一维的布朗运动的位移却在时间上是相关的。从物理学上可以知道，x（t）的自相关函数是一个随时间指数衰减的函数，而根据维纳-希钦定理

前面已经写到，对物理学家来说，真正有意义的信号是随机信号——只有测量到出人意料不可预测的信号，这些才蕴涵了信息。比如一维的布朗运动的位移x（t）是一个关于时间的杂乱无章的函数。但如果你认为这个世界是杂乱无章的，也许你会羞涩地说：“哦，上帝掷骰子的。我们人类不懂上帝是怎么一回事情。”


其实，上帝不掷骰子，虽然米兰.昆德拉说“人类一思考，上帝就发笑”。不过根本不需要搭理米兰.昆德拉这样的小说家，因为我们人类不是傻子，人类可以通过数学的方法看到上帝裸露的身体。上帝在某种意义上只是不断被褪去衣服的歌妓，而物理学家是一群嫖客。



一维的布朗运动的位移x（t）是写不出解析表达式的。 但在统计的意义上，可以知道，布朗运动的粒子受到随机力的打击，这个随机力在时间上是不相关的，也就是说，在一秒前的打击和一秒后的打击之间不存在任何因果关联——这种时间上不相关的随机力被称为白色噪声（维纳-希钦定理）。

但很明显，一维的布朗运动的位移却在时间上是相关的。从物理学上可以知道，x（t）的自相关函数是一个随时间指数衰减的函数，而根据维纳-希钦定理， x（t）的功率谱S（f）是正比于频率f的-2次方的。

因此，在某种意义上，我们可以把x（t）看成是某一个一维定态薛定谔波函数的解ψ（x）。

可以有第一个傅里叶对偶关系：

ψ（x）------------》ψ（p）
把坐标空间变到动量空间（频率空间）

维纳-希钦定理和玻恩的平方律让我们得到第二个对偶关系：


ψ（p）的模平方——-》ψ（x）的功率谱




以上内容对于一般的光滑函数是大致正确的，但实际上对于一维的布朗运动来说，事情要微妙一些。有兴趣的读者也许可以参考feynman-kac的研究工作，更加想深入的读者就请研究ito的随机微分方程。总之，这个世界是淹没在噪声里的，人类的一切活动就是做滤波器