积分流形就好比是好比是原函数，而已知的那组切空间的子基就好比是导数
既然已知函数的导数，未必积得出原来的函数
另一方面看，流形上曲线的方向导数不正好是切空间中的向量么
那么任意给一组切空间的子基，就未必有原来流形的子流行与其对应
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2009-11-27 10:45:16 来自: 夜永月孤(片云心共远，永夜月同孤)
各位达人，比方说非线性薛定鄂方程，KDV方程可解，在数学上也可积…那么可积在物理里有什么意思？
. 2009-11-27 11:28:39 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 当然，可积性有很多种定义，我不强调某些特定可积性，望前辈们就各种可积性说说系统可积的物理上的意义…
> 删除 . 2009-11-27 16:52:15 [已註銷] 可積性本身是一個數學概念，並非物理概念。一個系統是否可積，只表明求解的難度。
可積性其實是依賴於測度的，也就是說，未來若測度論獲得重大的本質上的突破，如今看來不可積的問題，將來未必不能精確求解。
> 删除 . 2009-11-27 17:02:48 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 可积确实是数学概念…但是…可积未必就是说可精确求解的概念吧，有很多种可积概念，比如说哈密顿可积，刘维尔可积，如果可精确求解就是可积那么这么多可积性都可以定义为一种…其实我就是想问可积难道真的就是可求精确解吗？谢谢无欲…
> 删除 . 2009-11-27 17:11:48 [已註銷] 不同的可積性，只是表達了基於不同測度的不同標準而已。
> 删除 . 2009-11-27 18:13:46 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) LZ大概指的是微分系统的可积性吧~~~~~
我当初看Frobenius theorem的时候也纳闷~~~
这个条件和函数可积性有甚关系啊~~~~
后来想想，大概这个“可积”并不是源于测度论里那个“可积”
而是类比于微积分里那种“积不出”或者“积得出”
积分流形就好比是好比是原函数，而已知的那组切空间的子基就好比是导数
既然已知函数的导数，未必积得出原来的函数
另一方面看，流形上曲线的方向导数不正好是切空间中的向量么
那么任意给一组切空间的子基，就未必有原来流形的子流行与其对应
当然这只是我自己的感觉，这个类比未必恰当
以前我查了一些资料，没见到有单独对这个术语的解释。。。
如果你学过一点流形论，你可以参考一下维基百科关于Integrability conditions for differential systems的页面。
http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_manifold
> 删除 .2009-11-27 18:46:25 [已注销] 微分几何对这个问题有细致的说法，比较现代的是把可积性从函数扩展到流形上的m维分布， 而m维分布实质上作为一个流形上切空间的子空间场，联系着一个嵌入积分子流形，可积性也就是流形上的m维子空间场的可积性，演变成是否存在一个对应的积分子流形。 Frobenius定理不同情况的不同的表述方式，提供了这个m维分布可积性充要条件。
> 删除 .2009-11-27 18:54:26 [已注销] 难道到这个问题可以回归到测度？
> 删除 . 2009-11-27 19:19:58 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 2009-11-27 18:54:26 x7x7★SUSY (我是玉皇大天尊玄灵高上帝的小弟) 难道到这个问题可以回归到测度？
---------------------------------
我觉得不至于吧，毕竟一般微分几何是假定流形光滑映射光滑，能光滑的都光滑了
至少也是Cr的，还不至于扯上那种性质不好的集合吧~
关于利用的测度的可积和不可积问题，都是牵扯到和诡异的函数诶
而积分流行存在不存在都是在光滑流形上讨论的，要积分的话都是黎曼可积的啦
除非在几何测度论里，才会扯到性质不好的映射~~~
> 删除 . 2009-11-27 19:20:15 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 是我的问题，没有阐述清楚，我想问的非线性系统的可积，笼统的说，一个动力系统，常微也好偏微也好，在现有意义下可积，意味着什么？
线性系统在一般可积意义下是可积的，但是，非线性系统，可能就不可积，不可积也就是说具有耗散结构，会产生混沌，但是混沌并不是随即，混沌是确定性的，于是会有有很多性质。
那么，非线性系统不可积，到底是怎么样一回事？
我问的不好~~~
> 删除 . 2009-11-27 19:25:01 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 不好意思了，我是半个物理盲，说叉了~~~~
> 删除 . 2009-11-27 19:27:09 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 2009-11-27 18:46:25
x7x7★SUSY (我是玉皇大天尊玄灵高上帝的小弟)
微分几何对这个问题有细致的说法，比较现代的是把可积性从函数扩展到流形上的m维分布， 而m维分布实质上作为一个流形上切空间的子空间场，联系着一个嵌入积分子流形，可积性也就是流形上的m维子空间场的可积性，演变成是否存在一个对应的积分子流形。 Frobenius定理不同情况的不同的表述方式，提供了这个m维分布可积性充要条件。
2009-11-27 18:13:46 eulen (宅可夫斯基 怪蜀黍和MADAO合体)
LZ大概指的是微分系统的可积性吧~~~~~
我当初看Frobenius theorem的时候也纳闷~~~
这个条件和函数可积性有甚关系啊~~~~
后来想想，大概这个“可积”并不是源于测度论里那个“可积”
而是类比于微积分里那种“积不出”或者“积得出”
积分流形就好比是好比是原函数，而已知的那组切空间的子基就好比是导数
既然已知函数的导数，未必积得出原来的函数
另一方面看，流形上曲线的方向导数不正好是切空间中的向量么
那么任意给一组切空间的子基，就未必有原来流形的子流行与其对应
x7x7★SUSY 君和 eulen 君都很有几何功底，很是钦佩，你说的我会好好研究研究，那可否给个代数结构上的说明？
> 删除 . 2009-11-27 19:32:07 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) eulen君过谦了，楼上除了被“夜永月孤”这个符号标记的都是高人啊！
> 删除 . 2009-11-27 23:16:17 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 代数结构？你指Lie群？就Frobenius定理而言没嘛关系吧…
非线性系统不可积差不多就是没有解的意思或者是没有唯一解吧…
要是没有解，那就没准真要求助于测度论了…要是没有唯一解就是分歧理论了吧
貌似是这样～
> 删除 . 2009-11-27 23:38:30 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 哦，这样吧，请恕我罗嗦与迂回，那我还想请教下，从分析的角度来看可积性又如何？难不成要说到KAM？
> 删除 . 2009-11-27 23:45:24 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 我很奇怪，为什么我跑到物理这来问典型的数学上的问题？
> 删除 .2009-11-28 00:39:20 [已注销] 因为物理组已经实现兼并数学组的功能， 实际上， 已经有兼并豆瓣所有自然科学类小组的趋势， 这个状态是一种历史的回归， 仿佛时空逆转， 把我们带到Geolile以前那个学科还不怎么分化的时代。
> 删除 . 2009-11-28 12:39:06 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 你的意思我明白，其实我想表达的是，因为在数学小组可能很少人会回答~~~~~~
> 删除 . 2009-11-28 13:54:59 [已註銷] 其實同樣的帖子，我就寧願在這裡回，因為那個數學組感覺上有點說不清楚的味道。
解的存在惟一，與可積完全是兩碼事。存在惟一是18世紀就有的問題，難度低多了。可積則基本上到了20世紀才正式被關注。若不存在或不惟一，也沒必要討論什麼可積了。
從分析來看，可積的問題最終必歸於測度。所謂「病態」集，在非線性問題中未必不存在，實際上，欲精確求解一般的非線性問題，甚至會遇到比「病態」集更難搞的。
不清楚KAM理論是否已推廣到所有與物理學有關的非線性問題。
> 删除 . 2009-11-28 14:06:01 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 所谓病态集，分形算不算？
解的存在唯一确实跟可积不是一回事，也没有说是一回事，只是，可积的是解存在唯一的，反过来就不知道，按照庞加莱的观点，可积即是存在一个单值的解函数，对于非线性系统，出现奇点就会导致在奇点领域内不单值，所以可积性就难以解决。
KAM定理是研究近可积系统的，类似于研究平面二次系统极限环问题，加扰动后，会有多少极限环，它们相对位置如何？只不过KAM对于高维的就难以讨论有多少个不变换面，也不好讨论不变环面的相对位置。我觉得要从分析的角度来看，测度的角度看不一定最好。
> 删除 . 2009-11-28 14:56:37 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 先谢过诸位好汉了~~~
> 删除 . 2009-11-28 16:31:53 [已註銷] sorry，前面提及解的存在惟一，是回eulen童鞋。
> 删除 . 2009-11-28 18:40:10 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 怎么就没有人来讲Kam啦？
> 删除 . 2009-11-28 20:24:00 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 2009-11-28 16:31:53 無慾 sorry，前面提及解的存在惟一，是回eulen童鞋。
-------------------
哦，我的意思是不可积，也有可能是分歧问题，也可能回到测度上讨论。
毕竟分歧理论也挺重要的嘞
如果是可积的，解都存在唯一了，问题也差不多基本解决了
------------------------------------------
2009-11-28 18:40:10 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 怎么就没有人来讲Kam啦？
--------------------------
KAM了解不甚详细，我就不献丑了~~~
而且仅凭这样讨论还不如去看看综述文献来的透彻吧。
> 删除 . 2009-11-28 21:22:05 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 上的讨论班就有师兄在讲Kam与偏微分方程，但是我觉得应该了解下高手们如何看待Kam这一套，这各是查文献查不到的啊~~~~不过还是谢谢eulen君~~~~
> 删除 . 2009-11-28 21:36:31 [已註銷] 2009-11-28 20:24:00 eulen (宅可夫斯基 怪蜀黍和MADAO合体) 2009-11-28
哦，我的意思是不可积，也有可能是分歧问题，也可能回到测度上讨论。
毕竟分歧理论也挺重要的嘞
如果是可积的，解都存在唯一了，问题也差不多基本解决了
-------------------------------------------------------------------------------
君差矣。
分岔，這個概念表達的是邊值變動帶來的非線性系統的定性性質的突變，但邊值確定時，若該系統是現實物理系統，其解仍然必須是存在且惟一的。對於現實物理系統來說，解的存在惟一是邏輯要求。
> 删除 . 2009-11-28 21:56:21 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 弱弱的问下，突变或者分歧理论，仍然是牛顿确定论的吧？
> 删除 . 2009-11-29 14:01:23 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 呵…我意思是“数学上”基本结束了…
在初值特别的地方还是会产生分歧的，有的初边值问题未必给了初边值解就唯一确定的…但改变把初值的时间向后推移一点一般就可以避免了…
物理世界大概是像无欲童鞋说的要求存在唯一很自然…那是因为要是遇到分歧点完全可以过一段时间再观测，就可以避免分歧了…
但数学的思路是找到分歧点之后所有可能的解吧…毕竟数学有时更自由些…未必需要物理意义…
而且没准以后哪天就有意义了，呵呵
> 删除 . 2009-11-29 14:49:18 [已註銷] to 夜永月孤：
方程本身不涉及是否決定論的問題。經典物理也有非線性問題，經典QM卻是線性的。
to eulen：
時間本身就是一個邊值條件。
> 删除 . 2009-11-29 23:03:42 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 时间当然是一个边值呃…
只是某些时间点做边值，之后数学上的可能性并不唯一呃…
实际咋样数学就没治了…只有往后观测，再给一组边值，才能知道到世界底是啥样的呃…
> 删除 . 2009-11-30 00:03:30 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 一个系统不可积是不是一定会有混沌现象？
好像只有不可积的才谈奇异吸引子的啊~~~~
如过这样，那么时间作为边值也不好衡量一个系统啊~~~~
> 删除 . 2009-11-30 18:46:19 [已註銷] 不可積未必就意味著混沌的存在。目前得到普遍接受的混沌定義應該還是Li-Yorke的「週期3」，這是一個比不可積更強的定義，不可積未必就有週期3點。這是符號動力系統的定義，作為物理問題，利用拓撲共軛，就轉換成Smale馬蹄變換或橫截同宿點的存在性問題。具體搞下去，就不得不使用微擾法了。
> 删除 . 2009-11-30 19:01:49 [已註銷] 我們有一個嚴格的定義，卻只能用近似計算來判定，好悲涼啊。
> 删除 . 2009-11-30 19:56:38 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 我自己歪了自己的楼，谢谢无欲君的讲解，我的意思是说对于非线性不可积的系统，可能是个耗然散系统，那就有可能会有混沌，不可积是不一定有混沌，至于混沌的定义，周期三蕴涵混沌是比较普及了，但是那个从提出来的时候就一般是说集散动力系统，当然可以找庞加莱映射来应用到连续系统，此为其一，其二，我觉得混沌的李定义可能不比不可积的条件强啊…定义是说两个上下极限不同，从动力学角度说就是两条轨道既会无限次分离，又无限次接近，但是不可积是说，至少在庞加莱这里，是说其解函数是个单值的，比较下，单值和两个值既无限接近又无限分离，哪个强？不好说啊…
> 删除 . 2009-11-30 20:22:29 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 当然了，不好说的原因应该是目前为止可积性的定义，和，混沌的定义，不明确，所以混淆视听，当然，可积，没有混沌要求高…我上面只是就特定的可积与特定的混沌定义的想法…大的方面肯定是混沌条件强…
> 删除 .
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既然已知函数的导数，未必积得出原来的函数
另一方面看，流形上曲线的方向导数不正好是切空间中的向量么
那么任意给一组切空间的子基，就未必有原来流形的子流行与其对应
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2009-11-27 10:45:16 来自: 夜永月孤(片云心共远，永夜月同孤)
各位达人，比方说非线性薛定鄂方程，KDV方程可解，在数学上也可积…那么可积在物理里有什么意思？
. 2009-11-27 11:28:39 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 当然，可积性有很多种定义，我不强调某些特定可积性，望前辈们就各种可积性说说系统可积的物理上的意义…
> 删除 . 2009-11-27 16:52:15 [已註銷] 可積性本身是一個數學概念，並非物理概念。一個系統是否可積，只表明求解的難度。
可積性其實是依賴於測度的，也就是說，未來若測度論獲得重大的本質上的突破，如今看來不可積的問題，將來未必不能精確求解。
> 删除 . 2009-11-27 17:02:48 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 可积确实是数学概念…但是…可积未必就是说可精确求解的概念吧，有很多种可积概念，比如说哈密顿可积，刘维尔可积，如果可精确求解就是可积那么这么多可积性都可以定义为一种…其实我就是想问可积难道真的就是可求精确解吗？谢谢无欲…
> 删除 . 2009-11-27 17:11:48 [已註銷] 不同的可積性，只是表達了基於不同測度的不同標準而已。
> 删除 . 2009-11-27 18:13:46 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) LZ大概指的是微分系统的可积性吧~~~~~
我当初看Frobenius theorem的时候也纳闷~~~
这个条件和函数可积性有甚关系啊~~~~
后来想想，大概这个“可积”并不是源于测度论里那个“可积”
而是类比于微积分里那种“积不出”或者“积得出”
积分流形就好比是好比是原函数，而已知的那组切空间的子基就好比是导数
既然已知函数的导数，未必积得出原来的函数
另一方面看，流形上曲线的方向导数不正好是切空间中的向量么
那么任意给一组切空间的子基，就未必有原来流形的子流行与其对应
当然这只是我自己的感觉，这个类比未必恰当
以前我查了一些资料，没见到有单独对这个术语的解释。。。
如果你学过一点流形论，你可以参考一下维基百科关于Integrability conditions for differential systems的页面。
http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_manifold
> 删除 .2009-11-27 18:46:25 [已注销] 微分几何对这个问题有细致的说法，比较现代的是把可积性从函数扩展到流形上的m维分布， 而m维分布实质上作为一个流形上切空间的子空间场，联系着一个嵌入积分子流形，可积性也就是流形上的m维子空间场的可积性，演变成是否存在一个对应的积分子流形。 Frobenius定理不同情况的不同的表述方式，提供了这个m维分布可积性充要条件。
> 删除 .2009-11-27 18:54:26 [已注销] 难道到这个问题可以回归到测度？
> 删除 . 2009-11-27 19:19:58 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 2009-11-27 18:54:26 x7x7★SUSY (我是玉皇大天尊玄灵高上帝的小弟) 难道到这个问题可以回归到测度？
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我觉得不至于吧，毕竟一般微分几何是假定流形光滑映射光滑，能光滑的都光滑了
至少也是Cr的，还不至于扯上那种性质不好的集合吧~
关于利用的测度的可积和不可积问题，都是牵扯到和诡异的函数诶
而积分流行存在不存在都是在光滑流形上讨论的，要积分的话都是黎曼可积的啦
除非在几何测度论里，才会扯到性质不好的映射~~~
> 删除 . 2009-11-27 19:20:15 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 是我的问题，没有阐述清楚，我想问的非线性系统的可积，笼统的说，一个动力系统，常微也好偏微也好，在现有意义下可积，意味着什么？
线性系统在一般可积意义下是可积的，但是，非线性系统，可能就不可积，不可积也就是说具有耗散结构，会产生混沌，但是混沌并不是随即，混沌是确定性的，于是会有有很多性质。
那么，非线性系统不可积，到底是怎么样一回事？
我问的不好~~~
> 删除 . 2009-11-27 19:25:01 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 不好意思了，我是半个物理盲，说叉了~~~~
> 删除 . 2009-11-27 19:27:09 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 2009-11-27 18:46:25
x7x7★SUSY (我是玉皇大天尊玄灵高上帝的小弟)
微分几何对这个问题有细致的说法，比较现代的是把可积性从函数扩展到流形上的m维分布， 而m维分布实质上作为一个流形上切空间的子空间场，联系着一个嵌入积分子流形，可积性也就是流形上的m维子空间场的可积性，演变成是否存在一个对应的积分子流形。 Frobenius定理不同情况的不同的表述方式，提供了这个m维分布可积性充要条件。
2009-11-27 18:13:46 eulen (宅可夫斯基 怪蜀黍和MADAO合体)
LZ大概指的是微分系统的可积性吧~~~~~
我当初看Frobenius theorem的时候也纳闷~~~
这个条件和函数可积性有甚关系啊~~~~
后来想想，大概这个“可积”并不是源于测度论里那个“可积”
而是类比于微积分里那种“积不出”或者“积得出”
积分流形就好比是好比是原函数，而已知的那组切空间的子基就好比是导数
既然已知函数的导数，未必积得出原来的函数
另一方面看，流形上曲线的方向导数不正好是切空间中的向量么
那么任意给一组切空间的子基，就未必有原来流形的子流行与其对应
x7x7★SUSY 君和 eulen 君都很有几何功底，很是钦佩，你说的我会好好研究研究，那可否给个代数结构上的说明？
> 删除 . 2009-11-27 19:32:07 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) eulen君过谦了，楼上除了被“夜永月孤”这个符号标记的都是高人啊！
> 删除 . 2009-11-27 23:16:17 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 代数结构？你指Lie群？就Frobenius定理而言没嘛关系吧…
非线性系统不可积差不多就是没有解的意思或者是没有唯一解吧…
要是没有解，那就没准真要求助于测度论了…要是没有唯一解就是分歧理论了吧
貌似是这样～
> 删除 . 2009-11-27 23:38:30 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 哦，这样吧，请恕我罗嗦与迂回，那我还想请教下，从分析的角度来看可积性又如何？难不成要说到KAM？
> 删除 . 2009-11-27 23:45:24 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 我很奇怪，为什么我跑到物理这来问典型的数学上的问题？
> 删除 .2009-11-28 00:39:20 [已注销] 因为物理组已经实现兼并数学组的功能， 实际上， 已经有兼并豆瓣所有自然科学类小组的趋势， 这个状态是一种历史的回归， 仿佛时空逆转， 把我们带到Geolile以前那个学科还不怎么分化的时代。
> 删除 . 2009-11-28 12:39:06 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 你的意思我明白，其实我想表达的是，因为在数学小组可能很少人会回答~~~~~~
> 删除 . 2009-11-28 13:54:59 [已註銷] 其實同樣的帖子，我就寧願在這裡回，因為那個數學組感覺上有點說不清楚的味道。
解的存在惟一，與可積完全是兩碼事。存在惟一是18世紀就有的問題，難度低多了。可積則基本上到了20世紀才正式被關注。若不存在或不惟一，也沒必要討論什麼可積了。
從分析來看，可積的問題最終必歸於測度。所謂「病態」集，在非線性問題中未必不存在，實際上，欲精確求解一般的非線性問題，甚至會遇到比「病態」集更難搞的。
不清楚KAM理論是否已推廣到所有與物理學有關的非線性問題。
> 删除 . 2009-11-28 14:06:01 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 所谓病态集，分形算不算？
解的存在唯一确实跟可积不是一回事，也没有说是一回事，只是，可积的是解存在唯一的，反过来就不知道，按照庞加莱的观点，可积即是存在一个单值的解函数，对于非线性系统，出现奇点就会导致在奇点领域内不单值，所以可积性就难以解决。
KAM定理是研究近可积系统的，类似于研究平面二次系统极限环问题，加扰动后，会有多少极限环，它们相对位置如何？只不过KAM对于高维的就难以讨论有多少个不变换面，也不好讨论不变环面的相对位置。我觉得要从分析的角度来看，测度的角度看不一定最好。
> 删除 . 2009-11-28 14:56:37 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 先谢过诸位好汉了~~~
> 删除 . 2009-11-28 16:31:53 [已註銷] sorry，前面提及解的存在惟一，是回eulen童鞋。
> 删除 . 2009-11-28 18:40:10 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 怎么就没有人来讲Kam啦？
> 删除 . 2009-11-28 20:24:00 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 2009-11-28 16:31:53 無慾 sorry，前面提及解的存在惟一，是回eulen童鞋。
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哦，我的意思是不可积，也有可能是分歧问题，也可能回到测度上讨论。
毕竟分歧理论也挺重要的嘞
如果是可积的，解都存在唯一了，问题也差不多基本解决了
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2009-11-28 18:40:10 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 怎么就没有人来讲Kam啦？
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KAM了解不甚详细，我就不献丑了~~~
而且仅凭这样讨论还不如去看看综述文献来的透彻吧。
> 删除 . 2009-11-28 21:22:05 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 上的讨论班就有师兄在讲Kam与偏微分方程，但是我觉得应该了解下高手们如何看待Kam这一套，这各是查文献查不到的啊~~~~不过还是谢谢eulen君~~~~
> 删除 . 2009-11-28 21:36:31 [已註銷] 2009-11-28 20:24:00 eulen (宅可夫斯基 怪蜀黍和MADAO合体) 2009-11-28
哦，我的意思是不可积，也有可能是分歧问题，也可能回到测度上讨论。
毕竟分歧理论也挺重要的嘞
如果是可积的，解都存在唯一了，问题也差不多基本解决了
-------------------------------------------------------------------------------
君差矣。
分岔，這個概念表達的是邊值變動帶來的非線性系統的定性性質的突變，但邊值確定時，若該系統是現實物理系統，其解仍然必須是存在且惟一的。對於現實物理系統來說，解的存在惟一是邏輯要求。
> 删除 . 2009-11-28 21:56:21 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 弱弱的问下，突变或者分歧理论，仍然是牛顿确定论的吧？
> 删除 . 2009-11-29 14:01:23 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 呵…我意思是“数学上”基本结束了…
在初值特别的地方还是会产生分歧的，有的初边值问题未必给了初边值解就唯一确定的…但改变把初值的时间向后推移一点一般就可以避免了…
物理世界大概是像无欲童鞋说的要求存在唯一很自然…那是因为要是遇到分歧点完全可以过一段时间再观测，就可以避免分歧了…
但数学的思路是找到分歧点之后所有可能的解吧…毕竟数学有时更自由些…未必需要物理意义…
而且没准以后哪天就有意义了，呵呵
> 删除 . 2009-11-29 14:49:18 [已註銷] to 夜永月孤：
方程本身不涉及是否決定論的問題。經典物理也有非線性問題，經典QM卻是線性的。
to eulen：
時間本身就是一個邊值條件。
> 删除 . 2009-11-29 23:03:42 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 时间当然是一个边值呃…
只是某些时间点做边值，之后数学上的可能性并不唯一呃…
实际咋样数学就没治了…只有往后观测，再给一组边值，才能知道到世界底是啥样的呃…
> 删除 . 2009-11-30 00:03:30 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 一个系统不可积是不是一定会有混沌现象？
好像只有不可积的才谈奇异吸引子的啊~~~~
如过这样，那么时间作为边值也不好衡量一个系统啊~~~~
> 删除 . 2009-11-30 18:46:19 [已註銷] 不可積未必就意味著混沌的存在。目前得到普遍接受的混沌定義應該還是Li-Yorke的「週期3」，這是一個比不可積更強的定義，不可積未必就有週期3點。這是符號動力系統的定義，作為物理問題，利用拓撲共軛，就轉換成Smale馬蹄變換或橫截同宿點的存在性問題。具體搞下去，就不得不使用微擾法了。
> 删除 . 2009-11-30 19:01:49 [已註銷] 我們有一個嚴格的定義，卻只能用近似計算來判定，好悲涼啊。
> 删除 . 2009-11-30 19:56:38 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 我自己歪了自己的楼，谢谢无欲君的讲解，我的意思是说对于非线性不可积的系统，可能是个耗然散系统，那就有可能会有混沌，不可积是不一定有混沌，至于混沌的定义，周期三蕴涵混沌是比较普及了，但是那个从提出来的时候就一般是说集散动力系统，当然可以找庞加莱映射来应用到连续系统，此为其一，其二，我觉得混沌的李定义可能不比不可积的条件强啊…定义是说两个上下极限不同，从动力学角度说就是两条轨道既会无限次分离，又无限次接近，但是不可积是说，至少在庞加莱这里，是说其解函数是个单值的，比较下，单值和两个值既无限接近又无限分离，哪个强？不好说啊…
> 删除 . 2009-11-30 20:22:29 夜永月孤 (片云心共远，永夜月同孤) 当然了，不好说的原因应该是目前为止可积性的定义，和，混沌的定义，不明确，所以混淆视听，当然，可积，没有混沌要求高…我上面只是就特定的可积与特定的混沌定义的想法…大的方面肯定是混沌条件强…
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