事实上对于每一个洞，我们可以用无限多个可能的包围圈将其包住，这些包围圈之间的差异只是形状上的，它们都是等价的，叫同伦等价，因此同

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欧拉示性数能给出流形的洞数描述，但洞可以有不同维度。系统记录各维洞的数目及分布，有一个工具叫同伦群。从图像看很清楚。假如流形上有一些洞，如何标记它们呢？最简单的方法就是把每个洞画个圈，表示"内为陷阱，禁止进入"。一维洞，用一维圈围住，二维洞，得用二维洞才能围住，依此类推。总而言之，我们总可以用环绕每个洞的闭合流形将各维洞包围起来。同伦群的最基本元素就是这样的包围圈。我们来看这些包围圈为何能形成群。事实上对于每一个洞，我们可以用无限多个可能的包围圈将其包住，这些包围圈之间的差异只是形状上的，它们都是等价的，叫同伦等价，因此同伦群元素是以类为"单位"的。同伦类形成群的理由则简单得无法形容：对每个洞，我们不光可以包围一次，也可以包围任意多次， 可见包围n圈相当于是加法：围一圈，再围一圈，再围一圈...。而且我们容易注意到包围次数不受次序的影响，因此同伦群是可交换的，即Abel的。更进一步，我们不光可以一次只围一个洞，也可以一次围几个洞，形成不同的同伦类。看官想得出来，同伦类的数目决定了同伦群的＂自由元素＂数目，也就是秩。由于不同维度的洞由不同维度的围道包围，故不同维度的同伦群互相独立，也就是说，不同维度的同伦群（的元素）不会搅到一起。