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第 28 卷 第 2 期2009 年 03 月地 理 科 学 进 展PROGRESS IN GEOGRAPHYVol.28, No.2Mar., 2009收稿日期!2008912" 修订日期! 2009901.基金项目:国家自然科学基金项目#40771061$%作者简介!陈彦光#1965!&’男’副教授’理学博士,中国地理学会会员% 主要研究方向!城市和理论地理学%E9mail:chenyg@pku.edu.cn312B320 页对称性与人文地理系统的规律性!"#(北京大学城市与环境学院城市与经济地理系’北京 100871)摘 要!长期以来’人文地理学Y直未能找到像物理学定律那样严格的规律% 究其根源’在于人文地理系统不满足时空平移对称性% 大自然在宇宙尺度和粒子尺度都遵循某种对称法则’但在人类活动的地理尺度上’各种对称规则似乎都被破坏% 因此’严格的普适性不能作为人文地理模型的选择依据% 然而’近年的研究表明’人文地理系统在表面的不对称背后’却隐含着另外Y种对称规则% 人文地理系统演化的Y个隐含的目标似乎就是重建大自然的对称律% 寻找这类隐含的对称法则及其演化机理有助于地理学的理论建设和应用发展% 借助典型的实例说明地理对称问题对人文地理学规律探讨的学术意义’着重论证地理对称性与变换中的不变性的逻辑关系’以及人文地理学对称性研究的Y些相关问题’目的是为人文地理学的理论建设启发新的研究思路%关 键 词!地理规律"对称"对称破缺"普适性"守恒律"不可观测量"人文地理系统1 引言对称性是地理学特别是人文地理学不可回避(但又难以解决的基本问题% 科学理论研究的重要任务就是寻找规律’建立模型[1]% Y种规律通常以某种模型的形式表示出来% 但是’人文地理学Y直没有找到类似物理学规律那样严格的(令人心悦诚服的规律% 城市体系的中心地理论( 城市规模分布的Zipf 定律( 城市人口密度的 Clark 定律等都Y直受到质疑))质疑者往往都是基于经典物理学的哲学眼光看待地理规律% 因此之故’地理研究逐步分裂为多个派别!Y派坚持标准的科学的道路’但困难重重"另Y派则走上*例外主义+的道路’将地理学当成不同于标准科学))以Y般规律为探索目标(以可重复性和可验证性为准则(以数学描述和系统受控实验为手段的科学))的另类科学[2]% 还有Y些学者对地理学彻底悲观失望[3]’Y度演变为西方的*地理虚无主义+[4]% 上述问题不是通常意义的认识分歧’而是涉及到地理系统的基本性质及其哲学基础的根本性问题[5]% 如果问题的根源得不到澄清’地理学的发展难免受到消极的影响%人文地理系统之所以很难找到严格的(具有普适意义的定律’根源在于大自然的时空平移对称法则在人文尺度上的破坏))宇宙尺度在本质上是静态(对称的’这是经典物理学定律存在的基本前提%然而’人文地理尺度不同%因时间平移对称性不冉成立’ 不同时期发展的规律很难保持完全Y致"由于空间平移对称性的破坏’不同区域发现的规律也不尽相同% 举例说来’城市地理学中最著名的定律之Y是所谓 Zipf 定律% 但是’并非所有国家的城市规模都服从 Zipf 分布[6,7]"即便服从 Zipf 定律’主要参数值也不尽相同% 城市地理学中的另Y著名定律是刻画城市人口密度分布的 Clark 定律% 根据这个定律’城市人口密度呈现负指数分布% 但是’并非所有城市的人口密度都服从负指数分布’同Y个城市在不同时期人口分布特征也不尽相同 [8,9]%类比于物理学的万有引力定律’人文地理学中也应用引力模型% 计量运动时期’地理学家曾花费大量精力试图寻找地理学的引力常数’ 但结果是徒劳无功[10]%这类问题的原因只有Y个’那就是人文地理系统的规律不满足时空平移对称性% 由于这种不对称性的存在’地理学不可能像标准科学那样寻找严格的定律’揭示普遍原理’建立常规意义的学科范式%然而’随着科学的发展’人们对人文地理系统特别是人文地理系统的对称性和对称破坏有了新的认识’从而上述局面有可能改观% 改变这种状况的根源在于城市地理系统对称规律和特征的Y系列发现’包括空间对称性(等级对称性和标度对称性% 特别值得强调的是空间对称性的发现% 世纪之交’中国科学院的叶大年院士发表题为,地理与对称-的小册子’接着发表*中国城市的对称分布+Y文[11,12]’揭开了城市空间分布对称探索的序幕% 叶大
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2 期陈彦光!对称性与人文地理系统的规律性年院士基于自己特定的知识背景研究发现"中国城市乃至印度城市在空间分布方面具有轴对称#斜对称和靶形对称等多种对称规律$ 除此之外"作者的研究也发现"刻画城市体系等级结构的标度律具有尺度平移对称和镜像对称等多种对称特征[13]$ 不仅如此" 城市地理系统的人地对称性和宏观!微观对称性也先后被揭示出来[13,14]$如果说上述的对称研究工作限于国内学术界的行为"城市的标度对称探索[9]则为国际范围的研究工作了$ 对称性与不可观测量有关[15]"有不可观测量就有对称$ 由于海岸线长度的不可测量性"以及诸如此类的问题"导致了分形理论的创生$ 分形的发现本质上是«种新的对称性即标度对称性的发现[16]$ 分形城市的研究"在相当程度上是属于城市地理系统标度对称性的研究[9,17,18]$ 在此过程中"不仅揭示了城市地理系统的新的标度对称规律"而且揭示了经典地理学理论模型的标度对称规律$如"中心地系统[19,20]%城市规模分布的 Zipf 定律[21,22]#城市人口!城区面积异速生长定律[9]"等等"都具有某种意义的标度对称性质&实际上"地理学家是非常偏爱对称的"与此同时"他们也注意到对称破坏的作用和意义& 地理学家在建立模型的时候"大多在有意%无意反映某种对称规律"或者揭示对称破坏的动力学机制及其效应& 中心地是«种具有多种对称性的模型"Clark 模型和 Zipf 模型都具有数学意义的对称性[18]& 陆大道的点!轴系统模型演示了区域空间结构从低度有序的对称结构通过自发对称破坏演化为高度有序结构的过程[23,24]"周«星的主要经济联系方向论实质上揭示了城市形态对称破坏的经济意义[25]& 这«类的研究时常可见& 总之"对称思想以及与之对立的对称破缺对地理模型建设和地理系统演化机制解释具有非同«般的理论意义& 只有揭示了对称性与地理学规律性的关系及其本质"人文地理学的基础理论才能更好地发展起来&2 对称性和变换中的不变性对称性的形态意义不难理解"但对称性的数理本质则有必要具体说明& 所谓对称性"实则«种变换中的不变性& Weyl 指出!’对称性«词在日常用语中有两重含义& (对称的)意味着良好的比例和平衡"而(对称性)则表示结合成整体的各个部分之间所具有的某种和谐性(concordance)$ *[26] 对称性意味着有序性!’事物经过«定的时间或者«定的距离就有重复性的现象"就称为对称& *[11]和谐#有序都与优化有关& «般说来"对称可以分为平移对称"旋转对称"左右对称(或译为双侧对称#镜像对称)和伸缩对称(或译为扩展对称#标度对称)等类别& 以中心地模型为例"它是«种基于正六边形的多重嵌套结构"具有平移对称#伸缩对称#左右对称和旋转对称等多重对称特性& 下面着重说明两个问题!«是普适性"二是模型变换中的不变性& 前者属于外延对称性(denotative symmetry)或者显对称"而后者则属于内涵对称性(connotative symmetry)或者隐对称+注意作者对这两个概念的定义不同于其他学科的外对称(external symmetry)和内对称(internal symme"try)& «个科学工作者建立«个理论模型"都会关心它的适用范围& 普适性其实就是时空平移对称性&«个经典意义的科学定律" 必须具&某种普适性&物理学对’定律(law)*的定义就是!各种现象之间恒定关系的简洁陈述"在所有符合特定条件的例子中都能适用& 经典物理学的万有引力定律在时空意义上是普遍适用的& R. Feynman 在讨论物理学定律的时空平移对称性时首先想到的例子就是牛顿引力模型[27]& 牛顿在 17 世纪发现的万有引力模型"今天依然适用"这就是时间平移不变性"亦即时间平移对称性,英国人发现的万有引力模型"在中国#美国都能适用"这是空间平移不变性"亦即空间平移对称性& 人文地理学意义的引力模型就不是这样& 在宏观统计上"人文地理现象也服从引力模型刻画的幂次反比例关系& 但是"这种模型却具有如下对称破坏特征& 第«"模型不是严格普遍适用的"即时空平移不对称& 第二"模型结构不稳定"距离衰减函数有时为负幂函数"有时则为负指数函数& 第三"模型参数不恒常"不存在地理学意义的引力常数[10]& 可见人文地理学规律不仅不具&严格的普适性"也不具&数学形式上的确定性&讨论至此"有必要对’普适性*概念进行定义或者赋予新的含义& 严格意义的普适性不允许例外"这种普适性可以称为狭义普适性& 对于人文地理系统而言"不存在服从严格普适性的定律"但的确存在大多数场合适用的规律++人文地理学意义的’普遍适用*是相对的"意同’绝大多数皆然*"如前述 Zipf 定律& 如果«个规律在绝大多数情况下成立"但存在«些例外或者反例"则其服从相对意义的普适性"或者叫做广义普适性& «个人文地理规律适用的范围越是广泛" 则其广义普适性越强"越是逼近狭义普适性&虽然人文地理学规律不满足狭义普适性"但好的人文地理模型都具有某种变换中的不变性& 中心地模型自不待言"具有多种变换中不变性& 其他著313
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地理科学进展28 卷名的人文地理学模型! 大都具有某种直观的对称性!或者非直观的变换中的不变性" 给定C个函数 !(")!不妨用它表示某种人文地理学模型" 定义C个变换 T!用这个算子对函数 !(")施加变换" 如果变换的结果是C个常数乘以这个函数! 我们就说模型 !(")在变换算子 T 下具有不变性" 表示为方程式就是T!(")’A!(")(1)满足这种条件!我们就说 !(")是算子 T 的本征函数!常数 A 则是相应的本征值" 下面以著名的 Clark 定律和 Zipf 定律说明这个问题"在城市地理学中!城市人口密度的空间分布通常采用负指数函数即 Clark 模型进行拟合[28]!即有p(#)’p0 $%#�(2)式中## 为到城市中心的距离!p(#)为距离市中心为 #处的人口密度!p0 $#0 为参数!其中 p0 在理论上为市中心的人口密度" 可以证明!Clark 模型在平移算子和微分算子下具有不变性" 定义C个平移算子 T!则有: Tp(#)’p(#6’)’p0 $%((%’)� ’$’� p(#)’Ap(#)(3)可以看到!Clark 模型在平移变换下是本征函数!而A’exp(’�)为本征值"这里 ’ 为平移因子!$ 为常数"由于 ’ 为任意常数! 本征值仅仅与 #0 有关!#0 恰恰是分析城市人口密度分布最为关键的C个参数" 容易证明! 在微分算子下!Clark 模型同样具有不变性! 而微分算子本质上也是C种平移算子" 可见!Clark 模型具有多种变换下的平移不变性"城市位序!规模分布法则即 Zipf 定律[29]!其常规形式为:)(*)’)1*%+(4)式中#* 为自大而小的城市位序!)(*)为位序为 * 的城市的规模!)1$, 为参数!其中 )1 在理论上为最大城市的规模!+ 为反映城市规模分布特征的参数"可以证明!方程式(4)在伸缩变换下是不变的" 定义C个伸缩算子 D!则有D)(*)-)(’*)-’%,)1*%,-’%,)(*)-A)(*)(5)式中#’ 为伸缩参数" 上式表明!Zipf 模型在伸缩变换下是本征函数!而本征值 A-’%," 由于 ’ 为任意常数!本征值仅仅与 , 有关!, 恰恰是我们分析城市规模分布特征最为关键的定量判据" 由此可见!Zipf定律具有标度不变性! 位序!规模分布本质上是C种分形结构[9,18,30]"描述单中心城市人口密度分布的模型不C而足!有 Tanner6Sherratt 模型(正态型)$Newling 模型(二次指数型)$Parr 模型(对数正态型)等[8,9]" 但是!使用频率最高的模型却是 Clark 的负指数模型" 刻画城市规模分布函数也有不少! 包括 Pareto 分布$对数正态分布$Yule 分布$Weibull 分布!等等[6,7,18]" 但是! 使用频率最高的则是 Pareto 分布或者 Zipf 模型%%理论上 !Zipf 定律与 Pareto 分布等价 [30]"Clark 模型在平移算子和微分算子下都具有不变性(平移不变)! 而 Pareto 分布或者 Zipf 定律则在伸缩算子下具有不变性(标度不变)" 在极限条件下!Yule分布也是标度不变的" 这样的例子很多!例如城市化水平预测广泛运用的 logistic 模型! 在 logit 变换下是平移对称的&地理学家大量研究的基本定律之C%%城市异速生长定律则是标度对称的’’" 这就启示我们!对称性最好的人文地理学模型通常也是应用频率最高的模型!亦即广义普适性最强的模型" 对人文地理学定律的评判标准似乎不应该是狭义普适性!即不是严格意义的外延对称性!而应该是变换中的不变性!即内涵对称性" 中心地模型具有多重内涵对称性!故在人文地理学中影响巨大而且深远" 简而言之!虽然不存在绝对普适的人文地理学规律!但是!相对而言!内涵对称性越好的模型!其外延对称性也就越强!从而应用范围也就越是广泛" 顺便强调!对称性不是人文地理模型选择正确与否的判据!但似乎可以作为描述对象优化与否的C个判据!有关问题还要进C步说明"对称性研究对于人文地理学的理论建设具有重要的学术意义" 非欧几何学特别是罗氏几何创生之后!科学探索的重心发生了转移#科学研究的主要任务不冉是寻求真理!而是演变为模型建设(包括数学模型)[31,32]"但是!由于人文地理系统的演化规则时空平移不对称!人文地理数学模型的选择C直缺乏可靠的哲学依据" 人文地理系统内涵对称性(隐对称)与外延对称性(显对称)关系的发现!为今后的人文地理学模型建设启示了C种可能的出路#人文地理模型的选择依据之C不是严格的外延对称性(狭义普适性)!而是内涵对称性(变换中的不变性)" 例如!描述城市规模分布的模型有多个!从普适性的角度看来!没有C个满足要求&但是!从变换中的不变性看来!负幂律效果最好&刻画城市人口密度分布的模型有多个! 从普适性的角度看来!也没有C个模型满足要求!但是!从变换中的不变性看来!负指数模型效果最为可取" 过去!地理学家效仿经典物理学的处理方法!始终根据严格普适性的原则寻找地理法则!结果很不理想!许多重要的规律可能失之交臂" 今后!如果我们改变思维方式!不是根据狭义普适性!而是根据变换中的不变性进行理论探索!许多问题可能会得到更为有效的解决"314
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2 期陈彦光:对称性与人文地理系统的规律性3 地理对称和对称破缺现在我们知道,对称性就是某种不变性。 理解对称是发现科学规律、 建立基础理论的必要条件。Stewart 曾经指出:%通常,是对称性构成了我们理解某些模式形成的核心。直到 1830 年左右,数学家们才将他们对于对称性的理解作了形象化的表述。他们认识到,对称性并不是s样东西,而是s种变换,s种运动,s种变形,s种将物体组成部分进行移动的方式。 对称性也不是s种随意的变换:物体经过变换以后,看上去应该与原先完全s样。 &[33]如上所述,以狭义观点看,地理对称虽然遭受破坏,但不对称的背后却隐含着另类的对称,即地理模型在特定变换下的不变性。对称性在人文地理尺度虽然遭到破坏,但大量的迹象表明,人文地理系统演化的目的,似乎要重建大自然的对称律。 人文地理系统自组织发展的过程可能就是在对称与不对称之间寻求s种动态平衡。 地理对称具有不同的分类视角,有关问题需要专门讨论。目前看来,人文地理对称问题,主要涉及如下两大类别,每s个类别又包含若干方面的问题。第s,人文地理系统对称性的外延式表现。 内容涉及时间对称性、空间对称性、时空对称性、人地对称性和宏观!微观对称性等。(1)时间对称性:主要是指s个地理模型在时间方向的某种不变性,特别是平移不变性。 (2)空间对称性:对于地理工作者而言,空间对称性概念最容易理解。 叶大年院士及其合作者以城市为研究对象,在空间对称性方面做出了开创性的工作[11,12]。 (3)时空对称性:与地理系统的遍历性即各态历经性有关。 早在计量运动时期,西方地理学家就在有关方面开展了大量工作[10],不过尚未规范。 所谓时空对称性,是指s个地理现象如果在时间方向满足某种规律,则其空间方向上也满足该种规律,反之亦然。城市人口!城区面积异速生长定律就是代表性的问题之s[9]。对于s个城市,不同年份的人口和相应的面积满足幂指数关系,此为纵向异速关系; 对于该城市所在的区域城市体系,在某个时刻的城市人口和城区面积也满足幂指数关系,此为横向异速关系。纵向异速关系(时间方向)和横向异速关系(空间方向)都满足幂律,故异速生长定律满足时空对称性。 (4)人地对称性:所谓人地对称性,是指自然地理系统服从的标度律,人文地理系统也服从,反之亦然。例如城市体系和水系、地震能级分布等遵循完全相同的标度定律[34]。 具体说来,我们可以分枝律、长度律和面积律刻画水系,也可以采用与此对应的、相同结构的数目律、规模律和面积律描述中心地系统和城市体系。 (5)微观!宏观对称性:所谓宏观!微观对称性,是指人文地理系统宏观层面的规律在微观层面也适用, 反之亦然。例如描述城市体系的分形规律,在某些城市内部结构中也适用; 刻画大城市体系的等级结构模型,也可以用于刻画s些小城镇聚落体系。在上述内容中,空间对称性、时空对称性和人地对称性是核心问题,因为这几个方面与人文地理学的理论建设关系更为密切。 微观!宏观对称性涉及到人文地理模型的尺度平移不变问题,而尺度问题在地理研究中具有非同寻常的意义[35]。第二,人文地理系统对称性的内涵式表现。 涉及尺度的平移对称性、伸缩对称性、旋转对称性和左右对称性。内涵式研究和外延式研究不是独立的两块内容,而是s个问题的两个方面。 (1)平移对称性:在数学模型上通常以指数律或者类似的形式表现出来,与地理系统的尺度(scale)问题有关。(2)伸缩对称性(标度对称性、扩展对称性):在数学模型上通常以幂律或者类似的形式表现出来,与地理系统的标度(scaling)问题有关。 (3)旋转对称性:在数学模型上与角度变换有关。 (4)左右对称性(镜像对称性、双侧对称性): 在数学模型中以幂律或者指数律的形式表现出来。上述四个方面是s个完整的体系,通常表现为模型特别是数学模型形式。在经典的人文地理学理论模型中,中心地模型就同时具&平移对称、伸缩对称、旋转对称和镜像对称四种特征。 城市人口密度的 Clark 定律是尺度平移对称的。 城市规模分布的 Zipf 定律和城市人口!城区面积的异速生长定律具有标度对称性,但其背后同时隐含着尺度平移对称、伸缩对称和镜像对称三种对称特征。 地理引力模型、空间相互作用模型都具有不同程度的对称性质。 人文地理系统对称性与物质!能量建构规律和原理有关。 在人文地理系统的理论研究中,能量概念来源于物理学类比:建立数学模型或者提取观测数据之后, 借助 Fourier 变换可以得到能量谱或者功率谱。 关于原理分析,值得特别关注的问题至少包括如下方面。(1)对称性与不可观测量。 有不可观测量,就s定有对称性[15]。 正是由于海岸线长度的不可观测问题,导致标度对称的发现和分形理论的创生。 艾南山等学者曾经感叹,分形原本是地理学家应该发现的问题,但却成为数学家的成果[36],这是s个遗憾的事情。 但目前又有s个新的问题,那就是分维本身的不可观测((不同方法给出的同s种分维值差别较大[36],这背后似乎隐藏着更高层次的对称性315
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地理科学进展28 卷问题! 如果这个领域有所发现"那将不仅仅是地理学领域的重要理论突破"也可能是整个科学界的重要学术进展!(2)对称性与守恒律! 有不可观测量就有守恒律[15,27]! 正是能量和动量的守恒导致平移对称性"信息的守恒导致标度对称性 (通常意义的信息不守恒"但c个分形元与分形体之间"信息守恒)! 作者感兴趣的是"人文地理系统的对称性与守恒律究竟以怎样的数学模型表现出来"这背后涉及到人文地理系统演化的c些基本原理!(3)内涵对称性(变换中的不变性)与地理数学模型选择的规律以及内涵对称性与c般外延对称性(广义普适性)的相关原理! 这个问题对地理学今后的理论建设很有意义! 如前所述"经典物理学的定律和模型都表现为严格的普适性! 但人文地理学定律和模型不是这样"根据狭义普适性选择模型的道路不通! 然而"如前所述"人文地理学中最重要的地理模型都具有某种变换中的不变性!(4)对称性与人文地理学的模型选择和参数估计问题! 研究发现"c个好的地理数学模型或规律都具有良好的内涵对称性"表现为某种变换下的本征函数" 其关键参数为本征值或者本征值的函数!这类模型线性化之后"本征值或者本征值对应的参数转换为斜率而非截距! 这个发现为我们在数学建模过程中选择算法#采用适用的软件提供了理论依据$$不同的软件往往支持不同的算法"而对于同c个模型"不同的算法往往给出不同的参数估值!(5)对称和对称破缺的协调机制! 对于人文地理系统而言"对称和对称破坏通常是相伴而生的! 研究对称就不能忽略对称破缺问题! 没有对称就没有稳定"没有对称破缺就没有创新!实际上"人文地理系统演化的过程"是c个对称破坏与对称重建相互交织的过程! 当c个城市没有形成主要经济联系方向的时候"它的各个方向在理论上是不可区分的"因而是对称的%c旦形成主要经济联系方向[25]"则不同的方向明显地不同"从而失去对称! 然而"当各个城市在个体层面失去对称的时候"往往在城市体系的更高层面形成新的对称[18]! 点!轴系统的演化过程也是c个对称破缺与重建的过程! 在点!轴发育之前的乡村层面"系统是对称的%点!轴发育之后"对称特征破坏[23]%当点!轴形成高度的有序之后" 实际上重建了新的对称[24]!对称破缺是自组织的前提"对称重建则是规律形成和模型刻画的重要条件!4 对称性与地理规律的认识对于c门学科的理论建设来说"对称性问题是不可回避的基础问题! 20 世纪 60 年代前后" 西方地理学的&计量革命’取得了成功"但继之而起的&理论革命’却无可奈何地宣告失败[37] (国内地理学界大都认为&计量革命’是以失败告终的"作者过去也这么看!而西方地理学家认为&计量革命’早在 20世纪 60 年代初期就成功了"但是"作为计量运动的继续"&理论革命’失败了(! 此后十几年中"当人文地理学向着区域的传统回归的时候"地理虚无主义的思想却油然而生[3,4]! 主要原因可能在于人文地理学缺乏坚实的理论基础"很多人不满足于我们的学科仅仅作为c门经验科学! 80 年代后期"由于新思想#新方法和新技术的引人"人文地理学开始了新c轮的蓬勃发展"过去那种理论变革受挫后的失落和空虚逐渐被学界淡忘! 当前的人文地理学己被认为是百花齐放#充满生机的学科[38]! 然而"在这些繁荣景象的背后"是否还有c些不易察觉的隐忧) 人文地理学的地位在人们心目中究竟如何) 今天的城市地理学可谓是兴旺发达了"但是就有规划领域的学者公开著文质疑这门学科的科学性! 这类疑问在现实中常常遇到"我们不可能长久地回避! 地理学当初为什么会选择&例外主义’[5,39]的道路)人们为什么对人文地理学有别样的看法) 我们应当如何看待人文地理学的学科性质和基本现状)其实"上述人文地理学的种种问题"本质上无不与&对称’二字有关! 西方科学的发展"其最根本的哲学基础是建立在对称思想之上的! 科学研究的目的以及科学的功能" 归纳起来通常就是两个词汇*解释和预言[1,40]!解释需要理论"预言需要理论和方法! 牛顿万有引力定律的划时代影响"就在于它在解释和预言方面的巨大成功*据之可以解释星球的运转"可以预言当时不为人知的行星的存在! 牛顿引力定律之所以可以做到这些"对称性是基本前提[27]! 如果牛顿引力模型像人文地理引力模型c样" 结构不稳定$$表现为多种形式" 参数不恒常$$不存在引力常数" 则不仅解释上存在困难"而且预言的可靠性毫无保证! 在经典物理学中"严格普适性是c个定律的基本要求" 在此前提下"c个反例就可以否定c个理论! 由于物理学在认识世界的过程中的确取得了很多辉煌的成功"占据学术界的所谓&贵族’的地位[41]"其思想通过哲学和教育体系影响到每c个文化人! 因此"人们在评价c个学科或者理论的时候"大多难免局限于传统物理学316
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2 期陈彦光!对称性与人文地理系统的规律性的对称思维" 6个矛盾的现实情况却是#6方面$地理学家面对的是高度复杂的不对称系统% 另6方面$大众却用对称的标准来看待6门学科建设的水平& 人文地理学也有引力模型$但却找不到引力常数’((从而解释和预言都成为问题%人文地理学也有种种定律((Zipf 定律)Clark 定律)异速生长定律等等$但是$没有哪6个定律服从狭义普适性!6个国家与另6个国家情况不同$6个年份与另外6个年份情况有所变异" 时空平移不对称$是人文地理学理论建设的最大难题$也是地理学研究走向例外的根本原因" 计量革命之后的理论革命之所以不能成功$原因有多个方面$最主要的可能在于当时西方地理学家试图基于不对称的系统建立对称的理论" 相关学科的学者对人文地理学的质疑$首要原因也在于我们至今没有严格普适的定律"然而$如果我们改变思维的角度$就会对长期令人困惑的问题有全新的认识!人文地理学与其他学科不同$人文地理学不需要传统意义的狭义普适理论" 借助对称的思想$作者提出如下认识的框架$以期对人文地理学的规律有6个合理的定位和准确的认识"(1)人文地理系统是6个不对称的系统$无法基于人类生存的尺度建立具有严格外延对称性质的人文地理学理论或模型" 换言之$人文地理学的绝对普适理论不存在$或者建立对称的人文地理学理论不可能" 这个命题或许可以作为人文地理学的6个*不可能定律+,很多学科都有*不可能定律+$或者类似的命题$如物理学中*永动机不可能制造+)*不可能创造或消灭物质和能量+)*不可能比光行进更快+$气象学中*长期天气预报不可能+$规划理论中*超级城市不可能规划+$地理学中*最佳城市规模不可能找到+)*不同国家的城市化水平不可能比较+$等等-&(2)不对称性意味着变异性和复杂性$同6种人文地理现象在不同时空条件下往往有不同的行为特征$因此人文地理模型具有多样性& 在多种多样的人文地理模型中$如果其中有6个内涵对称性最好的模型$这个模型的应用范围通常最广& 对称性最好的模型未必是最正确的模型$但通常是反映地理系统最佳状态的模型& 不同的状态需要不同的模型$不同的模型反映系统演化的不同状态& 我们可以采用6个模型族刻画地理系统的不同状态$然后根据对称性引导系统向着最优状态的方向演进& 这样$虽然我们不能建立对称的地理学理论$但却可以建立地理学的对称理论((前者是指严格普适的理论$后者是指关于地理对称现象的理论&(3)人文地理系统虽然不对称$但其演化的目标却似乎是追求6种对称$人文地理系统的真实行为是围绕对称的状态波动变化& 这种现象或许可以称为人文地理系统发展的*对称回归+& 6方面$如前所述$在描述同6种现象的多种地理模型中$具有内涵对称性质的模型出现频率最高$理论上可以证明这种模型反映的系统状态最好& 另6方面$在统计平均意义上$人文地理学的规律真实存在$这些规律可以通过大样本表现出来& 例如$从整个中国尺度上考察人文地理引力模型$其距离摩擦系数接近于 2$ 与物理引力模型的相应参数情况6致& 西方物理学者研究发现$在大尺度上研究城市规模分布$其表现规律与物理学研究的规律非常相似 [42,43]&(4)对称性不能作为人文地理理论和规律是否正确的哲学判据$但却可以作为现实系统是否优化的理论标准& 我们不能因为现实中的6个反例或者几个反例否定6个人文地理模型$相反$如果我们有6个好的人文地理模型$可以据此判断现实系统是否健康发展& 举例说来$如果6个单中心的城市人口密度分布不服从 Clark 定律$ 我们不能据此认为 Clark 定律存在理论缺陷$相反$可能是我们面临的城市存在结构性的欠缺%如果某个区域的城市规模分布不服从 Zipf 定律$不要据此断言 Zipf 定律存在理论欠缺$实际上可能该区域的城市规模分布有待优化& 过去我们在考察地理模型的时候$有意无意采用了黑格尔(G W F Hegel, 1770;1831)的6个哲学命题!*存在的就是合理的& +当6个人文地理理论模型与现实世界不符合的时候$通常没有人怀疑现实世界存在问题$我们自觉不自觉地对人文地理模型本身产生了怀疑& 人们今天对人文地理学种种不友好的看法$大多与此类问题有关& 其实$早就有人怀疑这种思维方式了$那就是中心地理论的重要发展者廖什(A L!sch, 1906;1945)& 廖什有6个貌似偏激的观点$但作者认为那是颇有预见性的6种论断[18]!如果某个应用广泛的数学模型与现实世界不符合$那么不是模型错了$而是现实世界错了,作者不能肯定 L!sch 的这个观点是否公开发表& 2004年美国纽约州立大学布法罗分校 ,SUNY;Albany-地理系的 Michael Woldenberg 教授在电子邮件中提到这个观点$但他不能准确回忆出处-& 举例说来$如果某个城市的人口与面积之间不服从异速生长定律$那不是异速生长定律有什么问题$而是城市317
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地理科学进展28 卷自身的发展出现了问题! 解决的思路就是"借助异速生长定律调整城市人口与用地之间的比例关系"以求优化城市的结构! 沿着上述思路"人文地理学理论和模型的判定需要全新的哲学基础! 对于经典物理学而言"基于对称性"o个反例就可以推翻o个定律! 但是"由于人文地理学规律通常不具&狭义普适性"不能用个别反例否决任何理论规律! 对于人文地理系统" 如果o个数学模型满足如下条件"我们就可以将其视为o个人文地理学意义的定律#首先"这个模型在基于大样本的统计平均意义上分析效果良好$其次"这个模型得到绝大多数(不必是所有)观测数据的支持$冉次"这个模型具有某种变换中的不变性!城市人口密度的 Clark 定律"城市规模分布的 Zipf 定律" 城市人口!城区面积的异速生长定律"中心地理论背后的标度定律"如此等等"都属于此类规律! 基于这类定律和模型建立理论体系" 我们就可以据之优化真实的人文地理系统!最后需要明确的是人文地理学规律的层次性问题! 对于时空平移对称的系统如经典物理系统"个体层面的规律与整体层面的规律没有不同"因为其中不允许变异的个体存在! 但是"对于人文地理系统譬如城市而言" 个体层面与整体层面不尽o致! 以城市人口密度分布规律为例"在个体层面"不同城市的人口密度可能抽象为不同的数学模型! 具体到某个城市" 模型的建设需要借助于解释能力%预言水平% 简单性原则以及相应的统计学标准[44]!我们可以从多个&选模型中选择o个最佳拟合效果的模型! 我们采用的模型可能具有内涵对称性"也可能不具&内涵对称性! 从这个意义上"对称性不是模型选择正确与否的判据! 可是"在整体层面"当我们考察大量城市的时候"我们会发现"绝大多数单中心城市的人口密度服从 Clark 定律[9]"表示为负指数模型! Clark 定律具有内涵的平移对称性(变换中的不变性)"同时具有相对的外延对称性(广义普适性)! 众多实例表明"o个在整体层面出现频率最高(广义普适性最强)的模型"通常也是具有某种内涵对称性的模型! 这是本文的要点之o! o旦从整体层面确定了o个广义普适模型"我们就可以反过来诊断个体层面存在的问题#如果某个单中心城市的人口密度不服从 Clark 定律" 则可能该城市的人口分布存在结构性的缺陷"需要根据具体的情况进行空间优化! 这个过程涉及不同的尺度和层面"经历了从个体(具体城市)到整体(o般城市)冉返回个体(具体城市)的考察过程!5 结束语就理论地理学的发展而言"目前的问题可能主要在于两个方面# o是人文地理学规律如何揭示"二是人地关系理论如何建设! 如果人文地理学的规律不能有效揭示"则人地关系理论也难以取得突破性进展! 从这个意义上讲"人文地理学的问题"其实也是整个理论地理学的问题&&本文的o些结论"可以适当推广到o般的地理学领域! 艾南山等学者曾经指出#’物理学家们迄今为止在解析大极限宇宙和小极限基本粒子上投人过多的精力和热情"而对人们日常生活中所熟悉的中等大小的现象很难说有突破性的成就! ([36]物理学家的研究渗透到生物学%经济学乃至历史学"但他们对地理学特别是人文地理学的研究对象依旧望而却步" 关注者寥寥! 究其根源"在于物理学家通常关心的是时空平移对称的尺度"而人类生活的尺度在时空平移方面大多失去了对称"不能找到具有严格普适意义且参数恒常的理论模型"从而似乎不能揭示大自然背后的隐含法则! 所有这些"都表明o个问题"在人们心目中具有崇高地位的物理学" 其功能也是有局限的&&物理学家对人文尺度的地理空间现象无能为力! 可是"由于物理学对自然哲学影响深远"基于物理学的哲学思想经常影响着人们对o门学科的价值判断! 在这种情况下"具有某些’例外(特征的地理学在人们心目中乃至自然科学竞争中就常常被置于边缘的地位! 地理学尤其是人文地理学的科学性就常遭到o些人的质疑! 我们应该反思问题的根源和症结所在!其实"在科学理论建设中"最难以处理的问题就是时间滞后%空间维度和对称破缺! 不幸的是"所有这些问题都被地理学家遇到了! 在这种情况下"’例外(的道路是权宜的选择! 如果我们具&有效的研究方法" 如果我们澄清了学科建设的哲学障碍"人文地理学的将会有更为广阔的发展前景! 在哲学层面"对称问题是理论建设的根本问题"人文地理学理论不对称的现象需要给予合理的解释! 基于对称和对称破缺的观念" 我们对地理学的区域性定位"对地理学当初选择的’例外(道路"都可以得到更为深人的理性认识! 本文的o个基本观点就是"地理学家不可能建立对称的地理理论(基于严格普适性的地理学定律)" 但却可以建立地理学的对称理论(关于地理对称的研究)! 人文地理系统是o个不对称的系统"地理学家面临的研究尺度是o个对称破坏的尺度! 在这种情况下"不可能找到具有普适意义的理论或模型! 但是"人文地理系统演化过318
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2 期陈彦光!对称性与人文地理系统的规律性程中"的确表现出许许多多的对称特征# 因此"我们可以建立F种有关对称问题的地理学理论"研究地理模型的内涵对称规律# 由于地理中的对称结构都与某种优化格局有关"根据对称性可以对现实中的地理系统演化做出评价"并且为优化措施的提出提供理论指导# 最后特别强调F点"作者的观点绝对不是说对称与否是地理理论$科学%与否的判据"但是"有证明表明"对称与否可以作为人文地理系统是否优化的F种检测标准&参考文献[1] Von Neumann J. Collected Works (Vol.6)!New York/Ox"ford: Pergamon Press, 1961. 492.[2] Martin G J. All Possible Worlds: A History of GeographicalIdeas (4th Rev. edn). New York, NY: Oxford UniversityPress, 2005. 416V427.[3] Hurst MEE. Geography has neither existence nor future.In: Johnston R J (ed.). The Future of Geography. London:Methuen, 1985. 59V91.[4] 张祖林!当代西方地理学中的地理虚无主义!华中师范大学学报(自然科学版)"1994"28(2)!269V276.[5] 白光润!地理学的哲学贫困!地理学报"1995"50(3)!279V287.[6] Carroll C. National city^size distributions: What do weknow after 67 years of research? Progress in Human Ge"ography, 1982,6(1): 1V43.[7] Gabaix X, Ioannides Y M. The evolution of city size distri"butions. In: Henderson J V, Thisse J F. Handbook of Ur"ban and Regional Economics, Vol. 4 (Chapter 53). Ams"terdam: North^Holland Publishing Company, 2004. 2341V2378.[8] Cadwallader M T. Urban Geography: An Analytical Ap"proach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.114V117.[9] Batty M, Longley P A. Fractal Cities: A Geometry of Formand Function. London: Academic Press, Harcourt Brace &Company, Publishers, 1994. 234V320.[10] Harvey D 著"高泳源"刘立华"蔡运龙译!地理学中的解释!北京!商务印书馆"1996.136V 157.[11] 叶大年! 地理与对称! 上 海: 上海科技教育出版社 "2000"3.[12] 叶大年"赫伟"徐文东"李哲!中国城市的对称分布!中国科学(D 辑)"2001"31(7)!608V616.[13] 陈彦光"刘继生!中心地体系与水系分形结构的相似性分析!地理科学进展"2001"20(1)!81V88.[14] 刘继生" 陈彦光!Davis 规律与 Beckmann 模型的数理等价性’((城市体系等级结构的宏观#微观对称性分析!经济地理"2001"21(2)"231V234.[15] Lee TD. Symmetries, Asymmetries, and the World of Par"ticles. Seattle and London: University of WashingtonPress, 1988.3V29.[16] Mandelbrot B B. The Fractal Geometry of Nature. NewYork: W. H. Freeman and Company, 1983. 19.[17] Frankhauser P. La Fractalit$ des Structures Urbaines(Fractality of Urban Structure). Paris: Economica, 1994.[18] 陈彦光! 分形城市系统!标度)对称和空间复杂性!北京!科学出版社"2008.[19] Arlinghaus S. Fractals take a central place. GeografiskaAnnaler B, 1985,67(2): 83V88.[20] 陈彦光! 城市体系 Koch 雪花模型的实证研究((中心地 K3 体系中的分形与分维! 经济地理"1998"18(4)!33V37.[21] Frankhouser P. Aspects fractals des structures urbaines.L*Espace Geographique, 1990, 19(1): 45V69.[22] Wong D, Fotheringham A S. Urban systems as examples ofbounded chaos: Exploring the relationship between fractaldimension, rank^size, and rural to urban migration. Ge"ografiska Annaler B, 1990,72: 89V99.[23] 陆大道! 区域发展及其空间结构! 北京! 科学出版社"1995, 137V141.[24] 刘继生"陈彦光! 点#轴系统的分形结构及其空间复杂性探讨! 地理研究"2003"22(4)!447V454.[25] 周F星! 主要经济联系方向论! 城市规划"1998,(2)!22V25.[26] Weyl H. Symmetry. Princeton, N J: Princeton UniversityPress, 1989, 10.[27] Feynman R. The Character of Physical Law. Cambridge,MA: The MIT Press, 1970, 84V107.[28] Clark C. Urban population densities. Journal of Royal Sta"tistical Society, 1951,114: 490V496.[29] Zipf GK. Human Behavior and the Principle of Least Ef"fort. Reading, MA: Addison^Wesley, 1949. 417V441.[30] 陈I"陈ò"艾南山"李后强! 城市规模分布的分形研究!经济地理"1993"13(3)!48V^53.[31] Kline M. Mathematics in Western Culture. London: GeorgeAllen and Unwin, 1954.410V431.[32] 小川直树 著"李ú昭 译! 给讨厌数学的人!哈尔滨!哈尔滨出版社"2006. 46V58.[33] Stewart I 著"周仲良"周斌成"钟笑译! 第二重奥秘(生命i国的新数学! 上海!上海科学技术出版社"2002"50.[34] 陈彦光! 中心地体系空间结构的标度定律与分形模型(对 Christarller 中心地模型的数学抽象与理论推广! 北京大学学报(自然科学版)"2004"40(4)!626V634.[35] Holloway S L, Rice S P, Valentine G (eds.). Key Conceptsin Geography. London: SAGE Publications, 209V229.[36] 艾南山"陈ò"李后强! 走向分形地貌学! 地理学与国土研究"1999"15(2)!92V96.[37] Philo C, Mitchell R, More A. Reconsidering quantitativegeography: Things that count (Guest editorial). Environ"ment and Planning A, 1998, 30(2): 191V201.[38] 顾朝林"陈;! 人文地理学的发展历程及新趋势! 地理学报"2004"59(增刊)!11V20.[39] Schaefer F K. Exceptionalism in geography: A method"ological examination. Annals of the Association of Ameri"319
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地理科学进展28 卷can Geographers, 1953, 43: 2266249.[40] Fotheringham A S, OeKelly M E. Spatial Interaction Modrels: Formulations and Applications. Boston: Kluwer Acardemic Publishers, 1989, 2.[41] Waldrop M. Complexity: The Emerging of Science at theEdge of Order and Chaos. NY: Simon and Schuster, 1992,1366143.[42] Zanette D, Manrubia S. Role of intermittency in urban dervelopment: a model of large]scale city formation. PhysicalReview Letters, 1997, 79(3): 5236526.[43] Buchanan M. Ubiquity: The Science of History or WhyThe World is Simpler Than We Think. London: Weidenrfeld & Nicolson, 2000. 1576160.[44] 陈彦光. 地理学的模型建设及其选择标准. 亚热带资源与环境学报!2008!3(4)"167.New Way of Looking at Human Geographical Laws Usingthe Idea from SymmetryCHEN Yanguang(College of Urban and Environmental Sciences, Peking University, Beijing 100871, China)Abstract: Because of asymmetry of space and time translation, geographers have been trying invain to find theoretical laws which are like the natural laws in classical physics for a long time.The basic laws at large scale of macro level (cosmos) and small scale of micro level (particles)keep symmetric in both space and time. However, for human scale of medium level (e.g. cities),all symmetry rules seem to be broken. For a geographical phenomenon, mathematical model is notalways one and only, and model parameter values are not constant. Consequently, #universality$cannot be taken as a criterion of selecting geographical models or laws. The most difficult problemof theoretical construction in geography just rests with breaking symmetry of human scale. In thisinstance, we need now judgment standards of geographical models and laws based on newphilosophy. Fortunately, a discovery is made by the author these years that a good geographicalmodel, especially, mathematical model, always has some types of invariance through transformationindicative of variance. Invariance suggests symmetry, including translational symmetry, dilationsymmetry, lateral symmetry, rotational symmetry, etc. For theoretical models or rules, universalityis a kind of exhsymmetry of natural laws, while invariance of transformation is in fact an inhsymmetry of models. Geographical laws seem to conform to some inhsymmetry rules instead of exhsymmetry rules. The evolution aim of geographical systems seems to reconstruct the symmetryrules of nature. It is of significance for us to explore geographical symmetry, in particular inhuman geography, such as symmetrical distributions in time or in space, and the symmetrybetween time and space, or between macrohlevel and microhlevel, and so on. In this paper, apreliminary thought is presented to research geographical laws of human systems using theconcepts from symmetry. Some conclusions may be revealing for future geographical research athome and abroad.Key words: geographical law; symmetry; symmetry breaking; universality; conversation;immensurable quantity; human system320
第 28 卷 第 2 期2009 年 03 月地 理 科 学 进 展PROGRESS IN GEOGRAPHYVol.28, No.2Mar., 2009收稿日期!2008912" 修订日期! 2009901.基金项目:国家自然科学基金项目#40771061$%作者简介!陈彦光#1965!&’男’副教授’理学博士,中国地理学会会员% 主要研究方向!城市和理论地理学%E9mail:chenyg@pku.edu.cn312B320 页对称性与人文地理系统的规律性!"#(北京大学城市与环境学院城市与经济地理系’北京 100871)摘 要!长期以来’人文地理学Y直未能找到像物理学定律那样严格的规律% 究其根源’在于人文地理系统不满足时空平移对称性% 大自然在宇宙尺度和粒子尺度都遵循某种对称法则’但在人类活动的地理尺度上’各种对称规则似乎都被破坏% 因此’严格的普适性不能作为人文地理模型的选择依据% 然而’近年的研究表明’人文地理系统在表面的不对称背后’却隐含着另外Y种对称规则% 人文地理系统演化的Y个隐含的目标似乎就是重建大自然的对称律% 寻找这类隐含的对称法则及其演化机理有助于地理学的理论建设和应用发展% 借助典型的实例说明地理对称问题对人文地理学规律探讨的学术意义’着重论证地理对称性与变换中的不变性的逻辑关系’以及人文地理学对称性研究的Y些相关问题’目的是为人文地理学的理论建设启发新的研究思路%关 键 词!地理规律"对称"对称破缺"普适性"守恒律"不可观测量"人文地理系统1 引言对称性是地理学特别是人文地理学不可回避(但又难以解决的基本问题% 科学理论研究的重要任务就是寻找规律’建立模型[1]% Y种规律通常以某种模型的形式表示出来% 但是’人文地理学Y直没有找到类似物理学规律那样严格的(令人心悦诚服的规律% 城市体系的中心地理论( 城市规模分布的Zipf 定律( 城市人口密度的 Clark 定律等都Y直受到质疑))质疑者往往都是基于经典物理学的哲学眼光看待地理规律% 因此之故’地理研究逐步分裂为多个派别!Y派坚持标准的科学的道路’但困难重重"另Y派则走上*例外主义+的道路’将地理学当成不同于标准科学))以Y般规律为探索目标(以可重复性和可验证性为准则(以数学描述和系统受控实验为手段的科学))的另类科学[2]% 还有Y些学者对地理学彻底悲观失望[3]’Y度演变为西方的*地理虚无主义+[4]% 上述问题不是通常意义的认识分歧’而是涉及到地理系统的基本性质及其哲学基础的根本性问题[5]% 如果问题的根源得不到澄清’地理学的发展难免受到消极的影响%人文地理系统之所以很难找到严格的(具有普适意义的定律’根源在于大自然的时空平移对称法则在人文尺度上的破坏))宇宙尺度在本质上是静态(对称的’这是经典物理学定律存在的基本前提%然而’人文地理尺度不同%因时间平移对称性不冉成立’ 不同时期发展的规律很难保持完全Y致"由于空间平移对称性的破坏’不同区域发现的规律也不尽相同% 举例说来’城市地理学中最著名的定律之Y是所谓 Zipf 定律% 但是’并非所有国家的城市规模都服从 Zipf 分布[6,7]"即便服从 Zipf 定律’主要参数值也不尽相同% 城市地理学中的另Y著名定律是刻画城市人口密度分布的 Clark 定律% 根据这个定律’城市人口密度呈现负指数分布% 但是’并非所有城市的人口密度都服从负指数分布’同Y个城市在不同时期人口分布特征也不尽相同 [8,9]%类比于物理学的万有引力定律’人文地理学中也应用引力模型% 计量运动时期’地理学家曾花费大量精力试图寻找地理学的引力常数’ 但结果是徒劳无功[10]%这类问题的原因只有Y个’那就是人文地理系统的规律不满足时空平移对称性% 由于这种不对称性的存在’地理学不可能像标准科学那样寻找严格的定律’揭示普遍原理’建立常规意义的学科范式%然而’随着科学的发展’人们对人文地理系统特别是人文地理系统的对称性和对称破坏有了新的认识’从而上述局面有可能改观% 改变这种状况的根源在于城市地理系统对称规律和特征的Y系列发现’包括空间对称性(等级对称性和标度对称性% 特别值得强调的是空间对称性的发现% 世纪之交’中国科学院的叶大年院士发表题为,地理与对称-的小册子’接着发表*中国城市的对称分布+Y文[11,12]’揭开了城市空间分布对称探索的序幕% 叶大
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2 期陈彦光!对称性与人文地理系统的规律性年院士基于自己特定的知识背景研究发现"中国城市乃至印度城市在空间分布方面具有轴对称#斜对称和靶形对称等多种对称规律$ 除此之外"作者的研究也发现"刻画城市体系等级结构的标度律具有尺度平移对称和镜像对称等多种对称特征[13]$ 不仅如此" 城市地理系统的人地对称性和宏观!微观对称性也先后被揭示出来[13,14]$如果说上述的对称研究工作限于国内学术界的行为"城市的标度对称探索[9]则为国际范围的研究工作了$ 对称性与不可观测量有关[15]"有不可观测量就有对称$ 由于海岸线长度的不可测量性"以及诸如此类的问题"导致了分形理论的创生$ 分形的发现本质上是«种新的对称性即标度对称性的发现[16]$ 分形城市的研究"在相当程度上是属于城市地理系统标度对称性的研究[9,17,18]$ 在此过程中"不仅揭示了城市地理系统的新的标度对称规律"而且揭示了经典地理学理论模型的标度对称规律$如"中心地系统[19,20]%城市规模分布的 Zipf 定律[21,22]#城市人口!城区面积异速生长定律[9]"等等"都具有某种意义的标度对称性质&实际上"地理学家是非常偏爱对称的"与此同时"他们也注意到对称破坏的作用和意义& 地理学家在建立模型的时候"大多在有意%无意反映某种对称规律"或者揭示对称破坏的动力学机制及其效应& 中心地是«种具有多种对称性的模型"Clark 模型和 Zipf 模型都具有数学意义的对称性[18]& 陆大道的点!轴系统模型演示了区域空间结构从低度有序的对称结构通过自发对称破坏演化为高度有序结构的过程[23,24]"周«星的主要经济联系方向论实质上揭示了城市形态对称破坏的经济意义[25]& 这«类的研究时常可见& 总之"对称思想以及与之对立的对称破缺对地理模型建设和地理系统演化机制解释具有非同«般的理论意义& 只有揭示了对称性与地理学规律性的关系及其本质"人文地理学的基础理论才能更好地发展起来&2 对称性和变换中的不变性对称性的形态意义不难理解"但对称性的数理本质则有必要具体说明& 所谓对称性"实则«种变换中的不变性& Weyl 指出!’对称性«词在日常用语中有两重含义& (对称的)意味着良好的比例和平衡"而(对称性)则表示结合成整体的各个部分之间所具有的某种和谐性(concordance)$ *[26] 对称性意味着有序性!’事物经过«定的时间或者«定的距离就有重复性的现象"就称为对称& *[11]和谐#有序都与优化有关& «般说来"对称可以分为平移对称"旋转对称"左右对称(或译为双侧对称#镜像对称)和伸缩对称(或译为扩展对称#标度对称)等类别& 以中心地模型为例"它是«种基于正六边形的多重嵌套结构"具有平移对称#伸缩对称#左右对称和旋转对称等多重对称特性& 下面着重说明两个问题!«是普适性"二是模型变换中的不变性& 前者属于外延对称性(denotative symmetry)或者显对称"而后者则属于内涵对称性(connotative symmetry)或者隐对称+注意作者对这两个概念的定义不同于其他学科的外对称(external symmetry)和内对称(internal symme"try)& «个科学工作者建立«个理论模型"都会关心它的适用范围& 普适性其实就是时空平移对称性&«个经典意义的科学定律" 必须具&某种普适性&物理学对’定律(law)*的定义就是!各种现象之间恒定关系的简洁陈述"在所有符合特定条件的例子中都能适用& 经典物理学的万有引力定律在时空意义上是普遍适用的& R. Feynman 在讨论物理学定律的时空平移对称性时首先想到的例子就是牛顿引力模型[27]& 牛顿在 17 世纪发现的万有引力模型"今天依然适用"这就是时间平移不变性"亦即时间平移对称性,英国人发现的万有引力模型"在中国#美国都能适用"这是空间平移不变性"亦即空间平移对称性& 人文地理学意义的引力模型就不是这样& 在宏观统计上"人文地理现象也服从引力模型刻画的幂次反比例关系& 但是"这种模型却具有如下对称破坏特征& 第«"模型不是严格普遍适用的"即时空平移不对称& 第二"模型结构不稳定"距离衰减函数有时为负幂函数"有时则为负指数函数& 第三"模型参数不恒常"不存在地理学意义的引力常数[10]& 可见人文地理学规律不仅不具&严格的普适性"也不具&数学形式上的确定性&讨论至此"有必要对’普适性*概念进行定义或者赋予新的含义& 严格意义的普适性不允许例外"这种普适性可以称为狭义普适性& 对于人文地理系统而言"不存在服从严格普适性的定律"但的确存在大多数场合适用的规律++人文地理学意义的’普遍适用*是相对的"意同’绝大多数皆然*"如前述 Zipf 定律& 如果«个规律在绝大多数情况下成立"但存在«些例外或者反例"则其服从相对意义的普适性"或者叫做广义普适性& «个人文地理规律适用的范围越是广泛" 则其广义普适性越强"越是逼近狭义普适性&虽然人文地理学规律不满足狭义普适性"但好的人文地理模型都具有某种变换中的不变性& 中心地模型自不待言"具有多种变换中不变性& 其他著313
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地理科学进展28 卷名的人文地理学模型! 大都具有某种直观的对称性!或者非直观的变换中的不变性" 给定C个函数 !(")!不妨用它表示某种人文地理学模型" 定义C个变换 T!用这个算子对函数 !(")施加变换" 如果变换的结果是C个常数乘以这个函数! 我们就说模型 !(")在变换算子 T 下具有不变性" 表示为方程式就是T!(")’A!(")(1)满足这种条件!我们就说 !(")是算子 T 的本征函数!常数 A 则是相应的本征值" 下面以著名的 Clark 定律和 Zipf 定律说明这个问题"在城市地理学中!城市人口密度的空间分布通常采用负指数函数即 Clark 模型进行拟合[28]!即有p(#)’p0 $%#�(2)式中## 为到城市中心的距离!p(#)为距离市中心为 #处的人口密度!p0 $#0 为参数!其中 p0 在理论上为市中心的人口密度" 可以证明!Clark 模型在平移算子和微分算子下具有不变性" 定义C个平移算子 T!则有: Tp(#)’p(#6’)’p0 $%((%’)� ’$’� p(#)’Ap(#)(3)可以看到!Clark 模型在平移变换下是本征函数!而A’exp(’�)为本征值"这里 ’ 为平移因子!$ 为常数"由于 ’ 为任意常数! 本征值仅仅与 #0 有关!#0 恰恰是分析城市人口密度分布最为关键的C个参数" 容易证明! 在微分算子下!Clark 模型同样具有不变性! 而微分算子本质上也是C种平移算子" 可见!Clark 模型具有多种变换下的平移不变性"城市位序!规模分布法则即 Zipf 定律[29]!其常规形式为:)(*)’)1*%+(4)式中#* 为自大而小的城市位序!)(*)为位序为 * 的城市的规模!)1$, 为参数!其中 )1 在理论上为最大城市的规模!+ 为反映城市规模分布特征的参数"可以证明!方程式(4)在伸缩变换下是不变的" 定义C个伸缩算子 D!则有D)(*)-)(’*)-’%,)1*%,-’%,)(*)-A)(*)(5)式中#’ 为伸缩参数" 上式表明!Zipf 模型在伸缩变换下是本征函数!而本征值 A-’%," 由于 ’ 为任意常数!本征值仅仅与 , 有关!, 恰恰是我们分析城市规模分布特征最为关键的定量判据" 由此可见!Zipf定律具有标度不变性! 位序!规模分布本质上是C种分形结构[9,18,30]"描述单中心城市人口密度分布的模型不C而足!有 Tanner6Sherratt 模型(正态型)$Newling 模型(二次指数型)$Parr 模型(对数正态型)等[8,9]" 但是!使用频率最高的模型却是 Clark 的负指数模型" 刻画城市规模分布函数也有不少! 包括 Pareto 分布$对数正态分布$Yule 分布$Weibull 分布!等等[6,7,18]" 但是! 使用频率最高的则是 Pareto 分布或者 Zipf 模型%%理论上 !Zipf 定律与 Pareto 分布等价 [30]"Clark 模型在平移算子和微分算子下都具有不变性(平移不变)! 而 Pareto 分布或者 Zipf 定律则在伸缩算子下具有不变性(标度不变)" 在极限条件下!Yule分布也是标度不变的" 这样的例子很多!例如城市化水平预测广泛运用的 logistic 模型! 在 logit 变换下是平移对称的&地理学家大量研究的基本定律之C%%城市异速生长定律则是标度对称的’’" 这就启示我们!对称性最好的人文地理学模型通常也是应用频率最高的模型!亦即广义普适性最强的模型" 对人文地理学定律的评判标准似乎不应该是狭义普适性!即不是严格意义的外延对称性!而应该是变换中的不变性!即内涵对称性" 中心地模型具有多重内涵对称性!故在人文地理学中影响巨大而且深远" 简而言之!虽然不存在绝对普适的人文地理学规律!但是!相对而言!内涵对称性越好的模型!其外延对称性也就越强!从而应用范围也就越是广泛" 顺便强调!对称性不是人文地理模型选择正确与否的判据!但似乎可以作为描述对象优化与否的C个判据!有关问题还要进C步说明"对称性研究对于人文地理学的理论建设具有重要的学术意义" 非欧几何学特别是罗氏几何创生之后!科学探索的重心发生了转移#科学研究的主要任务不冉是寻求真理!而是演变为模型建设(包括数学模型)[31,32]"但是!由于人文地理系统的演化规则时空平移不对称!人文地理数学模型的选择C直缺乏可靠的哲学依据" 人文地理系统内涵对称性(隐对称)与外延对称性(显对称)关系的发现!为今后的人文地理学模型建设启示了C种可能的出路#人文地理模型的选择依据之C不是严格的外延对称性(狭义普适性)!而是内涵对称性(变换中的不变性)" 例如!描述城市规模分布的模型有多个!从普适性的角度看来!没有C个满足要求&但是!从变换中的不变性看来!负幂律效果最好&刻画城市人口密度分布的模型有多个! 从普适性的角度看来!也没有C个模型满足要求!但是!从变换中的不变性看来!负指数模型效果最为可取" 过去!地理学家效仿经典物理学的处理方法!始终根据严格普适性的原则寻找地理法则!结果很不理想!许多重要的规律可能失之交臂" 今后!如果我们改变思维方式!不是根据狭义普适性!而是根据变换中的不变性进行理论探索!许多问题可能会得到更为有效的解决"314
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2 期陈彦光:对称性与人文地理系统的规律性3 地理对称和对称破缺现在我们知道,对称性就是某种不变性。 理解对称是发现科学规律、 建立基础理论的必要条件。Stewart 曾经指出:%通常,是对称性构成了我们理解某些模式形成的核心。直到 1830 年左右,数学家们才将他们对于对称性的理解作了形象化的表述。他们认识到,对称性并不是s样东西,而是s种变换,s种运动,s种变形,s种将物体组成部分进行移动的方式。 对称性也不是s种随意的变换:物体经过变换以后,看上去应该与原先完全s样。 &[33]如上所述,以狭义观点看,地理对称虽然遭受破坏,但不对称的背后却隐含着另类的对称,即地理模型在特定变换下的不变性。对称性在人文地理尺度虽然遭到破坏,但大量的迹象表明,人文地理系统演化的目的,似乎要重建大自然的对称律。 人文地理系统自组织发展的过程可能就是在对称与不对称之间寻求s种动态平衡。 地理对称具有不同的分类视角,有关问题需要专门讨论。目前看来,人文地理对称问题,主要涉及如下两大类别,每s个类别又包含若干方面的问题。第s,人文地理系统对称性的外延式表现。 内容涉及时间对称性、空间对称性、时空对称性、人地对称性和宏观!微观对称性等。(1)时间对称性:主要是指s个地理模型在时间方向的某种不变性,特别是平移不变性。 (2)空间对称性:对于地理工作者而言,空间对称性概念最容易理解。 叶大年院士及其合作者以城市为研究对象,在空间对称性方面做出了开创性的工作[11,12]。 (3)时空对称性:与地理系统的遍历性即各态历经性有关。 早在计量运动时期,西方地理学家就在有关方面开展了大量工作[10],不过尚未规范。 所谓时空对称性,是指s个地理现象如果在时间方向满足某种规律,则其空间方向上也满足该种规律,反之亦然。城市人口!城区面积异速生长定律就是代表性的问题之s[9]。对于s个城市,不同年份的人口和相应的面积满足幂指数关系,此为纵向异速关系; 对于该城市所在的区域城市体系,在某个时刻的城市人口和城区面积也满足幂指数关系,此为横向异速关系。纵向异速关系(时间方向)和横向异速关系(空间方向)都满足幂律,故异速生长定律满足时空对称性。 (4)人地对称性:所谓人地对称性,是指自然地理系统服从的标度律,人文地理系统也服从,反之亦然。例如城市体系和水系、地震能级分布等遵循完全相同的标度定律[34]。 具体说来,我们可以分枝律、长度律和面积律刻画水系,也可以采用与此对应的、相同结构的数目律、规模律和面积律描述中心地系统和城市体系。 (5)微观!宏观对称性:所谓宏观!微观对称性,是指人文地理系统宏观层面的规律在微观层面也适用, 反之亦然。例如描述城市体系的分形规律,在某些城市内部结构中也适用; 刻画大城市体系的等级结构模型,也可以用于刻画s些小城镇聚落体系。在上述内容中,空间对称性、时空对称性和人地对称性是核心问题,因为这几个方面与人文地理学的理论建设关系更为密切。 微观!宏观对称性涉及到人文地理模型的尺度平移不变问题,而尺度问题在地理研究中具有非同寻常的意义[35]。第二,人文地理系统对称性的内涵式表现。 涉及尺度的平移对称性、伸缩对称性、旋转对称性和左右对称性。内涵式研究和外延式研究不是独立的两块内容,而是s个问题的两个方面。 (1)平移对称性:在数学模型上通常以指数律或者类似的形式表现出来,与地理系统的尺度(scale)问题有关。(2)伸缩对称性(标度对称性、扩展对称性):在数学模型上通常以幂律或者类似的形式表现出来,与地理系统的标度(scaling)问题有关。 (3)旋转对称性:在数学模型上与角度变换有关。 (4)左右对称性(镜像对称性、双侧对称性): 在数学模型中以幂律或者指数律的形式表现出来。上述四个方面是s个完整的体系,通常表现为模型特别是数学模型形式。在经典的人文地理学理论模型中,中心地模型就同时具&平移对称、伸缩对称、旋转对称和镜像对称四种特征。 城市人口密度的 Clark 定律是尺度平移对称的。 城市规模分布的 Zipf 定律和城市人口!城区面积的异速生长定律具有标度对称性,但其背后同时隐含着尺度平移对称、伸缩对称和镜像对称三种对称特征。 地理引力模型、空间相互作用模型都具有不同程度的对称性质。 人文地理系统对称性与物质!能量建构规律和原理有关。 在人文地理系统的理论研究中,能量概念来源于物理学类比:建立数学模型或者提取观测数据之后, 借助 Fourier 变换可以得到能量谱或者功率谱。 关于原理分析,值得特别关注的问题至少包括如下方面。(1)对称性与不可观测量。 有不可观测量,就s定有对称性[15]。 正是由于海岸线长度的不可观测问题,导致标度对称的发现和分形理论的创生。 艾南山等学者曾经感叹,分形原本是地理学家应该发现的问题,但却成为数学家的成果[36],这是s个遗憾的事情。 但目前又有s个新的问题,那就是分维本身的不可观测((不同方法给出的同s种分维值差别较大[36],这背后似乎隐藏着更高层次的对称性315
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地理科学进展28 卷问题! 如果这个领域有所发现"那将不仅仅是地理学领域的重要理论突破"也可能是整个科学界的重要学术进展!(2)对称性与守恒律! 有不可观测量就有守恒律[15,27]! 正是能量和动量的守恒导致平移对称性"信息的守恒导致标度对称性 (通常意义的信息不守恒"但c个分形元与分形体之间"信息守恒)! 作者感兴趣的是"人文地理系统的对称性与守恒律究竟以怎样的数学模型表现出来"这背后涉及到人文地理系统演化的c些基本原理!(3)内涵对称性(变换中的不变性)与地理数学模型选择的规律以及内涵对称性与c般外延对称性(广义普适性)的相关原理! 这个问题对地理学今后的理论建设很有意义! 如前所述"经典物理学的定律和模型都表现为严格的普适性! 但人文地理学定律和模型不是这样"根据狭义普适性选择模型的道路不通! 然而"如前所述"人文地理学中最重要的地理模型都具有某种变换中的不变性!(4)对称性与人文地理学的模型选择和参数估计问题! 研究发现"c个好的地理数学模型或规律都具有良好的内涵对称性"表现为某种变换下的本征函数" 其关键参数为本征值或者本征值的函数!这类模型线性化之后"本征值或者本征值对应的参数转换为斜率而非截距! 这个发现为我们在数学建模过程中选择算法#采用适用的软件提供了理论依据$$不同的软件往往支持不同的算法"而对于同c个模型"不同的算法往往给出不同的参数估值!(5)对称和对称破缺的协调机制! 对于人文地理系统而言"对称和对称破坏通常是相伴而生的! 研究对称就不能忽略对称破缺问题! 没有对称就没有稳定"没有对称破缺就没有创新!实际上"人文地理系统演化的过程"是c个对称破坏与对称重建相互交织的过程! 当c个城市没有形成主要经济联系方向的时候"它的各个方向在理论上是不可区分的"因而是对称的%c旦形成主要经济联系方向[25]"则不同的方向明显地不同"从而失去对称! 然而"当各个城市在个体层面失去对称的时候"往往在城市体系的更高层面形成新的对称[18]! 点!轴系统的演化过程也是c个对称破缺与重建的过程! 在点!轴发育之前的乡村层面"系统是对称的%点!轴发育之后"对称特征破坏[23]%当点!轴形成高度的有序之后" 实际上重建了新的对称[24]!对称破缺是自组织的前提"对称重建则是规律形成和模型刻画的重要条件!4 对称性与地理规律的认识对于c门学科的理论建设来说"对称性问题是不可回避的基础问题! 20 世纪 60 年代前后" 西方地理学的&计量革命’取得了成功"但继之而起的&理论革命’却无可奈何地宣告失败[37] (国内地理学界大都认为&计量革命’是以失败告终的"作者过去也这么看!而西方地理学家认为&计量革命’早在 20世纪 60 年代初期就成功了"但是"作为计量运动的继续"&理论革命’失败了(! 此后十几年中"当人文地理学向着区域的传统回归的时候"地理虚无主义的思想却油然而生[3,4]! 主要原因可能在于人文地理学缺乏坚实的理论基础"很多人不满足于我们的学科仅仅作为c门经验科学! 80 年代后期"由于新思想#新方法和新技术的引人"人文地理学开始了新c轮的蓬勃发展"过去那种理论变革受挫后的失落和空虚逐渐被学界淡忘! 当前的人文地理学己被认为是百花齐放#充满生机的学科[38]! 然而"在这些繁荣景象的背后"是否还有c些不易察觉的隐忧) 人文地理学的地位在人们心目中究竟如何) 今天的城市地理学可谓是兴旺发达了"但是就有规划领域的学者公开著文质疑这门学科的科学性! 这类疑问在现实中常常遇到"我们不可能长久地回避! 地理学当初为什么会选择&例外主义’[5,39]的道路)人们为什么对人文地理学有别样的看法) 我们应当如何看待人文地理学的学科性质和基本现状)其实"上述人文地理学的种种问题"本质上无不与&对称’二字有关! 西方科学的发展"其最根本的哲学基础是建立在对称思想之上的! 科学研究的目的以及科学的功能" 归纳起来通常就是两个词汇*解释和预言[1,40]!解释需要理论"预言需要理论和方法! 牛顿万有引力定律的划时代影响"就在于它在解释和预言方面的巨大成功*据之可以解释星球的运转"可以预言当时不为人知的行星的存在! 牛顿引力定律之所以可以做到这些"对称性是基本前提[27]! 如果牛顿引力模型像人文地理引力模型c样" 结构不稳定$$表现为多种形式" 参数不恒常$$不存在引力常数" 则不仅解释上存在困难"而且预言的可靠性毫无保证! 在经典物理学中"严格普适性是c个定律的基本要求" 在此前提下"c个反例就可以否定c个理论! 由于物理学在认识世界的过程中的确取得了很多辉煌的成功"占据学术界的所谓&贵族’的地位[41]"其思想通过哲学和教育体系影响到每c个文化人! 因此"人们在评价c个学科或者理论的时候"大多难免局限于传统物理学316
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2 期陈彦光!对称性与人文地理系统的规律性的对称思维" 6个矛盾的现实情况却是#6方面$地理学家面对的是高度复杂的不对称系统% 另6方面$大众却用对称的标准来看待6门学科建设的水平& 人文地理学也有引力模型$但却找不到引力常数’((从而解释和预言都成为问题%人文地理学也有种种定律((Zipf 定律)Clark 定律)异速生长定律等等$但是$没有哪6个定律服从狭义普适性!6个国家与另6个国家情况不同$6个年份与另外6个年份情况有所变异" 时空平移不对称$是人文地理学理论建设的最大难题$也是地理学研究走向例外的根本原因" 计量革命之后的理论革命之所以不能成功$原因有多个方面$最主要的可能在于当时西方地理学家试图基于不对称的系统建立对称的理论" 相关学科的学者对人文地理学的质疑$首要原因也在于我们至今没有严格普适的定律"然而$如果我们改变思维的角度$就会对长期令人困惑的问题有全新的认识!人文地理学与其他学科不同$人文地理学不需要传统意义的狭义普适理论" 借助对称的思想$作者提出如下认识的框架$以期对人文地理学的规律有6个合理的定位和准确的认识"(1)人文地理系统是6个不对称的系统$无法基于人类生存的尺度建立具有严格外延对称性质的人文地理学理论或模型" 换言之$人文地理学的绝对普适理论不存在$或者建立对称的人文地理学理论不可能" 这个命题或许可以作为人文地理学的6个*不可能定律+,很多学科都有*不可能定律+$或者类似的命题$如物理学中*永动机不可能制造+)*不可能创造或消灭物质和能量+)*不可能比光行进更快+$气象学中*长期天气预报不可能+$规划理论中*超级城市不可能规划+$地理学中*最佳城市规模不可能找到+)*不同国家的城市化水平不可能比较+$等等-&(2)不对称性意味着变异性和复杂性$同6种人文地理现象在不同时空条件下往往有不同的行为特征$因此人文地理模型具有多样性& 在多种多样的人文地理模型中$如果其中有6个内涵对称性最好的模型$这个模型的应用范围通常最广& 对称性最好的模型未必是最正确的模型$但通常是反映地理系统最佳状态的模型& 不同的状态需要不同的模型$不同的模型反映系统演化的不同状态& 我们可以采用6个模型族刻画地理系统的不同状态$然后根据对称性引导系统向着最优状态的方向演进& 这样$虽然我们不能建立对称的地理学理论$但却可以建立地理学的对称理论((前者是指严格普适的理论$后者是指关于地理对称现象的理论&(3)人文地理系统虽然不对称$但其演化的目标却似乎是追求6种对称$人文地理系统的真实行为是围绕对称的状态波动变化& 这种现象或许可以称为人文地理系统发展的*对称回归+& 6方面$如前所述$在描述同6种现象的多种地理模型中$具有内涵对称性质的模型出现频率最高$理论上可以证明这种模型反映的系统状态最好& 另6方面$在统计平均意义上$人文地理学的规律真实存在$这些规律可以通过大样本表现出来& 例如$从整个中国尺度上考察人文地理引力模型$其距离摩擦系数接近于 2$ 与物理引力模型的相应参数情况6致& 西方物理学者研究发现$在大尺度上研究城市规模分布$其表现规律与物理学研究的规律非常相似 [42,43]&(4)对称性不能作为人文地理理论和规律是否正确的哲学判据$但却可以作为现实系统是否优化的理论标准& 我们不能因为现实中的6个反例或者几个反例否定6个人文地理模型$相反$如果我们有6个好的人文地理模型$可以据此判断现实系统是否健康发展& 举例说来$如果6个单中心的城市人口密度分布不服从 Clark 定律$ 我们不能据此认为 Clark 定律存在理论缺陷$相反$可能是我们面临的城市存在结构性的欠缺%如果某个区域的城市规模分布不服从 Zipf 定律$不要据此断言 Zipf 定律存在理论欠缺$实际上可能该区域的城市规模分布有待优化& 过去我们在考察地理模型的时候$有意无意采用了黑格尔(G W F Hegel, 1770;1831)的6个哲学命题!*存在的就是合理的& +当6个人文地理理论模型与现实世界不符合的时候$通常没有人怀疑现实世界存在问题$我们自觉不自觉地对人文地理模型本身产生了怀疑& 人们今天对人文地理学种种不友好的看法$大多与此类问题有关& 其实$早就有人怀疑这种思维方式了$那就是中心地理论的重要发展者廖什(A L!sch, 1906;1945)& 廖什有6个貌似偏激的观点$但作者认为那是颇有预见性的6种论断[18]!如果某个应用广泛的数学模型与现实世界不符合$那么不是模型错了$而是现实世界错了,作者不能肯定 L!sch 的这个观点是否公开发表& 2004年美国纽约州立大学布法罗分校 ,SUNY;Albany-地理系的 Michael Woldenberg 教授在电子邮件中提到这个观点$但他不能准确回忆出处-& 举例说来$如果某个城市的人口与面积之间不服从异速生长定律$那不是异速生长定律有什么问题$而是城市317
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地理科学进展28 卷自身的发展出现了问题! 解决的思路就是"借助异速生长定律调整城市人口与用地之间的比例关系"以求优化城市的结构! 沿着上述思路"人文地理学理论和模型的判定需要全新的哲学基础! 对于经典物理学而言"基于对称性"o个反例就可以推翻o个定律! 但是"由于人文地理学规律通常不具&狭义普适性"不能用个别反例否决任何理论规律! 对于人文地理系统" 如果o个数学模型满足如下条件"我们就可以将其视为o个人文地理学意义的定律#首先"这个模型在基于大样本的统计平均意义上分析效果良好$其次"这个模型得到绝大多数(不必是所有)观测数据的支持$冉次"这个模型具有某种变换中的不变性!城市人口密度的 Clark 定律"城市规模分布的 Zipf 定律" 城市人口!城区面积的异速生长定律"中心地理论背后的标度定律"如此等等"都属于此类规律! 基于这类定律和模型建立理论体系" 我们就可以据之优化真实的人文地理系统!最后需要明确的是人文地理学规律的层次性问题! 对于时空平移对称的系统如经典物理系统"个体层面的规律与整体层面的规律没有不同"因为其中不允许变异的个体存在! 但是"对于人文地理系统譬如城市而言" 个体层面与整体层面不尽o致! 以城市人口密度分布规律为例"在个体层面"不同城市的人口密度可能抽象为不同的数学模型! 具体到某个城市" 模型的建设需要借助于解释能力%预言水平% 简单性原则以及相应的统计学标准[44]!我们可以从多个&选模型中选择o个最佳拟合效果的模型! 我们采用的模型可能具有内涵对称性"也可能不具&内涵对称性! 从这个意义上"对称性不是模型选择正确与否的判据! 可是"在整体层面"当我们考察大量城市的时候"我们会发现"绝大多数单中心城市的人口密度服从 Clark 定律[9]"表示为负指数模型! Clark 定律具有内涵的平移对称性(变换中的不变性)"同时具有相对的外延对称性(广义普适性)! 众多实例表明"o个在整体层面出现频率最高(广义普适性最强)的模型"通常也是具有某种内涵对称性的模型! 这是本文的要点之o! o旦从整体层面确定了o个广义普适模型"我们就可以反过来诊断个体层面存在的问题#如果某个单中心城市的人口密度不服从 Clark 定律" 则可能该城市的人口分布存在结构性的缺陷"需要根据具体的情况进行空间优化! 这个过程涉及不同的尺度和层面"经历了从个体(具体城市)到整体(o般城市)冉返回个体(具体城市)的考察过程!5 结束语就理论地理学的发展而言"目前的问题可能主要在于两个方面# o是人文地理学规律如何揭示"二是人地关系理论如何建设! 如果人文地理学的规律不能有效揭示"则人地关系理论也难以取得突破性进展! 从这个意义上讲"人文地理学的问题"其实也是整个理论地理学的问题&&本文的o些结论"可以适当推广到o般的地理学领域! 艾南山等学者曾经指出#’物理学家们迄今为止在解析大极限宇宙和小极限基本粒子上投人过多的精力和热情"而对人们日常生活中所熟悉的中等大小的现象很难说有突破性的成就! ([36]物理学家的研究渗透到生物学%经济学乃至历史学"但他们对地理学特别是人文地理学的研究对象依旧望而却步" 关注者寥寥! 究其根源"在于物理学家通常关心的是时空平移对称的尺度"而人类生活的尺度在时空平移方面大多失去了对称"不能找到具有严格普适意义且参数恒常的理论模型"从而似乎不能揭示大自然背后的隐含法则! 所有这些"都表明o个问题"在人们心目中具有崇高地位的物理学" 其功能也是有局限的&&物理学家对人文尺度的地理空间现象无能为力! 可是"由于物理学对自然哲学影响深远"基于物理学的哲学思想经常影响着人们对o门学科的价值判断! 在这种情况下"具有某些’例外(特征的地理学在人们心目中乃至自然科学竞争中就常常被置于边缘的地位! 地理学尤其是人文地理学的科学性就常遭到o些人的质疑! 我们应该反思问题的根源和症结所在!其实"在科学理论建设中"最难以处理的问题就是时间滞后%空间维度和对称破缺! 不幸的是"所有这些问题都被地理学家遇到了! 在这种情况下"’例外(的道路是权宜的选择! 如果我们具&有效的研究方法" 如果我们澄清了学科建设的哲学障碍"人文地理学的将会有更为广阔的发展前景! 在哲学层面"对称问题是理论建设的根本问题"人文地理学理论不对称的现象需要给予合理的解释! 基于对称和对称破缺的观念" 我们对地理学的区域性定位"对地理学当初选择的’例外(道路"都可以得到更为深人的理性认识! 本文的o个基本观点就是"地理学家不可能建立对称的地理理论(基于严格普适性的地理学定律)" 但却可以建立地理学的对称理论(关于地理对称的研究)! 人文地理系统是o个不对称的系统"地理学家面临的研究尺度是o个对称破坏的尺度! 在这种情况下"不可能找到具有普适意义的理论或模型! 但是"人文地理系统演化过318
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2 期陈彦光!对称性与人文地理系统的规律性程中"的确表现出许许多多的对称特征# 因此"我们可以建立F种有关对称问题的地理学理论"研究地理模型的内涵对称规律# 由于地理中的对称结构都与某种优化格局有关"根据对称性可以对现实中的地理系统演化做出评价"并且为优化措施的提出提供理论指导# 最后特别强调F点"作者的观点绝对不是说对称与否是地理理论$科学%与否的判据"但是"有证明表明"对称与否可以作为人文地理系统是否优化的F种检测标准&参考文献[1] Von Neumann J. Collected Works (Vol.6)!New York/Ox"ford: Pergamon Press, 1961. 492.[2] Martin G J. All Possible Worlds: A History of GeographicalIdeas (4th Rev. edn). New York, NY: Oxford UniversityPress, 2005. 416V427.[3] Hurst MEE. Geography has neither existence nor future.In: Johnston R J (ed.). The Future of Geography. London:Methuen, 1985. 59V91.[4] 张祖林!当代西方地理学中的地理虚无主义!华中师范大学学报(自然科学版)"1994"28(2)!269V276.[5] 白光润!地理学的哲学贫困!地理学报"1995"50(3)!279V287.[6] Carroll C. National city^size distributions: What do weknow after 67 years of research? Progress in Human Ge"ography, 1982,6(1): 1V43.[7] Gabaix X, Ioannides Y M. The evolution of city size distri"butions. In: Henderson J V, Thisse J F. Handbook of Ur"ban and Regional Economics, Vol. 4 (Chapter 53). Ams"terdam: North^Holland Publishing Company, 2004. 2341V2378.[8] Cadwallader M T. Urban Geography: An Analytical Ap"proach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.114V117.[9] Batty M, Longley P A. Fractal Cities: A Geometry of Formand Function. London: Academic Press, Harcourt Brace &Company, Publishers, 1994. 234V320.[10] Harvey D 著"高泳源"刘立华"蔡运龙译!地理学中的解释!北京!商务印书馆"1996.136V 157.[11] 叶大年! 地理与对称! 上 海: 上海科技教育出版社 "2000"3.[12] 叶大年"赫伟"徐文东"李哲!中国城市的对称分布!中国科学(D 辑)"2001"31(7)!608V616.[13] 陈彦光"刘继生!中心地体系与水系分形结构的相似性分析!地理科学进展"2001"20(1)!81V88.[14] 刘继生" 陈彦光!Davis 规律与 Beckmann 模型的数理等价性’((城市体系等级结构的宏观#微观对称性分析!经济地理"2001"21(2)"231V234.[15] Lee TD. Symmetries, Asymmetries, and the World of Par"ticles. Seattle and London: University of WashingtonPress, 1988.3V29.[16] Mandelbrot B B. The Fractal Geometry of Nature. NewYork: W. H. Freeman and Company, 1983. 19.[17] Frankhauser P. La Fractalit$ des Structures Urbaines(Fractality of Urban Structure). Paris: Economica, 1994.[18] 陈彦光! 分形城市系统!标度)对称和空间复杂性!北京!科学出版社"2008.[19] Arlinghaus S. Fractals take a central place. GeografiskaAnnaler B, 1985,67(2): 83V88.[20] 陈彦光! 城市体系 Koch 雪花模型的实证研究((中心地 K3 体系中的分形与分维! 经济地理"1998"18(4)!33V37.[21] Frankhouser P. Aspects fractals des structures urbaines.L*Espace Geographique, 1990, 19(1): 45V69.[22] Wong D, Fotheringham A S. Urban systems as examples ofbounded chaos: Exploring the relationship between fractaldimension, rank^size, and rural to urban migration. Ge"ografiska Annaler B, 1990,72: 89V99.[23] 陆大道! 区域发展及其空间结构! 北京! 科学出版社"1995, 137V141.[24] 刘继生"陈彦光! 点#轴系统的分形结构及其空间复杂性探讨! 地理研究"2003"22(4)!447V454.[25] 周F星! 主要经济联系方向论! 城市规划"1998,(2)!22V25.[26] Weyl H. Symmetry. Princeton, N J: Princeton UniversityPress, 1989, 10.[27] Feynman R. The Character of Physical Law. Cambridge,MA: The MIT Press, 1970, 84V107.[28] Clark C. Urban population densities. Journal of Royal Sta"tistical Society, 1951,114: 490V496.[29] Zipf GK. Human Behavior and the Principle of Least Ef"fort. Reading, MA: Addison^Wesley, 1949. 417V441.[30] 陈I"陈ò"艾南山"李后强! 城市规模分布的分形研究!经济地理"1993"13(3)!48V^53.[31] Kline M. Mathematics in Western Culture. London: GeorgeAllen and Unwin, 1954.410V431.[32] 小川直树 著"李ú昭 译! 给讨厌数学的人!哈尔滨!哈尔滨出版社"2006. 46V58.[33] Stewart I 著"周仲良"周斌成"钟笑译! 第二重奥秘(生命i国的新数学! 上海!上海科学技术出版社"2002"50.[34] 陈彦光! 中心地体系空间结构的标度定律与分形模型(对 Christarller 中心地模型的数学抽象与理论推广! 北京大学学报(自然科学版)"2004"40(4)!626V634.[35] Holloway S L, Rice S P, Valentine G (eds.). Key Conceptsin Geography. London: SAGE Publications, 209V229.[36] 艾南山"陈ò"李后强! 走向分形地貌学! 地理学与国土研究"1999"15(2)!92V96.[37] Philo C, Mitchell R, More A. Reconsidering quantitativegeography: Things that count (Guest editorial). Environ"ment and Planning A, 1998, 30(2): 191V201.[38] 顾朝林"陈;! 人文地理学的发展历程及新趋势! 地理学报"2004"59(增刊)!11V20.[39] Schaefer F K. Exceptionalism in geography: A method"ological examination. Annals of the Association of Ameri"319
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