D , b 15卷第l期 1996年 1月 大学物理 COLLEGE PHYSICS 、oi 15 No I j_1II 【u9a 为什么不确定原理是量子力学的基本原理 .
圭圭扛_、
(北京大学技术物理系,北京100871)
^
摘要首先给出量子力学观测量甩算子表示的物理基础,然后在此基础卜说明为什 碲宴 氅紧#
睾.的基本原理.
关键调量子力学;观测量;不确定原理
分类号 丽 T ~ 一
1 引言
本文的讨论涉及量子力学的三条基本原
理,它们是:
I 若物理系统有态lA)与lB>,则一定
还有态lc>,在态l C)上既可测到态lA),也可
测到态lB),并且此外测不到其他结果.
Ⅱ 在一物理系统的态l )上测到态q)
的概率正比于l(q l )j ,其中(ql )是归一化
态矢量l 与lq)的内积.
Ⅲ 物理观测量用作用于态矢量空间的线
性自伴算子来表示,特别是,正则坐标算子
与其正则共轭动量算子 满足海森伯对易关系
Lq,P J 一Pq 1 【1j
其中I是态的叠加原理,Ⅱ是波函数的统
计诠释,它们的上述表述都是物理的.I的数学
含义是,一个物理系统的所有可能态形成一个
线性矢量空间,每个物理态对应于一确定的矢
量方向.Ⅱ的数学含义是,对物理系统的态进行
观测所得的概率幅定义了态矢量间的一种内
积
Ⅲ的上述表述不同,它只叙述了原理的数
学形式,没有说明原理的物理内容.它的内容有
两点,第一点说物理观测量用线性自伴算子来
表示;第二点说坐标算子与动量算子满足海森
伯对易关系.初看起来,第一点太奇特,以至相
对来说,第二点只像是一个具体关系其实,第
一
点可以从I、Ⅱ和观测量的物理性质推出来,
并不包含新的物理内容.真正有新的物理内容
-
国家自然科学基垒资助项目
收稿日期:1994—08—25
的是第二点,它可以说是整个量子 字 影里
理的核心本文的目的,就是来讨论这一条原谭
的物理基础,并指出其核心正是海森伯不镝定
原理.下面就分别来讨论这两点.
2 为什么量子力学观测量要用线性自伴算子
来表示
通常教科书上的讲法是从数学的表述来讨
论其物理的含义,而我们这里的讲法是从物理
的性质来提出对数学的要求,请读者注意这种
视角的转换.
一
个物理观测量的测得值称为它的本征
值,全体本征值的集合称为它的本征值谱,与一
个本征值相应的态称为它的本征态,全体本征
态的集合称为它的本征态组.不同的物理观测
量,其本征值谱不同,可以分为离散谱,连续潜
和混合谱.以上基本实验事实,是我们讨论的出
发点.为了简单起见,我们只讨论离散谱的情
形,但不难推广到连续谱和混合谱.我们还假设
本征态不筒并.对于有筒并的情形,可以找到另
外的相容观测量来把筒并消除,这只增加麻烦,
而不构成原则上的同题⋯.
设观测量L的本征值谱为:f (f1,f2
⋯
),相应的本征态组为{1 z )l:(1 21,)!f2),
⋯
).根据本征态的上述定义,如果 ≠~-/,g,则在
态l f )上测不到态2 ).于是,由渡函数的统计 诠释Ⅱ,有(z lf )=0,选择归一化的本征态, 就有正交归一化关系 (z 1f )=占 (2)
维普资讯
http://www.cqvip.com
第L期 王正行 为什幺不确定原理是量子力学的基本原理
所以,观测量本征态的正交归一化性质。是从本
征态的物理定义和渡函数的统计诠释Ⅱ推出的
一
个普遍要求和结论
对于任意可观测L的物理态1 .根据态
的叠加原理1,可以写出
=
Σ 1f ) (3)
算它与ll )的内积,利用ll 的正交归一性 (2).就得到展开系数 的公式 ( J )=Σ (f f )=Σ = (4) 把(4)式代回(3)式.有 )=Σ lf ) =Σll )(f l ) (5) 由于 )是任意态矢量,所以上式表示 Σlf )(1 =1 (6)
这就是本征态矢量组{l f )}的完备性公式,它
在由{ l )}张成的线性空间成立.
计算在态『 )上测量L 多次所得的平均
值,根据本征态组;『 )}的定义和波函数的统
计诠释Ⅱ,有下述公式
L= l(f l )l
=
Σ( l )z ( l )=( L1 ) (7)
其中1 、导0]一化态矢量, 是下述线性算子 L Σl )f (1 (8)
由于本征值} }是观测量的测得值,应是实数
l =f (9)
所以从(8)式可得
£ =Σ lf )f 《f
=
Σ l )l (1 l=Σ !f )f , =L (1O)
亦即£是自伴算子.
所以,观测量用线性自伴算子来表示这一
点,可以从态的叠加原理I、渡函数的统计诠释
Ⅱ和观测量的一般性质推出.其实,上述推导的
基本点在狄拉克⋯和朗道 的书中都可以找
到.只不过他们的着重点不在上述逻辑关系,所
以看起来不一定有这里表述的清晰.
用(8)式定义的算子£作用于它的本征态
lf ),代入(2)式,可以得到
L l )=f f ) (11)
这就是从算子£求它的本征态和本征值的本
征方程
熟悉希尔伯特空间算子理论的读者不难看
出.这里的讨论是自伴算子谱定理的基础 ].
可以看出,能够表示一个物理观测量的算子,在
数学上必须满足的条件是:线性.自伴性,在态
矢量空间内作用,本征态组有完备性.后两点既
是对算子的要求,也是对本征态矢量组的要求,
它们往往被疏忽,这会在一些具体问题中造成
问题l4 J,本文就不讨论.
上面的分析表明,在基本原理Ⅲ的表述中。
物理观测量用线性自伴算子来表示这一点并不
包含新的物理内容,不能把它单独作为一条基
本的物理原理这是我们的第一个结论.
从数学上看.确定一个算子的关键是确定
它与其它算子的乘法对易规则.那么,如何从物
理上确定观测量算子的对易规则呢?这需要有
新的物理原理.这就是下一节要讨论的问题.
3 为什么不确定原理是量子力学的基本原理
对于力学现象,最基本的观测量是坐标q
与动量P.从坐标算子;与动量算子 满足的
对易关系(1),可以在具体表象中确定算子;
与;的表达式l1_5.,从而在很大程度上确定用
坐标和动量来表示的大多数算子.从实际演算
和应用的角度看,这就足够了.把海森伯对易关
系(1)作为基本原理Ⅲ的主要内容,当作理论的
基本假设和出发点,正反映了这种实用的态度
从实际演算和应用的角度看,更直接的出
发点是坐标表象中动量算子的表达式
=
嘞鑫 (12)
而从海森伯对易关系(1)导出(12)式的做法都
显得太烦琐和学究气.所以,许多作者直接把
(12)式作为量子力学的基本假设和讨论的出发
点.
不过,无论用(1)还是(12)式作为基本假
设.都只给出了原理的数学形式,并未给出其物
理内容.从物理上看,为什么会有(1)或(12)式
呢?
罗伯森证明的定理L6 为我们提供了理解
的线索.这个定理表明.对于任意两个物理观测
量A 与B,在任一态l )上同时测量它们,所得
结果的均方差满足不等式
(△A) (△B) ≥÷ 踊 (13)
其中A 与亩分别表示这两个观测量的算子,
△A=A一百,△B=亩一百,符号上打一横表示
该量在态l )上的平均.这就意味着,如果坐标
算子与动量算子不对易,有(1)或(12)式,则它
维普资讯
http://www.cqvip.com
大学物理 第l5卷
们就不能同时测准.反之,如果把它们不能同时
测准当作一条物理原理,在数学上就会要求有
(1)或(12)式
所以,(1)或(12)式所包含的物理原理就是
海森伯不确定原理:一个物理系统的正则坐标
与其正则共轭动量不能同时测准,这种不确定
度的大小用约化普朗克常量h来表示.这里给
出了基本常量h的定义.如果 一O,不存在不
确定.整个理论就过渡到经典力学. ‘
这样.我们就能理解,为什么在许多量子力
学的经典著作中,都把不确定原理当作量子力
学最重要的基本原理【2· - ,海森伯甚至专门甩
一
本书来讨论它 J.我们的第二个结论是:作
为物理的表述,应该把Ⅲ换成上述海森伯不确
定原理.
由不确定原理所给出的量子化(1)称为正
则量子化.在把量子力学推广应用于场的量子
理论时.正则量子化遇到了困难,要借助于对称
性分析和采用路径积分量子化 J.这意味着,
在粒子物理的领域.正则量子化可能不是一个
最恰当的量子化程序,相应地,不确定原理也不
是一条最基本的物理原理
量子力学的基础是原子物理.从原子物理
到粒子物理,几何尺度减小了5—6个数量级,
这相当于从宏观领域到微观领域的数量级在
粒子物理领域,实验现象和物理观测量都超出
了力学的范围,用正则坐标与其正则共轭动量
不能完全进行描述,量子力学也许要作原则性
的扩充和改进¨1 很可能,量子力学也只是在
一
定范围内适用的唯象理论不过,这种讨论已
经超出了传统量子力学的范围.在传统量子力
学的适用范围内,我们仍然可以把不确定原理
当作量子力学的基本原理实际上,在介观和宏
观量子现象的讨论中,正则量子化仍然是一个
恰当的出发点,而这些现象中的不确定性,已经
成为当前研究的热点 .
4 参考文献
1 P.A M.驮拉克.量子力学原理.陈藏亨译北京:科学出
版社.1965
2 JIⅡ.朗道,B.M.粟弗席茨量子力学(非相对论性理
论).上册严肃译北京:高等教育出版社,1980
3 F.W.拜仑.R.w.富勒.物理学中的数学方法,第一卷熊
家炯荨译.北京:科学出版社,1982
4 王正行薛定谔渡函数的单值性与角动量的幸征值.大学
锚理.1992,lX(5):1—5.
5 王正行广义坐标中的量子化大学物理.1988,7(1):9—
12.
6 Robertson H P.The Uncerta[nty Prindple P s Lead Review,
1蛇9.,4:163—164
7 w.海森伯量子论的物理原理.王正行等译 北京:科学出
版社.1983
8 Paul LW Genera Prindples。{Quata~ M ,haaic~ Springer
—
Verlag.Berlin.1980.
9 橱泽森高等量子力学.北京:北京大学出版社.1991
10 李致道粒子物理和场论简引.下册涵拒非等译北京:
科学出版社.1984.
儿高守恩.陈斌有源RLcⅫ路的量子化大学物理,1994,
13(1):12
W HY THE UNCERTAINTY PRINCIPLE IS A FUNDAM ENTAL
PRINCIPLE OF QUANTUM MECHANICS
W ang Chengshing
(Department D{Techlfical Physics.Pe~ng University,Bering.100871,Chkna)
Abstract The physical explanation on the representation of physical observables by the operators
in quanlum mechanics is given at first and then the idea why the uncertainty principle is a fundamental
principle of quantum mechanics is ex~mned.
Key words observables;uncertainty principle
维普资讯
http://www.cqvip.com