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下载文档收藏第1章 电磁理论基本方程 第1章 电磁理论基本方程 第1章 电磁理论基本方程<<隐藏
高等电磁理论讲稿 樊振宏 2010-9-25 目录 1.电磁理论基本方程 2.基本原理和定理 3.基本波函数 4.波动方程的积分解 5.格林函数 6.导行电磁波 7.微波谐振器 8.运动系统电磁场简介 9.瞬态电磁场 各章节介绍 1.电磁理论基本方程 2.基本原理和定理 电磁理论基础，给出麦克斯韦方程、波动方程、 电磁波基本原理和定理 3.基本波函数 讨论标量和矢量波函数，平面波、柱面波和球 面波的基本波函数以及导电柱、劈、球等的散 射和辐射 4.波动方程的积分解 阐述标量和矢量Helmholtz方程的积分解 5.格林函数 讨论标量和并矢格林函数及其解法 6.导行电磁波 研究电磁波在金属波导、微带、介质波导中的 传播及特点 7.微波谐振器 讨论各种常见谐振腔中的场 8.运动系统电磁场简介 介绍运动电磁场中的各种变换。 9.瞬态电磁场 研究非正弦电磁信号的辐射、散射和传输，讨 论瞬态电磁场的基本性质和一些典型问题的应 用 *第1章 电磁理论基本方程 第 *1.1 1.2 *1.3 1.4 *1.5 #1.6 1.7 麦克斯韦方程 物质的电磁特性 边界条件和辐射的条件 波动方程 辅助位函数及其方程 赫兹矢量 电磁能量和能流 表示重点， 注： “*”表示重点，“#”表示难点 表示难点 第一章 电磁理论基本方程现象是一个不可分割的统一体。 电磁现象是一个不可分割的统一体。宏观电磁场遵守 方程。 经典的Maxwell方程。正像牛顿定律是经典力学的公理 一样， 方程是经典电动力学的公理。 一样， Maxwell方程是经典电动力学的公理。 方程有着极其丰富的内容。 Maxwell 方程有着极其丰富的内容 。 它不仅概括了电 磁现象上已经发现的所有定律， 磁现象上已经发现的所有定律，而且还可以通过一系 列的逻辑推论导出为实验所证实的新的结果。 列的逻辑推论导出为实验所证实的新的结果。 方程是电磁理论的基本方程，也是分析、 Maxwell方程是电磁理论的基本方程，也是分析、计算 电磁问题的出发点。 电磁问题的出发点。 方程、媒质的电磁特性、 在本章中将讲述Maxwell方程、媒质的电磁特性、边 界条件及波动方程和矢量位等电磁理论基本概念。 界条件及波动方程和矢量位等电磁理论基本概念。 1.1 麦克斯韦方程 Maxwell方程是英国科学家Maxwell根据法拉第、 Maxwell方程是英国科学家Maxwell根据法拉第、安培等前人关于电 方程是英国科学家Maxwell根据法拉第 磁现象的实验定律创建的电磁学的基本定律，它反映了宏观电磁现 磁现象的实验定律创建的电磁学的基本定律，它反映了宏观电磁现 象的普遍规律，是电磁理论的基本方程。 的普遍规律，是电磁理论的基本方程。 （1）基本的Maxwell方程 基本的Maxwell方程 Maxwell 基本的麦克斯韦方程是与时间有关的电磁场量所满足的方程， 基本的麦克斯韦方程是与时间有关的电磁场量所满足的方程， 是麦克斯韦的瞬时形式，也称为时域Maxwell方程 时域Maxwell方程。 是麦克斯韦的瞬时形式，也称为时域Maxwell 方程。时域麦克斯韦 方程包括积分形式和微分形式。 方程包括积分形式和微分形式。 时域麦克斯韦方程的积分形式是： 时域麦克斯韦方程的积分形式是： 这组方程描述了任一空间区域（体积中或曲面上） 这组方程描述了任一空间区域（体积中或曲面上）的场源与该空间区域的 空间区域 边界（封闭曲面或闭合曲线）上场的关系。 边界（封闭曲面或闭合曲线）上场的关系。 D H dl = ∫∫ J + dS ∫ t l S （1－1） （1－3） ∫ E dl = ∫∫ l S B dS t （1－2） （1－4） ∫∫ D dS = ∫∫∫ ρ dV S V ∫∫ B dS = 0 S 式（1－1）全电流安培环路定律，它表示传导电流和位移电流（即变化的 全电流安培环路定律， 表示传导电流和位移电流（ 电场） 电场）都可以产生磁场 法拉第电磁感应定律， 式（1－2）为法拉第电磁感应定律，它表示变化的磁场产生电场 。 电场高斯定理，它表示电荷可以产生电场； 式（1－3）为电场高斯定理，它表示电荷可以产生电场； 磁场高斯定理，也称为磁通连续原理。 式（1－4）为磁场高斯定理，也称为磁通连续原理。式中： ——电场强度 电场强度（ 式中：E——电场强度（ V / m ） H——磁场强度（ A / m ） ——磁场强度 磁场强度（ D——电位移矢量或电通密度（ C / m 2 ） ——电位移矢量或电通密度 电位移矢量或电通密度（ B——磁感应强度或磁通密度（ Wb / m 2 ） ——磁感应强度或磁通密度 磁感应强度或磁通密度（ J——电流密度（ A / m 2 ） 电流密度（ ——电荷密度 电荷密度（ ρ ——电荷密度（ C / m 3 ） 时域麦克斯韦方程的微分形式是： 时域麦克斯韦方程的微分形式是： × H = J + B = 0 D t （1－5） （1－7） ×E = D = ρ B t （1－6） （1－8） 式（1－5）表示传导电流密度和位移电流是磁场的旋度源； 表示传导电流密度和位移电流是磁场的旋度源； 传导电流密度 是磁场的旋度源 表示变化的磁场是电场的旋度源； 变化的磁场是电场的旋度源 式（1－6）表示变化的磁场是电场的旋度源； 表示磁场是无散场； 式（1－7）表示磁场是无散场； 表示电荷密度是电场的散度源。 式（1－8）表示电荷密度是电场的散度源。 微分形式的麦克斯韦方程描述了空间的任一点上场与场源的时空变化关系。由 微分形式的麦克斯韦方程描述了空间的任一点上场与场源的时空变化关系。 于含有对场量的微分，它只适用于媒质物理性质不发生突变的区域。 媒质物理性质不发生突变的区域 于含有对场量的微分，它只适用于媒质物理性质不发生突变的区域 这4个微分方程之间具有一定的关系，并不是完全的独立的。如果加上电流连续 个微分方程之间具有一定的关系，并不是完全的独立的。 性方程 ρ ρ J dS = ∫∫∫ dV （1-9b） ∫∫ (1-9a) J = t S V t 两个旋度方程式（ 两个旋度方程式（1－5）、（1－6）和（1－9a）为独立方程， ）、（1 9a）为独立方程， 另外两个散度方程不是独立的，可以由独立的旋度方程导出。 另外两个散度方程不是独立的，可以由独立的旋度方程导出。对（1－5）取散度，得 取散度， ( D ) t 并将（ 9a） 入上式， 由于 × H ≡ 0 ，并将（1－9a）式代入上式，得 ( D ρ ) = 0 t D ρ 由此得到式（ ≠ 0, ≠ 0 ，且在全空间 t=0 时, ρ = 0, D = 0 由此得到式（1－8） 。 因为 t t × H = J + 对式（ 取散度， 对式（1－6）取散度，得 × E = ( B) t 由于 × E ≡ 0 ，所以 B = 0 t B 由此得到式（ ≠ 0 ，由此得到式（1－7） 因为 。 t 注意:独立方程和非独立的方程是相对的，也可以将（ 注意:独立方程和非独立的方程是相对的，也可以将（1－5）、（1－6）和（1－8） ）、（1 考虑为独立方程，这样式（ 和式（ 9a）就为非独立方程。 考虑为独立方程，这样式（1－7）和式（1－9a）就为非独立方程。 非独立的散度方程也不是多余的，因为根据亥姆霍兹定理（参见2.1 ），矢量场同 2.1节 非独立的散度方程也不是多余的，因为根据亥姆霍兹定理（参见2.1节），矢量场同 时要由其旋度和散度才能唯一确定。 时要由其旋度和散度才能唯一确定。 （2）广义的麦克斯韦方程 ）电荷和电流称为电型源，电荷产生电场，电荷运动产生电流，电流产生磁场。 电荷和电流称为电型源，电荷产生电场，电荷运动产生电流，电流产生磁场。 电型源 和电型源对比可以引入磁型源——磁荷和磁流 磁荷产生磁场，磁荷运动产生磁流， 磁型源——磁荷和磁流， 和电型源对比可以引入磁型源——磁荷和磁流，磁荷产生磁场，磁荷运动产生磁流， 磁流产生电场。 磁流产生电场。 满足磁流连续性原理 磁荷密度 ρ m 和磁流密度 J m 满足磁流连续性原理 ρ m J = t m （1－10） 10） 将电型源产生的电磁场记为 E e , D e , H e , B e , 它们满足麦克斯韦方程： D e × H = J + t e 将磁型源产生的电磁场记为 E m , D m , H m , B m , 它们满足方程 （1－11） D m × H = t m （1－15） B e × E = t e （1－12） （1－13） （1－14） B m × E = J t m m （1－16） （1－17） （1－18） Be = 0 De = ρ Bm = ρ m Dm = 0 对偶原理比较式（ 11）～（ ）～（1 14） ）～（1 18）可见，只要将式（ 比较式（1－11）～（1－14）和（1－15 ）～（1－18）可见，只要将式（1 11）～（ ）～（1 14） －11）～（1－14）中的源和场量作如下变换 H e → Em Be → Dm J → Jm Ee → H m De → Bm ρ → ρm ε → →ε 就可由（1－11）～（1－14）得到式（1－15）～（1－18） 反之亦然。 11）～（ ）～（1 14）得到式（ 15）～（ ）～（1 18） 反之亦然。 ，反之亦然 就可由（ ， 11）～（ ）～（1 14） ）～（1 18） 式（1－11）～（1－14）和（1－15 ）～（1－18）之间的这种对偶关系称 为对偶原理。 为对偶原理。 电型源电流和电荷是自然界的实际场源，而迄今为止(?)还未发现自然界有磁 电型源电流和电荷是自然界的实际场源，而迄今为止(?)还未发现自然界有磁 (?) 荷和磁流。电磁理论中引入的磁荷和磁流是一种等效源。 荷和磁流。电磁理论中引入的磁荷和磁流是一种等效源。 如 ， 如果定义磁偶极子对应的磁流元 I m l 与面积为 S 的小电流环的关系式是 I ml = jkη IS = jω IS （ η 为波阻抗， k 为波数） 小电流环可以等效成磁偶极子。 为波阻抗， 为波数） 小电流环可以等效成磁偶极子。 ，小电流环可以等效成磁偶极子 ， 其场与电偶极子或电流元的场具有对偶关系， 其场与电偶极子或电流元的场具有对偶关系，因此可从电流元的场利用对偶原 理得到小电流环的场。 理得到小电流环的场。 小圆环天线 IS 磁偶极子天线 I ml jω 广义的时域麦克斯韦方程如果空间同时存在电型源和磁型源， 由于源与场的关系是线性的，空间的总电磁场等于电 如果空间同时存在电型源和磁型源， 由于源与场的关系是线性的， 源与场的关系是线性的 型源产生的场与磁型源产生的场的叠加， 型源产生的场与磁型源产生的场的叠加，即: E = Ee + Em H = He + Hm 将电型源和磁型源的场方程式（ 11）～（ ）～（1 14） ）～（1 18）叠加， 将电型源和磁型源的场方程式（1－11）～（1－14）和（1－15 ）～（1－18）叠加，得 D × H = J + （1－19） － ） t B × E = J m （1－20） － ） t B = ρm D = ρ （1－21） － ） （1－22） － ） 这组方程称为广义的时域麦克斯韦方程。注意式（1－19）和式（1－20）等式的右 这组方程称为广义的时域麦克斯韦方程。注意式（ 19）和式（ 20） 侧相差一负号。可以看出，引入磁型源后， 侧相差一负号。可以看出，引入磁型源后，广义的时域麦克斯韦方程具有很好的对 称性。 称性。 （3）时谐麦克斯韦方程 ）时谐麦克斯韦方程是空间和时间的函数， 电磁场量 E , D, H , B, 是空间和时间的函数， 在随时间变化的电磁场中最有用而又最重要的 是随时间按正弦或余弦变化的场 例如，在直角坐标中， 例如，在直角坐标中，场量 —— E ( r , t ) 写成 时谐电磁场。 时谐电磁场。 E (r, t ) = ex E x ( r, t ) + e y E y ( r, t ) + ez Ez ( r, t ) =e x 2 E x ( r ) cos(ω t + x ) + e y 2 E y ( r ) cos(ω t + y ) + e z 2 E z ( r ) cos(ω t + z ) 对于时谐电磁场，用复数形式表示常常是有利的。 对于时谐电磁场，用复数形式表示常常是有利的。上述场量 E ( r , t ) 的复数形式为 E ( r )=e x E x ( r ) e j x + e y E y ( r ) e j y + e z E z ( r ) e j z = ex Ex (r ) + e y E y (r ) + ez Ez (r ) 显然， 显然，余弦场量 E ( r , t ) 与其复数形式 E ( r ) 的关系为 E ( r , t ) = Re 2 E ( r ) e jωt 为取复数的实部。 的复振幅。 式中 Re[ ]为取复数的实部。上式表明， 2E ( r ) 为场量 E ( r ,t ) 的复振幅。 为取复数的实部 上式表明， 同理，余弦场量 H ( r , t ) 与其复数形式 H ( r ) 的关系为 H ( r , t ) = Re 2 H ( r ) e jω t 对时谐电磁场， 复数振幅矢量 E ( r ) 和 H ( r ) 仅为空间坐标的函数， 在不引起混淆的情况下， 也简记为 E 和 H 。将时谐电磁场代入广义麦克斯韦方程（1－19）～（1－22） ，得 × H = J + jω D × E = J m jω B B = ρm D = ρ 这组方程称为时谐麦克斯韦方程或麦克斯韦方程的复数形式。 时谐场中，电流和磁流连续性原理的复数形式为: J = jωρ J m = jωρ m （1－27） （1－28） （1－23） （1－24） （1－25） （1－26） 时谐麦克斯韦方程的意义在时谐麦克斯韦方程中，各物理量均为时谐量复数形式（ 在时谐麦克斯韦方程中，各物理量均为时谐量复数形式（即复振 幅的有效值）。显然， ）。显然 幅的有效值）。显然，由于时谐麦克斯韦少了时间变量，因此求 时谐麦克斯韦方程要比求解时变麦克斯韦方程容易得多 麦克斯韦方程要比求解时变麦克斯韦方程容易得多。 解时谐麦克斯韦方程要比求解时变麦克斯韦方程容易得多。 在时谐麦克斯韦方程中，场和源具有相同的频率， 在时谐麦克斯韦方程中，场和源具有相同的频率，因此时谐麦克 斯韦方程是频域的麦克斯韦方程 频域的麦克斯韦方程。 斯韦方程是频域的麦克斯韦方程。 如果空间为线性媒质， 如果空间为线性媒质，任何时变电磁场都可利用傅立叶变换分解 线性媒质 为许多时谐电磁场的叠加 因此在分析时变电磁场时， 叠加。 时变电磁场时 为许多时谐电磁场的叠加。因此在分析时变电磁场时，可以先将 时变电磁场的源通过Fourier变换分解为时谐电磁场源， Fourier变换分解为时谐电磁场源 时变电磁场的源通过Fourier变换分解为时谐电磁场源，然后利用 时谐Maxwell方程求解各频率的场源产生的时谐电磁场， Maxwell方程求解各频率的场源产生的时谐电磁场 时谐Maxwell方程求解各频率的场源产生的时谐电磁场，最后对时 谐电磁场进行Fourier 反变换求出时变电磁场。 谐电磁场进行Fourier 反变换求出时变电磁场。 1.2 物质的电磁特性方程的两个旋度方程及电流连续性方程作为独立方程， 如果将 Maxwell 方程的两个旋度方程及电流连续性方程作为独立方程，这 3 个方程共有 5 个标量函数， 个矢量函数 E , D, H , B, J 和一个标量函数 ρ ，由于一个矢量函数可以分解为 3 个标量函数，这 个标量函数。所以， 个独立的方程是麦克斯韦方程的非限定形式。 相当于共有 16 个标量函数。所以，这 3 个独立的方程是麦克斯韦方程的非限定形式。 要使方程的数目和未知量的个数相等， 还必须利用在电磁场中的媒质的特性的关系。 要使方程的数目和未知量的个数相等， 还必须利用在电磁场中的媒质的特性的关系。 电磁 场中描述媒质特性的关系称为组成关系或结构方程。引入结构方程， 个矢量方程， 场中描述媒质特性的关系称为组成关系或结构方程。引入结构方程，增加了 3 个矢量方程， 个标量方程， 方程的数目和未知量的数目相等，场方程就可以求解了。因此， 即 9 个标量方程，使方程的数目和未知量的数目相等，场方程就可以求解了。因此，加上结 构方程，麦克斯韦方程就构成了限定的形式。 构方程，麦克斯韦方程就构成了限定的形式。 在自由的空间，组成关系或结构方程最简单， 在自由的空间，组成关系或结构方程最简单，有 D = ε0 E B = 0 H J =0 （1－29） 29） （1－30） 30） （1－31） 31） 分别称为自由空间的电容率（或介电常数）和导磁率。 式中 ε 0 和 0 分别称为自由空间的电容率（或介电常数）和导磁率。在国际单位制中 ε0 = 1 × 109 F / m 36π 0 = 4π × 10 7 H / m 结构方程(本构关系 结构方程 本构关系) 本构关系对于均匀、各向同性、线性媒质，在电磁作用下，其物质内部电荷运动导致媒质的极化、 磁化和传导 3 种状态，它们分别由极化强度 P 、磁化强度 M 和传导电流密度 J 来表示。 极化强度表示物质内部分子的束缚电荷形成的电偶极子在电场力作用下趋于整齐排列的 极化强度 程度，是物质中单位体积内分子电偶极矩的统计平均值； 磁化强度表示物质内部电子的轨道和自旋运动形成的磁偶极子在磁场力作用下趋于整齐 磁化强度 排列的程度，是物质中单位体积内分子磁偶极矩的统计平均值。 由于极化和磁化的作用，D 和 B 分别为： D = ε0E + P B = 0 ( H + M ) （1－32） （1－33） 媒质的组成关系是以实验为基础的。对于线性媒质，P 和 E 与 M 和 H 均成正比关系。分 别为： P = ε 0χe E M = χm H （1－34） （1－35） 分别称为媒质的极化率和磁化率。 32） 33） 式中 χ e 和 χ m 分别称为媒质的极化率和磁化率。 将以上两式分别代入 1－32） （1－33） （ 和 得 D = ε 0 E + ε 0 χ e E = (1 + χ e )ε 0 E B = (1 + χ m ) 0 H 令 ε r = 1 + χ e , ε = ε rε 0 r = 1 + χ m , = r 0 （1－36） 36） 37） （1－37） ε r 和 r 分别称为媒质的相对电容率（或相对介电常数）和相对导磁率；而 ε 和 分别称为 分别称为媒质的相对电容率（或相对介电常数）和相对导磁率；媒质的电容率（或介电常数）和导磁率。这样，对于各向同性线性媒质， 媒质的电容率（或介电常数）和导磁率。这样，对于各向同性线性媒质，D 与 E 及 B 与 H 的关 系为 D =εE 38） （1－38） B = H 39） （1－39） 希腊字母发音对照表 α Α β Β γ Γ δ ε Ε ζ Ζ alpha ν Ν beta ξ Ξ gamma ο Ο delta π Π epsilon ρ Ρ zeta σ Σ nu η Η 大写 xi θ Θ omicron ι Ι pi κ Κ rho λ Λ sigma Μ eta τ Τ theta υ Υ iota φ Φ kappa χ Χ lambda ψ Ψ mu ω tau upsilon phi chi psi omega 结构方程(本构关系 结构方程 本构关系) 续 本构关系导电媒质中 自由运动的电荷， 在电场的作用下， 导电媒质中有可自由运动的电荷，在电场的作用下，自由电荷运动形 成电流。由实验得到导电媒质中的电流密度与电场强度之间的关系为： 成电流。由实验得到导电媒质中的电流密度与电场强度之间的关系为： J =σE 40） （1－40） σ 称为媒质的导电率，单位为 S/m, 上式称为欧姆定律的微分形式。 称为媒质的导电率， 上式称为欧姆定律的微分形式。 电导率表示物质的导电性能， 电导率表示物质的导电性能， σ = 0 的媒质不导电，称为理想介质， σ = ∞ 称为理想导电体。 的媒质不导电，称为理想介质， 称为理想导电体。媒质的介电常数 ε 和导磁率 以及电导率 σ 代表了媒质的电磁特性， 代表了媒质的电磁特性， 是媒质 的重要参数。不同的媒质其电参数不同，同一种媒质因密度、含杂质量等差别， 的重要参数。不同的媒质其电参数不同，同一种媒质因密度、含杂质量等差别， 以及频率不同，其电磁参数也可能不同。对于均匀媒质， 以及频率不同，其电磁参数也可能不同。对于均匀媒质，在不太宽的频率范围 内，这些电磁参数是常数。如果频率范围很宽，介电常数 ε 和导磁率 就与频率 这些电磁参数是常数。如果频率范围很宽， 有关。 例如水的相对介电常数在频率由零升到光频时， 其值从 81 降到 1.8 左右。 左右。 有关。 例如水的相对介电常数在频率由零升到光频时， 这种媒质称为色散媒质 色散媒质。 这种媒质称为色散媒质。 复介电常数和复导磁率1 复介电常数和复导磁率当频率足够高时，由于存在极化损耗与磁化损耗，媒质的介电常数和导磁率变为复数， 当频率足够高时，由于存在极化损耗与磁化损耗，媒质的介电常数和导磁率变为复数，即 介电常数和导磁率变为复数 ε = ε ′ jε ′′ ， = ′ j ′′ ，虚部代表媒质存在损耗。 虚部代表媒质存在损耗。对于色散媒质，极化和磁化的响应不是即时的， 当前值 对于色散媒质，极化和磁化的响应不是即时的，D 及 B 不仅取决于 E 及 H 的当前值，还与 对时间的各阶导数有关， E 及 H 对时间的各阶导数有关，即 E 2 E 3E D = ε E + ε1 + ε2 2 + ε3 3 + L t t t 对于时谐电磁场， 对于时谐电磁场，以上两式变为 D = ε E + jωε1 E ω 2ε 2 E jω 3ε 3 E +L B = H + jω1 H ω 2 2 H jω 33 H + L （1－42a） 42a） （1－42b） 42b） H 2 H 3H B = H + 1 + 2 2 + 3 3 + L t t t （1－41） 41） 将以上两式写成（ 将以上两式写成（1－38）和（1－39）的形式，介电常数和导磁率成为复数，其实部和虚 38） 39）的形式，介电常数和导磁率成为复数， 部均和频率有关。 部均和频率有关。 复介电常数和复导磁率2 复介电常数和复导磁率对于导电媒质，将电导率包含在复介电常数中 利用全电流安培定律及 对于导电媒质，将电导率包含在复介电常数中，利用全电流安培定律及 J = σ E 代入得 复介电常数 σ × H = σ E + jωε E = jω ε j E = jωε c E ω 式中 εc = ε j σ ω （1－43） 43） 是将电导率包含在复介电常数中后的等效介电常数。 复介电常数和复导磁率也可写成极坐 是将电导率包含在复介电常数中后的等效介电常数。 标形式 ε = ε ′ jε ′′ = ε e jδ ε ′′ ε′ = ′ j ′′ = e jθ ′′ ′ （1－44） 44） 分别称为电损耗角和磁损耗角。 式中 δ 和 θ 分别称为电损耗角和磁损耗角。并有 tan δ = tan θ = （1－45） 45） tan δ 和 tan θ 分别称为电损耗角的正切和磁损耗角的正切。电导率引起的损耗角正切为 分别称为电损耗角的正切和磁损耗角的正切。 tan δ = σ ωε ′ （1－46） 46） 媒质分为均匀媒质和不均匀媒质。均匀媒质的电磁参数和空间坐标无关， 媒质分为均匀媒质和不均匀媒质。均匀媒质的电磁参数和空间坐标无关， 不均匀媒质的电磁参数是空间坐标的函数。 不均匀媒质的电磁参数是空间坐标的函数。 当媒质的介电常数 ε 和导磁率 或者 χ e 和 χ m 不随 E 及 H 改变时，称为线性媒质 线性媒质，否则 线性媒质 称为非线性媒质 非线性媒质。对于非线性媒质 非线性媒质 P = ε 0 χ e (1) E + χ e (2) E E + χ e (3) E E + L 2 2 ( ) （1－47a） （1－47b） M = χ m (1) H + χ m (2) H H + χ m (3) H H + L 研究非线性媒质的电磁场属于非线性电磁学及发非线性光学的范围 有一些媒质的电磁参数与电磁场的方向有关，这种媒质称为各向异性媒质 各向异性媒质。各向异性媒质 各向异性媒质 的组成关系可以表示为矩阵的形式，即 v v （1－48a） D =ε E v B = H （1－48b） （1－48c） v v J =σ E 式中 ε xx ε xy ε xz σ xy xz σ xy σ xz v xx v xx v v ε = ε yx ε yy ε yz = yx yy yz σ = σ yx σ yy σ yz （1－48d） ε zx ε yz ε zz zx yz zz σ zx σ yz σ zz 晶体就是一种各向异性媒质，恒定磁场中的等离子体也具有电各向异性。恒定磁场中的铁 恒定磁场中的等离子体也具有电各向异性。 恒定磁场中的等离子体也具有电各向异性 v v 氧体是磁各向异性媒质。而用 σ 描述的各向异性媒质不多见。 氧体是磁各向异性媒质 v 还有一些媒质，电磁特性方程可以表示为 v v D = ε E +ζ H v v B =ζ E +H （1－49） （1－50） 这些关系表明，媒质的极化与磁化存在一定的耦合关系，这种媒质称为双各向异性媒质 双各向异性媒质。 双各向异性媒质 当以上 4 个电磁张量参数均退化为标量时，称为双各向同性媒质 一般运动媒质中具有这种 双各向同性媒质。一般运动媒质中具有这种 双各向同性媒质 电磁耦合关系。 电磁耦合关系。 媒质的电磁参数与频率、坐标变量、方向无关，均为标量常数的媒质称为简单媒质 简单媒质。 简单媒质 媒质分类理想介质 色散媒质 导电媒质 不均匀媒质 线性媒质 各向异性媒质 双各向异性媒质 简单媒质 理想导体 有损耗的媒质 均匀媒质 非线性媒质 双各向同性媒质 1.3 边界条件和辐射条件边界条件边界条件就是在媒质的边界面上电磁场所满足的方程。 边界条件就是在媒质的边界面上电磁场所满足的方程。 麦克斯韦方程的微分形式只适用于媒质的物理性质处处连续的空间区域， 麦克斯韦方程的微分形式只适用于媒质的物理性质处处连续的空间区域， 但实际遇到的媒质总是有界的，在边界上其物理性质要发生突变， 但实际遇到的媒质总是有界的，在边界上其物理性质要发生突变，导致边 界面处矢量场也发生突变。所以， 界面处矢量场也发生突变。所以，在边界面上麦克斯韦方程的微分形式已 失去意义。 失去意义。 边界面两边的矢量场的关系要由麦克斯韦方程的积分形式 麦克斯韦方程的积分形式导出的边界条件 边界面两边的矢量场的关系要由麦克斯韦方程的积分形式导出的边界条件 确定。 确定。 D H dl = ∫∫ J + dS ∫ t l S B E dl = ∫∫ J m + dS ∫ t l S （1－1） （1－2） ∫∫ D dS = ∫∫∫ ρ dV S V m （1－3） （1－4） ∫∫ B dS = ∫∫∫ ρ S V dV 两种不同媒质的边界条件 两种不同媒质的边界条件对于如图1 所示的两种不同媒质的边界， 对于如图1-1所示的两种不同媒质的边界，由广义麦克斯韦方 程的积分形式可得到边界面两侧电磁场的关系为： 程的积分形式可得到边界面两侧电磁场的关系为： e n ( D1 D2 ) = ρ s e n ( B1 B 2 ) = ρ sm e n × ( E1 E2 ) = J m s e n × ( H1 H 2 ) = J s (1 51) (1 52) (1 53) (1 54) E1 , H1 1 , ε1 2 , ε 2 E2 , H 2 en 的表示边界面的法向单位矢量， 等式左边 en 的表示边界面的法向单位矢量，前两 式表示边界面两侧电磁场的法向分量的关系，后 式表示边界面两侧电磁场的法向分量的关系， 法向分量的关系 两式边界面两侧电磁场的切向分量的关系； 切向分量的关系 两式边界面两侧电磁场的切向分量的关系； 等式右边为边界面上电型源或磁型源的面密度。 等式右边为边界面上电型源或磁型源的面密度。 实际的媒质边界不存在磁型源， 实际的媒质边界不存在磁型源，磁型源的面密度 只有数学上的意义。 数学上的意义 只有数学上的意义。图 1—1 边界条件 媒质的边界条件特殊情况（ ） 媒质的边界条件特殊情况（1） 条件特殊情况对于两种媒质均为理想介质 理想介质的情况，边界条件简化为： 理想介质 en ( D1 D 2 ) = 0 en ( B1 B 2 ) = 0 en × ( E1 E2 ) = 0 en × ( H1 H 2 ) = 0 (1 55) (1 56) (1 57) (1 58) 以上 4 式的右边都为零，表示各场分量在边界面上是连续的。对于时变电磁场，4 个边界条件 并不是完全独立的，一般将两个切向分量的边界条件作为独立的边界条件 两个切向分量的边界条件作为独立的边界条件。 两个切向分量的边界条件作为独立的边界条件 对于有一种媒质为理想导电体 有一种媒质为理想导电体的情况，边界条件简化为： 有一种媒质为理想导电体 en D = ρ s en B = 0 en × E = 0 en × H = J s (1 59) (1 60) (1 61) (1 62) 媒质的边界条件特殊情况（ ） 媒质的边界条件特殊情况（1） 条件特殊情况对于有一种媒质为理想导磁体的情况，边界条件简化为： 有一种媒质为理想导磁体 有一种媒质为理想导磁体 en D = 0 e n B = ρ sm e n × E = J m s en × H = 0 (1 63) (1 64) (1 65) (1 66) 对于一般非理想导电体 非理想导电体的情况，导电面上电型源或磁型源的面密度为零，边界条件简化为： ， 导电面上电型源或磁型源的面密度为零 非理想导电体 e n ( D1 D2 ) = ρ s e n ( B1 B 2 ) = 0 e n × ( E1 E 2 ) = 0 e n × ( H1 H 2 ) = 0 (1 67) (1 68) (1 69) (1 70) （2）辐射条件 ）电磁场中边值问题的求解场区有两类： 电磁场中边值问题的求解场区有两类： 一类是闭区域的边值问题，这类问题的基本方程是麦克斯韦方程、结构方程和边界条件； 闭区域的边值问题 一类是闭区域的边值问题，这类问题的基本方程是麦克斯韦方程、结构方程和边界条件； 一类是开区域的边值问题，这类问题除涉及上述基本方程外，还要涉及场的辐射条件。 开区域的边值问题 一类是开区域的边值问题，这类问题除涉及上述基本方程外，还要涉及场的辐射条件。 若所有的场源均在有限空间之中，则在无限远的场必须满足辐射条件: 若所有的场源均在有限空间之中，则在无限远的场必须满足辐射条件: 若此空间是有损耗的， 若此空间是有损耗的，则无限处的场的任一横向分量 Ψ 满足 Ψ r→∞ = 0 (1 71) 若此空间是无损耗的 辐射条件： 若此空间是无损耗的，则无限远处的场满足 Sommerfeld 辐射条件：即场的任一横向分量 Ψ 满足 Ψ lim r jk Ψ = 0 r →∞ r 式中： 是从源点到场点的距离； 是媒质的传播常数。 式中： r 是从源点到场点的距离； k 是媒质的传播常数。 辐射条件的物理意义是远离场源的场有一向外延迟的相位， Sommerfeld 辐射条件的物理意义是远离场源的场有一向外延迟的相位，且其幅度下降至少比 r 1 要快。 要快。 (1 72) 1．4 波动方程 ．麦克斯韦方程是一组联立的一阶矢量偏微分方程， 麦克斯韦方程是一组联立的一阶矢量偏微分方程，由这组矢量偏微分方程可导出电磁波的波 动方程。波动方程是定量描述电磁波运动的数学方程，它揭示了电磁波的传播规律。 动方程。波动方程是定量描述电磁波运动的数学方程，它揭示了电磁波的传播规律。由麦克 斯韦方程可导出电磁波的波动方程。 斯韦方程可导出电磁波的波动方程。 在均匀线性各向同性媒质中， 在均匀线性各向同性媒质中，对广义麦克斯韦方程组中的两个旋度方程 D t B × E = J m t 两边取旋度，并利用物质结构方程式（ 38）和式（ 39） ，得 两边取旋度，并利用物质结构方程式（1-38）和式（1-39） 得 ， ×H = J + 2H J m × × H + ε 2 = ε + ×J t t 2E J × × E + ε 2 = × Jm t t D =εE （1－38） （1－39） B = H (1 73a) (1 73b) 以及麦克斯韦方程组中的两个散度方程， 利用矢量恒等式 × × A = ( A ) 2 A ，以及麦克斯韦方程组中的两个散度方程，方程式 变为非齐次矢量波动方程 变为非齐次矢量波动方程 非齐次矢量 2H J m 1 H ε 2 = ε × J + ρ m t t 2 (1 74a) 2E ε 2E J 1 = + × J m + ρ 2 ε t t (1 74b) 非齐次矢量波动方程的右边非齐次项比较复杂， 非齐次矢量波动方程的右边非齐次项比较复杂，因此直接求解这 对方程很困难。但在无源区，这对方程变为齐次矢量波动方程 对方程很困难。但在无源区， 2H H ε 2 = 0 t 2E 2 E ε 2 = 0 t 2 (1 75a ) 或 (1 75b) 2H × × H + ε 2 = 0 t 2E × × E + ε 2 = 0 t (1 76a ) (1 76b) 非齐次矢量波动方程用于求解有源区域内的场，可用于计算天线、波 非齐次矢量波动方程用于求解有源区域内的场，可用于计算天线、 用于求解有源区域内的场 谐振腔等有激励的系统中电磁波的传播特性或辐射特性； 有激励的系统中电磁波的传播特性或辐射特性 导、谐振腔等有激励的系统中电磁波的传播特性或辐射特性； 齐次矢量波动方程用于求解无源区域内的场 可用于计算波导、 用于求解无源区域内的场， 齐次矢量波动方程用于求解无源区域内的场，可用于计算波导、自由 空间中电磁波的传输特性或传播特性。 空间中电磁波的传输特性或传播特性。 由于波动方程只表征了单一场量（ 和 ）的时空变化关系， 由于波动方程只表征了单一场量（E和H）的时空变化关系，未描述 不同场量E和 之间的关系 因此， 之间的关系， 不同场量 和H之间的关系，因此，虽然满足麦克斯韦方程的场量必然 满足波动方程，但相反情况不一定成立，所以，由波动方程求出场量后， 满足波动方程，但相反情况不一定成立，所以，由波动方程求出场量后， 还需验证是否满足麦克斯韦方程。 还需验证是否满足麦克斯韦方程。 一般方法是由波动方程求出电场强度或磁场强度后，再由Maxwell方 一般方法是由波动方程求出电场强度或磁场强度后，再由 方 程求另一场量，这样的解必然同时满足两种方程。 程求另一场量，这样的解必然同时满足两种方程。 对于均匀线性各向同性媒质中的时谐场， 对于均匀线性各向同性媒质中的时谐场， 时谐场 非齐次波动方程为 2 H + k 2 H = jωε J m × J + 1 1 ρ m (1 77 a) × × H k 2 H = jωε J m × J (1 78a ) (1 78b) 或 (1 77b) × × E k 2 E = jω J × J m 2 E + k 2 E = jω J + × J m + ρ ε 齐次波动方程变为 2H + k 2H = 0 2E + k 2E = 0 (1 79a) (1 79b) 或 × × H k 2H = 0 × × E k 2E = 0 (1 80a) (1 80b) 有限元方法 称为波数。方程式（ 77） 79） k = ω ε 称为波数。方程式（ 1-77）和（ 1-79）分别称为非齐次和齐次矢量亥姆 霍兹方程。 霍兹方程。 在直角坐标系中， 表示矢量场的任一直角坐标分量，则方程（ 79） 在直角坐标系中，设 φ 表示矢量场的任一直角坐标分量，则方程（ 1-79）可 分解为齐次标量亥姆霍兹方程 2φ + k 2φ = 0 (1 81) 该齐次标量亥姆霍兹方程的求解将在第3章介绍。 该齐次标量亥姆霍兹方程的求解将在第 章介绍。求出齐次标量亥姆霍兹 章介绍 方程的解后，就可构成齐次矢量亥姆霍兹方程的解。 方程的解后，就可构成齐次矢量亥姆霍兹方程的解。 需要指出，方程式（ 需要指出，方程式（1-79）与式（1-80）并不完全等效。 ）与式（ ）并不完全等效。 2H + k 2H = 0 2E + k 2E = 0 (1 79a ) (1 79b) × × H k 2H = 0 × × H k 2E = 0 (1 80a) (1 80b) 对方程式（ 80）两边取散度，可直接得到矢量场的散度为零， 对方程式（1-80）两边取散度，可直接得到矢量场的散度为零，也就是 方程式（ 80） 说，方程式（1-80）中隐含 H=0 E=0 这是无源区的矢量场解必须满足的。 这是无源区的矢量场解必须满足的。 但对方程式（ 79）两边取散度，不一定满足上式，也就是说， 但对方程式（1-79）两边取散度，不一定满足上式，也就是说，齐次矢量 亥姆霍兹方程的解不能保证满足上式。 因此， 亥姆霍兹方程的解不能保证满足上式。 因此，齐次矢量亥姆霍兹方程的解是否 正确，要代入上式加以验证。 正确，要代入上式加以验证。 1．5 辅助位函数及其方程 ．由于在有源区非齐次矢量波动方程或非齐次矢 量亥姆霍兹方程中的场源分布形式十分复杂， 量亥姆霍兹方程中的场源分布形式十分复杂， 直接求解比较困难。为了求解有源区的场， 直接求解比较困难。为了求解有源区的场，可 仿照静态场引入矢量和标量位函数求解。 仿照静态场引入矢量和标量位函数求解。 本节介绍利用辅助位函数求解电磁场的方法。 本节介绍利用辅助位函数求解电磁场的方法。 （1）矢量磁位和标量电位 ）在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有电型源，由于 B = 0 ，引入矢量磁位 A 满足 在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有电型源， B = ×A 将上式代入法拉第电磁感应定律， 将上式代入法拉第电磁感应定律，得 A ×E + =0 t 由于标量函数梯度的旋度为零，引入标量位 Φ ，满足 由于标量函数梯度的旋度为零， A E+ = Φ t 由上式得 A E = Φ t 由此可见， 就可由式(1 82)及式(1-83)求出电场与磁场 (1及式(1 求出电场与磁场。 由此可见，只要求出辅助位 A 及 Φ ，就可由式(1-82)及式(1-83)求出电场与磁场。 (1 82) (1 83) 将式（ ）、式 将式（1-82）、式（1-83）代入麦克斯韦方程，并经整理后得 ）、 ）代入麦克斯韦方程， 2A Φ A ε 2 A + ε = J t t 2 (1 85a ) (1 85b) 2Φ Φ ρ Φ ε 2 + A + ε = ε t t t 2 的联立方程，需要进一步简化。 以上两式是 A 与 Φ 的联立方程，需要进一步简化。考虑对于矢量磁位 还未规定其散度。 A ，在前面仅规定了其旋度 B = × A ，还未规定其散度。根据亥姆霍兹 定理，矢量场的旋度和散度确定后，矢量场才能唯一确定。 定理，矢量场的旋度和散度确定后，矢量场才能唯一确定。为保证矢 唯一，需要规定其散度。 量磁位 A 唯一，需要规定其散度。 规范不变性任取另一标量函数 U ，定义变换关系 A′ = A + U (1 84a ) Φ′ = Φ U t (1 84b) 将上式代入式（ 82） 、式 将上式代入式（1-82） 式（1-83）得 、 83） B = × A = × ( A′ U ) = × A′ E = Φ A U = Φ′ + t t A′ ( A′ U ) = Φ′ t t 可见，经过式（ 84）变换，场量仍不变。 可见，经过式（1-84）变换，场量仍不变。式（1-84）称为规范变换，规范变换式中的标量函数 U 84）称为规范变换， 称为规范函数。 称为规范函数。 电磁场在规范变换下的不变性称为规范不变性。 的任意性， 电磁场在规范变换下的不变性称为规范不变性。利用规范函数 U 的任意性，可以构成无限多 但却能得到同样的电磁场。也就是说， 不唯一的，均具有任意性， 个辅助位 A 及 Φ ，但却能得到同样的电磁场。也就是说，虽然是 A 及 Φ 不唯一的，均具有任意性， 但由于存在规范不变性，并不影响电磁场的唯一性。 但由于存在规范不变性，并不影响电磁场的唯一性。 间的关系， 的方程。 利用规范函数的任意性可以灵活地规定之 A 及 Φ 间的关系，以简化辅助位 A 及 Φ 的方程。 洛仑兹规范条件 2A Φ A ε 2 A + ε = J t t 2 (1 85a) (1 85b) 2Φ Φ ρ Φ ε 2 + A + ε = t t t ε 2 现取 Φ t 将上式代入式（ 85） ，得 将上式代入式（1-85） 得 A 与 Φ 所满足的方程 ， A = ε 2 A A ε 2 = J t 2 (1 86) (1 87a ) 2Φ ρ Φ ε 2 = t ε 2 (1 87b) 可以看出， 这两个方程在数学形式上是相同的， 求解这两个方程就可得到 A 和 Φ 。 可以看出， 这两个方程在数学形式上是相同的， 之间是有关系的。它们满足式（ 86） 该式称为洛仑兹规范条件。 。该式称为洛仑兹规范条件 而且 A 和 Φ 之间是有关系的。它们满足式（1-86） 该式称为洛仑兹规范条件。 。 由方程（1-87）可以看出，在洛仑兹规范条件 洛仑兹规范条件下， J 是 A 的源，而 ρ 是 Φ 的源。 洛仑兹规范条件 J 与 ρ 之间的关系是电流连续性原理， A 和 Φ 之间的关系是洛仑兹规范条件。 对比发现，这两个关系在数学上也是极为相似的 这两个关系在数学上也是极为相似的。 这两个关系在数学上也是极为相似的 将规范变换式代入洛仑兹规范条件，得 ( A′ U ) = ε 整理后得 Φ′ 2U 2 A′ + ε = U ε 2 t t U Φ′ + t t ρ t Φ A = ε t J = 要使变换前后洛仑兹规范条件均成立，规范函数 U 必须满足 2U U ε 2 = 0 t 2 (1 88) 这就是说，在洛仑兹规范条件下，规范函数 U 满足齐次标量波动方程 在洛仑兹规范条件下， 满足齐次标量波动方程。 在洛仑兹规范条件下 库仑规范如果选取 A=0 代入式（1-85b） ，得到 Φ 满足泊松方程 泊松方程 2Φ = 该方程的解为 Φ ( r, t ) = 1 4πε (1 89) ρ ε ρ ( r ′, t ) r r′ dV ′ (1 90) ∫∫∫ V (1 91) 此解为电荷密度产生的电位。式（1-89）称为库仑规范 库仑规范。在库仑规范下，矢量磁位 A 满足 库仑规范 2 A ε 2A Φ = J + ε 2 t t (1 92) 根据亥姆霍兹定理，将电流密度矢量分解为无旋部分 无散部分 无旋部分和无散部分 无旋部分 J = J l + J t = Λ + × W 其中 1 4π ρ ( r′, t ) Φ t dV ′ = ε r r′ t Λ= ∫∫∫ r r′ dV ′= 4π ∫∫∫ V V ′ J 1 将式（1-91）代入（1-92）式，刚好与电流无旋部分抵消，得 2 A ε 2A = Jt t 2 (1 93) 上式说明，库仑规范下矢量磁位 A 的源是电流密度的无散部分 无散部分。 无散部分 时谐场下洛仑兹规范条件对于时谐场， 对于时谐场，容易证明在洛仑兹规范条件下相应的 A 和 Φ 满足的方程为 2 A + k 2 A = J 2Φ + k 2 Φ = A = jωεΦ 电磁场可按下式计算： 求出 A 和 Φ 后，电磁场可按下式计算： H= 1 (1 94) ρ ε (1 95) (1 96) ×A (1 97) E = jω A Φ 将式（ 96） 将式（1-96）代入上式，得 上式， 1 E = jω A + 2 A k jω E = 2 ( × × A J ) k (1 98) (1 99) 或 (2)矢量电位及标量磁位 矢量电位及标量磁位在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有磁型源， 在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有磁型源，由于 D = 0 ，引入矢量电位 A m 满足 D = × A m 将上式代入式（ 19） ，考虑到 将上式代入式（1-19） 考虑到 J = 0 ，得 ， A m × H + =0 t 由于标量函数梯度的旋度为零， 由于标量函数梯度的旋度为零，引入标量磁位 Φ m ，使满足 A m H+ = Φ m t 由上式得 A m H = Φ t m (1 100) (1 101) 显而易见， 具有对偶性。 显而易见，矢量电位 A m 及标量磁位 Φ m 与矢量磁位 A 及标量电位 Φ 具有对偶性。 利用对偶性， 利用对偶性，矢量电位 A m 及标量磁位 Φ m 的洛仑兹规范条件为 Φ m A = ε t m A m 和 Φ m 满足的方程为 2 A m ε 2Am = ε J m 2 t (1 102) 2Φ m ε 2Φ m ρm = t 2 (1 103) 对于时谐场， 对于时谐场，容易证明相应的 A m 和 Φ m 满足的方程为 2 A m + k 2 A m = ε J m (1 104) ρm Φ +k Φ = 2 m 2 m (1 105) (1 106) A m = jωεΦ m 电磁场可按下式计算： 求出 A m 和 Φ m 后，电磁场可按下式计算： 1 E = × Am ε (1 107) (1 108) (1 109) 或 1 H = jω A m + 2 A m k jω H = 2 ( × × Am ε Jm ) k (3)矢量位分量表示的电磁场 矢量位分量表示的电磁场对于时谐场，当同时存在电型源和磁型源时， 对于时谐场，当同时存在电型源和磁型源时，求出矢量磁位 A 及矢量电位 A m 后，总电磁 场为电型源和磁型源产生的场之和， 场为电型源和磁型源产生的场之和，即 E= H= 对于无源区， 对于无源区，总电磁场为 E= H= jω 1 × × A × Am ε k2 1 (1 112) (1 113) 1 jω 1 ( × × A J ) × Am k2 ε × A jω × × Am ε J m ) 2 ( k (1 110) (1 111) × A jω × × Am 2 k 下面分析在无源区， 的分量表示的电磁场。 下面分析在无源区，由矢量磁位 A 及矢量电位 A m 的分量表示的电磁场。 代入式（ 112）和式（ 113） ，得 在直角坐标系中， ， 在直角坐标系中，如果取 A = e z Az ， A m = 0 代入式（1-112）和式（1-113） 得 1 Az Hx = y Hy = Hz = 0 1 Az x jk xz ω 2 Az Ey = 2 jk yz ω 2 Ez = 2 ( 2 + k 2 ) Az jk z Ex = 2 ω 2 Az (1 114 ) 横磁(TM) 这是关于 z 的横磁(TM)波。 Az 满足齐次标量亥姆霍兹方程 2 A z + k 2 A z = 0 (1 115) 由此可见， 也就是说， 由此可见，由 A = e z Az 表示的波是关于 z 的 TM 波。 也就是说，对于关于 z 的 TM 描述。 波，就可以仅由一个标量 Az 描述。 代入式（ 112）和式（ 113） ，得 如果取 A m = e z Azm ， A = 0 ，代入式（1-112）和式（1-113） 得 ， 1 Azm Ex = ε y 1 Azm Ey = ε x Ez = 0 jω 2 Azm Hx = - 2 k xz jω 2 Azm Hy = - 2 k yz jω 2 2 m H z = - 2 ( 2 + k ) Az k z (1 116 ) 横电(TE) 这是关于 z 的横电(TE)波。 Azm 满足齐次标量亥姆霍兹方程 2 Azm + k 2 Azm = 0 (1 117) 由此可见， 也就是说， 由此可见，由 A m = e z Azm 表示的波是关于 z 的 TE 波。 也就是说，对于关于 z 的 TE 波，就可以 描述。 仅由一个标量 Azm 描述。 可推知， 可推知， 描述； 对于关于 x 的 TM 波，由一个标量 Ax 描述； 描述； 对于关于 y 的 TM 波，用一个标量 Ay 描述； m 描述； 对于关于 x 的 TE 波，用一个标量 Ax 描述； m 描述。 对于关于 y 的 TE 波，用一个标量 Ay 描述。 在圆柱坐标系中， 在圆柱坐标系中， 由 A = e z Az 表示的波是关于 z 的 TM 波， 由 A m = e z Azm 表示的波是关于 z 的 TE 波。 代入式（ 112）和式（ 113） ，得 在球坐标系中，如果取 A = e r Ar = e r ru ， A m = 0 ，代入式（1-112）和式（1-113） 得 坐标系中， ， 1 1 u Hθ = sin θ φ 2 1 u ω 1 ( ru ) Hφ = Eφ = 2 jk r sin θ rφ θ 这是关于 r 的 TM 波。 u 满足齐次标量亥姆霍兹方程 Hr = 0 Er = + k 2 ru jk 2 r 2 2 ω 1 ( ru ) Eθ = 2 jk r r θ 2u + k 2u = 0 由此可见， 由此可见，由 A = er Ar = er ru 表示的波是关于 r 的 TM 波 (1 119) 2 ω ( ru ) (1 118 ) m 代入式（ 112）和式（ 113） ，得 如果取 A m = e r A r = er rv ， A = 0 ，代入式（1-112）和式（1-113） 得 ， 2 jω 1 ( rv ) 1 1 v Eθ = Hθ = 2 ε sin θ φ k r r φ 2 1 v jω 1 ( rv ) Hφ = Hφ = 2 k r sin θ r φ ε θ 这是关于 r 的 TE 波。 v 满足齐次标量亥姆霍兹方程 Er = 0 2v + k 2 v = 0 由此可见， 由此可见，由 A m = er Arm = e r rv 表示的波是关于 r 的 TE 波。 称为德拜位。 以上的标量函数 u 和 v 称为德拜位。 2 jω ( rv ) + k 2 rv Hr = 2 k r 2 (1 120 ) (1 121) 在无源空间区域，由麦克斯韦方程可以证明，电磁场量中只有两个标量是独立的。 在无源空间区域，由麦克斯韦方程可以证明，电磁场量中只有两个标量是独立的。 例如求解波导中的电磁场所采用的纵向场法， 作为独立标量。 例如求解波导中的电磁场所采用的纵向场法，就是采用 E z 和 H z 作为独立标量。 在一些电磁场问题中， 在一些电磁场问题中，有时采用矢量磁位 A 和矢量电位 A m 的各一个对应分量作为独 立标量更为方便。 立标量更为方便。 更为方便 在有源空间区域，由式（ 110）和式（ 111）可以看出， 在有源空间区域，由式（ 1-110）和式（1-111）可以看出，矢量磁位 A 和矢量电位 A m 均对 电磁场有贡献。 的解均由两部分构成， 电磁场有贡献。而矢量磁位 A 和矢量电位 A m 的解均由两部分构成，一部分是齐次矢量亥姆 霍兹方程的解，另一部分是非齐次矢量亥姆霍兹方程的解。 霍兹方程的解，另一部分是非齐次矢量亥姆霍兹方程的解。 对于实际的电磁场问题，没有实际的磁流， 对于实际的电磁场问题，没有实际的磁流，因此矢量电位 A m 仅包含齐次矢量亥姆霍兹 方程的解。 方程的解。 1．6 赫兹矢量 (自习 ． 自习) 自习 1.7 电磁能量及能流时变电磁场的电场能量密度 we ( r , t ) ，磁场能量密度 wm (r , t ) 及导体的损耗功率密度 电场能量密度 磁场能量密度 损耗功率密度 p( r , t ) 分别为 1 (1-136) we ( r , t ) = ε E 2 (r , t ) 2 1 (1-137) wm ( r , t ) = H 2 ( r , t ) 2 p( r , t ) = σ E 2 (r , t ) 功率流密度矢量为 功率流密度矢量 S (r , t ) = E (r , t ) × H ( r , t ) (1-139) (1-138) 对上式两边求散度，并利用矢量恒等式 ( A × B ) = B × A A × B 及麦克斯韦方程的 两个旋度方程，得 S = 1 1 2 2 2 H ε E σ E t 2 t 2 上式两边对区域 V 求体积分，利用高斯定理将左边的体积分转化为面积分，得 ∫∫ S dS = S d 1 2 1 2 2 ∫∫∫ 2 H + 2 ε E dV + ∫∫∫ σ E dV dt V V (1-140) 上式称为坡印廷定理 坡印廷定理，它表示单位时间从包围区域 V 的封闭面 S 流进区域 V 中的能量等于区 中的能量等于 等于区 坡印廷定理 单位时间从包围区域 中单位时间增加的电磁能量与区域 中单位时间损耗的能量之和。 域 V 中单位时间增加的电磁能量 区域 V 中单位时间损耗的能量 此式是电磁场的能量守恒定律 电磁场的能量守恒定律。 电磁场的能量守恒定律 对于时谐电磁场，平均电场能量密度 we ，平均磁场能量密度 wm 及导体的平均损耗功率 平均电场能量密度 导体的平均损耗功率密 平均磁场能量密度 导体的平均损耗功率 度 p 分别为 1 2 1 ε E (r ) = ε E E 2 2 1 1 wm (r ) = H 2 (r ) = H H 2 2 we (r ) = p ( r ) = σ E 2 (r ) = σ E E 复功率流密度矢量为 Sc = E × H (1-144) (1-141) (1-142) (1-143) 复功率流密度矢量的实部 实部表示功率流密度矢量的时间平均值 功率流密度矢量的时间平均值。对上式复功率流密度矢量求散 实部 功率流密度矢量的时间平均值 度，再进行体积分，可得到坡印廷定理的复数形式为 1 1 1 1 ∫∫ Sc dS = ∫∫∫ σ E 2 + ′′H 2 + ε ′′E 2 dV + j2 w∫∫∫ ′H 2 ε ′E 2 dV 2 2 2 2 S V V (1-145) 上式表示单位时间从包围区域 V 的封闭面 S 流进区域 V 中的平均能量 平均能量，即左边面积分的实部， 平均能量 等于区域 V 中单位时间导体的平均损耗能量，极化平均损耗能量及磁化平均损耗能量 平均损耗能量， 平均损耗能量 极化平均损耗能量及磁化平均损耗能量之和， 这是流进区域 V 中的有功功率 有功功率； 有功功率 从包围区域 V 的封闭面 S 流进区域 V 中的复功率流的虚部， 与区域 V 中平均磁场能量 平均电 平均磁场能量与平均电 平均磁场能量 场能量之差成正比，这是流进区域 V 中的无功功率 无功功率。 场能量 无功功率 习 题 1 利用傅立叶变换，由麦克斯韦方程的瞬时形式推导其复数形式。 1－1 利用傅立叶变换，由麦克斯韦方程的瞬时形式推导其复数形式。 在非均匀介质中， 是坐标位置的函数，试对于无源区导出： 1－2 在非均匀介质中， ε 及 是坐标位置的函数，试对于无源区导出： 的麦克斯韦方程； （1） 只含 E 和 H 的麦克斯韦方程； 的波动方程。 （2） E 和 H 的波动方程。 推导在导电媒质中的波动方程以及矢量位方程 媒质中的波动方程以及矢量位方程。 1－3 推导在导电媒质中的波动方程以及矢量位方程。 直接利用复数麦克斯韦方程推导赫兹矢量方程的复数形式。 1－4 直接利用复数麦克斯韦方程推导赫兹矢量方程的复数形式。 利用麦克斯韦方程推导两种媒质边界上的边界条件。 1－5 利用麦克斯韦方程推导两种媒质边界上的边界条件。 1 -j 0 在各向异性媒质中， （2 （3 1－6 在各向异性媒质中，ε = ε 0 j 1 0 ,当（1） E = E0 e x ； 2） E = E0 e y ； 3） E = E0 ez ； （ （ 0 0 2 v v （5 （6 （4） E = E0 (e x + e y ) ； 5） E = E0 (2ez + e y ) ； 6） E = E0 (e x + e y ez ) ，求 D 。 （ （ 1 1－7 线极化的均匀平面波投射到以下结构的媒质中 D = ε E + jγ H ， B = -j E + H γ 均为常数，试分析其传播特性。 式中 ε , , γ 均为常数，试分析其传播特性。 证明方程式（ 129） 1－8 证明方程式（1－129） 证明在无源区的理想介质中，方程式（ 129） 就是极化强度， 就是磁化强度。 1－9 证明在无源区的理想介质中，方程式（1－129）中 P 就是极化强度， M 就是磁化强度。 1－10 当矢量位为 （1） A = e x Ax , Am = 0 ； （2） A = 0, Am = e x Axm 时，推导由矢量位计算电磁场各直角坐标分量的关系式。 推导由矢量位计算电磁场各直角坐标分量的关系式。 计算电磁场各分量的关系式。 1－11 推导在圆柱坐标系中由 Az 和 Azm 计算电磁场各分量的关系式。
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下载文档收藏第1章 电磁理论基本方程 第1章 电磁理论基本方程 第1章 电磁理论基本方程<<隐藏
高等电磁理论讲稿 樊振宏 2010-9-25 目录 1.电磁理论基本方程 2.基本原理和定理 3.基本波函数 4.波动方程的积分解 5.格林函数 6.导行电磁波 7.微波谐振器 8.运动系统电磁场简介 9.瞬态电磁场 各章节介绍 1.电磁理论基本方程 2.基本原理和定理 电磁理论基础，给出麦克斯韦方程、波动方程、 电磁波基本原理和定理 3.基本波函数 讨论标量和矢量波函数，平面波、柱面波和球 面波的基本波函数以及导电柱、劈、球等的散 射和辐射 4.波动方程的积分解 阐述标量和矢量Helmholtz方程的积分解 5.格林函数 讨论标量和并矢格林函数及其解法 6.导行电磁波 研究电磁波在金属波导、微带、介质波导中的 传播及特点 7.微波谐振器 讨论各种常见谐振腔中的场 8.运动系统电磁场简介 介绍运动电磁场中的各种变换。 9.瞬态电磁场 研究非正弦电磁信号的辐射、散射和传输，讨 论瞬态电磁场的基本性质和一些典型问题的应 用 *第1章 电磁理论基本方程 第 *1.1 1.2 *1.3 1.4 *1.5 #1.6 1.7 麦克斯韦方程 物质的电磁特性 边界条件和辐射的条件 波动方程 辅助位函数及其方程 赫兹矢量 电磁能量和能流 表示重点， 注： “*”表示重点，“#”表示难点 表示难点 第一章 电磁理论基本方程现象是一个不可分割的统一体。 电磁现象是一个不可分割的统一体。宏观电磁场遵守 方程。 经典的Maxwell方程。正像牛顿定律是经典力学的公理 一样， 方程是经典电动力学的公理。 一样， Maxwell方程是经典电动力学的公理。 方程有着极其丰富的内容。 Maxwell 方程有着极其丰富的内容 。 它不仅概括了电 磁现象上已经发现的所有定律， 磁现象上已经发现的所有定律，而且还可以通过一系 列的逻辑推论导出为实验所证实的新的结果。 列的逻辑推论导出为实验所证实的新的结果。 方程是电磁理论的基本方程，也是分析、 Maxwell方程是电磁理论的基本方程，也是分析、计算 电磁问题的出发点。 电磁问题的出发点。 方程、媒质的电磁特性、 在本章中将讲述Maxwell方程、媒质的电磁特性、边 界条件及波动方程和矢量位等电磁理论基本概念。 界条件及波动方程和矢量位等电磁理论基本概念。 1.1 麦克斯韦方程 Maxwell方程是英国科学家Maxwell根据法拉第、 Maxwell方程是英国科学家Maxwell根据法拉第、安培等前人关于电 方程是英国科学家Maxwell根据法拉第 磁现象的实验定律创建的电磁学的基本定律，它反映了宏观电磁现 磁现象的实验定律创建的电磁学的基本定律，它反映了宏观电磁现 象的普遍规律，是电磁理论的基本方程。 的普遍规律，是电磁理论的基本方程。 （1）基本的Maxwell方程 基本的Maxwell方程 Maxwell 基本的麦克斯韦方程是与时间有关的电磁场量所满足的方程， 基本的麦克斯韦方程是与时间有关的电磁场量所满足的方程， 是麦克斯韦的瞬时形式，也称为时域Maxwell方程 时域Maxwell方程。 是麦克斯韦的瞬时形式，也称为时域Maxwell 方程。时域麦克斯韦 方程包括积分形式和微分形式。 方程包括积分形式和微分形式。 时域麦克斯韦方程的积分形式是： 时域麦克斯韦方程的积分形式是： 这组方程描述了任一空间区域（体积中或曲面上） 这组方程描述了任一空间区域（体积中或曲面上）的场源与该空间区域的 空间区域 边界（封闭曲面或闭合曲线）上场的关系。 边界（封闭曲面或闭合曲线）上场的关系。 D H dl = ∫∫ J + dS ∫ t l S （1－1） （1－3） ∫ E dl = ∫∫ l S B dS t （1－2） （1－4） ∫∫ D dS = ∫∫∫ ρ dV S V ∫∫ B dS = 0 S 式（1－1）全电流安培环路定律，它表示传导电流和位移电流（即变化的 全电流安培环路定律， 表示传导电流和位移电流（ 电场） 电场）都可以产生磁场 法拉第电磁感应定律， 式（1－2）为法拉第电磁感应定律，它表示变化的磁场产生电场 。 电场高斯定理，它表示电荷可以产生电场； 式（1－3）为电场高斯定理，它表示电荷可以产生电场； 磁场高斯定理，也称为磁通连续原理。 式（1－4）为磁场高斯定理，也称为磁通连续原理。式中： ——电场强度 电场强度（ 式中：E——电场强度（ V / m ） H——磁场强度（ A / m ） ——磁场强度 磁场强度（ D——电位移矢量或电通密度（ C / m 2 ） ——电位移矢量或电通密度 电位移矢量或电通密度（ B——磁感应强度或磁通密度（ Wb / m 2 ） ——磁感应强度或磁通密度 磁感应强度或磁通密度（ J——电流密度（ A / m 2 ） 电流密度（ ——电荷密度 电荷密度（ ρ ——电荷密度（ C / m 3 ） 时域麦克斯韦方程的微分形式是： 时域麦克斯韦方程的微分形式是： × H = J + B = 0 D t （1－5） （1－7） ×E = D = ρ B t （1－6） （1－8） 式（1－5）表示传导电流密度和位移电流是磁场的旋度源； 表示传导电流密度和位移电流是磁场的旋度源； 传导电流密度 是磁场的旋度源 表示变化的磁场是电场的旋度源； 变化的磁场是电场的旋度源 式（1－6）表示变化的磁场是电场的旋度源； 表示磁场是无散场； 式（1－7）表示磁场是无散场； 表示电荷密度是电场的散度源。 式（1－8）表示电荷密度是电场的散度源。 微分形式的麦克斯韦方程描述了空间的任一点上场与场源的时空变化关系。由 微分形式的麦克斯韦方程描述了空间的任一点上场与场源的时空变化关系。 于含有对场量的微分，它只适用于媒质物理性质不发生突变的区域。 媒质物理性质不发生突变的区域 于含有对场量的微分，它只适用于媒质物理性质不发生突变的区域 这4个微分方程之间具有一定的关系，并不是完全的独立的。如果加上电流连续 个微分方程之间具有一定的关系，并不是完全的独立的。 性方程 ρ ρ J dS = ∫∫∫ dV （1-9b） ∫∫ (1-9a) J = t S V t 两个旋度方程式（ 两个旋度方程式（1－5）、（1－6）和（1－9a）为独立方程， ）、（1 9a）为独立方程， 另外两个散度方程不是独立的，可以由独立的旋度方程导出。 另外两个散度方程不是独立的，可以由独立的旋度方程导出。对（1－5）取散度，得 取散度， ( D ) t 并将（ 9a） 入上式， 由于 × H ≡ 0 ，并将（1－9a）式代入上式，得 ( D ρ ) = 0 t D ρ 由此得到式（ ≠ 0, ≠ 0 ，且在全空间 t=0 时, ρ = 0, D = 0 由此得到式（1－8） 。 因为 t t × H = J + 对式（ 取散度， 对式（1－6）取散度，得 × E = ( B) t 由于 × E ≡ 0 ，所以 B = 0 t B 由此得到式（ ≠ 0 ，由此得到式（1－7） 因为 。 t 注意:独立方程和非独立的方程是相对的，也可以将（ 注意:独立方程和非独立的方程是相对的，也可以将（1－5）、（1－6）和（1－8） ）、（1 考虑为独立方程，这样式（ 和式（ 9a）就为非独立方程。 考虑为独立方程，这样式（1－7）和式（1－9a）就为非独立方程。 非独立的散度方程也不是多余的，因为根据亥姆霍兹定理（参见2.1 ），矢量场同 2.1节 非独立的散度方程也不是多余的，因为根据亥姆霍兹定理（参见2.1节），矢量场同 时要由其旋度和散度才能唯一确定。 时要由其旋度和散度才能唯一确定。 （2）广义的麦克斯韦方程 ）电荷和电流称为电型源，电荷产生电场，电荷运动产生电流，电流产生磁场。 电荷和电流称为电型源，电荷产生电场，电荷运动产生电流，电流产生磁场。 电型源 和电型源对比可以引入磁型源——磁荷和磁流 磁荷产生磁场，磁荷运动产生磁流， 磁型源——磁荷和磁流， 和电型源对比可以引入磁型源——磁荷和磁流，磁荷产生磁场，磁荷运动产生磁流， 磁流产生电场。 磁流产生电场。 满足磁流连续性原理 磁荷密度 ρ m 和磁流密度 J m 满足磁流连续性原理 ρ m J = t m （1－10） 10） 将电型源产生的电磁场记为 E e , D e , H e , B e , 它们满足麦克斯韦方程： D e × H = J + t e 将磁型源产生的电磁场记为 E m , D m , H m , B m , 它们满足方程 （1－11） D m × H = t m （1－15） B e × E = t e （1－12） （1－13） （1－14） B m × E = J t m m （1－16） （1－17） （1－18） Be = 0 De = ρ Bm = ρ m Dm = 0 对偶原理比较式（ 11）～（ ）～（1 14） ）～（1 18）可见，只要将式（ 比较式（1－11）～（1－14）和（1－15 ）～（1－18）可见，只要将式（1 11）～（ ）～（1 14） －11）～（1－14）中的源和场量作如下变换 H e → Em Be → Dm J → Jm Ee → H m De → Bm ρ → ρm ε → →ε 就可由（1－11）～（1－14）得到式（1－15）～（1－18） 反之亦然。 11）～（ ）～（1 14）得到式（ 15）～（ ）～（1 18） 反之亦然。 ，反之亦然 就可由（ ， 11）～（ ）～（1 14） ）～（1 18） 式（1－11）～（1－14）和（1－15 ）～（1－18）之间的这种对偶关系称 为对偶原理。 为对偶原理。 电型源电流和电荷是自然界的实际场源，而迄今为止(?)还未发现自然界有磁 电型源电流和电荷是自然界的实际场源，而迄今为止(?)还未发现自然界有磁 (?) 荷和磁流。电磁理论中引入的磁荷和磁流是一种等效源。 荷和磁流。电磁理论中引入的磁荷和磁流是一种等效源。 如 ， 如果定义磁偶极子对应的磁流元 I m l 与面积为 S 的小电流环的关系式是 I ml = jkη IS = jω IS （ η 为波阻抗， k 为波数） 小电流环可以等效成磁偶极子。 为波阻抗， 为波数） 小电流环可以等效成磁偶极子。 ，小电流环可以等效成磁偶极子 ， 其场与电偶极子或电流元的场具有对偶关系， 其场与电偶极子或电流元的场具有对偶关系，因此可从电流元的场利用对偶原 理得到小电流环的场。 理得到小电流环的场。 小圆环天线 IS 磁偶极子天线 I ml jω 广义的时域麦克斯韦方程如果空间同时存在电型源和磁型源， 由于源与场的关系是线性的，空间的总电磁场等于电 如果空间同时存在电型源和磁型源， 由于源与场的关系是线性的， 源与场的关系是线性的 型源产生的场与磁型源产生的场的叠加， 型源产生的场与磁型源产生的场的叠加，即: E = Ee + Em H = He + Hm 将电型源和磁型源的场方程式（ 11）～（ ）～（1 14） ）～（1 18）叠加， 将电型源和磁型源的场方程式（1－11）～（1－14）和（1－15 ）～（1－18）叠加，得 D × H = J + （1－19） － ） t B × E = J m （1－20） － ） t B = ρm D = ρ （1－21） － ） （1－22） － ） 这组方程称为广义的时域麦克斯韦方程。注意式（1－19）和式（1－20）等式的右 这组方程称为广义的时域麦克斯韦方程。注意式（ 19）和式（ 20） 侧相差一负号。可以看出，引入磁型源后， 侧相差一负号。可以看出，引入磁型源后，广义的时域麦克斯韦方程具有很好的对 称性。 称性。 （3）时谐麦克斯韦方程 ）时谐麦克斯韦方程是空间和时间的函数， 电磁场量 E , D, H , B, 是空间和时间的函数， 在随时间变化的电磁场中最有用而又最重要的 是随时间按正弦或余弦变化的场 例如，在直角坐标中， 例如，在直角坐标中，场量 —— E ( r , t ) 写成 时谐电磁场。 时谐电磁场。 E (r, t ) = ex E x ( r, t ) + e y E y ( r, t ) + ez Ez ( r, t ) =e x 2 E x ( r ) cos(ω t + x ) + e y 2 E y ( r ) cos(ω t + y ) + e z 2 E z ( r ) cos(ω t + z ) 对于时谐电磁场，用复数形式表示常常是有利的。 对于时谐电磁场，用复数形式表示常常是有利的。上述场量 E ( r , t ) 的复数形式为 E ( r )=e x E x ( r ) e j x + e y E y ( r ) e j y + e z E z ( r ) e j z = ex Ex (r ) + e y E y (r ) + ez Ez (r ) 显然， 显然，余弦场量 E ( r , t ) 与其复数形式 E ( r ) 的关系为 E ( r , t ) = Re 2 E ( r ) e jωt 为取复数的实部。 的复振幅。 式中 Re[ ]为取复数的实部。上式表明， 2E ( r ) 为场量 E ( r ,t ) 的复振幅。 为取复数的实部 上式表明， 同理，余弦场量 H ( r , t ) 与其复数形式 H ( r ) 的关系为 H ( r , t ) = Re 2 H ( r ) e jω t 对时谐电磁场， 复数振幅矢量 E ( r ) 和 H ( r ) 仅为空间坐标的函数， 在不引起混淆的情况下， 也简记为 E 和 H 。将时谐电磁场代入广义麦克斯韦方程（1－19）～（1－22） ，得 × H = J + jω D × E = J m jω B B = ρm D = ρ 这组方程称为时谐麦克斯韦方程或麦克斯韦方程的复数形式。 时谐场中，电流和磁流连续性原理的复数形式为: J = jωρ J m = jωρ m （1－27） （1－28） （1－23） （1－24） （1－25） （1－26） 时谐麦克斯韦方程的意义在时谐麦克斯韦方程中，各物理量均为时谐量复数形式（ 在时谐麦克斯韦方程中，各物理量均为时谐量复数形式（即复振 幅的有效值）。显然， ）。显然 幅的有效值）。显然，由于时谐麦克斯韦少了时间变量，因此求 时谐麦克斯韦方程要比求解时变麦克斯韦方程容易得多 麦克斯韦方程要比求解时变麦克斯韦方程容易得多。 解时谐麦克斯韦方程要比求解时变麦克斯韦方程容易得多。 在时谐麦克斯韦方程中，场和源具有相同的频率， 在时谐麦克斯韦方程中，场和源具有相同的频率，因此时谐麦克 斯韦方程是频域的麦克斯韦方程 频域的麦克斯韦方程。 斯韦方程是频域的麦克斯韦方程。 如果空间为线性媒质， 如果空间为线性媒质，任何时变电磁场都可利用傅立叶变换分解 线性媒质 为许多时谐电磁场的叠加 因此在分析时变电磁场时， 叠加。 时变电磁场时 为许多时谐电磁场的叠加。因此在分析时变电磁场时，可以先将 时变电磁场的源通过Fourier变换分解为时谐电磁场源， Fourier变换分解为时谐电磁场源 时变电磁场的源通过Fourier变换分解为时谐电磁场源，然后利用 时谐Maxwell方程求解各频率的场源产生的时谐电磁场， Maxwell方程求解各频率的场源产生的时谐电磁场 时谐Maxwell方程求解各频率的场源产生的时谐电磁场，最后对时 谐电磁场进行Fourier 反变换求出时变电磁场。 谐电磁场进行Fourier 反变换求出时变电磁场。 1.2 物质的电磁特性方程的两个旋度方程及电流连续性方程作为独立方程， 如果将 Maxwell 方程的两个旋度方程及电流连续性方程作为独立方程，这 3 个方程共有 5 个标量函数， 个矢量函数 E , D, H , B, J 和一个标量函数 ρ ，由于一个矢量函数可以分解为 3 个标量函数，这 个标量函数。所以， 个独立的方程是麦克斯韦方程的非限定形式。 相当于共有 16 个标量函数。所以，这 3 个独立的方程是麦克斯韦方程的非限定形式。 要使方程的数目和未知量的个数相等， 还必须利用在电磁场中的媒质的特性的关系。 要使方程的数目和未知量的个数相等， 还必须利用在电磁场中的媒质的特性的关系。 电磁 场中描述媒质特性的关系称为组成关系或结构方程。引入结构方程， 个矢量方程， 场中描述媒质特性的关系称为组成关系或结构方程。引入结构方程，增加了 3 个矢量方程， 个标量方程， 方程的数目和未知量的数目相等，场方程就可以求解了。因此， 即 9 个标量方程，使方程的数目和未知量的数目相等，场方程就可以求解了。因此，加上结 构方程，麦克斯韦方程就构成了限定的形式。 构方程，麦克斯韦方程就构成了限定的形式。 在自由的空间，组成关系或结构方程最简单， 在自由的空间，组成关系或结构方程最简单，有 D = ε0 E B = 0 H J =0 （1－29） 29） （1－30） 30） （1－31） 31） 分别称为自由空间的电容率（或介电常数）和导磁率。 式中 ε 0 和 0 分别称为自由空间的电容率（或介电常数）和导磁率。在国际单位制中 ε0 = 1 × 109 F / m 36π 0 = 4π × 10 7 H / m 结构方程(本构关系 结构方程 本构关系) 本构关系对于均匀、各向同性、线性媒质，在电磁作用下，其物质内部电荷运动导致媒质的极化、 磁化和传导 3 种状态，它们分别由极化强度 P 、磁化强度 M 和传导电流密度 J 来表示。 极化强度表示物质内部分子的束缚电荷形成的电偶极子在电场力作用下趋于整齐排列的 极化强度 程度，是物质中单位体积内分子电偶极矩的统计平均值； 磁化强度表示物质内部电子的轨道和自旋运动形成的磁偶极子在磁场力作用下趋于整齐 磁化强度 排列的程度，是物质中单位体积内分子磁偶极矩的统计平均值。 由于极化和磁化的作用，D 和 B 分别为： D = ε0E + P B = 0 ( H + M ) （1－32） （1－33） 媒质的组成关系是以实验为基础的。对于线性媒质，P 和 E 与 M 和 H 均成正比关系。分 别为： P = ε 0χe E M = χm H （1－34） （1－35） 分别称为媒质的极化率和磁化率。 32） 33） 式中 χ e 和 χ m 分别称为媒质的极化率和磁化率。 将以上两式分别代入 1－32） （1－33） （ 和 得 D = ε 0 E + ε 0 χ e E = (1 + χ e )ε 0 E B = (1 + χ m ) 0 H 令 ε r = 1 + χ e , ε = ε rε 0 r = 1 + χ m , = r 0 （1－36） 36） 37） （1－37） ε r 和 r 分别称为媒质的相对电容率（或相对介电常数）和相对导磁率；而 ε 和 分别称为 分别称为媒质的相对电容率（或相对介电常数）和相对导磁率；媒质的电容率（或介电常数）和导磁率。这样，对于各向同性线性媒质， 媒质的电容率（或介电常数）和导磁率。这样，对于各向同性线性媒质，D 与 E 及 B 与 H 的关 系为 D =εE 38） （1－38） B = H 39） （1－39） 希腊字母发音对照表 α Α β Β γ Γ δ ε Ε ζ Ζ alpha ν Ν beta ξ Ξ gamma ο Ο delta π Π epsilon ρ Ρ zeta σ Σ nu η Η 大写 xi θ Θ omicron ι Ι pi κ Κ rho λ Λ sigma Μ eta τ Τ theta υ Υ iota φ Φ kappa χ Χ lambda ψ Ψ mu ω tau upsilon phi chi psi omega 结构方程(本构关系 结构方程 本构关系) 续 本构关系导电媒质中 自由运动的电荷， 在电场的作用下， 导电媒质中有可自由运动的电荷，在电场的作用下，自由电荷运动形 成电流。由实验得到导电媒质中的电流密度与电场强度之间的关系为： 成电流。由实验得到导电媒质中的电流密度与电场强度之间的关系为： J =σE 40） （1－40） σ 称为媒质的导电率，单位为 S/m, 上式称为欧姆定律的微分形式。 称为媒质的导电率， 上式称为欧姆定律的微分形式。 电导率表示物质的导电性能， 电导率表示物质的导电性能， σ = 0 的媒质不导电，称为理想介质， σ = ∞ 称为理想导电体。 的媒质不导电，称为理想介质， 称为理想导电体。媒质的介电常数 ε 和导磁率 以及电导率 σ 代表了媒质的电磁特性， 代表了媒质的电磁特性， 是媒质 的重要参数。不同的媒质其电参数不同，同一种媒质因密度、含杂质量等差别， 的重要参数。不同的媒质其电参数不同，同一种媒质因密度、含杂质量等差别， 以及频率不同，其电磁参数也可能不同。对于均匀媒质， 以及频率不同，其电磁参数也可能不同。对于均匀媒质，在不太宽的频率范围 内，这些电磁参数是常数。如果频率范围很宽，介电常数 ε 和导磁率 就与频率 这些电磁参数是常数。如果频率范围很宽， 有关。 例如水的相对介电常数在频率由零升到光频时， 其值从 81 降到 1.8 左右。 左右。 有关。 例如水的相对介电常数在频率由零升到光频时， 这种媒质称为色散媒质 色散媒质。 这种媒质称为色散媒质。 复介电常数和复导磁率1 复介电常数和复导磁率当频率足够高时，由于存在极化损耗与磁化损耗，媒质的介电常数和导磁率变为复数， 当频率足够高时，由于存在极化损耗与磁化损耗，媒质的介电常数和导磁率变为复数，即 介电常数和导磁率变为复数 ε = ε ′ jε ′′ ， = ′ j ′′ ，虚部代表媒质存在损耗。 虚部代表媒质存在损耗。对于色散媒质，极化和磁化的响应不是即时的， 当前值 对于色散媒质，极化和磁化的响应不是即时的，D 及 B 不仅取决于 E 及 H 的当前值，还与 对时间的各阶导数有关， E 及 H 对时间的各阶导数有关，即 E 2 E 3E D = ε E + ε1 + ε2 2 + ε3 3 + L t t t 对于时谐电磁场， 对于时谐电磁场，以上两式变为 D = ε E + jωε1 E ω 2ε 2 E jω 3ε 3 E +L B = H + jω1 H ω 2 2 H jω 33 H + L （1－42a） 42a） （1－42b） 42b） H 2 H 3H B = H + 1 + 2 2 + 3 3 + L t t t （1－41） 41） 将以上两式写成（ 将以上两式写成（1－38）和（1－39）的形式，介电常数和导磁率成为复数，其实部和虚 38） 39）的形式，介电常数和导磁率成为复数， 部均和频率有关。 部均和频率有关。 复介电常数和复导磁率2 复介电常数和复导磁率对于导电媒质，将电导率包含在复介电常数中 利用全电流安培定律及 对于导电媒质，将电导率包含在复介电常数中，利用全电流安培定律及 J = σ E 代入得 复介电常数 σ × H = σ E + jωε E = jω ε j E = jωε c E ω 式中 εc = ε j σ ω （1－43） 43） 是将电导率包含在复介电常数中后的等效介电常数。 复介电常数和复导磁率也可写成极坐 是将电导率包含在复介电常数中后的等效介电常数。 标形式 ε = ε ′ jε ′′ = ε e jδ ε ′′ ε′ = ′ j ′′ = e jθ ′′ ′ （1－44） 44） 分别称为电损耗角和磁损耗角。 式中 δ 和 θ 分别称为电损耗角和磁损耗角。并有 tan δ = tan θ = （1－45） 45） tan δ 和 tan θ 分别称为电损耗角的正切和磁损耗角的正切。电导率引起的损耗角正切为 分别称为电损耗角的正切和磁损耗角的正切。 tan δ = σ ωε ′ （1－46） 46） 媒质分为均匀媒质和不均匀媒质。均匀媒质的电磁参数和空间坐标无关， 媒质分为均匀媒质和不均匀媒质。均匀媒质的电磁参数和空间坐标无关， 不均匀媒质的电磁参数是空间坐标的函数。 不均匀媒质的电磁参数是空间坐标的函数。 当媒质的介电常数 ε 和导磁率 或者 χ e 和 χ m 不随 E 及 H 改变时，称为线性媒质 线性媒质，否则 线性媒质 称为非线性媒质 非线性媒质。对于非线性媒质 非线性媒质 P = ε 0 χ e (1) E + χ e (2) E E + χ e (3) E E + L 2 2 ( ) （1－47a） （1－47b） M = χ m (1) H + χ m (2) H H + χ m (3) H H + L 研究非线性媒质的电磁场属于非线性电磁学及发非线性光学的范围 有一些媒质的电磁参数与电磁场的方向有关，这种媒质称为各向异性媒质 各向异性媒质。各向异性媒质 各向异性媒质 的组成关系可以表示为矩阵的形式，即 v v （1－48a） D =ε E v B = H （1－48b） （1－48c） v v J =σ E 式中 ε xx ε xy ε xz σ xy xz σ xy σ xz v xx v xx v v ε = ε yx ε yy ε yz = yx yy yz σ = σ yx σ yy σ yz （1－48d） ε zx ε yz ε zz zx yz zz σ zx σ yz σ zz 晶体就是一种各向异性媒质，恒定磁场中的等离子体也具有电各向异性。恒定磁场中的铁 恒定磁场中的等离子体也具有电各向异性。 恒定磁场中的等离子体也具有电各向异性 v v 氧体是磁各向异性媒质。而用 σ 描述的各向异性媒质不多见。 氧体是磁各向异性媒质 v 还有一些媒质，电磁特性方程可以表示为 v v D = ε E +ζ H v v B =ζ E +H （1－49） （1－50） 这些关系表明，媒质的极化与磁化存在一定的耦合关系，这种媒质称为双各向异性媒质 双各向异性媒质。 双各向异性媒质 当以上 4 个电磁张量参数均退化为标量时，称为双各向同性媒质 一般运动媒质中具有这种 双各向同性媒质。一般运动媒质中具有这种 双各向同性媒质 电磁耦合关系。 电磁耦合关系。 媒质的电磁参数与频率、坐标变量、方向无关，均为标量常数的媒质称为简单媒质 简单媒质。 简单媒质 媒质分类理想介质 色散媒质 导电媒质 不均匀媒质 线性媒质 各向异性媒质 双各向异性媒质 简单媒质 理想导体 有损耗的媒质 均匀媒质 非线性媒质 双各向同性媒质 1.3 边界条件和辐射条件边界条件边界条件就是在媒质的边界面上电磁场所满足的方程。 边界条件就是在媒质的边界面上电磁场所满足的方程。 麦克斯韦方程的微分形式只适用于媒质的物理性质处处连续的空间区域， 麦克斯韦方程的微分形式只适用于媒质的物理性质处处连续的空间区域， 但实际遇到的媒质总是有界的，在边界上其物理性质要发生突变， 但实际遇到的媒质总是有界的，在边界上其物理性质要发生突变，导致边 界面处矢量场也发生突变。所以， 界面处矢量场也发生突变。所以，在边界面上麦克斯韦方程的微分形式已 失去意义。 失去意义。 边界面两边的矢量场的关系要由麦克斯韦方程的积分形式 麦克斯韦方程的积分形式导出的边界条件 边界面两边的矢量场的关系要由麦克斯韦方程的积分形式导出的边界条件 确定。 确定。 D H dl = ∫∫ J + dS ∫ t l S B E dl = ∫∫ J m + dS ∫ t l S （1－1） （1－2） ∫∫ D dS = ∫∫∫ ρ dV S V m （1－3） （1－4） ∫∫ B dS = ∫∫∫ ρ S V dV 两种不同媒质的边界条件 两种不同媒质的边界条件对于如图1 所示的两种不同媒质的边界， 对于如图1-1所示的两种不同媒质的边界，由广义麦克斯韦方 程的积分形式可得到边界面两侧电磁场的关系为： 程的积分形式可得到边界面两侧电磁场的关系为： e n ( D1 D2 ) = ρ s e n ( B1 B 2 ) = ρ sm e n × ( E1 E2 ) = J m s e n × ( H1 H 2 ) = J s (1 51) (1 52) (1 53) (1 54) E1 , H1 1 , ε1 2 , ε 2 E2 , H 2 en 的表示边界面的法向单位矢量， 等式左边 en 的表示边界面的法向单位矢量，前两 式表示边界面两侧电磁场的法向分量的关系，后 式表示边界面两侧电磁场的法向分量的关系， 法向分量的关系 两式边界面两侧电磁场的切向分量的关系； 切向分量的关系 两式边界面两侧电磁场的切向分量的关系； 等式右边为边界面上电型源或磁型源的面密度。 等式右边为边界面上电型源或磁型源的面密度。 实际的媒质边界不存在磁型源， 实际的媒质边界不存在磁型源，磁型源的面密度 只有数学上的意义。 数学上的意义 只有数学上的意义。图 1—1 边界条件 媒质的边界条件特殊情况（ ） 媒质的边界条件特殊情况（1） 条件特殊情况对于两种媒质均为理想介质 理想介质的情况，边界条件简化为： 理想介质 en ( D1 D 2 ) = 0 en ( B1 B 2 ) = 0 en × ( E1 E2 ) = 0 en × ( H1 H 2 ) = 0 (1 55) (1 56) (1 57) (1 58) 以上 4 式的右边都为零，表示各场分量在边界面上是连续的。对于时变电磁场，4 个边界条件 并不是完全独立的，一般将两个切向分量的边界条件作为独立的边界条件 两个切向分量的边界条件作为独立的边界条件。 两个切向分量的边界条件作为独立的边界条件 对于有一种媒质为理想导电体 有一种媒质为理想导电体的情况，边界条件简化为： 有一种媒质为理想导电体 en D = ρ s en B = 0 en × E = 0 en × H = J s (1 59) (1 60) (1 61) (1 62) 媒质的边界条件特殊情况（ ） 媒质的边界条件特殊情况（1） 条件特殊情况对于有一种媒质为理想导磁体的情况，边界条件简化为： 有一种媒质为理想导磁体 有一种媒质为理想导磁体 en D = 0 e n B = ρ sm e n × E = J m s en × H = 0 (1 63) (1 64) (1 65) (1 66) 对于一般非理想导电体 非理想导电体的情况，导电面上电型源或磁型源的面密度为零，边界条件简化为： ， 导电面上电型源或磁型源的面密度为零 非理想导电体 e n ( D1 D2 ) = ρ s e n ( B1 B 2 ) = 0 e n × ( E1 E 2 ) = 0 e n × ( H1 H 2 ) = 0 (1 67) (1 68) (1 69) (1 70) （2）辐射条件 ）电磁场中边值问题的求解场区有两类： 电磁场中边值问题的求解场区有两类： 一类是闭区域的边值问题，这类问题的基本方程是麦克斯韦方程、结构方程和边界条件； 闭区域的边值问题 一类是闭区域的边值问题，这类问题的基本方程是麦克斯韦方程、结构方程和边界条件； 一类是开区域的边值问题，这类问题除涉及上述基本方程外，还要涉及场的辐射条件。 开区域的边值问题 一类是开区域的边值问题，这类问题除涉及上述基本方程外，还要涉及场的辐射条件。 若所有的场源均在有限空间之中，则在无限远的场必须满足辐射条件: 若所有的场源均在有限空间之中，则在无限远的场必须满足辐射条件: 若此空间是有损耗的， 若此空间是有损耗的，则无限处的场的任一横向分量 Ψ 满足 Ψ r→∞ = 0 (1 71) 若此空间是无损耗的 辐射条件： 若此空间是无损耗的，则无限远处的场满足 Sommerfeld 辐射条件：即场的任一横向分量 Ψ 满足 Ψ lim r jk Ψ = 0 r →∞ r 式中： 是从源点到场点的距离； 是媒质的传播常数。 式中： r 是从源点到场点的距离； k 是媒质的传播常数。 辐射条件的物理意义是远离场源的场有一向外延迟的相位， Sommerfeld 辐射条件的物理意义是远离场源的场有一向外延迟的相位，且其幅度下降至少比 r 1 要快。 要快。 (1 72) 1．4 波动方程 ．麦克斯韦方程是一组联立的一阶矢量偏微分方程， 麦克斯韦方程是一组联立的一阶矢量偏微分方程，由这组矢量偏微分方程可导出电磁波的波 动方程。波动方程是定量描述电磁波运动的数学方程，它揭示了电磁波的传播规律。 动方程。波动方程是定量描述电磁波运动的数学方程，它揭示了电磁波的传播规律。由麦克 斯韦方程可导出电磁波的波动方程。 斯韦方程可导出电磁波的波动方程。 在均匀线性各向同性媒质中， 在均匀线性各向同性媒质中，对广义麦克斯韦方程组中的两个旋度方程 D t B × E = J m t 两边取旋度，并利用物质结构方程式（ 38）和式（ 39） ，得 两边取旋度，并利用物质结构方程式（1-38）和式（1-39） 得 ， ×H = J + 2H J m × × H + ε 2 = ε + ×J t t 2E J × × E + ε 2 = × Jm t t D =εE （1－38） （1－39） B = H (1 73a) (1 73b) 以及麦克斯韦方程组中的两个散度方程， 利用矢量恒等式 × × A = ( A ) 2 A ，以及麦克斯韦方程组中的两个散度方程，方程式 变为非齐次矢量波动方程 变为非齐次矢量波动方程 非齐次矢量 2H J m 1 H ε 2 = ε × J + ρ m t t 2 (1 74a) 2E ε 2E J 1 = + × J m + ρ 2 ε t t (1 74b) 非齐次矢量波动方程的右边非齐次项比较复杂， 非齐次矢量波动方程的右边非齐次项比较复杂，因此直接求解这 对方程很困难。但在无源区，这对方程变为齐次矢量波动方程 对方程很困难。但在无源区， 2H H ε 2 = 0 t 2E 2 E ε 2 = 0 t 2 (1 75a ) 或 (1 75b) 2H × × H + ε 2 = 0 t 2E × × E + ε 2 = 0 t (1 76a ) (1 76b) 非齐次矢量波动方程用于求解有源区域内的场，可用于计算天线、波 非齐次矢量波动方程用于求解有源区域内的场，可用于计算天线、 用于求解有源区域内的场 谐振腔等有激励的系统中电磁波的传播特性或辐射特性； 有激励的系统中电磁波的传播特性或辐射特性 导、谐振腔等有激励的系统中电磁波的传播特性或辐射特性； 齐次矢量波动方程用于求解无源区域内的场 可用于计算波导、 用于求解无源区域内的场， 齐次矢量波动方程用于求解无源区域内的场，可用于计算波导、自由 空间中电磁波的传输特性或传播特性。 空间中电磁波的传输特性或传播特性。 由于波动方程只表征了单一场量（ 和 ）的时空变化关系， 由于波动方程只表征了单一场量（E和H）的时空变化关系，未描述 不同场量E和 之间的关系 因此， 之间的关系， 不同场量 和H之间的关系，因此，虽然满足麦克斯韦方程的场量必然 满足波动方程，但相反情况不一定成立，所以，由波动方程求出场量后， 满足波动方程，但相反情况不一定成立，所以，由波动方程求出场量后， 还需验证是否满足麦克斯韦方程。 还需验证是否满足麦克斯韦方程。 一般方法是由波动方程求出电场强度或磁场强度后，再由Maxwell方 一般方法是由波动方程求出电场强度或磁场强度后，再由 方 程求另一场量，这样的解必然同时满足两种方程。 程求另一场量，这样的解必然同时满足两种方程。 对于均匀线性各向同性媒质中的时谐场， 对于均匀线性各向同性媒质中的时谐场， 时谐场 非齐次波动方程为 2 H + k 2 H = jωε J m × J + 1 1 ρ m (1 77 a) × × H k 2 H = jωε J m × J (1 78a ) (1 78b) 或 (1 77b) × × E k 2 E = jω J × J m 2 E + k 2 E = jω J + × J m + ρ ε 齐次波动方程变为 2H + k 2H = 0 2E + k 2E = 0 (1 79a) (1 79b) 或 × × H k 2H = 0 × × E k 2E = 0 (1 80a) (1 80b) 有限元方法 称为波数。方程式（ 77） 79） k = ω ε 称为波数。方程式（ 1-77）和（ 1-79）分别称为非齐次和齐次矢量亥姆 霍兹方程。 霍兹方程。 在直角坐标系中， 表示矢量场的任一直角坐标分量，则方程（ 79） 在直角坐标系中，设 φ 表示矢量场的任一直角坐标分量，则方程（ 1-79）可 分解为齐次标量亥姆霍兹方程 2φ + k 2φ = 0 (1 81) 该齐次标量亥姆霍兹方程的求解将在第3章介绍。 该齐次标量亥姆霍兹方程的求解将在第 章介绍。求出齐次标量亥姆霍兹 章介绍 方程的解后，就可构成齐次矢量亥姆霍兹方程的解。 方程的解后，就可构成齐次矢量亥姆霍兹方程的解。 需要指出，方程式（ 需要指出，方程式（1-79）与式（1-80）并不完全等效。 ）与式（ ）并不完全等效。 2H + k 2H = 0 2E + k 2E = 0 (1 79a ) (1 79b) × × H k 2H = 0 × × H k 2E = 0 (1 80a) (1 80b) 对方程式（ 80）两边取散度，可直接得到矢量场的散度为零， 对方程式（1-80）两边取散度，可直接得到矢量场的散度为零，也就是 方程式（ 80） 说，方程式（1-80）中隐含 H=0 E=0 这是无源区的矢量场解必须满足的。 这是无源区的矢量场解必须满足的。 但对方程式（ 79）两边取散度，不一定满足上式，也就是说， 但对方程式（1-79）两边取散度，不一定满足上式，也就是说，齐次矢量 亥姆霍兹方程的解不能保证满足上式。 因此， 亥姆霍兹方程的解不能保证满足上式。 因此，齐次矢量亥姆霍兹方程的解是否 正确，要代入上式加以验证。 正确，要代入上式加以验证。 1．5 辅助位函数及其方程 ．由于在有源区非齐次矢量波动方程或非齐次矢 量亥姆霍兹方程中的场源分布形式十分复杂， 量亥姆霍兹方程中的场源分布形式十分复杂， 直接求解比较困难。为了求解有源区的场， 直接求解比较困难。为了求解有源区的场，可 仿照静态场引入矢量和标量位函数求解。 仿照静态场引入矢量和标量位函数求解。 本节介绍利用辅助位函数求解电磁场的方法。 本节介绍利用辅助位函数求解电磁场的方法。 （1）矢量磁位和标量电位 ）在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有电型源，由于 B = 0 ，引入矢量磁位 A 满足 在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有电型源， B = ×A 将上式代入法拉第电磁感应定律， 将上式代入法拉第电磁感应定律，得 A ×E + =0 t 由于标量函数梯度的旋度为零，引入标量位 Φ ，满足 由于标量函数梯度的旋度为零， A E+ = Φ t 由上式得 A E = Φ t 由此可见， 就可由式(1 82)及式(1-83)求出电场与磁场 (1及式(1 求出电场与磁场。 由此可见，只要求出辅助位 A 及 Φ ，就可由式(1-82)及式(1-83)求出电场与磁场。 (1 82) (1 83) 将式（ ）、式 将式（1-82）、式（1-83）代入麦克斯韦方程，并经整理后得 ）、 ）代入麦克斯韦方程， 2A Φ A ε 2 A + ε = J t t 2 (1 85a ) (1 85b) 2Φ Φ ρ Φ ε 2 + A + ε = ε t t t 2 的联立方程，需要进一步简化。 以上两式是 A 与 Φ 的联立方程，需要进一步简化。考虑对于矢量磁位 还未规定其散度。 A ，在前面仅规定了其旋度 B = × A ，还未规定其散度。根据亥姆霍兹 定理，矢量场的旋度和散度确定后，矢量场才能唯一确定。 定理，矢量场的旋度和散度确定后，矢量场才能唯一确定。为保证矢 唯一，需要规定其散度。 量磁位 A 唯一，需要规定其散度。 规范不变性任取另一标量函数 U ，定义变换关系 A′ = A + U (1 84a ) Φ′ = Φ U t (1 84b) 将上式代入式（ 82） 、式 将上式代入式（1-82） 式（1-83）得 、 83） B = × A = × ( A′ U ) = × A′ E = Φ A U = Φ′ + t t A′ ( A′ U ) = Φ′ t t 可见，经过式（ 84）变换，场量仍不变。 可见，经过式（1-84）变换，场量仍不变。式（1-84）称为规范变换，规范变换式中的标量函数 U 84）称为规范变换， 称为规范函数。 称为规范函数。 电磁场在规范变换下的不变性称为规范不变性。 的任意性， 电磁场在规范变换下的不变性称为规范不变性。利用规范函数 U 的任意性，可以构成无限多 但却能得到同样的电磁场。也就是说， 不唯一的，均具有任意性， 个辅助位 A 及 Φ ，但却能得到同样的电磁场。也就是说，虽然是 A 及 Φ 不唯一的，均具有任意性， 但由于存在规范不变性，并不影响电磁场的唯一性。 但由于存在规范不变性，并不影响电磁场的唯一性。 间的关系， 的方程。 利用规范函数的任意性可以灵活地规定之 A 及 Φ 间的关系，以简化辅助位 A 及 Φ 的方程。 洛仑兹规范条件 2A Φ A ε 2 A + ε = J t t 2 (1 85a) (1 85b) 2Φ Φ ρ Φ ε 2 + A + ε = t t t ε 2 现取 Φ t 将上式代入式（ 85） ，得 将上式代入式（1-85） 得 A 与 Φ 所满足的方程 ， A = ε 2 A A ε 2 = J t 2 (1 86) (1 87a ) 2Φ ρ Φ ε 2 = t ε 2 (1 87b) 可以看出， 这两个方程在数学形式上是相同的， 求解这两个方程就可得到 A 和 Φ 。 可以看出， 这两个方程在数学形式上是相同的， 之间是有关系的。它们满足式（ 86） 该式称为洛仑兹规范条件。 。该式称为洛仑兹规范条件 而且 A 和 Φ 之间是有关系的。它们满足式（1-86） 该式称为洛仑兹规范条件。 。 由方程（1-87）可以看出，在洛仑兹规范条件 洛仑兹规范条件下， J 是 A 的源，而 ρ 是 Φ 的源。 洛仑兹规范条件 J 与 ρ 之间的关系是电流连续性原理， A 和 Φ 之间的关系是洛仑兹规范条件。 对比发现，这两个关系在数学上也是极为相似的 这两个关系在数学上也是极为相似的。 这两个关系在数学上也是极为相似的 将规范变换式代入洛仑兹规范条件，得 ( A′ U ) = ε 整理后得 Φ′ 2U 2 A′ + ε = U ε 2 t t U Φ′ + t t ρ t Φ A = ε t J = 要使变换前后洛仑兹规范条件均成立，规范函数 U 必须满足 2U U ε 2 = 0 t 2 (1 88) 这就是说，在洛仑兹规范条件下，规范函数 U 满足齐次标量波动方程 在洛仑兹规范条件下， 满足齐次标量波动方程。 在洛仑兹规范条件下 库仑规范如果选取 A=0 代入式（1-85b） ，得到 Φ 满足泊松方程 泊松方程 2Φ = 该方程的解为 Φ ( r, t ) = 1 4πε (1 89) ρ ε ρ ( r ′, t ) r r′ dV ′ (1 90) ∫∫∫ V (1 91) 此解为电荷密度产生的电位。式（1-89）称为库仑规范 库仑规范。在库仑规范下，矢量磁位 A 满足 库仑规范 2 A ε 2A Φ = J + ε 2 t t (1 92) 根据亥姆霍兹定理，将电流密度矢量分解为无旋部分 无散部分 无旋部分和无散部分 无旋部分 J = J l + J t = Λ + × W 其中 1 4π ρ ( r′, t ) Φ t dV ′ = ε r r′ t Λ= ∫∫∫ r r′ dV ′= 4π ∫∫∫ V V ′ J 1 将式（1-91）代入（1-92）式，刚好与电流无旋部分抵消，得 2 A ε 2A = Jt t 2 (1 93) 上式说明，库仑规范下矢量磁位 A 的源是电流密度的无散部分 无散部分。 无散部分 时谐场下洛仑兹规范条件对于时谐场， 对于时谐场，容易证明在洛仑兹规范条件下相应的 A 和 Φ 满足的方程为 2 A + k 2 A = J 2Φ + k 2 Φ = A = jωεΦ 电磁场可按下式计算： 求出 A 和 Φ 后，电磁场可按下式计算： H= 1 (1 94) ρ ε (1 95) (1 96) ×A (1 97) E = jω A Φ 将式（ 96） 将式（1-96）代入上式，得 上式， 1 E = jω A + 2 A k jω E = 2 ( × × A J ) k (1 98) (1 99) 或 (2)矢量电位及标量磁位 矢量电位及标量磁位在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有磁型源， 在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有磁型源，由于 D = 0 ，引入矢量电位 A m 满足 D = × A m 将上式代入式（ 19） ，考虑到 将上式代入式（1-19） 考虑到 J = 0 ，得 ， A m × H + =0 t 由于标量函数梯度的旋度为零， 由于标量函数梯度的旋度为零，引入标量磁位 Φ m ，使满足 A m H+ = Φ m t 由上式得 A m H = Φ t m (1 100) (1 101) 显而易见， 具有对偶性。 显而易见，矢量电位 A m 及标量磁位 Φ m 与矢量磁位 A 及标量电位 Φ 具有对偶性。 利用对偶性， 利用对偶性，矢量电位 A m 及标量磁位 Φ m 的洛仑兹规范条件为 Φ m A = ε t m A m 和 Φ m 满足的方程为 2 A m ε 2Am = ε J m 2 t (1 102) 2Φ m ε 2Φ m ρm = t 2 (1 103) 对于时谐场， 对于时谐场，容易证明相应的 A m 和 Φ m 满足的方程为 2 A m + k 2 A m = ε J m (1 104) ρm Φ +k Φ = 2 m 2 m (1 105) (1 106) A m = jωεΦ m 电磁场可按下式计算： 求出 A m 和 Φ m 后，电磁场可按下式计算： 1 E = × Am ε (1 107) (1 108) (1 109) 或 1 H = jω A m + 2 A m k jω H = 2 ( × × Am ε Jm ) k (3)矢量位分量表示的电磁场 矢量位分量表示的电磁场对于时谐场，当同时存在电型源和磁型源时， 对于时谐场，当同时存在电型源和磁型源时，求出矢量磁位 A 及矢量电位 A m 后，总电磁 场为电型源和磁型源产生的场之和， 场为电型源和磁型源产生的场之和，即 E= H= 对于无源区， 对于无源区，总电磁场为 E= H= jω 1 × × A × Am ε k2 1 (1 112) (1 113) 1 jω 1 ( × × A J ) × Am k2 ε × A jω × × Am ε J m ) 2 ( k (1 110) (1 111) × A jω × × Am 2 k 下面分析在无源区， 的分量表示的电磁场。 下面分析在无源区，由矢量磁位 A 及矢量电位 A m 的分量表示的电磁场。 代入式（ 112）和式（ 113） ，得 在直角坐标系中， ， 在直角坐标系中，如果取 A = e z Az ， A m = 0 代入式（1-112）和式（1-113） 得 1 Az Hx = y Hy = Hz = 0 1 Az x jk xz ω 2 Az Ey = 2 jk yz ω 2 Ez = 2 ( 2 + k 2 ) Az jk z Ex = 2 ω 2 Az (1 114 ) 横磁(TM) 这是关于 z 的横磁(TM)波。 Az 满足齐次标量亥姆霍兹方程 2 A z + k 2 A z = 0 (1 115) 由此可见， 也就是说， 由此可见，由 A = e z Az 表示的波是关于 z 的 TM 波。 也就是说，对于关于 z 的 TM 描述。 波，就可以仅由一个标量 Az 描述。 代入式（ 112）和式（ 113） ，得 如果取 A m = e z Azm ， A = 0 ，代入式（1-112）和式（1-113） 得 ， 1 Azm Ex = ε y 1 Azm Ey = ε x Ez = 0 jω 2 Azm Hx = - 2 k xz jω 2 Azm Hy = - 2 k yz jω 2 2 m H z = - 2 ( 2 + k ) Az k z (1 116 ) 横电(TE) 这是关于 z 的横电(TE)波。 Azm 满足齐次标量亥姆霍兹方程 2 Azm + k 2 Azm = 0 (1 117) 由此可见， 也就是说， 由此可见，由 A m = e z Azm 表示的波是关于 z 的 TE 波。 也就是说，对于关于 z 的 TE 波，就可以 描述。 仅由一个标量 Azm 描述。 可推知， 可推知， 描述； 对于关于 x 的 TM 波，由一个标量 Ax 描述； 描述； 对于关于 y 的 TM 波，用一个标量 Ay 描述； m 描述； 对于关于 x 的 TE 波，用一个标量 Ax 描述； m 描述。 对于关于 y 的 TE 波，用一个标量 Ay 描述。 在圆柱坐标系中， 在圆柱坐标系中， 由 A = e z Az 表示的波是关于 z 的 TM 波， 由 A m = e z Azm 表示的波是关于 z 的 TE 波。 代入式（ 112）和式（ 113） ，得 在球坐标系中，如果取 A = e r Ar = e r ru ， A m = 0 ，代入式（1-112）和式（1-113） 得 坐标系中， ， 1 1 u Hθ = sin θ φ 2 1 u ω 1 ( ru ) Hφ = Eφ = 2 jk r sin θ rφ θ 这是关于 r 的 TM 波。 u 满足齐次标量亥姆霍兹方程 Hr = 0 Er = + k 2 ru jk 2 r 2 2 ω 1 ( ru ) Eθ = 2 jk r r θ 2u + k 2u = 0 由此可见， 由此可见，由 A = er Ar = er ru 表示的波是关于 r 的 TM 波 (1 119) 2 ω ( ru ) (1 118 ) m 代入式（ 112）和式（ 113） ，得 如果取 A m = e r A r = er rv ， A = 0 ，代入式（1-112）和式（1-113） 得 ， 2 jω 1 ( rv ) 1 1 v Eθ = Hθ = 2 ε sin θ φ k r r φ 2 1 v jω 1 ( rv ) Hφ = Hφ = 2 k r sin θ r φ ε θ 这是关于 r 的 TE 波。 v 满足齐次标量亥姆霍兹方程 Er = 0 2v + k 2 v = 0 由此可见， 由此可见，由 A m = er Arm = e r rv 表示的波是关于 r 的 TE 波。 称为德拜位。 以上的标量函数 u 和 v 称为德拜位。 2 jω ( rv ) + k 2 rv Hr = 2 k r 2 (1 120 ) (1 121) 在无源空间区域，由麦克斯韦方程可以证明，电磁场量中只有两个标量是独立的。 在无源空间区域，由麦克斯韦方程可以证明，电磁场量中只有两个标量是独立的。 例如求解波导中的电磁场所采用的纵向场法， 作为独立标量。 例如求解波导中的电磁场所采用的纵向场法，就是采用 E z 和 H z 作为独立标量。 在一些电磁场问题中， 在一些电磁场问题中，有时采用矢量磁位 A 和矢量电位 A m 的各一个对应分量作为独 立标量更为方便。 立标量更为方便。 更为方便 在有源空间区域，由式（ 110）和式（ 111）可以看出， 在有源空间区域，由式（ 1-110）和式（1-111）可以看出，矢量磁位 A 和矢量电位 A m 均对 电磁场有贡献。 的解均由两部分构成， 电磁场有贡献。而矢量磁位 A 和矢量电位 A m 的解均由两部分构成，一部分是齐次矢量亥姆 霍兹方程的解，另一部分是非齐次矢量亥姆霍兹方程的解。 霍兹方程的解，另一部分是非齐次矢量亥姆霍兹方程的解。 对于实际的电磁场问题，没有实际的磁流， 对于实际的电磁场问题，没有实际的磁流，因此矢量电位 A m 仅包含齐次矢量亥姆霍兹 方程的解。 方程的解。 1．6 赫兹矢量 (自习 ． 自习) 自习 1.7 电磁能量及能流时变电磁场的电场能量密度 we ( r , t ) ，磁场能量密度 wm (r , t ) 及导体的损耗功率密度 电场能量密度 磁场能量密度 损耗功率密度 p( r , t ) 分别为 1 (1-136) we ( r , t ) = ε E 2 (r , t ) 2 1 (1-137) wm ( r , t ) = H 2 ( r , t ) 2 p( r , t ) = σ E 2 (r , t ) 功率流密度矢量为 功率流密度矢量 S (r , t ) = E (r , t ) × H ( r , t ) (1-139) (1-138) 对上式两边求散度，并利用矢量恒等式 ( A × B ) = B × A A × B 及麦克斯韦方程的 两个旋度方程，得 S = 1 1 2 2 2 H ε E σ E t 2 t 2 上式两边对区域 V 求体积分，利用高斯定理将左边的体积分转化为面积分，得 ∫∫ S dS = S d 1 2 1 2 2 ∫∫∫ 2 H + 2 ε E dV + ∫∫∫ σ E dV dt V V (1-140) 上式称为坡印廷定理 坡印廷定理，它表示单位时间从包围区域 V 的封闭面 S 流进区域 V 中的能量等于区 中的能量等于 等于区 坡印廷定理 单位时间从包围区域 中单位时间增加的电磁能量与区域 中单位时间损耗的能量之和。 域 V 中单位时间增加的电磁能量 区域 V 中单位时间损耗的能量 此式是电磁场的能量守恒定律 电磁场的能量守恒定律。 电磁场的能量守恒定律 对于时谐电磁场，平均电场能量密度 we ，平均磁场能量密度 wm 及导体的平均损耗功率 平均电场能量密度 导体的平均损耗功率密 平均磁场能量密度 导体的平均损耗功率 度 p 分别为 1 2 1 ε E (r ) = ε E E 2 2 1 1 wm (r ) = H 2 (r ) = H H 2 2 we (r ) = p ( r ) = σ E 2 (r ) = σ E E 复功率流密度矢量为 Sc = E × H (1-144) (1-141) (1-142) (1-143) 复功率流密度矢量的实部 实部表示功率流密度矢量的时间平均值 功率流密度矢量的时间平均值。对上式复功率流密度矢量求散 实部 功率流密度矢量的时间平均值 度，再进行体积分，可得到坡印廷定理的复数形式为 1 1 1 1 ∫∫ Sc dS = ∫∫∫ σ E 2 + ′′H 2 + ε ′′E 2 dV + j2 w∫∫∫ ′H 2 ε ′E 2 dV 2 2 2 2 S V V (1-145) 上式表示单位时间从包围区域 V 的封闭面 S 流进区域 V 中的平均能量 平均能量，即左边面积分的实部， 平均能量 等于区域 V 中单位时间导体的平均损耗能量，极化平均损耗能量及磁化平均损耗能量 平均损耗能量， 平均损耗能量 极化平均损耗能量及磁化平均损耗能量之和， 这是流进区域 V 中的有功功率 有功功率； 有功功率 从包围区域 V 的封闭面 S 流进区域 V 中的复功率流的虚部， 与区域 V 中平均磁场能量 平均电 平均磁场能量与平均电 平均磁场能量 场能量之差成正比，这是流进区域 V 中的无功功率 无功功率。 场能量 无功功率 习 题 1 利用傅立叶变换，由麦克斯韦方程的瞬时形式推导其复数形式。 1－1 利用傅立叶变换，由麦克斯韦方程的瞬时形式推导其复数形式。 在非均匀介质中， 是坐标位置的函数，试对于无源区导出： 1－2 在非均匀介质中， ε 及 是坐标位置的函数，试对于无源区导出： 的麦克斯韦方程； （1） 只含 E 和 H 的麦克斯韦方程； 的波动方程。 （2） E 和 H 的波动方程。 推导在导电媒质中的波动方程以及矢量位方程 媒质中的波动方程以及矢量位方程。 1－3 推导在导电媒质中的波动方程以及矢量位方程。 直接利用复数麦克斯韦方程推导赫兹矢量方程的复数形式。 1－4 直接利用复数麦克斯韦方程推导赫兹矢量方程的复数形式。 利用麦克斯韦方程推导两种媒质边界上的边界条件。 1－5 利用麦克斯韦方程推导两种媒质边界上的边界条件。 1 -j 0 在各向异性媒质中， （2 （3 1－6 在各向异性媒质中，ε = ε 0 j 1 0 ,当（1） E = E0 e x ； 2） E = E0 e y ； 3） E = E0 ez ； （ （ 0 0 2 v v （5 （6 （4） E = E0 (e x + e y ) ； 5） E = E0 (2ez + e y ) ； 6） E = E0 (e x + e y ez ) ，求 D 。 （ （ 1 1－7 线极化的均匀平面波投射到以下结构的媒质中 D = ε E + jγ H ， B = -j E + H γ 均为常数，试分析其传播特性。 式中 ε , , γ 均为常数，试分析其传播特性。 证明方程式（ 129） 1－8 证明方程式（1－129） 证明在无源区的理想介质中，方程式（ 129） 就是极化强度， 就是磁化强度。 1－9 证明在无源区的理想介质中，方程式（1－129）中 P 就是极化强度， M 就是磁化强度。 1－10 当矢量位为 （1） A = e x Ax , Am = 0 ； （2） A = 0, Am = e x Axm 时，推导由矢量位计算电磁场各直角坐标分量的关系式。 推导由矢量位计算电磁场各直角坐标分量的关系式。 计算电磁场各分量的关系式。 1－11 推导在圆柱坐标系中由 Az 和 Azm 计算电磁场各分量的关系式。
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贡献时间：2010-10-14
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贡献者： wdsong5415 蜻蜓点水 一级
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第1章 电磁理论基本方
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