一个绝热方形盒子，中间有块隔板，只有一边有理想气体，然后抽掉隔板，让气体自由扩散

关于各态历经和相空间的拓扑性质

2010-10-08 16:13:09 来自: Blblanc

统计力学里有个结果是S=integral(/sum) P*ln(P) ，S是熵，P是相空间中分布概率

这个结果很让人困惑：
我们考虑一个绝热方形盒子，中间有块隔板，只有一边有理想气体，然后抽掉隔板，让气体自由扩散
这个过程中显然S是增加的，但是，如果我们考虑S=integral P*lnP随时间的变化，抽掉的瞬间，密度只有等能面一半的许可区域均匀分布，然后足够长的时间后均匀分布到整个等能面上
但是，根据刘微尔定理，如果我们把最初的一半区域切成若干小块，并追踪他们的轨迹，那么每小块虽然沿轨迹运动，但密度却是不变的，于是我们清点P*lnP的结果应该不随时间变化！

这很悖论不是么？？
我仔细想这里发生了什么，感觉，似乎有两种意义上的“密度”
我们可以想象三维的边长为1的正方盒子，其中只有一个动量平行于盒子三面的粒子，我们在相空间中此粒子附近取一个很小开集，考虑此开集的变化，很显然开集中的点可以达到盒子的任何位置（因为此开集中包含了无理数，使反弹后轨道不闭合），但此粒子（动量平行于盒子三面）的轨道却是闭合的两条线，于是可以想象那个小开集，无论我们取多小，都将拉的无限的平扁而分布到整个空间中去。这种情况下“密度”的概念就很有问题了：对于给定的有限长时间，我们总是可以把粒子初始点附近的开集取的足够小，使运动后这个开集没有被严重拉伸（或者说包含在给定的开集中），于是相体积不变，P不变，这正是刘微尔定理的含义。但是，从另一个角度考虑，初始相空间中的任何一个开集在一段时间都会被拉的如此薄如此延伸，以至于我们定义密度ρ=limit ΔN/ΔV，只要那个ΔV不是零，那么无论有多小，总可以找到时间使得在此之后这个ΔV中包含了初态中若干个开集的点，从而密度改变了
所以这里“密度”这个词包含了两种含义，刘微尔定理虽然说相密度不变，但任何实际的密度定义在足够长的时间后都会违反这个不变性
这种情况非常让人困惑：hamilton-jacobi方程等于求解一个正则变换，使变换后角动量为常数，这个变换是和上面说的“考察时长”无关的，在变换后的空间中，两种定义下的密度都不变（且等价），而变换前却不是这样。这很奇怪，似乎这个变换改变了相空间的拓扑结构，因为原来的任意小开集在变换后都将分布到全空间中。可是作为连续的正则变换，拓扑性质应该是不会被改变的（总是映射开集到开集），这似乎暗示HJ方程给出的变换和普通的正则变换有非常实质的区别？

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  2010-10-12 06:10:55 jake

  我不知道对你这个问题是否理解清楚了。不过我认为熵的本质就在于粗粒化，所以你把系统切片成小区域之后，实际上已经不能定义熵了。
  我理解流维尔定理就是一棵分形树，它始终保持总体积不变，但是一直在空间中无限地分叉，以使得他能够“填充”整个空间，这种填充并不是真的填充。也就是你从一个精细的尺度下看，你看到的就都是空洞，但是如果你从粗糙的尺度看，这些空洞就变模糊，从而消失了，于是熵最大化了。
  所以，关键问题就在于观察的粗粒化！
  楼主提这个问题真的很专业哦！

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  2010-10-12 08:45:35 jodie (明天和今天是一样的，相信吗？)

  你那个闭合的轨道有没有问题？

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• 2010-10-12 13:53:10 Blblanc

  粗粒化是什么意思？？
  我意思是，从文字语义上我能“感觉”出“粗粒化”大概的含义，但是，这里面的数学背景是什么？能推荐介绍这个的书么，感觉似乎有很NB的数学背景
  我郁闷的就是，这里面似乎有些比较NB的数学，但是书上又完全没讨论，如果按书上（经典力学/经典统计）的说法，当然墒和密度都是能定义的，熵就是ρlnρ积分，密度就是ρ=limit ΔN/ΔV，我郁闷的就是，当我们考察T->∞的时候，似乎这个密度就变的很奇怪，如果非要按书上的做法，似乎得要求ρ的那个limit比T的limit“趋向的更快”。这数学让我很崩溃，我们怎么讨论两个极限的“快慢”？
  你说的“空洞”我能直观的感觉出来，但是这个函数好象太诡异了

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• 2010-10-12 14:12:12 Blblanc

  http://www.douban.com/group/topic/14762091/
  我在物理版帖了这个帖子
  
  
  你那个闭合的轨道有没有问题？
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  什么意思？是说不闭合么？假如那个正方盒子是严格平行的，反弹和光线的反射类似，那如果接触到边界的点的坐标是无理数，就不能闭合了

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  2010-10-20 06:31:08 jake

  按照我的理解，熵定义中的那个密度rho和刘维尔定理中的那个密度rho应该不是一回事儿。按照玻尔兹曼熵的定义，需要对相空间进行一次粗粒化（就是用更大的格子来划分空间），在这个更大的格子上计算rho。而刘维尔定理显然不需要这个粗粒化的过程，所以那里面的rho就是原始相空间意义下的rho了。
  
  这里面当然有很深的物理、数学问题了，麻烦在于，似乎教科书上没有能很好区分两种密度。比如，你看Boltzmann的H定理的证明，他就直接定义了rho，似乎就该是相空间中的密度，而没用粗粒化，从而证明了H即熵一直在增加。但是，它的证明中有一个重要前提假设，就是“分子混沌假设”，这其实已经与刘维尔定理矛盾了。
  
  关于粗粒化的数学，在物理中叫重整化操作，发明于量子场论中，但其实在Boltzmann给出熵的统计解释的时候，已经用了这种操作。而这种操作又导致了后来被称为分形的数学分支。所以，其实这里面的关键就是要用不通的分辨率去测量系统。

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• 2010-10-20 14:00:32 Blblanc

  原来重整化有这个背景！我还没学到场论中的重整化，惭愧。。。。
  
  
  似乎教科书上没有能很好区分两种密度
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  这类情况是我学物理最郁闷的事情之一，书上很多内容都让我不爽，但是写书的人TMD连提都不提，就好象根本没发生过一样，经常搞了我怀疑我的理解能力
  
  
  感觉这里的定义好象类似函数收敛里“收敛”和“一致收敛”的区别（虽然“分辨率”都可以取的无限精细，但一种密度的精细度依赖于“考察的时间长度”，而另一种精细度则是“一致”的，与时间无关）
  
  
  非常感谢你的指点，我大概对问题的框架有点概念了，这样我就很有兴趣去学习（如果知道将要学的东西能解答我的疑问就很有动力去学。相反如果要学的本来就建立在我困惑或怀疑的东西基础上，我就很没心情继续），等过久看看书我再来回这个帖子
  
  我还没学过分形，是否有不错的讲分形入门的书推荐？（如果能结合物理实质和数学语言最好，感觉似乎和拓扑学很有关系？）

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  2010-10-21 04:41:52 jake

  我觉得能发出这种疑问本身比回答这个问题更重要。
  说实在的，我的回答是我个人化的版本。我也是在看这些教科书的时候发出了很多很多地疑问。但是，由于我生性胆小，就喜欢把问题自己用自己的想法解决了。
  
  你不能怪教科书编的不好，不能怪老师们不告诉你答案，只能怪能产生这种问题的脑袋天生地就是可以做科学研究的，呵呵。
  
  关于分形，有太多的教材了，不过如果你能找到，还是看Mandelbrot的那本《大自然的分形几何》吧，毕竟他老人家太牛了。
  分形的概念更多地是靠几何直觉，如果说跟拓扑学有关系，也仅仅是在分形维的定义上，用到了Hausdoff维数，其它的，就跟拓扑学好象没太大关系了。很多数学家写的分形太过于形式化了，失去了那种物理直觉和几何直觉，其实，真正好玩的不在于拓扑不拓扑，而在于那个神秘而有趣的粗粒化（Coarse graining）、或称标度变换（Scaling）、或称重整化（Renormalization）的操作，这些玩意目前还没人想明白究竟有什么更深刻的含义。复杂性的探索也有相当一大部分工作是围绕着这些概念展开的。