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1
第二章 态函数及其演化方程
我们看到微观粒子即不是经典意义的粒子也不是经典意义的波而是同时具有波
和粒子两面性的客体量子的粒子性只取经典粒子概念中的原子性或颗粒性即能
够在空间很小的范围和很短的时间内被整个观察到而不包含经典粒子具有轨道的运动特
征量子的波动性只取经典波动性的最本质的特征波的线性叠加性而不要求构成粒
子的物质弥散在空间虽然波动性是单个粒子所拥有的特征但是波动性的规律却需要通
过大量重复实验对处于同样状态的大量粒子进行观测才能反映出来上一章已经分析
了把这种波粒子理解为概率波的合理性
本章给出关于概率波的准确描述
2.1 作为概率幅的态函数
基本假定之一单粒子的空间运动状态由一个复函数(r ) ψ v 描述
以后如不特别声明所研究的系统是单个微观粒子
(r ) ψ v 称为概率幅(probability amplitude) 或波函数(wave function) 或态函数(state
function) 双逢衍射实验告诉我们微观粒子没有轨道的概念不存在位矢和动量都有确
定值的状态因此态函数只是位矢的函数坐标表象实际上也可以用动量的函数作
为态函数这是量子力学的另一种表示方式动量表象
所谓态函数描述粒子的空间运动状态有两层意思
1 由(r ) ψ v 可以知道测量粒子位置动量能量角动量等与其空间运动有关的物理
量的统计性质
2 由某时刻0 t 粒子的态函数( , ) ( ) 0 r t rΨ v =ψ v 完全决定以后时间粒子的态函
数(r ,t) Ψ v
态函数的物理意义由玻恩Born 1926 解释给出
基本假定之二r d 3r 2 ( ) ψ v 正比于在rv
处体积微元d 3r中观察到粒子的概率
体积微元
d 3r = dxdydz = r 2 sinθdrdθdϕ ≡ dτ 2.1
在rv
处dτ 体积微元中观察到粒子的概率为
dW r const ψ r dτ 2 ( ) ( ) v = ⋅ v 2.2
因此(r )2 ψ v 具有相对概率密度的意义人们通常只关心与相对概率有关的测量
2
例如在衍射实验中在某点接收到粒子的计数率与实验使用粒子的总数有关通常是
无法准确知道的而两点计数率之比等于这两点计数之比独立于实验使用粒子的总
数测量起来容易得多在空间任意两点1 rv
和2 rv
2
2
2
1
2
2
2
1
( )
( )
(
( )
r
r
c r
c r
v
v
v
v
ψ
ψ
ψ
ψ
=
可见(r ) ψ v 和c (r ) ψ v 描述的状态具有相同的相对概率即态函数乘以一个复任意常
数并不改变粒子在空间各处被观察到的概率分布如果一个粒子在空间各处被观察到
的概率分布即相对概率那么可以称这个粒子处于一个确定的状态所以态函数
有一重要的特点
(r ) ψ v 和c (r ) ψ v 表示同样的粒子态
从理论上讲若粒子不生不灭在非相对论情形成立则在全空间观察到粒子的
总概率是常数在全空间对2.2 积分得到粒子在全空间被观察到的概率对单个
非相对论粒子在全空间被观察到的概率应该等于一
∫ = ∫ − ( ) = 1 dW C 1ψ r 2 dτ v
2.3
∫ψ r dτ = C 2 ( ) v
2.4
所谓归一化是重新选择如下态函数
( ) ( ) 1 1 r
C
r ψ v = ψ v 2.5
它的绝对值平方具有绝对概率密度的意义
dW r ψ r dτ 2
1 ( ) ( ) v = v 2.6
如前述( ) 1 rψ v 和(r ) ψ v 在物理上是等价的描写同样的状态
经过归一化后的态函数仍有任意性设δ 是实常数则( ) 1 eiδψ rv 和( ) 1 rψ v 一样是
归一化的且对应同一状态称eiδ 为常数相因子
在量子力学中描述状态的基本量是态函数而态函数本身不是物理可观测量因
此允许有不确定性通过态函数计算得到的力学量的统计值才是可以与实验比较的
量在经典物理中描写客体状态的物理量本身就是实际可观测量如位矢动量等
力学量
注意在原理二中提到的是观察到粒子的概率而不说粒子处于某处的
概率这是有一区别的观察强调了测量只谈论测量的结果而处于则可能
有更多的不正确的暗示例如不管是否进行测量粒子可以客观地处于某处
并且如果它在某处便不可能在别处等等量子力学仅是一个关于测量的理论它
不涉及任何与测量无关的或未测量前微观粒子行为的讨论
3
态函数的一些数学性质
1 平方可积
为了使2.23 2.4 有意义态函数的绝对值平方在全空间的积分应该存在
小于无穷大这一性质成为平方可积性
对实际的物理态粒子在全空间被观察到的概率必定是有限的因而相应的态
函数是平方可积的但为了方便在量子力学中还常常用到一些非平方可积的理想
状态例如平面波
(r ) Aexp(ik r ) ψ v = v ⋅ v 2.7
它的绝对值平方等于
2 A 为一常数表示粒子在空间任意位置被观察到的概率都
一样它的绝对值平方在全空间的积分正比于空间的体积当空间体积为无穷大时
积分发散因此计算它的绝对概率密度处处为零是没有意义的显然严格
的平面波实际上是不能存在的它只是一种理想状态但由于下列的原因量子力
学仍然允许这样的态函数1 平面波2.7 代表的理想状态物理图象是清楚的
没有定义的总概率物理上并不感性趣2 存在真实的物理状态它在一定有限
空间范围内往往是物理感性趣的范围可以非常好的由平面波描写3 任意态
函数都可以用平面波展开傅立叶展开即任意态都可以看作是平面波的线性叠
加故平面波给数学处理量子力学问题带来很大的方便
在经典物理也常用类似的理想状态例如匀速直线运动严格意义下是不存在
的什么东西会不受到任何相互作用呢但在经典物理中匀速直线运动没有任何数
学的奇异性故很容易被接受下来了再看另一个例子理想单摆它是一个没有
大小的重物通过一条没有重量的细线上如果计算单摆的质量密度分布则摆锤处
密度为无穷大其它地方为零没有人觉得不舒服因为在理想单摆问题中质量
密度是一个没有的概念
平方可积的要求在很多情况下都可放松为在任意有限大的空间范围内态函
数的绝对值平方的积分有限
若态函数的绝对值平方在全空间的积分发散便不能对态函数归一化这是
绝对概率密度的概念变成一个没用的概念为了方便有时仍希望态函数具有绝对
概率密度幅的意义为了达到这个目的可以假设整个物理空间虽然非常大但是
是有限的这个假设适用的前提是我们关心的物理结果与远处边界条件的关系可
以忽略
为了满足平方可积条件态函数在无穷远处必须足够快地趋向于零如果基于
物理的考虑所讨论的粒子不能跑到无穷远处那么态函数就必须满足平方可积条
件这种状态成为束缚态
对粒子可以跑到无穷远的情况例如在散射实验中的粒子态函数只需满足放
松后的平方可积条件即可
2 单值性
如果没有特殊的理由很难接受一个基本物理量不是空间坐标的单值函数但
态函数不是一个直接可以观测的量所以它非单值也不是完全不可能的但一定要
保证物理观测值统计平均值概率密度概率流密度等单值
4
3 连续性
我们相信物理定律是定域的态函数是某种微分方程波动方程的解因此
如没有特殊的原因我们也要求态函数连续一阶导数连续在某些特殊情况如
势能有无穷大的跃变态函数的导数可以不连续
2.2 叠加原理(Superposition principle)
干涉现象是波的线性叠加的后果我们已经把粒子的这种波称为态函数波函数
把它的线性叠加性数学化便是下面的量子力学基本原理叠加原理
量子力学基本假设之三
1 如果1 ψ 和2 ψ 是粒子的可能状态的态函数则
1 1 2 2 ψ = cψ + c ψ 2.8
也是一个可能的态函数其中1 c 和2 c 为任意常数
2 设在某时刻0 t 态函数ψ 由1 ψ 和2 ψ 按2.9 线性叠加而成则在大于0 t 的时
刻t 这种叠加关系不变也就是说如果到t 时刻三个状态1 ψ 2 ψ 和ψ 分别演化
成1 ψ ′ 2 ψ ′ 和ψ ′ 则他们仍然存在关系
1 1 2 2 ψ ′ = cψ ′ + c ψ ′ 2.9
显然2.8 和2.9 可以推广到任意多个态函数的线性叠加1 中的所谓可
能状态是指在给定边界条件下原则上可以实现的状态满足物理规律的状态叠
加原理等同于假设态函数满足线性的波动方程
线性叠加系数1 c 和2 c 的意义是什么呢
让我们再重温双逢衍射实验
a
b
设打开a 逢并关闭b 逢的态函数为(r ) a
ψ v 打开b 逢并关闭a 逢的态函数为(r ) b
ψ v
5
直观上有( → ) = 0 a b r rψ v v ( → ) = 0 b a r rψ v v
根据叠加原理有一种可能的状态其态函数为
( ) ( ) ( ) 1 2 r c r c r a b
ψ v = ψ v + ψ v
不妨设a ψ b ψ 和ψ 均已归一化因而| | | |2 1
2
2
1 c + c =
根据玻恩对态函数的解释粒子在a 逢处体积微元Δτ 内观察到粒子的概率为
ψ Δτ = ψ + ψ Δτ = 2 ψ 2 Δτ
1
2
1 2
2 ( ) ( ) ( ) | | | ( ) | a a a b a a a r c r c r c rv v v v
其中利用了( → ) = 0 b a r rψ v v 设每条逢的截面为Δs 粒子的平均速度为v 若取
Δτ = Δs ⋅ vdt 则上式右边便等于处于ψ 态的粒子在dt 时间内被观察到通过逢a 的
概率而r s vdt a a Δ ⋅ 2 ( ) ψ v 等于处于a ψ 态的粒子的相应概率对于稳定的过程ψ 和
a ψ 均与时间无关设平均在时间T 内有1 个粒子通过衍射挡板因为处于a ψ 态的粒
子在时间T 内通过a 逢的概率为一所以
( ) 1 2 r Δs ⋅ vT = a a
ψ v
故处于ψ 态的一个粒子被观察到走a 逢的概率等于2
1 | c |
同理处于ψ 态的粒子被观察到走b 逢的概率等于2
2 | c |
因此我们得到一个猜想设ψ 由1 ψ 和2 ψ 均已归一化如果1 ψ 拥有一个可测量
的特征而2 ψ 没有则在叠加态1 1 2 2 ψ = cψ + c ψ 中拥有该特征的概率为2
1 | c |
应用在关于源对称的双逢衍射中同时打开a 逢和b 逢粒子有相同概率通过
逢a 和逢b 故| | | |2 1/ 2
2
2
1 c = c = 其态函数可写为
( )
2
( ) 1
2
(r ) 1 r r a b
ψ v = ψ v + ψ v
希尔伯特空间
叠加原理是量子力学的最重要的基本原理之一它规定了量子力学的基本数学结
构矢量是可以线性叠加的因此常把态函数比作矢量称为态矢量state vector
矢量因其可以线性叠加而构成所谓线性空间故态矢量也构成线性空间可以对两矢
量进行内积点乘运算得到一个标量类似可以定义两个态矢量的内积如下
(ψ ,ϕ ) = ∫ψ * (r )ϕ (r )dτ v v
2.10
6
易证内积有下列基本关系数学上这些关系作为内积的定义
(ψ ,ψ ) ≥ 0 等号仅当ψ = 0时成立 2.11
(ψ ,ϕ ) = (ϕ ,ψ )* 2.12
( , ) ( , ) ( , ) 1 1 2 2 1 1 2 2 ψ c ϕ + c ϕ = c ψ ϕ + c ψ ϕ 2.13
态矢量的内积是一个复常数定义了内积的线性空间成为线性内积空间完备的线性
内空间称为希尔伯特空间所谓完备空间是指空间中的任一收敛矢量序列都收敛于
属于该空间的一个矢量
希尔伯特空间的一个重要性质是该空间存在可数1的基矢量集使任意矢量都可
写成这套基矢量集的线性叠加
基矢的存在使空间极大的简化因此我们希望所有态函数构成希尔伯特空间可
以证明所有平方可积复函数因为有叠加原理和内积的定义而构成希尔伯特空间即
使包含超出平方可积的但满足放松的平方可积的态函数我们也假定态函数空间有
一套可数的完备基矢集
和一般的完备线性内积空间希尔伯特空间相比态函数空间还有一个重要的
特征所有态函数同时乘一任意常数没有任何可观测的变化即每个态矢量的物理
意义不变
[作业]2.1 课本习题2.1 2.5
2.3 薛定谔方程
动力学方程
经典力学牛顿方程
量子力学态函数演化方程薛定谔方程
方程的形式
( , ) 0 r t Ψ v 完全决定(r ,t) Ψ v 因此演化方程是时间的一阶微分方程
叠加原理要求方程关于(r ,t) Ψ v 是线性的
粒子不生不灭概率流守恒方程是齐次方程讨论题
故方程有如下形式
(r ,t) Hˆ (r , ) (r ,t)
t
i v v v
h Ψ = ∇ Ψ
∂
∂
2.14
其中Hˆ (r ,∇) v
是一个待定的定域的线性算符
[算符operator]作用在任意态函数上得到另一态函数
1 若集合和自然数集即1 2 3 等之间存在一一对应关系则称该集合为可数集元素个
数有限的集合也称为可数集
7
[线性算符]若1 c 和2 c 为任意常数1 ψ 和2 ψ 是两个任意态函数则线性算符Qˆ 有性质
1 1 2 2 1 1 2 2
Qˆ (cψ + c ψ ) = c Qˆψ + c Qˆψ 2.15
[算符等式]两个算符Qˆ 和Sˆ 相等的意思是对任意态函数ψ 有
Qˆψ = Sˆψ 2.16
线性算符举例
梯度算符 x x y y z z ∇ = ev ∂ + ev ∂ + ev ∂
拉普拉斯
2
2
2 2 2
2
2
2 2 2 2
sin
sin 1
sin
1 1
θ θ ϕ
θ
θ θ ∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∇ = ∂ + ∂ + ∂
r r r
r
r r
x y z
位矢
r
1
r 2 xm ym z m
以上算符的定义在数学上是不完整的算符的定义域即它所作用的函数空间也是非
常重要的
[本征方程] λ λ λψ ψ = Qˆ λ 为常数 2.17
称λ 为Qˆ 的本征值(eigenvalue) 称λ ψ 为Qˆ 的本征态(eigenstate, eigenfunction) 算符
的本征值和本征态反映了该算符的特征是非常重要的量事实上一个算符的所有本征
值和相应的本征态完全确定了算符的性质
[算符函数]算符Qˆ 的函数f (Qˆ )定义如下先把普通函数f (x)展开为泰勒级数
= + + 2 +L
0 1 2 f (x) f f x f x
则
= + + 2 +L
0 1 2
f (Qˆ ) f f Qˆ f Qˆ 2.18
两个或以上算符的函数如果它的泰勒级数含有两个算符相乘的项则函数有不确定性
因为一般来说算符相乘的顺序不同是有不同的结果的这时需要额外的说明物理应用中
很少遇到不能作泰勒级数展开的算符函数
建立态函数演化方程的工作只剩下确定线性算符Hˆ 如何找出算符Hˆ 呢出于一般
的考虑它只含一些定域的算符如rv
和∇ 等而且它不会依赖于粒子具体运动状态的特
征如粒子的动量能量和粒子所在的位置等的期望值方程中的rv
是一变量位置的期
8
望值不是rv
为了看出Hˆ 的意义让我们看一个最简单的例子自由粒子即势场等
于零
对自由粒子演化方程应该具有空间平移不变性和空间各向同性因此Hˆ 与rv
无关
且仅依赖于∇2 根据算符函数的定义
2 3L
3
2 2
2
2
0 1
Hˆ (∇2 ) = h + h ∇ + h (∇ ) + h (∇ ) 2.19
其中h ,i = 0,1,2,L i 是只与粒子固有性质质量有关的常数根据德布罗意的假说
具有确定动量p v
和能量E 的粒子对应的波动具有波矢h
v v
k = p / 圆频率ω = E / h 其态
函数波函数为
Ψ (r ,t) = Aexp i ( p ⋅ r − Et) p
v v
h
v
2.20
由2.19 定义的演化方程2.14 必须对所有自由粒子的态函数成立因此把2.20 代
入2.14 等式成立即
( , ) ( , )
2
2
2
2 2
2
0 1 E r t h h p h p r t p p
v
L
h h
v Ψ
+
− +
Ψ = + − 2.21
非相对论自由粒子的能量-动量关系为
M
E p
2
2
= 2.22
代入2.21 左边并比较方程两边得
M
h
2
2
1
h = − 其它h 系数均等于零因此
2
2
2
ˆ = − ∇
M
H h
2.23
我们得到了自由粒子的态函数演化方程
( , )
2
( , ) 2
2
r t
M
i r t t
v h v
h∂ Ψ = − ∇ Ψ 2.24
上式不仅对2.20 形式的平面波成立而且对一般的自由粒子态成立称为自由粒子的
薛定鄂方程
从这个例子中看到Hˆ 对态函数Ψ 的作用等于能量乘以态函数我们希望这个结论
至少对能量有确定值的状态是普遍成立的
若粒子有确定的能量E 能量守恒则系统应该具有时间平移不变性势函数
9
V (r ) v
与时间无关粒子的状态亦应该具有时间平移不变性这样的态函数可写成2
(r , t ) (r ) exp( i t ) E E Ψ v = ψ v − ω
2.25
根据德布罗意的思想ω = E / h 把2.27 代入2.14 得
Hˆ (r ) E (r ) E E
ψ v = ψ v 2.26
上式并不意味Hˆ = E 或( )
2
ˆ
2
V r
M
H p = + v 因为Hˆ 不能直接含有与粒子运动状态
特征有关的量能量和动量期望值关于自由粒子的讨论启发我们把动能部分换成
2.23 定义的算符即
( , )
2
ˆ 2
2
V r t
M
H h v = − ∇ + 2.27
其中已经把不含时间的势能推广到可能含时间的势能
量子力学基本假定之四单粒子的态函数满足演化方程
( , ) ( , )
2
( , ) 2
2
V r t r t
M
i r t t
v h v v
h Ψ
∂ Ψ = − ∇ + 2.28
这就是薛定鄂Schroedinger, 1926 提出的薛定鄂方程亦称演化方程波动方程2.27
定义的算符称为哈密顿算符
注意2.28 不单为具有确定能量的态函数所满足而且为所有态函数所满足
哈密顿算符的物理意义1 无穷小时间平移的生成元给出态函数随时间的演化
2 若势场V (r ) v
不随时间变化哈密顿算符Hˆ (r ,∇) v
的本征值为粒子能量相应的本征
态称为定态
具有确定能量E 的态函数定态E Ψ 满足2.26 式即哈密顿算符的本征方程
亦称定态方程
不同的量子系统哈密顿量算符会不一样寻找正确的哈密顿算符是一个建模过程
薛定谔找到外势场下单粒子的哈密顿算符如2.27 其正确性需要实验检验而时至今日
确实已得到大量实验的证实
注意到下面的事实对寻找别的量子系统的哈密顿算符是有启发性的薛定谔的哈密顿
算符2.27 可以通过在经典哈密顿量中把动量p v
换成算符
→ − h∇
v p i 2.29
而得到
对有经典对应的系统经典哈密顿量一般比较容易得到对其中的动量作上式的替换
2 时间作平移0 t →t + t 2.25 的态函数仅增加一个常数相因子exp( / ) −iEt0 h
10
常常可以得到合理的哈密顿算符但要记住这种所谓量子化 原则上只是一种猜想
对一些系统上述替换不唯一正确的哈密顿算符最终必须由实验来挑选况且有一些
系统如自旋系统根本没有经典对应
2.4 连续性方程
本节讨论在一定空间区域内观察到粒子的概率怎样随时间变化
设(r ,t) Ψ v 已经归一化按照玻恩解释rv
处观察到粒子的概率密度为
(r ,t) * (r ,t) (r ,t) ρ v = Ψ v Ψ v 2.30
由薛定谔方程2.28
∂ Ψ = ∇ Ψ + ( , )Ψ 1
2
2 V r t
M i
i
t
v
h
h
2.31
注意到V 为是函数取上式的复共轭
* 2 * ( , ) * 1
2
∂ Ψ = − ∇ Ψ − V r t Ψ
M i
i
t
v
h
h
2.32
利用2.31 和2.32 概率密度的时间导数
( ) ( )
[ ]
= −∇ Ψ ∇Ψ
Ψ
= −∇ Ψ − ∇
∂ = Ψ ∂ Ψ + ∂ Ψ Ψ = ∇ Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ
* *
* * * *
Re Im
2
M M
i
M
i
t t t
h h
h ρ
2.33
令
[ ] Ψ ∇ Ψ =
Ψ
( , ) = Re Ψ* − ∇ Im *
M M
j r t i v v h h
2.34
则2.33 写成
∂ + ∇⋅ j = 0 t
v
ρ 2.35
这是概率连续性方程它是薛定谔方程线性齐次性的直接结果
矢量j
v
称为概率流密度单位时间内流过单位横截面积的概率
在空间任一区域V 内对2.25 积分
dS
v
∫∂ = −∫∇⋅ = −∫ ⋅
V V S
t d jd j dsv v v
ρ τ τ 2.36
上式说明单位时间内V 增加的概率等于
V 单位时间内概率流密度矢量j
v
流入V 的概率
2.35 和2.36 反映了粒子不生不灭的假设
11
和态函数不同2.30 定义的概率密度和2.34 定义的概率流密度是可以直接同实
验结果比较的
[作业]课本2.2 2.3 2.8 2.9
2.5 薛定谔方程的定态解
考虑势V 不含时间的情形此时系统具有时间平移不变性能量守恒故存在具有确
定能量的状态此状态的态函数由2.25 给出称为定态它满足哈密顿算符的本征方
程2.26 即定态薛定鄂方程下面从薛定鄂方程基本假设四出发证明定态的存在
薛定鄂方程
( ) ( , )
2
( , ) 2
2
V r r t
M
i r t t
v h v v
h Ψ
∂ Ψ = − ∇ + 2.37
因为V 不含时间存在分离变量的解
(r ,t) (r ) f (t) Ψ v =ψ v 2.38
代入2.37 再除以(r ,t) Ψ v 可得
V r r E
dt r M
df t
f t
i =
= − ∇ + ( ) ( )
( ) 2
( ) 1
( )
2
2 h v v
v
h ψ
ψ
2.39
显然E 是一个与rv
和t 无关的常数于是得到两条方程
f (t) Ef (t)
dt
i d = h 2.40
( ) ( ) ( )
2
2
2
V r r E r
M
h v v v ψ ψ =
− ∇ + 2.41
2.40 的解为
f (t) = Aexp(−iEt / h) 2.42
2.41 即定态薛定鄂方程2.26
小结
[定态] 定态是不显含时间的哈密顿量的本征态它具有形式
( , ) ( ) exp( / h)
v v Ψ r t =ψ r −iEt (2.43)
其中(r ) ψ v 满足哈密顿量的本征方程
Hˆ (r ) E (r ) ψ v = ψ v (2.44)
[定态薛定鄂方程] (2.44)亦称为定态薛定鄂方程或简称为定态方程
12
下面对定态和定态方程作一些讨论和说明
1 定态解2.43 具有时间平移不变性其能量有确定值根据德布罗意的思想2.43
中的常数E 就是粒子具有的能量因此定态也可定义为能量有确定值的状态
2 定态方程和边界条件构成定解问题一般来说只对一些特定的能量E 有解通常给
这些特定的能量一个下标以区分于任意的参数若允许的能量只能取分立值便记为
n E n 为整数即使允许的能量可以连续变化有时为了反映它有一定的取值范围或
与某连续参数的依赖关系也用一指标参数标志能量记为E(λ )或λ E 相应的定态
态函数记为(r ) n
ψ v 或(r ) v
λ ψ n E 称为能级E(λ )称为能带能级和能带的集合称
为能谱如果同一个允许的能量对应不止一个线性独立的定态态函数则称该能量为简
并能量对应同样能量的定态称为简并态
3 定态解并不包括物理上允许的所有可能状态两个不同定态的线性叠加就是例外物理
上可以实现的态函数具有下面一般的形式
Ψ( , ) =Σ ( ) exp(− / ) + ∫ ( ) exp(− / h)
v
h
v v r t c r iE t d c r iE t n n
n
n λ λ λ ψ λ ψ 2.45
其中求和积分对所有线性独立的定态进行包括所有线性独立的简并态此式隐
含着本征态构成态空间希尔伯特空间的一套基底
4 无论粒子处于定态还是非定态每次测量粒子能量可能得到的值只能是能级或能带的能
量值即每次只能观察到哈密顿算符的本征值
5 由于粒子数守恒允许的能量参数是实数
因为∫ρ dτ = 0
dt
d
n 而( , ) ( , ) ( ) ( ) exp( ( ) / ) * * * h
v v v v
n n n n n n n ρ = Ψ r t Ψ r t =ψ r ψ r i E − E
所以(E* − E )∫ψ * (r )ψ (r )dτ = 0 i
n n n n
v v
h
* − = 0 n n E E 即n E 为实数
6 易见处于定态的粒子其概率密度ρ 和概率流密度j
v
不随时间变化由连续性方程可
得推论0 = ⋅ ∇ j
v
即概率流无源无汇
7 不同能级m E 和n E 的定态态函数m ψ 和n ψ 正交
( , ) = 0 m n ψ ψ 当m n E ≠ E 2.46
我们以后还会对3 和4 的合理性进行讨论
[作业] 证明2.46
1
第二章 态函数及其演化方程
我们看到微观粒子即不是经典意义的粒子也不是经典意义的波而是同时具有波
和粒子两面性的客体量子的粒子性只取经典粒子概念中的原子性或颗粒性即能
够在空间很小的范围和很短的时间内被整个观察到而不包含经典粒子具有轨道的运动特
征量子的波动性只取经典波动性的最本质的特征波的线性叠加性而不要求构成粒
子的物质弥散在空间虽然波动性是单个粒子所拥有的特征但是波动性的规律却需要通
过大量重复实验对处于同样状态的大量粒子进行观测才能反映出来上一章已经分析
了把这种波粒子理解为概率波的合理性
本章给出关于概率波的准确描述
2.1 作为概率幅的态函数
基本假定之一单粒子的空间运动状态由一个复函数(r ) ψ v 描述
以后如不特别声明所研究的系统是单个微观粒子
(r ) ψ v 称为概率幅(probability amplitude) 或波函数(wave function) 或态函数(state
function) 双逢衍射实验告诉我们微观粒子没有轨道的概念不存在位矢和动量都有确
定值的状态因此态函数只是位矢的函数坐标表象实际上也可以用动量的函数作
为态函数这是量子力学的另一种表示方式动量表象
所谓态函数描述粒子的空间运动状态有两层意思
1 由(r ) ψ v 可以知道测量粒子位置动量能量角动量等与其空间运动有关的物理
量的统计性质
2 由某时刻0 t 粒子的态函数( , ) ( ) 0 r t rΨ v =ψ v 完全决定以后时间粒子的态函
数(r ,t) Ψ v
态函数的物理意义由玻恩Born 1926 解释给出
基本假定之二r d 3r 2 ( ) ψ v 正比于在rv
处体积微元d 3r中观察到粒子的概率
体积微元
d 3r = dxdydz = r 2 sinθdrdθdϕ ≡ dτ 2.1
在rv
处dτ 体积微元中观察到粒子的概率为
dW r const ψ r dτ 2 ( ) ( ) v = ⋅ v 2.2
因此(r )2 ψ v 具有相对概率密度的意义人们通常只关心与相对概率有关的测量
2
例如在衍射实验中在某点接收到粒子的计数率与实验使用粒子的总数有关通常是
无法准确知道的而两点计数率之比等于这两点计数之比独立于实验使用粒子的总
数测量起来容易得多在空间任意两点1 rv
和2 rv
2
2
2
1
2
2
2
1
( )
( )
(
( )
r
r
c r
c r
v
v
v
v
ψ
ψ
ψ
ψ
=
可见(r ) ψ v 和c (r ) ψ v 描述的状态具有相同的相对概率即态函数乘以一个复任意常
数并不改变粒子在空间各处被观察到的概率分布如果一个粒子在空间各处被观察到
的概率分布即相对概率那么可以称这个粒子处于一个确定的状态所以态函数
有一重要的特点
(r ) ψ v 和c (r ) ψ v 表示同样的粒子态
从理论上讲若粒子不生不灭在非相对论情形成立则在全空间观察到粒子的
总概率是常数在全空间对2.2 积分得到粒子在全空间被观察到的概率对单个
非相对论粒子在全空间被观察到的概率应该等于一
∫ = ∫ − ( ) = 1 dW C 1ψ r 2 dτ v
2.3
∫ψ r dτ = C 2 ( ) v
2.4
所谓归一化是重新选择如下态函数
( ) ( ) 1 1 r
C
r ψ v = ψ v 2.5
它的绝对值平方具有绝对概率密度的意义
dW r ψ r dτ 2
1 ( ) ( ) v = v 2.6
如前述( ) 1 rψ v 和(r ) ψ v 在物理上是等价的描写同样的状态
经过归一化后的态函数仍有任意性设δ 是实常数则( ) 1 eiδψ rv 和( ) 1 rψ v 一样是
归一化的且对应同一状态称eiδ 为常数相因子
在量子力学中描述状态的基本量是态函数而态函数本身不是物理可观测量因
此允许有不确定性通过态函数计算得到的力学量的统计值才是可以与实验比较的
量在经典物理中描写客体状态的物理量本身就是实际可观测量如位矢动量等
力学量
注意在原理二中提到的是观察到粒子的概率而不说粒子处于某处的
概率这是有一区别的观察强调了测量只谈论测量的结果而处于则可能
有更多的不正确的暗示例如不管是否进行测量粒子可以客观地处于某处
并且如果它在某处便不可能在别处等等量子力学仅是一个关于测量的理论它
不涉及任何与测量无关的或未测量前微观粒子行为的讨论
3
态函数的一些数学性质
1 平方可积
为了使2.23 2.4 有意义态函数的绝对值平方在全空间的积分应该存在
小于无穷大这一性质成为平方可积性
对实际的物理态粒子在全空间被观察到的概率必定是有限的因而相应的态
函数是平方可积的但为了方便在量子力学中还常常用到一些非平方可积的理想
状态例如平面波
(r ) Aexp(ik r ) ψ v = v ⋅ v 2.7
它的绝对值平方等于
2 A 为一常数表示粒子在空间任意位置被观察到的概率都
一样它的绝对值平方在全空间的积分正比于空间的体积当空间体积为无穷大时
积分发散因此计算它的绝对概率密度处处为零是没有意义的显然严格
的平面波实际上是不能存在的它只是一种理想状态但由于下列的原因量子力
学仍然允许这样的态函数1 平面波2.7 代表的理想状态物理图象是清楚的
没有定义的总概率物理上并不感性趣2 存在真实的物理状态它在一定有限
空间范围内往往是物理感性趣的范围可以非常好的由平面波描写3 任意态
函数都可以用平面波展开傅立叶展开即任意态都可以看作是平面波的线性叠
加故平面波给数学处理量子力学问题带来很大的方便
在经典物理也常用类似的理想状态例如匀速直线运动严格意义下是不存在
的什么东西会不受到任何相互作用呢但在经典物理中匀速直线运动没有任何数
学的奇异性故很容易被接受下来了再看另一个例子理想单摆它是一个没有
大小的重物通过一条没有重量的细线上如果计算单摆的质量密度分布则摆锤处
密度为无穷大其它地方为零没有人觉得不舒服因为在理想单摆问题中质量
密度是一个没有的概念
平方可积的要求在很多情况下都可放松为在任意有限大的空间范围内态函
数的绝对值平方的积分有限
若态函数的绝对值平方在全空间的积分发散便不能对态函数归一化这是
绝对概率密度的概念变成一个没用的概念为了方便有时仍希望态函数具有绝对
概率密度幅的意义为了达到这个目的可以假设整个物理空间虽然非常大但是
是有限的这个假设适用的前提是我们关心的物理结果与远处边界条件的关系可
以忽略
为了满足平方可积条件态函数在无穷远处必须足够快地趋向于零如果基于
物理的考虑所讨论的粒子不能跑到无穷远处那么态函数就必须满足平方可积条
件这种状态成为束缚态
对粒子可以跑到无穷远的情况例如在散射实验中的粒子态函数只需满足放
松后的平方可积条件即可
2 单值性
如果没有特殊的理由很难接受一个基本物理量不是空间坐标的单值函数但
态函数不是一个直接可以观测的量所以它非单值也不是完全不可能的但一定要
保证物理观测值统计平均值概率密度概率流密度等单值
4
3 连续性
我们相信物理定律是定域的态函数是某种微分方程波动方程的解因此
如没有特殊的原因我们也要求态函数连续一阶导数连续在某些特殊情况如
势能有无穷大的跃变态函数的导数可以不连续
2.2 叠加原理(Superposition principle)
干涉现象是波的线性叠加的后果我们已经把粒子的这种波称为态函数波函数
把它的线性叠加性数学化便是下面的量子力学基本原理叠加原理
量子力学基本假设之三
1 如果1 ψ 和2 ψ 是粒子的可能状态的态函数则
1 1 2 2 ψ = cψ + c ψ 2.8
也是一个可能的态函数其中1 c 和2 c 为任意常数
2 设在某时刻0 t 态函数ψ 由1 ψ 和2 ψ 按2.9 线性叠加而成则在大于0 t 的时
刻t 这种叠加关系不变也就是说如果到t 时刻三个状态1 ψ 2 ψ 和ψ 分别演化
成1 ψ ′ 2 ψ ′ 和ψ ′ 则他们仍然存在关系
1 1 2 2 ψ ′ = cψ ′ + c ψ ′ 2.9
显然2.8 和2.9 可以推广到任意多个态函数的线性叠加1 中的所谓可
能状态是指在给定边界条件下原则上可以实现的状态满足物理规律的状态叠
加原理等同于假设态函数满足线性的波动方程
线性叠加系数1 c 和2 c 的意义是什么呢
让我们再重温双逢衍射实验
a
b
设打开a 逢并关闭b 逢的态函数为(r ) a
ψ v 打开b 逢并关闭a 逢的态函数为(r ) b
ψ v
5
直观上有( → ) = 0 a b r rψ v v ( → ) = 0 b a r rψ v v
根据叠加原理有一种可能的状态其态函数为
( ) ( ) ( ) 1 2 r c r c r a b
ψ v = ψ v + ψ v
不妨设a ψ b ψ 和ψ 均已归一化因而| | | |2 1
2
2
1 c + c =
根据玻恩对态函数的解释粒子在a 逢处体积微元Δτ 内观察到粒子的概率为
ψ Δτ = ψ + ψ Δτ = 2 ψ 2 Δτ
1
2
1 2
2 ( ) ( ) ( ) | | | ( ) | a a a b a a a r c r c r c rv v v v
其中利用了( → ) = 0 b a r rψ v v 设每条逢的截面为Δs 粒子的平均速度为v 若取
Δτ = Δs ⋅ vdt 则上式右边便等于处于ψ 态的粒子在dt 时间内被观察到通过逢a 的
概率而r s vdt a a Δ ⋅ 2 ( ) ψ v 等于处于a ψ 态的粒子的相应概率对于稳定的过程ψ 和
a ψ 均与时间无关设平均在时间T 内有1 个粒子通过衍射挡板因为处于a ψ 态的粒
子在时间T 内通过a 逢的概率为一所以
( ) 1 2 r Δs ⋅ vT = a a
ψ v
故处于ψ 态的一个粒子被观察到走a 逢的概率等于2
1 | c |
同理处于ψ 态的粒子被观察到走b 逢的概率等于2
2 | c |
因此我们得到一个猜想设ψ 由1 ψ 和2 ψ 均已归一化如果1 ψ 拥有一个可测量
的特征而2 ψ 没有则在叠加态1 1 2 2 ψ = cψ + c ψ 中拥有该特征的概率为2
1 | c |
应用在关于源对称的双逢衍射中同时打开a 逢和b 逢粒子有相同概率通过
逢a 和逢b 故| | | |2 1/ 2
2
2
1 c = c = 其态函数可写为
( )
2
( ) 1
2
(r ) 1 r r a b
ψ v = ψ v + ψ v
希尔伯特空间
叠加原理是量子力学的最重要的基本原理之一它规定了量子力学的基本数学结
构矢量是可以线性叠加的因此常把态函数比作矢量称为态矢量state vector
矢量因其可以线性叠加而构成所谓线性空间故态矢量也构成线性空间可以对两矢
量进行内积点乘运算得到一个标量类似可以定义两个态矢量的内积如下
(ψ ,ϕ ) = ∫ψ * (r )ϕ (r )dτ v v
2.10
6
易证内积有下列基本关系数学上这些关系作为内积的定义
(ψ ,ψ ) ≥ 0 等号仅当ψ = 0时成立 2.11
(ψ ,ϕ ) = (ϕ ,ψ )* 2.12
( , ) ( , ) ( , ) 1 1 2 2 1 1 2 2 ψ c ϕ + c ϕ = c ψ ϕ + c ψ ϕ 2.13
态矢量的内积是一个复常数定义了内积的线性空间成为线性内积空间完备的线性
内空间称为希尔伯特空间所谓完备空间是指空间中的任一收敛矢量序列都收敛于
属于该空间的一个矢量
希尔伯特空间的一个重要性质是该空间存在可数1的基矢量集使任意矢量都可
写成这套基矢量集的线性叠加
基矢的存在使空间极大的简化因此我们希望所有态函数构成希尔伯特空间可
以证明所有平方可积复函数因为有叠加原理和内积的定义而构成希尔伯特空间即
使包含超出平方可积的但满足放松的平方可积的态函数我们也假定态函数空间有
一套可数的完备基矢集
和一般的完备线性内积空间希尔伯特空间相比态函数空间还有一个重要的
特征所有态函数同时乘一任意常数没有任何可观测的变化即每个态矢量的物理
意义不变
[作业]2.1 课本习题2.1 2.5
2.3 薛定谔方程
动力学方程
经典力学牛顿方程
量子力学态函数演化方程薛定谔方程
方程的形式
( , ) 0 r t Ψ v 完全决定(r ,t) Ψ v 因此演化方程是时间的一阶微分方程
叠加原理要求方程关于(r ,t) Ψ v 是线性的
粒子不生不灭概率流守恒方程是齐次方程讨论题
故方程有如下形式
(r ,t) Hˆ (r , ) (r ,t)
t
i v v v
h Ψ = ∇ Ψ
∂
∂
2.14
其中Hˆ (r ,∇) v
是一个待定的定域的线性算符
[算符operator]作用在任意态函数上得到另一态函数
1 若集合和自然数集即1 2 3 等之间存在一一对应关系则称该集合为可数集元素个
数有限的集合也称为可数集
7
[线性算符]若1 c 和2 c 为任意常数1 ψ 和2 ψ 是两个任意态函数则线性算符Qˆ 有性质
1 1 2 2 1 1 2 2
Qˆ (cψ + c ψ ) = c Qˆψ + c Qˆψ 2.15
[算符等式]两个算符Qˆ 和Sˆ 相等的意思是对任意态函数ψ 有
Qˆψ = Sˆψ 2.16
线性算符举例
梯度算符 x x y y z z ∇ = ev ∂ + ev ∂ + ev ∂
拉普拉斯
2
2
2 2 2
2
2
2 2 2 2
sin
sin 1
sin
1 1
θ θ ϕ
θ
θ θ ∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∇ = ∂ + ∂ + ∂
r r r
r
r r
x y z
位矢
r
1
r 2 xm ym z m
以上算符的定义在数学上是不完整的算符的定义域即它所作用的函数空间也是非
常重要的
[本征方程] λ λ λψ ψ = Qˆ λ 为常数 2.17
称λ 为Qˆ 的本征值(eigenvalue) 称λ ψ 为Qˆ 的本征态(eigenstate, eigenfunction) 算符
的本征值和本征态反映了该算符的特征是非常重要的量事实上一个算符的所有本征
值和相应的本征态完全确定了算符的性质
[算符函数]算符Qˆ 的函数f (Qˆ )定义如下先把普通函数f (x)展开为泰勒级数
= + + 2 +L
0 1 2 f (x) f f x f x
则
= + + 2 +L
0 1 2
f (Qˆ ) f f Qˆ f Qˆ 2.18
两个或以上算符的函数如果它的泰勒级数含有两个算符相乘的项则函数有不确定性
因为一般来说算符相乘的顺序不同是有不同的结果的这时需要额外的说明物理应用中
很少遇到不能作泰勒级数展开的算符函数
建立态函数演化方程的工作只剩下确定线性算符Hˆ 如何找出算符Hˆ 呢出于一般
的考虑它只含一些定域的算符如rv
和∇ 等而且它不会依赖于粒子具体运动状态的特
征如粒子的动量能量和粒子所在的位置等的期望值方程中的rv
是一变量位置的期
8
望值不是rv
为了看出Hˆ 的意义让我们看一个最简单的例子自由粒子即势场等
于零
对自由粒子演化方程应该具有空间平移不变性和空间各向同性因此Hˆ 与rv
无关
且仅依赖于∇2 根据算符函数的定义
2 3L
3
2 2
2
2
0 1
Hˆ (∇2 ) = h + h ∇ + h (∇ ) + h (∇ ) 2.19
其中h ,i = 0,1,2,L i 是只与粒子固有性质质量有关的常数根据德布罗意的假说
具有确定动量p v
和能量E 的粒子对应的波动具有波矢h
v v
k = p / 圆频率ω = E / h 其态
函数波函数为
Ψ (r ,t) = Aexp i ( p ⋅ r − Et) p
v v
h
v
2.20
由2.19 定义的演化方程2.14 必须对所有自由粒子的态函数成立因此把2.20 代
入2.14 等式成立即
( , ) ( , )
2
2
2
2 2
2
0 1 E r t h h p h p r t p p
v
L
h h
v Ψ
+
− +
Ψ = + − 2.21
非相对论自由粒子的能量-动量关系为
M
E p
2
2
= 2.22
代入2.21 左边并比较方程两边得
M
h
2
2
1
h = − 其它h 系数均等于零因此
2
2
2
ˆ = − ∇
M
H h
2.23
我们得到了自由粒子的态函数演化方程
( , )
2
( , ) 2
2
r t
M
i r t t
v h v
h∂ Ψ = − ∇ Ψ 2.24
上式不仅对2.20 形式的平面波成立而且对一般的自由粒子态成立称为自由粒子的
薛定鄂方程
从这个例子中看到Hˆ 对态函数Ψ 的作用等于能量乘以态函数我们希望这个结论
至少对能量有确定值的状态是普遍成立的
若粒子有确定的能量E 能量守恒则系统应该具有时间平移不变性势函数
9
V (r ) v
与时间无关粒子的状态亦应该具有时间平移不变性这样的态函数可写成2
(r , t ) (r ) exp( i t ) E E Ψ v = ψ v − ω
2.25
根据德布罗意的思想ω = E / h 把2.27 代入2.14 得
Hˆ (r ) E (r ) E E
ψ v = ψ v 2.26
上式并不意味Hˆ = E 或( )
2
ˆ
2
V r
M
H p = + v 因为Hˆ 不能直接含有与粒子运动状态
特征有关的量能量和动量期望值关于自由粒子的讨论启发我们把动能部分换成
2.23 定义的算符即
( , )
2
ˆ 2
2
V r t
M
H h v = − ∇ + 2.27
其中已经把不含时间的势能推广到可能含时间的势能
量子力学基本假定之四单粒子的态函数满足演化方程
( , ) ( , )
2
( , ) 2
2
V r t r t
M
i r t t
v h v v
h Ψ
∂ Ψ = − ∇ + 2.28
这就是薛定鄂Schroedinger, 1926 提出的薛定鄂方程亦称演化方程波动方程2.27
定义的算符称为哈密顿算符
注意2.28 不单为具有确定能量的态函数所满足而且为所有态函数所满足
哈密顿算符的物理意义1 无穷小时间平移的生成元给出态函数随时间的演化
2 若势场V (r ) v
不随时间变化哈密顿算符Hˆ (r ,∇) v
的本征值为粒子能量相应的本征
态称为定态
具有确定能量E 的态函数定态E Ψ 满足2.26 式即哈密顿算符的本征方程
亦称定态方程
不同的量子系统哈密顿量算符会不一样寻找正确的哈密顿算符是一个建模过程
薛定谔找到外势场下单粒子的哈密顿算符如2.27 其正确性需要实验检验而时至今日
确实已得到大量实验的证实
注意到下面的事实对寻找别的量子系统的哈密顿算符是有启发性的薛定谔的哈密顿
算符2.27 可以通过在经典哈密顿量中把动量p v
换成算符
→ − h∇
v p i 2.29
而得到
对有经典对应的系统经典哈密顿量一般比较容易得到对其中的动量作上式的替换
2 时间作平移0 t →t + t 2.25 的态函数仅增加一个常数相因子exp( / ) −iEt0 h
10
常常可以得到合理的哈密顿算符但要记住这种所谓量子化 原则上只是一种猜想
对一些系统上述替换不唯一正确的哈密顿算符最终必须由实验来挑选况且有一些
系统如自旋系统根本没有经典对应
2.4 连续性方程
本节讨论在一定空间区域内观察到粒子的概率怎样随时间变化
设(r ,t) Ψ v 已经归一化按照玻恩解释rv
处观察到粒子的概率密度为
(r ,t) * (r ,t) (r ,t) ρ v = Ψ v Ψ v 2.30
由薛定谔方程2.28
∂ Ψ = ∇ Ψ + ( , )Ψ 1
2
2 V r t
M i
i
t
v
h
h
2.31
注意到V 为是函数取上式的复共轭
* 2 * ( , ) * 1
2
∂ Ψ = − ∇ Ψ − V r t Ψ
M i
i
t
v
h
h
2.32
利用2.31 和2.32 概率密度的时间导数
( ) ( )
[ ]
= −∇ Ψ ∇Ψ
Ψ
= −∇ Ψ − ∇
∂ = Ψ ∂ Ψ + ∂ Ψ Ψ = ∇ Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ
* *
* * * *
Re Im
2
M M
i
M
i
t t t
h h
h ρ
2.33
令
[ ] Ψ ∇ Ψ =
Ψ
( , ) = Re Ψ* − ∇ Im *
M M
j r t i v v h h
2.34
则2.33 写成
∂ + ∇⋅ j = 0 t
v
ρ 2.35
这是概率连续性方程它是薛定谔方程线性齐次性的直接结果
矢量j
v
称为概率流密度单位时间内流过单位横截面积的概率
在空间任一区域V 内对2.25 积分
dS
v
∫∂ = −∫∇⋅ = −∫ ⋅
V V S
t d jd j dsv v v
ρ τ τ 2.36
上式说明单位时间内V 增加的概率等于
V 单位时间内概率流密度矢量j
v
流入V 的概率
2.35 和2.36 反映了粒子不生不灭的假设
11
和态函数不同2.30 定义的概率密度和2.34 定义的概率流密度是可以直接同实
验结果比较的
[作业]课本2.2 2.3 2.8 2.9
2.5 薛定谔方程的定态解
考虑势V 不含时间的情形此时系统具有时间平移不变性能量守恒故存在具有确
定能量的状态此状态的态函数由2.25 给出称为定态它满足哈密顿算符的本征方
程2.26 即定态薛定鄂方程下面从薛定鄂方程基本假设四出发证明定态的存在
薛定鄂方程
( ) ( , )
2
( , ) 2
2
V r r t
M
i r t t
v h v v
h Ψ
∂ Ψ = − ∇ + 2.37
因为V 不含时间存在分离变量的解
(r ,t) (r ) f (t) Ψ v =ψ v 2.38
代入2.37 再除以(r ,t) Ψ v 可得
V r r E
dt r M
df t
f t
i =
= − ∇ + ( ) ( )
( ) 2
( ) 1
( )
2
2 h v v
v
h ψ
ψ
2.39
显然E 是一个与rv
和t 无关的常数于是得到两条方程
f (t) Ef (t)
dt
i d = h 2.40
( ) ( ) ( )
2
2
2
V r r E r
M
h v v v ψ ψ =
− ∇ + 2.41
2.40 的解为
f (t) = Aexp(−iEt / h) 2.42
2.41 即定态薛定鄂方程2.26
小结
[定态] 定态是不显含时间的哈密顿量的本征态它具有形式
( , ) ( ) exp( / h)
v v Ψ r t =ψ r −iEt (2.43)
其中(r ) ψ v 满足哈密顿量的本征方程
Hˆ (r ) E (r ) ψ v = ψ v (2.44)
[定态薛定鄂方程] (2.44)亦称为定态薛定鄂方程或简称为定态方程
12
下面对定态和定态方程作一些讨论和说明
1 定态解2.43 具有时间平移不变性其能量有确定值根据德布罗意的思想2.43
中的常数E 就是粒子具有的能量因此定态也可定义为能量有确定值的状态
2 定态方程和边界条件构成定解问题一般来说只对一些特定的能量E 有解通常给
这些特定的能量一个下标以区分于任意的参数若允许的能量只能取分立值便记为
n E n 为整数即使允许的能量可以连续变化有时为了反映它有一定的取值范围或
与某连续参数的依赖关系也用一指标参数标志能量记为E(λ )或λ E 相应的定态
态函数记为(r ) n
ψ v 或(r ) v
λ ψ n E 称为能级E(λ )称为能带能级和能带的集合称
为能谱如果同一个允许的能量对应不止一个线性独立的定态态函数则称该能量为简
并能量对应同样能量的定态称为简并态
3 定态解并不包括物理上允许的所有可能状态两个不同定态的线性叠加就是例外物理
上可以实现的态函数具有下面一般的形式
Ψ( , ) =Σ ( ) exp(− / ) + ∫ ( ) exp(− / h)
v
h
v v r t c r iE t d c r iE t n n
n
n λ λ λ ψ λ ψ 2.45
其中求和积分对所有线性独立的定态进行包括所有线性独立的简并态此式隐
含着本征态构成态空间希尔伯特空间的一套基底
4 无论粒子处于定态还是非定态每次测量粒子能量可能得到的值只能是能级或能带的能
量值即每次只能观察到哈密顿算符的本征值
5 由于粒子数守恒允许的能量参数是实数
因为∫ρ dτ = 0
dt
d
n 而( , ) ( , ) ( ) ( ) exp( ( ) / ) * * * h
v v v v
n n n n n n n ρ = Ψ r t Ψ r t =ψ r ψ r i E − E
所以(E* − E )∫ψ * (r )ψ (r )dτ = 0 i
n n n n
v v
h
* − = 0 n n E E 即n E 为实数
6 易见处于定态的粒子其概率密度ρ 和概率流密度j
v
不随时间变化由连续性方程可
得推论0 = ⋅ ∇ j
v
即概率流无源无汇
7 不同能级m E 和n E 的定态态函数m ψ 和n ψ 正交
( , ) = 0 m n ψ ψ 当m n E ≠ E 2.46
我们以后还会对3 和4 的合理性进行讨论
[作业] 证明2.46
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