（为了配合与季候风兄的讨论，我在众数学高手面前班门弄斧，向非数学专业人士科普一下一些基本概念。可能难免会含有诸般错误） 1. 测度 通常的函数是以某个变量为自变量的函数。而测度可以看作是一种以集合为自变量的“函数”（映射，映射是比函数更一般的概念）。即给定一个集合，就让某个量与之对应，这个量就是集合的测度。当然测度的定义域——由集合构成的集合，必须满足某种代数性质(σ代数),这种代数常常作为测度的一种定义方法. 例如,由所有事件集合构成一个集合(因而是集合的集合),它可以作为概率事件的样本空间.此时定义在事件集合上的测度,可以是这个集合中所有互斥的基本事件发生的概率之和.因此概率就是一种测度.此时概率论要求σ代数自然满足. 再如,由一些平面空间区域(相当于点的集合)构成一个集合(要求满足σ代数哈),对于任一个区域上所有点构成的集合,可以定义该点集合的测度为该平面空间区域的面积. 物理学中,有时把一些积分的微分元直接称做积分测度. 一个点,一根线的面积为零,所以在二维面积测度的意义上,点和线的测度都是零.定义一维区间长度为该区间上点集合的测度.不难看出,此时可数无穷多个点的集合测度为零.那么,不可数无穷多个点的集合测度是不是一定大于零呢?不一定!例如康托分形集合就是测度为零的、包含不可数无穷多个点的集合。 测度理论,是现代公理化概率理论的基础.研究某些比较深入的量子力学问题,还非得用基于测度理论的概率理论才行.测度理论可以使得黎曼积分被推广。可以看到，上面的测度例子都是正定的，这也是概率可以作为测度来描述的一个重要原因。但是有时候，例如我们需要考虑负的积分结果，此时可以引入广义测度的定义。相对论量子力学产生负概率问题，人们选择的办法是避免它。由于负概率来源于正反粒子同时存在，也许可以直接引入负概率概念来描述。例如正电子出现的概率为正，同一情况下让负电子出现的概率为负。问题是，此时概率的归一性不好办（即总概率如何定义？通常为1）。也许还是有办法，但是也许不必了，因为量子场论很成功地替代了相对论量子力学。 2. 量子力学中的谱测度与概率测度 对算符F求平均值：<ψ|F|ψ>，它等于F的本征值f(i)乘以取该本征值的概率P(i)，再求和: <ψ|F|ψ>=∑ f(i)P(i) （1） 但我们可以把这个方程两边同时剥去外衣<ψ|和|ψ>，直接露出赤裸裸的算符F本身，得到 F＝∑ f(i)μ(i) （2） 此时，称μ(i)为算子F的谱测度，上式称为算符F的谱分解。本来，矩阵也好，算子也好，谱分解不过是一个纯粹的数学事实，但是量子力学中，波函数（如果以|ψ>代表Hilbert空间中的矢量，那么通常所说的波函数，即是Hilbert空间中的泛函）代表概率幅，这使得(2)式所表示的谱分解，有更多的含义。例如在（2）式中，F的“算符性”由μ(i)来承载，因为本征值f(i)只是一个c数不是算符，而 <ψ|μ(i)|ψ>=P(i) （3） 从（3）式看，即算符μ(i)的平均值就是概率P(i)。因此谱测度μ(i)相当于一个概率算符！如果前面的求和是连续求和，那么谱测度μ(i)相当于一个概率密度算符。 在通常的量子力学中，谱测度μ(i)被称为投影算符，因为它是幂等的（它的平方等于它自己），而且利用它可以实现将某个矢量向μ(i)中包含的某个矢量上进行投影。与此相应地，传统量子力学中，要求可观察量对应的算符是自共轭的，这类算符的谱分解中，谱测度对应投影算符。 但是传统量子力学存在局限性，需要扩展。比如，我们的测量，不一定对一个系统整体进行测量，而是对一个系统中额达某个子系统进行（严格说来，我们无法把观察者和被观察对象分离开来），此时算符的谱分解中，谱测度不一定对应投影算符。再例如，有些可观察量，例如时间，相位差等等，它们并不对应自共轭算符。 为了推广量子力学可观察量的概念（即不一定对应自共轭算符），我们需要推广算符的谱分解（2），使得其中的谱测度μ(i)不必对应投影算子，而是把投影算子看作它的特例。由（3）式可知，谱测度相当于“概率算子”（或“概率密度算子”），因此，在正统量子力学中它对应投影算子只是一个偶然，这并不表明它直接与投影算子等同，它应该对应更一般意义上的“概率算子”（或“概率密度算子”），从而谱测度μ(i)可以一般地推广到“概率测度”。由于概率测度非负，所以此时的谱测度称为“正算子取值测度”（POVM）。只要谱测度μ(i)对应POVM，（2）式表示的算符，均对应可观察量，此时这样的算符不一定是自共轭的。 但是，为了与传统区分开来，谱测度常常是指可以解释成投影算子的那种。一个算符是谱测度意义上的，还是POVM意义的，关键取决于所取的Hilbert空间（即算符的表示空间）。有一个定理是说：每一个POVM，存在一个谱测度的“膨胀”（dilation）。例如，假定Hilbert空间H(1)是H (2)的子空间，算符F在H(2)中存在谱测度分解，那么它在H(1)上的压缩compression（或限制restriction）记为E，假定E在 H(1)中存在POVM分解，此时F是E在H(2)中的dilation。 需要提醒的是，dilation与扩张extension是两种概念，一个POVM意义上的算符，不一定存在谱测度意义上的extension，除非该算子的正负亏指数deficiency index相等。但是dilation就不存在这个限制：每一个POVM，都存在一个谱测度的dilation。换句话说，当闭对称算子的两个亏指数（deficiency index）相等时，才存在自共轭扩张（extension）。但是，如果这个算子存在POVM分解，则即使亏指数不相等，同样存在自共轭 dilation。

学到了不少知识，谢谢星空兄

星空兄好文。
量子场论似乎也没有解决几率蜜度的解释问题。
POVM能解决QM中的时间问题吗？比如量子隧穿时间。

谢谢二位捧场！
回joyer2兄：量子力学中的波函数被解释为几率幅（其模的平方对应几率密度），而几率密度本身已经不需要解释了。
量子场论中，量子力学中被解释为几率幅的波函数，得“升级”为场算子，或者说，原来的波函数此时对应场算子的本征值。但是在相对论量子力学中，波函数一般来说，不一定具有几率幅的含义，有的可以解释为具有“能量幅”或者“荷密度幅”的含义。在非相对论极限下，负能成份被省略，此时它们就可以过渡到可以解释为几率幅的的波函数。

另一方面，人们的确试图利用POVM来为时间算符赋予合法性。但是，如果定量地给出量子隧穿时间的计算公式，那是另一个问题，利用POVM只是用来论证时间算符的合理存在性，至于每一个具体的时间算符是怎样的，那要涉及具体的物理过程。

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-2-6 13:06 编辑 ]

谢谢星空兄的解释。

好像时间算子的定义多如牛毛，星空兄能否给个鸟瞰？

引用:

原帖由 joyer2 于 2008-2-6 22:32 发表
好像时间算子的定义多如牛毛，星空兄能否给个鸟瞰？

这个需要费相当的时间和精力，以后如果有时间的话可以
顺便地，量子隧穿时间的主要难点，不光是因为时间在量子力学中是个难题，也因为量子隧穿是个纯量子力学效应，没有经典力学对应，在这里，经典意义上的“速度”或者“动量”概念实效（强行搬用的话，则对应虚数速度或虚数动量），因此传统中那种用路程除以速度来计算运动时间的办法完全实效。

星空兄，

能不能再普及一下汉密尔顿在物理学中的概念以及它与能量级之间的关系？多谢了！

能不能再普及一下汉密尔顿在物理学中的概念以及它与能量级之间的关系？
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对于保守系统，汉密尔顿量通常对应系统的总能量，同时它还扮演另外一个角色：推动系统随时间的演化。在经典力学中，通过泊松括号表示的汉密尔顿方程来描述这种演化；在量子力学中，用把泊松括号换成量子括号之后的汉密尔顿方程来描述，也可以用薛定谔方程来描述态的时间演化。

如果汉密尔顿量有离散的本征值，这些离散的本征值集合就构成汉密尔顿量的谱，它们形成一个能级结构。

但愿我这里的回答没有出错而误导。其他人如果发现有错请帮忙纠正一下

获益颇多，有空再请教。

引用:

原帖由 星空浩淼 于 2008-2-8 01:33 发表


这个需要费相当的时间和精力，以后如果有时间的话可以
顺便地，量子隧穿时间的主要难点，不光是因为时间在量子力学中是个难题，也因为量子隧穿是个纯量子力学效应，没有经典力学对应，在这里，经典意义上的“速度”或者“动量” ...

这是一个很有趣的研究领域，希望星空兄可以费神给大家普及一下。有一个问题，对于隧穿过程中的粒子，是不是可以说时间本身都没有意义，而我们观测到的隧穿时间只是一个宏观的平均值，仅仅具有统计的意义？

[ 本帖最后由 Bennett 于 2008-2-27 18:40 编辑 ]

这是一个很有趣的研究领域，希望星空兄可以费神给大家普及一下。有一个问题，对于隧穿过程中的粒子，是不是可以说时间本身都没有意义，而我们观测到的隧穿时间只是一个宏观的平均值，仅仅具有统计的意义？
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以后有时间精力时可以科普一下。过去人们以为，象量子隧穿、量子跃迁这类物理过程，是不需要时间的。但是后来人们觉得错了，任何物理过程，只要不是瞬时完成的，就会存在某个时间标度来描述该过程所花的时间。量子隧穿、量子跃迁这类物理过程虽然及其短暂，但也是需要花时间的。
观察到的，当然只是平均值。

这里我想到一件事。
有ㄧ次某位教授跟我提到，量子穿燧效应时，速度是虚的。
因此，他建议我去找出一个相对速度为虚的Lorentz时空转换式。

但是我完全没尝试，就立刻回信说，说我认为没有虚速度这种东西。
而且认为这说法是没有意义的，速度的期望值，只会是实数的。
何况量子力学在使用波函数描述时，就放弃经典粒子的观点。
因此在量测以前，你只能去计算速度或动量的期望值。
而且按照规定这些都是实数，如果真要去赋予虚速度的意义，
即使有意义，也已经不是原本的量子力学了。

不过，教授似乎不太高兴，认为我这样的答复太过自信，
而且不认为虚速度的想法，是毫无意义的。
所以我也立刻答复说，我对量子力学了解太少，
也许我可以再多学习、然后再重新思考看看。

我当时有其它事情忙，加诸自己不太相信虚速度的可行性，
所以暂时搁置一旁。
今天看到星空兄提到，想顺便请教大家对这问题的看法。

小杰兄：我认为你的做法是对的！

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2011-2-14 12:35 编辑 ]