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泰勒级数和傅里叶级数
iwesun 发表于 2009-11-16 23:33:45
还是写几笔把，不写这个问题就忘了。
但一定要老黄来合作，也就是老黄来当第一作者，俺排最后，他是我的活数学手册，俺说到哪，他就得给俺插入公式和插图。
1泰勒级数
学微积分，有没有和我一样的，对泰勒级数的伟大震惊了？
如果没有，那你的微积分真是白学了。
泰勒级数为什么伟大？得从认知说起。
小时候，感觉计算器里面有鬼魂，不但能算加减乘除，连正弦余弦三角函数都能算，当时不知道怎么算这些东西，就认定计算器里面有鬼魂。
知的首要条件就是离散恶确定性，一个就是一个，两个就是两个，半个，其实是放大到小数点之后被认知的，至于无理数，也是一样，你的有个计算方法来认知，如果连个计算方法都没有，就是根本不可认知的。
泰勒级数就是提供了一个通用的计算方法，这个方法实在是太伟大了，啥东西都可以算，也就是把俺一直以为计算器里的鬼魂赶走了。
那么，泰勒级数到底干了些啥？怎么会有如此的威力。
没干啥，就是拿着一条直线，不断得去分割逼近，越来越接近你想要的结果。
其实，泰勒级数的灵魂，就是牛顿分割法，估计牛顿也是知道泰勒级数的形式的，只不过没有清晰地表达出来而已。
好了，深入一点谈泰勒级数。
我们的认知基础是离散的确定性，无论小数点后面多少位，这个数你必须是确定的，不能无理到，第N位是变化的，如果真是这样的数，真的没法认知。
这到底什么含义？
其本身就是把你需要认识的信息进行一个编码，这个编码，每一位可以代表一个维度信息，也就是说吧一个连续的数值，编码到一个离散的维度上来，这样我们才能够认知他。
更广泛的意义，已经不是数值了，没有大小的含义，纯符号的运算，只要把这个信息是可编码的，我们就能够在抽象空间内表达，根本不关心大小和顺序。
为什么可以不关心顺序？
就是因为编码到了空间维度上了，每一个维度是独立的，比如（x,y,z）你写成（y,x,z），也无妨，每一个空间维度是独立的，和顺序是无关的。
好了，我们现在知道，泰勒级数在干什么了，把一个有序的（连续）信息，编码到了一个独立的无序（即和序无关）维度离散空间上了，别的啥也没看。
为什么要做这样的变换？
刚才讲了，为了认知他，不做这个变换，是不可计算的，也就是不可认知的。
如何能够做到？
还是求助于几何原本。
几何原本给俺们提供了连个法宝，一个是直尺，一个是圆规。
先看直尺。
直尺到底直不直，其实无所谓，关键是直尺定义了一个东东——方向。
泰勒级数的本质就是在用方向信息，把一个曲线的变化，用无穷多个方向离散化，也就是原本是一个平面，我搞出无穷多条直线，每条直线代表一个方向，每个方向独立成一个维度，最后把这条曲线搞定。
综上所述，泰勒级数就是利用直尺，把连续（连续隐含有序）的函数曲线，变换到了离散的独立维度编码上来。
2傅里叶级数
学微积分，第二个震惊，就是傅里叶级数。
当时，我对泰勒级数还没完全理解，离散数学是后来才深入领会的，对傅里叶级数的吃惊程度，和俺小时候对于计算器里有鬼魂一样。
为啥这么搞，那么搞，最后就分解成频率信息了呢？真是感觉是撞了狗屎运，才发现这么一个东西。
又来深入了，才发现也就是那么回事儿，不是狗屎运，也是必然。
前面说的，有关认知的都有效，就是一点，法宝变了。
泰勒用的是直尺，傅里叶用的是圆规，就这点差别。
这点差别还不得不细说，直尺提供的是个方向，圆规能够提供啥？
面积，你也可以说周长，其实园的周长是无法直接利用的，是经过面积等效出来的。
人的认知就这么一点，直尺提供了一个方向，无穷无尽，反正生命不息，冲锋不止，你只有往下去走。
圆规提供了一个原地打转，你也不知道转了多少圈，反正一直都这样转，唯一知道的是，这个面积是确定的。
傅里叶拿着圆规搞编码方案，这就有点烦，不想泰勒级数那么直观了，他在搞面积等效方案。
面积等效方案，产生了一个新东西，就是正交。也就是说面积不能重叠。
正交对于泰勒级数是不是存在？
其实一样存在，只不过泰勒级数用的法宝是直尺，直尺表示的是方向，根本不用管直尺到底直不直，方向这东西本来就是独立维度，不需要考虑正交，或者是天然的正交。
傅里叶级数就不一样，面积是有可能重叠的，一重叠，就不是独立维度信息了，因此特别强调正交。
正交无非是保证面积不重叠而已，大家都是独立的维度信息。
今天就到这里，后面老黄来补充公式和画图。
老黄在接着讲拉普拉斯，拉普拉斯是个大牛，总是被人忽视，很多搞数学的都喜欢吹捧高斯，俺怎么觉得拉普拉斯比高斯牛很多倍，拉普拉斯尽管人品卑鄙，但他的工作实在是数学的又一个让我吃惊的创举。
在后面才能讲离散编码的本质。
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1 iwesun 于 2009-11-18 16:10:12 回复：泰勒级数和傅里叶级数 △TOP
老黄咋还不来，给俺插图？
留个思考题，泰勒级数和傅里叶级数，作为一种可计算的模型，都是把连续(未知)的信息编码到独立的维度信息上，根本目的是相同的，但为什么搞信号的喜欢傅里叶，而不是泰勒？他俩到底在方法上，有什么不同？傅里叶到底有啥优越性？
也就是圆规比直线有啥优越性？
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2 jake 于 2009-11-19 9:47:40 回复：泰勒级数和傅里叶级数 △TOP
鼓掌，鼓掌，喜欢这种说法。不过还是不清楚为什么说傅利叶级数是用面积逼近？没事儿，你来数学公式吧，吃得消。你要是觉得麻烦，不妨写成pdf文档上传。以后网站改进，需要支持latex输入了。
>iwesun在回复：泰勒级数和傅里叶级数中写道：
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