赵亮：在科大初学《量子场论》

初学《量子场论》结语
在科大这一年代培生活即将结束，我学习《量子场论》的进程也要告一段落。唯一的遗憾是今后的研究方向不是场论。也许我的同学对我的建议是有道理的：应该把所学的理论在计算机编程上加以实现，尤其对于那些分子数目较多的体系。

这一学年，我也仅仅是对场论中的QED部分有了了解，可以说是入门吧。总的感觉就一个：delicate。它的精确程度超过了经典物理中的任何一个分支，它的结果比Maxwell的电磁理论还要优美！它将狭义相对论和量子力学很自然的结合在了一起：协变性，不确定性，对称性，绘景变换，微扰论，产生湮灭算符等在这个理论框架下得到了完美的体现。一般说来，进入量子场论有正则量子化和路径积分两种方式，不过大伙儿都偏向于前者（提供了一个和经典理论对比的平台）。实际上后者更为自然。

1.对称性

这是基本上是场论中的开场白-Noether定理-将场的作用量和无穷小连续变换结合在了一起。大多数教科书一般是从自由多分量标量场的形式入手，结合变分原理，从时空平移对称性，时空各向同性，内部对称性，整体规范对称性得到对应的表达式，并将它们作为自由场相应物理量的定义式。这是类比于经典的做法。但这样有个不好的地方，就是如何知道这样得出的式子能应用于量子情况而不出现异常。实际上这套理论是自洽的。或许可以接受另外的一套途径：从群论的角度找到幺正变换的无穷小生成元满足的性质（如Weinberg），然后通过经典的形式构造相应的物理量，结合场的对易关系去验证合理性。

另一部分的重要内容是要得出场算符和幺正变换的关系式。要注意的是，场算符不同于量子力学中算符：量子力学中的算符带有坐标变量，那是因为一个抽象的算符选取了坐标表象而得出的；而在场论中，没有坐标表象一说，场算符带有坐标参数是本身的性质--在时空每一点都定义了一个操作。现在，唯一知可以利用的就是经典标量函数，矢量函数等的变换规律和场算符的性质。得到量子场算符变换规律最好的阐述是Bailin,Love的《Gauge field theory》中一个很漂亮的式子：

φ（x）=＜φ|Ψ(x)|0＞

从它可以导出变换法则。很自然的，在无穷小变换下，也得到了场算符的演化方程。

据说Schwinger的量子作用量原理是个好东西！

2.自由场

这一部分是以后进行费曼图计算的基础。需要注意的是光场的量子化时两种规范的选择和极化矢量的完备性关系。最好理解后者的不同极化矢量的标号和矢量分量的标号。（其实很类似于量子力学中基矢完备性关系在具体离散表象下的式子）。对于狄拉克场，求解时可以采用boost到静止参考系的方法。最好记住不同场传播子的表达式，以便于以后的推导！

3.相互作用场和S矩阵

这一部分是考虑的相互作用以后求解场的演化性质。粗略的说，可以直接套用量子力学中相互作用表象（这是一种微扰方法）：这种表象下场的动力学演化和自由的场方程是一样的。因此可以类比于自由场作傅立叶展开。但是注意：这时的产生（湮灭）算符不再有产生（湮灭）单粒子态的意义，因为[N(k),a(+)(k)]=a(+)(k)这样的式子不再成立！严格的讲，目的是要计算某个具有确定物理初末态的S矩阵。为了达到这一要求，LSZ约化公式是个好东西，它把S矩阵转化为求

＜0|T{φ（x）φ（y）φ（z）......}|0＞

这和路径积分中的N点格林函数一样。因此也可以借用路径积分来求。在正则量子化体系中，一个很好的方法是Dyson提出的，他提出利用这样的变换：

φ（t）=U^(-1)φ(in)（t）U

将相互作用场算符和自由场的算符联系在了一起。之后结合各自的场方程，就得出了U的演化规律。其实这个结果非常类似于量子力学中的绘景变换。于是，就可以得到用H（I）表示的编时乘积形式。这个式子其实就是Gellman-Low公式，Peskin的书里最初就是利用这个公式，作微扰展开，去计算标量场的φ^4理论的。

接下来的事情就是利用Wick定理，Wick缩并，自由场两个格林函数计算了。对于具体的物理过程，有贡献的项数不多。还要注意极化矢量，γ矩阵等之间的相对位置，因为缩并的本质是产生湮灭算符的计算。为了不出错，可以写成矩阵元的形式，这样就可以按一般数字一样处理,运算后再按标号写成紧凑的形式。用这样的方法很容易看出对于闭合费米圈要加(-Tr)。必须把同一阶可能的费曼图计算结果加在一起才行，因为实际的物理过程似乎是这些过程都要进行的。

再接下来的就是最后一步，将S和散射截面联系在一起了。完成可观测量的计算。

关于这部分还有不少公理化的东西，为非微扰计算作了很多铺垫。可以看看Wightman的书。

4.重整化

这里的东西太多了。在计算高阶近似时，常会有圈图出现。在QED中就基本的三种类型：电子自能；光子自能；顶角发散。第一步是先对发散部分正规化，分离发散部分。然后在原有的拉氏量中选择合适的参数和抵消项将发散扣除，这样就可以产生有物理意义的结果。 维数正规化是个好东西，可以巩固Γ函数，B函数的相关计算，d维时空的球坐标体积元和神奇的费曼折叠积分，值得一算。 QED是可重整化的，对于要计算达到的不同阶数，要选择不同的参数。通俗的说，就是用考虑的所有可能发散后的三种基本修正的结构去构造费曼图，就可以消除到某一阶近似下所有可能出现的发散。

总之，场论中的计算是个很精巧的过程，融汇了20世纪众多物理学家的极具创建性的思维。大师毕竟是大师，把数学工具和物理思维结合运用的淋漓尽致。能亲自体验QED复杂的计算，也算过了次瘾了！

也许这里有不少的不准确之处，望大伙儿指正！