规范场论：每个时空点独立地做相位变换。这就是说，变换仍是U(1)规范变换，但变换参量θ不是一个常数，而是时空坐标的一个任意函数，

2．6奇妙的规范原理



在现代物理学特别是粒子物理学的发展过程中，对称性起着极其重要作用。所谓对称性，简而言之，就是一个物体或物体系统在某种变换下具有不变性。质地均匀的球绕其球心转动任意角度时，它的形状、大小、质量、密度分布等等，所有的性质都保持不变。我们称球对转动是对称的。方合子转动90°保持不变，五角星转动72°保持不变，人体外形对中心剖面有镜反射不变等等，在我们的周围，这样的几何对称性是随处可见的。它给自然界带来了和谐与美。

物理学家对于对称性的特殊兴趣，应该归功于本世纪初一位德国女数学家诺特(E．Noether)。她发现的著名的诺特定理告诉人们，物理量的守恒定律与对称性有着一一对应关系。例如我们在前面指出的，能量－动量守恒是由时间－空间平移不变性决定的，角动量守恒可以从转动不变性推导出来。

多年来，物理学家们已经形成了一种习惯，即只要发现了一种新的对称性，就要去寻找相应的守恒定律。反之，只要发现了一条守恒定律，总要把藏在背后的对称性挖掘出来。对称性一旦确立，就会帮助人们推论出许多意想不到的结果，甚至导出惊人的发现。例如，我们在前面提到过电荷守恒。与之相关的对称性，用量子场论的语言来讲，叫做对整体规范变换具有不变性。近20年来，“规范不变”这个术语对粒子物理和量子场论的发展太重要了，我们不得不努力再给出一些粗浅的介绍。

在量子场论中，每一种粒子对应一个场，粒子是场的量子。粒子是用时间和空间坐标来描写的，场是用时间－空间坐标的函数如ψ(x)描写，称为场函数。场函数满足一个运动方程，它决定着场的运动规律。例如电磁场的运动方程就是麦克斯韦方程，电子场的运动方程就是狄拉克方程等，这些方程在场量子化时决定着相应的粒子的行为。而场方程又可以从拉格朗日函数推导出来。用量子场论的语言讨论对称性，就是看一看在场函数做某种变换下拉格朗日函数是否具有不变性。拉格朗日函数不变，则由它导出的运动方程不变，场或粒子的运动规律保持不变。此时，还可根据诺特定理导出守恒量的表示式来。

整体规范变换指的是场函数乘上一个模为1的因子。它的一般形式是Ψ(x)变成为：eiqθΨ(x)。其中，e为自然对数的底，i是虚数单位，q是粒子的特征量（如电荷），θ是描写该变换的参量，它很象空间转动的角度。在量子力学中这种模为1的因子称为相位因子。而用群论的语言讲，这种只依赖一个连续取值的参量θ的变换称为U(1)变换。q称为该U(1)变换的生成元。用诺特定理可以证明，在U(1)变换下拉格朗日函数不变，则相应的守恒量就是该变换的生成元q。我们可以把它看做是系统的电荷。在整体规范变换中，θ不依赖于时空坐标。这就是说整个场，每一个时空点对应的场函数统一地乘上一个相位因子。

整体规范变换要求空间各点的函数同时改变相同的相位，这是一个很特殊的变换。更一般的是每个时空点独立地做相位变换。这就是说，变换仍是U(1)规范变换，但变换参量θ不是一个常数，而是时空坐标的一个任意函数，记为θ(x)。这种变换称为定域（或称局部）U(1)规范变换。

在研究定域U(1)规范变换时，一个奇怪的现象出现了：单独一种物质粒子场(如电子场)存在时定域U(1)规范不变性不可能成立，相应的拉格朗日函数在场函数做定域U(1)规范变换之后不保持不变，而是多出了一些项。为了消掉这些项，从而保持定域U(1)规范不变性，人们发现必须引入另外一种场，而且这种场还必须满足如下两个条件。第一个条件是在定域U(1)规范变换使原来的物质场Ψ(x)变成了eiqθΨ(x)的同时，新引入的场变成增加一个与θ(x)的四维微商(即θ(x)的四维梯度)成正比的项。第二个条件是这个新引入的场与原来的物质场之间存在着特定形式的相互作用。满足这两个条件的这个新引入的场称为U(1)规范场。它是一个四个分量的四维矢量场。

有趣的是，为了使带电粒子相应的场有定域的U(1)规范不变性而引入的规范场恰恰就是电磁场。四维矢量电磁势Aμ(x)(μ=1，2，3，4)在U(1)规范变换下，增加了一个四维梯度项。实际上，在经典电磁理论中，人们早就发现与一定的电磁场相对应的电磁势不能唯一地确定，它们彼此之间可以相差一个任意函数的四维梯度。把这种相差为一个梯度的变换称为规范变换，起源于德国数学物理学家外尔。“规范”一词原意为量度的标准。1921年外尔企图通过要求理论对测量的标度做一个与时间－空间相关的变换具有不变性，把引力场与电磁场统一起来，可惜未能成功。外尔把这种变换下的不变性称为规范不变性。后来，在他继续对电磁场进行研究时，仍然沿用了规范不变性这一术语，描写电磁场所固有的对电磁势的梯度变换的不变性。

如上所述的定域U(1)规范不变性不仅要求必须有电磁场作为U(1)规范场存在，而且还限定了电子场与电磁场的耦合形式，并要求电磁场是零质量场。这两个要求在量子电动力学(QED)中都是满足的。此外，规范不变性还对物理量之间的关系以及计算的结果给出了很强的限制。总之，从量子电动力学这个例子，可以看出规范不变性这一原理的巨大威力。带电粒子的电磁相互作用理论完全可以靠这个原理建立起来。

既然规范不变性原理如此重要，能不能用它来建立其他的相互作用理论呢？五十年代初杨振宁决定试一试。他想通过与QED的类比，建立起具有规范不变性的强作用理论。他认为对强相互作用，同位旋守恒应是最好的出发点。他取了二分量场(n，p)，把U(1)的规范变换推广成SU(2)群相应的规范变换。但是在建立定域SU(2)规范不变的拉格朗日函数形式时，遇到了一些困难。1953年他到布鲁克海文实验室访问。在那里，他与另一位理论家米尔斯(R．L．Mills)合用一间办公室。他们一起很快找到了解决方案。1954年发表了至今仍被场论和粒子物理学家奉为经典的著名的杨－米尔斯规范理论。

杨一米尔斯规范理论是一个具有定域SU(2)规范不变性的理论。SU(2)群比U(1)群复杂得多。U(1)群在数学上称为阿贝尔群，它的元素之间的乘法满足交换律。为了保持定域的U(1)规范不变性，只须引入一个矢量规范场。SU(2)群是一个不满足乘法交换律的群，为了使定域SU(2)群规范不变性成立，必须引入三个规范场，它们都是矢量场。与电磁场不同的是，这种场有很强的自相互作用。它的量子化得到的粒子，可以发生三个粒子的自相互作用，也可以发生四个粒子的自相互作用，而光子没有自相互作用。这种自相互作用使与之相关的物理计算都变得极为复杂。

此外，规范不变性要求这些粒子没有质量，因而它们传递的相互作用必须是无穷大力程的。这一点与强相互作用的极短力程尖锐矛盾。而且实验上观察到的零质量矢量粒子只有光子，三个新的无质量粒子找不到任何实验的支持。为了解决这个问题，必须放进去质量项，但这会使规范不变性遭到破坏。

尽管存在着这些未能得到解决的问题，使杨和米尔斯当时未能用他们的理论成功地处理强相互作用，但是他们认为，他们这一工作的“整个想法是相当有意义的”，所以他们仍决定把它发表。事实证明，他们的文章对其后几十年粒子物理学与场论的发展，起了极为重要的推动作用。