变分法, VIX!
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变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。
同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。
目录 [隐藏]
1 欧拉-拉格朗日方程(The Euler-Lagrange equation)
2 费马原理
2.1 斯涅尔定律
2.2 费马原理在三维下的形式
2.3 和波动方程的关系
3 参看
4 参考
5 外部连接
[编辑] 欧拉-拉格朗日方程(The Euler-Lagrange equation)
在理想情形下，一函数的最大值及最小值会出现在其导数为0的地方。同样地，求解变分问题时也可以先求解相关的欧拉-拉格朗日方程。以下以寻找连接平面上两点(x1,y1) and (x2,y2)最短曲线的例子，说明求解的过程。曲线的长度为
其中
f(x1) = y1, f(x2) = y2。
函数f至少需为一阶可微的函数。若f0是一个局部最小值，而f1是一个在端点x1及x2取值为零并且至少有一阶导数的函数，则可得到以下的式子
其中ε为任意接近0的数字。
因此A[f0 + εf1]对ε的导数( A的一阶导数)在ε=0时必为0。对任何的函数f1，下式均成立：
，
此条件可视为在可微分函数的空间中，A[f0]在各方向的导数均为0。 若假设f0二阶可微(或至少弱微分存在)，则利用分部积分法可得
其中f1为在两端点皆为0的任意二阶可微函数。这是变分法基本引理的一个特例:
，
其中f1为在两端点皆为0的任意可微函数。
若存在使H(x) > 0，则在周围有一区间的H也是正值。可以选择f1在此区间外为0，在此区间内为非负值，因此I > 0，和前提不合。 若存在使H(x) < 0，也可证得类似的结果。因此可得到以下的结论：
，
由结论可推得下式：
因此两点间最短曲线为一直线。
在一般情形下，则需考虑以下的计算式
，
其中f需有二阶连续的导函数。在这种情形下，拉格朗日量L在极值f0处满足欧拉-拉格朗日方程
，
不过在此处，欧拉-拉格朗日方程只是有极值的必要条件，并不是充分条件。
[编辑] 费马原理
费马原理指出：光会沿着两端点之间所需光程最短的路径前进。假设为光的路径，则光程可以下式表示：
，
其中折射率依材料特性而定。
若选择，则A的一阶导数 (A对ε的微分)为：
，
将括号中的第一项用分部积分处理，可得欧拉-拉格朗日方程
。
光线的路径可由上述的积分式而得。
[编辑] 斯涅尔定律
当光进入或离开透镜面时，折射率会有不连续的变化。考虑
，
，
其中 n − 和n + 是常数。在x<0或x>0的区域，欧拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因为折射率在二个区域均为定值，在二个区域光都以直线前进。而在x=0的位置，f必须连续，不过f' 可以不连续。在上述二个区域用分部积分的方式解欧拉-拉格朗日方程，则其变分量为
。
和n − 相乘的系数是入射角的正弦值，和n + 相乘的系数则是折射角的正弦值。若依照斯涅尔定律，上述二项的乘积相等，因此上述的变分量为0。因此斯涅尔定律所得的路径也就是要求光程一阶变分量为0的路径。
[编辑] 费马原理在三维下的形式
费马原理可以用向量的形式表示：令X = (x1,x2,x3)，而t为其参数, X(t)是曲线C参数化的表示，而令为其法线向量。因此在曲线上的光程长为
。
上述积分和t无关，因此也和C的参数表示方式无关。使曲线最短的欧拉-拉格朗日方程有以下的对称形式
，
其中
。
依P的定义可得下式
。
因此上述积分可改为下式
。
依照上式，若可以找到一个梯度P的函数ψ，则以上的积分A就可以由在积分端点上ψ的差求得。以上求解曲线使积分量不变的问题就和ψ的level surface有关。为了要找到满足此条件的函数ψ，需要对控制光线传动的波动方程式进行进一步的研究。
[编辑] 和波动方程的关系
最优控制的理论是变分法的一个推广
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变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。
同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。
目录 [隐藏]
1 欧拉-拉格朗日方程(The Euler-Lagrange equation)
2 费马原理
2.1 斯涅尔定律
2.2 费马原理在三维下的形式
2.3 和波动方程的关系
3 参看
4 参考
5 外部连接
[编辑] 欧拉-拉格朗日方程(The Euler-Lagrange equation)
在理想情形下，一函数的最大值及最小值会出现在其导数为0的地方。同样地，求解变分问题时也可以先求解相关的欧拉-拉格朗日方程。以下以寻找连接平面上两点(x1,y1) and (x2,y2)最短曲线的例子，说明求解的过程。曲线的长度为
其中
f(x1) = y1, f(x2) = y2。
函数f至少需为一阶可微的函数。若f0是一个局部最小值，而f1是一个在端点x1及x2取值为零并且至少有一阶导数的函数，则可得到以下的式子
其中ε为任意接近0的数字。
因此A[f0 + εf1]对ε的导数( A的一阶导数)在ε=0时必为0。对任何的函数f1，下式均成立：
，
此条件可视为在可微分函数的空间中，A[f0]在各方向的导数均为0。 若假设f0二阶可微(或至少弱微分存在)，则利用分部积分法可得
其中f1为在两端点皆为0的任意二阶可微函数。这是变分法基本引理的一个特例:
，
其中f1为在两端点皆为0的任意可微函数。
若存在使H(x) > 0，则在周围有一区间的H也是正值。可以选择f1在此区间外为0，在此区间内为非负值，因此I > 0，和前提不合。 若存在使H(x) < 0，也可证得类似的结果。因此可得到以下的结论：
，
由结论可推得下式：
因此两点间最短曲线为一直线。
在一般情形下，则需考虑以下的计算式
，
其中f需有二阶连续的导函数。在这种情形下，拉格朗日量L在极值f0处满足欧拉-拉格朗日方程
，
不过在此处，欧拉-拉格朗日方程只是有极值的必要条件，并不是充分条件。
[编辑] 费马原理
费马原理指出：光会沿着两端点之间所需光程最短的路径前进。假设为光的路径，则光程可以下式表示：
，
其中折射率依材料特性而定。
若选择，则A的一阶导数 (A对ε的微分)为：
，
将括号中的第一项用分部积分处理，可得欧拉-拉格朗日方程
。
光线的路径可由上述的积分式而得。
[编辑] 斯涅尔定律
当光进入或离开透镜面时，折射率会有不连续的变化。考虑
，
，
其中 n − 和n + 是常数。在x<0或x>0的区域，欧拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因为折射率在二个区域均为定值，在二个区域光都以直线前进。而在x=0的位置，f必须连续，不过f' 可以不连续。在上述二个区域用分部积分的方式解欧拉-拉格朗日方程，则其变分量为
。
和n − 相乘的系数是入射角的正弦值，和n + 相乘的系数则是折射角的正弦值。若依照斯涅尔定律，上述二项的乘积相等，因此上述的变分量为0。因此斯涅尔定律所得的路径也就是要求光程一阶变分量为0的路径。
[编辑] 费马原理在三维下的形式
费马原理可以用向量的形式表示：令X = (x1,x2,x3)，而t为其参数, X(t)是曲线C参数化的表示，而令为其法线向量。因此在曲线上的光程长为
。
上述积分和t无关，因此也和C的参数表示方式无关。使曲线最短的欧拉-拉格朗日方程有以下的对称形式
，
其中
。
依P的定义可得下式
。
因此上述积分可改为下式
。
依照上式，若可以找到一个梯度P的函数ψ，则以上的积分A就可以由在积分端点上ψ的差求得。以上求解曲线使积分量不变的问题就和ψ的level surface有关。为了要找到满足此条件的函数ψ，需要对控制光线传动的波动方程式进行进一步的研究。
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