的态度

从实际演算和应用的角度看，更直接的出

发点是坐标表象中动量算子的表达式

=

 

嘞鑫 (12)

而从海森伯对易关系(1)导出(12)式的做法都

显得太烦琐和学究气．所以，许多作者直接把

(12)式作为量子力学的基本假设和讨论的出发

点．

不过，无论用(1)还是(12)式作为基本假

设．都只给出了原理的数学形式，并未给出其物

理内容．从物理上看，为什么会有(1)或(12)式

呢?

罗伯森证明的定理L6 为我们提供了理解

的线索．这个定理表明．对于任意两个物理观测

量A 与B，在任一态l )上同时测量它们，所得

结果的均方差满足不等式

(△A) (△B) ≥÷ 踊 (13)

其中A 与亩分别表示这两个观测量的算子，

△A=A一百，△B=亩一百，符号上打一横表示

该量在态l )上的平均．这就意味着，如果坐标

算子与动量算子不对易，有(1)或(12)式，则它

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大学物理 第l5卷

们就不能同时测准．反之，如果把它们不能同时

测准当作一条物理原理，在数学上就会要求有

(1)或(12)式

所以，(1)或(12)式所包含的物理原理就是

海森伯不确定原理：一个物理系统的正则坐标

与其正则共轭动量不能同时测准，这种不确定

度的大小用约化普朗克常量h来表示．这里给

出了基本常量h的定义．如果 一O，不存在不

确定．整个理论就过渡到经典力学． ‘

这样．我们就能理解，为什么在许多量子力

学的经典著作中，都把不确定原理当作量子力

学最重要的基本原理【2· - ，海森伯甚至专门甩

一

 

本书来讨论它 J．我们的第二个结论是：作

为物理的表述，应该把Ⅲ换成上述海森伯不确

定原理．

由不确定原理所给出的量子化(1)称为正

则量子化．在把量子力学推广应用于场的量子

理论时．正则量子化遇到了困难，要借助于对称

性分析和采用路径积分量子化 J．这意味着，

在粒子物理的领域．正则量子化可能不是一个

最恰当的量子化程序，相应地，不确定原理也不

是一条最基本的物理原理

量子力学的基础是原子物理．从原子物理

到粒子物理，几何尺度减小了5—6个数量级，

这相当于从宏观领域到微观领域的数量级在

粒子物理领域，实验现象和物理观测量都超出

了力学的范围，用正则坐标与其正则共轭动量

不能完全进行描述，量子力学也许要作原则性

的扩充和改进¨1 很可能，量子力学也只是在

一

 

定范围内适用的唯象理论不过，这种讨论已

经超出了传统量子力学的范围．在传统量子力

学的适用范围内，我们仍然可以把不确定原理

当作量子力学的基本原理实际上，在介观和宏

观量子现象的讨论中，正则量子化仍然是一个

恰当的出发点，而这些现象中的不确定性，已经

成为当前研究的热点 ．

4 参考文献

1 P．A M．驮拉克．量子力学原理．陈藏亨译北京：科学出

版社．1965

2 JIⅡ．朗道，B．M．粟弗席茨量子力学(非相对论性理

论)．上册严肃译北京：高等教育出版社，1980

3 F．W．拜仑．R．w．富勒．物理学中的数学方法，第一卷熊

家炯荨译．北京：科学出版社，1982

4 王正行薛定谔渡函数的单值性与角动量的幸征值．大学

锚理．1992，lX(5)：1—5．

5 王正行广义坐标中的量子化大学物理．1988，7(1)：9—

12．

6 Robertson H P．The Uncerta[nty Prindple P s Lead Review，

1蛇9．，4：163—164

7 w．海森伯量子论的物理原理．王正行等译 北京：科学出

版社．1983

8 Paul LW Genera Prindples。{Quata~ M ，haaic~ Springer

—

 

Verlag．Berlin．1980．

9 橱泽森高等量子力学．北京：北京大学出版社．1991

10 李致道粒子物理和场论简引．下册涵拒非等译北京：

科学出版社．1984．

儿高守恩．陈斌有源RLcⅫ路的量子化大学物理，1994，

13(1)：12

W HY THE UNCERTAINTY PRINCIPLE IS A FUNDAM ENTAL

PRINCIPLE OF QUANTUM MECHANICS

W ang Chengshing

(Department D{Techlfical Physics．Pe~ng University，Bering．100871，Chkna)

Abstract The physical explanation on the representation of physical observables by the operators

in quanlum mechanics is given at first and then the idea why the uncertainty principle is a fundamental

principle of quantum mechanics is ex~mned．

Key words observables；uncertainty principle

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