http://spe.sysu.edu.cn/course/course/4/build/Mathr.htm
这表示：标量场在某点的梯度,数值上等于φ沿等值面的法向导数，其方向与φ的等值面垂直（沿φ增加最快的方向）.
数学预备（1） ——矢量、坐标系、立体角与重积分 （教材P112）
物理量分类: 标量，矢量和张量 (scalars ,vectors and tensors)
标量（0阶张量）——无空间取向，只需要一个数值即可表示的量。
例如，长度，时间，质量，能量，电势（电
矢量（1阶张量）——有一定的空间取向的量，在一般的三维欧氏空间中，这类量可分解为3 个有序分量。
例如，质点 的位置矢量，速度，动量，角动量;电场强度，磁电场强度，等。
二阶张量——这类量有着比矢量更复杂的空间取向，在一般的三维欧氏空间中，二阶张量可分解为9 个有序分量。
例如，刚体的转动惯量，电荷系统的四极矩，等。还可以定义更高阶的张量
矢量表示
印刷——用黑体字母，如 r , A
书写——在字母上方加一箭头
1 .矢量的点乘和叉乘
(1)矢量的点乘（标积）:矢量 A与B 的点乘定义为标量A·B =AB cosq
非黑体的A和B，分别表示矢量A和B的数值，q 是两矢量的夹角.按此定义，显然有
A·B = B·A （矢量的标积满足交换律） 正值
当0 ￡ q < p / 2 A·B = 0
当q = p / 2 （两矢量正交） 负值 当 p / 2 < q ￡ p
(2)矢量的叉乘（矢积）:矢量 A与B 的叉乘定义为矢量C = A×B
其值为A·B =AB sin q
即等于以这两个矢量的长度为邻边构成的平行四边形的面积
规定：作为运算结果的矢量C ，垂直于A和B 构成的平面，其方向遵从右手螺旋规则——
设想 A 沿q 角（小于p ）旋转到 B（以右手弯曲的四指表示旋转方向），
则螺旋前进的方向（右手母指的方向）就是C 的方向.按此规定，显然有
A×B = -- B×A （矢量的矢积不满足交换律）
而且,当q =0 或 p，即两个矢量同向或反向时，矢积为零：A×B = 0
2.坐标系、立体角（教材P117）和重积分
（1）直角坐标系（笛卡儿坐标系）
沿三个坐标轴正方向的单位基矢：
任一点P的坐标：
P点的位置矢量：（x, y, z）
P点处任一矢量：
沿三个基矢方向的无限小线元为:dl1 = dx, dl2 = dy, dl3=dz
与三个基矢正交的无限小面积元为:
dS1 = dl2dl3 = dydz
dS2 = dl3dl1 = dzdx
dS3 = dl1dl2 = dxdy
无限小体积元为dV = dl1 dl2 dl3 = dxdydz
（2） 一般的曲线正交坐标系
除了直角坐标系之外，我们还常常根据具体问题的需要，采用曲线正交坐标系，例如球坐标系和圆柱坐标系.
对于一般的曲线正交坐标系，空间任一点P的坐标以(u1 ,u2 ,u3)表示，沿u1 ,u2 ,u3 三个坐标增加方向的基矢量
互相正交.
一般地，随 P点位置变动，三个基矢的方向将发生改变.
沿此三个方向的无限小线元为dl1 = h1du1 dl2 = h2du2 dl3 = h3du3
h1 ,h2 ,h3 称为度规系数，一般是坐标 (u1 ,u2 ,u3)的函数.
P点上的矢量F 可以分解为
(3)球坐标系
任一点P 的坐标为: u1 = r ,u2 =q ,u3 =f
r ——P点离坐标原点O的距离，变化范围：0≤r <∞
q——O与P的连线与 z 轴（极轴）的夹角，称为极角，变化范围：0≤q ≤p
f ——O与P’ 的连线对x 轴的夹角，其中P’是P点在xy平面的投影，
f 也称为P点的方位角，变化范围：0≤f ≤2p
P为原点建立的球坐标系基矢:
分别沿三个坐标增加的方向
P点的直角坐标 （ x, y, z ）与球坐标 ( r, q , f ) 的变换关系为
x = r sinq cos f , y = r sinq sin f , z = r cosq
当坐标有无限小增量dr，dq , df , 则三个无限小线元为
dl1 =dr , dl2 = r dq ,dl3 = r sinqdf
三个度规系数为
h1 =1, h2 = r, h3 = rsin q
以r为半径的球面元为
dS = dl2dl3 = r2 sinq dqdf = r2dW
其中，dW 称为dS对O点张开的立体角元
将d W 对任意半径的球面积分，均得到
事实上，由于dS1 和dS2 对O点的立体角元相等，故容易证明：
任意闭合曲面S 对其内部任意一点所张的立体角均为4p.
由于球面元 dS = r2dW，故半径 r =a 的球面积
无限小体积元为
d V = dl1 dl2 dl3 =r2 sinq dr dq df = r2drdW
将dV对半径为a 的球体积分，给出此球的体积
问题：内、外半径分别a 和b为的球壳体积是多少？
(4)圆柱坐标系
任意一点P的坐标为 u1 = r , u2 = f , u3 = z .
坐标变化范围： 0 ≤ r <∞ , 0 ≤ f ≤ 2p , -∞ < z <+∞
以P为原点建立的正交坐标系，沿三个坐标增增加方向的基矢量为
P的坐标(r ,f , z)与(x ,y ,z)的变换为
x = r cosf ， y = rsinf ， z = z
当坐标有无限小增量dr，df ，dz , 则三个无限小线元为
dl1 = dr ， dl2 = rdf ， dl3 = dz
三个度规系数为h1 = 1 , h2 = r , h3 = 1
圆柱侧面的面积元为
dS r = dl2 dl3 = r d f dz
半径为 r= a ，长为 l 的圆柱侧面积为
圆柱端面的面积元为
dSz = dl1 dl2 = r drdf
无限小体积元为
d V = dl1 dl2 dl3= r drdfdz
半径为a，长为 l 的圆柱体积为
内外半径分别为a和b ，长为 l 的圆柱壳体积是多少？
数学预备（2） ——矢量分析简介 （教材P845）
经典场 (classical fields) 概念
如果一个物理量是空间坐标的函数（连续的或存在间断点的），我们就把这个物理量在空间的分布看成一个“场”.
例如
温度场——温度在空间或物体内的分布函数T（x,y,z），这是标量场
流速场——流体的速度分布分布函数v (x,y,z ) ，这是矢量场
如果温度和流速的分布还与时间t 有关，那么它们就都是空间和时间的函数：
T = T （x,y,z，t ）
v = v (x,y,z, t )
电磁场
经典电磁理论把传递电磁作用的物质，看成是“连续分布的物质”，这种物质就是电磁场
电磁场由带电物质产生，并以下面的物理量描述：
电场强度分布函数 E(x,y,z)
磁感应强度分布函数B(x,y,z ) ,或磁场强度分布函数H(x,y,z)
两者都属于矢量场
也可用标势和矢势描述电磁场
标势分布函数φ(x,y,z) 构成标量场（或以U表示）
矢势分布函数A（x,y,z）构成矢量场
在相对论电动力学中，电场强度E 和磁感应强度B，统一成电磁场张量.
以后，我们都用某点的位矢r 表示这点的坐标(x,y,z,).如E(x,y,z) = E(r)
标量场的梯度（gradient of a scalar field）
在直角坐标系中，无限接近的两点P与P'之间，线元矢量dl分解为
标量场φ 在P点的值：φ（ r）
在P'点的值：φ(r +dr)
在这两点之间，φ的无限小增量——全微分为
我们称
为标量场φ在P点的梯度，它是一个矢量. φ在所有点上的梯度构成矢量场
我们看到，微分算符（读作“del” ）
具有矢量性质,
它作用于标量函数 f 的结果，变成一个矢量函数.
若P'与P两点处于标量场φ的同一等值面，即线元矢量dl沿此等值面的切向，此时dφ=0，这意味着P点上的矢量 必定沿等值面的法向.
仅当线元矢量dl与此等值面的法向一致，即dl = dn时，dφ才有最大值：
因此有
这表示：标量场在某点的梯度,数值上等于φ沿等值面的法向导数，其方向与φ的等值面垂直（沿φ增加最快的方向）.
大家将看到，某点上电势（或称电位）函数U 的梯度之负值，等于该点的电场强度E (矢量函数) ：
即电场强度E总与等势面（或称等位面）正交.
在球坐标系中，标量场φ的梯度
而在圆柱坐标系中
微分算符对矢量函数E 的有两种运算方式:
E 的散度（divergence）：
是一个标量
E 的旋度（rotation, 或curl）
则是一个矢量
高斯定理和斯托克斯定理
高斯定理： 对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换定理成立：
左方表示矢量场A通过闭合曲面S 的净通量（net flux）
右方表示矢量场A在V 内所有点的散度对V 的体积分
规定：闭合曲面面积元矢量dS 沿曲面的外法线方向
斯托克斯定理： 对任意的闭合路径L所围的曲面S，下述积分变换成立:
左方表示矢量场A绕闭合路径L的环流（circulation）
右方表示矢量场A在曲面S所有点的旋度通过S的通量（ flux）
规定：无限小的闭合路径L围成的面积元矢量dS ， dS的方向与路径L的绕行方向成右手螺旋关系
这表示：标量场在某点的梯度,数值上等于φ沿等值面的法向导数，其方向与φ的等值面垂直（沿φ增加最快的方向）.
数学预备（1） ——矢量、坐标系、立体角与重积分 （教材P112）
物理量分类: 标量，矢量和张量 (scalars ,vectors and tensors)
标量（0阶张量）——无空间取向，只需要一个数值即可表示的量。
例如，长度，时间，质量，能量，电势（电
矢量（1阶张量）——有一定的空间取向的量，在一般的三维欧氏空间中，这类量可分解为3 个有序分量。
例如，质点 的位置矢量，速度，动量，角动量;电场强度，磁电场强度，等。
二阶张量——这类量有着比矢量更复杂的空间取向，在一般的三维欧氏空间中，二阶张量可分解为9 个有序分量。
例如，刚体的转动惯量，电荷系统的四极矩，等。还可以定义更高阶的张量
矢量表示
印刷——用黑体字母，如 r , A
书写——在字母上方加一箭头
1 .矢量的点乘和叉乘
(1)矢量的点乘（标积）:矢量 A与B 的点乘定义为标量A·B =AB cosq
非黑体的A和B，分别表示矢量A和B的数值，q 是两矢量的夹角.按此定义，显然有
A·B = B·A （矢量的标积满足交换律） 正值
当0 ￡ q < p / 2 A·B = 0
当q = p / 2 （两矢量正交） 负值 当 p / 2 < q ￡ p
(2)矢量的叉乘（矢积）:矢量 A与B 的叉乘定义为矢量C = A×B
其值为A·B =AB sin q
即等于以这两个矢量的长度为邻边构成的平行四边形的面积
规定：作为运算结果的矢量C ，垂直于A和B 构成的平面，其方向遵从右手螺旋规则——
设想 A 沿q 角（小于p ）旋转到 B（以右手弯曲的四指表示旋转方向），
则螺旋前进的方向（右手母指的方向）就是C 的方向.按此规定，显然有
A×B = -- B×A （矢量的矢积不满足交换律）
而且,当q =0 或 p，即两个矢量同向或反向时，矢积为零：A×B = 0
2.坐标系、立体角（教材P117）和重积分
（1）直角坐标系（笛卡儿坐标系）
沿三个坐标轴正方向的单位基矢：
任一点P的坐标：
P点的位置矢量：（x, y, z）
P点处任一矢量：
沿三个基矢方向的无限小线元为:dl1 = dx, dl2 = dy, dl3=dz
与三个基矢正交的无限小面积元为:
dS1 = dl2dl3 = dydz
dS2 = dl3dl1 = dzdx
dS3 = dl1dl2 = dxdy
无限小体积元为dV = dl1 dl2 dl3 = dxdydz
（2） 一般的曲线正交坐标系
除了直角坐标系之外，我们还常常根据具体问题的需要，采用曲线正交坐标系，例如球坐标系和圆柱坐标系.
对于一般的曲线正交坐标系，空间任一点P的坐标以(u1 ,u2 ,u3)表示，沿u1 ,u2 ,u3 三个坐标增加方向的基矢量
互相正交.
一般地，随 P点位置变动，三个基矢的方向将发生改变.
沿此三个方向的无限小线元为dl1 = h1du1 dl2 = h2du2 dl3 = h3du3
h1 ,h2 ,h3 称为度规系数，一般是坐标 (u1 ,u2 ,u3)的函数.
P点上的矢量F 可以分解为
(3)球坐标系
任一点P 的坐标为: u1 = r ,u2 =q ,u3 =f
r ——P点离坐标原点O的距离，变化范围：0≤r <∞
q——O与P的连线与 z 轴（极轴）的夹角，称为极角，变化范围：0≤q ≤p
f ——O与P’ 的连线对x 轴的夹角，其中P’是P点在xy平面的投影，
f 也称为P点的方位角，变化范围：0≤f ≤2p
P为原点建立的球坐标系基矢:
分别沿三个坐标增加的方向
P点的直角坐标 （ x, y, z ）与球坐标 ( r, q , f ) 的变换关系为
x = r sinq cos f , y = r sinq sin f , z = r cosq
当坐标有无限小增量dr，dq , df , 则三个无限小线元为
dl1 =dr , dl2 = r dq ,dl3 = r sinqdf
三个度规系数为
h1 =1, h2 = r, h3 = rsin q
以r为半径的球面元为
dS = dl2dl3 = r2 sinq dqdf = r2dW
其中，dW 称为dS对O点张开的立体角元
将d W 对任意半径的球面积分，均得到
事实上，由于dS1 和dS2 对O点的立体角元相等，故容易证明：
任意闭合曲面S 对其内部任意一点所张的立体角均为4p.
由于球面元 dS = r2dW，故半径 r =a 的球面积
无限小体积元为
d V = dl1 dl2 dl3 =r2 sinq dr dq df = r2drdW
将dV对半径为a 的球体积分，给出此球的体积
问题：内、外半径分别a 和b为的球壳体积是多少？
(4)圆柱坐标系
任意一点P的坐标为 u1 = r , u2 = f , u3 = z .
坐标变化范围： 0 ≤ r <∞ , 0 ≤ f ≤ 2p , -∞ < z <+∞
以P为原点建立的正交坐标系，沿三个坐标增增加方向的基矢量为
P的坐标(r ,f , z)与(x ,y ,z)的变换为
x = r cosf ， y = rsinf ， z = z
当坐标有无限小增量dr，df ，dz , 则三个无限小线元为
dl1 = dr ， dl2 = rdf ， dl3 = dz
三个度规系数为h1 = 1 , h2 = r , h3 = 1
圆柱侧面的面积元为
dS r = dl2 dl3 = r d f dz
半径为 r= a ，长为 l 的圆柱侧面积为
圆柱端面的面积元为
dSz = dl1 dl2 = r drdf
无限小体积元为
d V = dl1 dl2 dl3= r drdfdz
半径为a，长为 l 的圆柱体积为
内外半径分别为a和b ，长为 l 的圆柱壳体积是多少？
数学预备（2） ——矢量分析简介 （教材P845）
经典场 (classical fields) 概念
如果一个物理量是空间坐标的函数（连续的或存在间断点的），我们就把这个物理量在空间的分布看成一个“场”.
例如
温度场——温度在空间或物体内的分布函数T（x,y,z），这是标量场
流速场——流体的速度分布分布函数v (x,y,z ) ，这是矢量场
如果温度和流速的分布还与时间t 有关，那么它们就都是空间和时间的函数：
T = T （x,y,z，t ）
v = v (x,y,z, t )
电磁场
经典电磁理论把传递电磁作用的物质，看成是“连续分布的物质”，这种物质就是电磁场
电磁场由带电物质产生，并以下面的物理量描述：
电场强度分布函数 E(x,y,z)
磁感应强度分布函数B(x,y,z ) ,或磁场强度分布函数H(x,y,z)
两者都属于矢量场
也可用标势和矢势描述电磁场
标势分布函数φ(x,y,z) 构成标量场（或以U表示）
矢势分布函数A（x,y,z）构成矢量场
在相对论电动力学中，电场强度E 和磁感应强度B，统一成电磁场张量.
以后，我们都用某点的位矢r 表示这点的坐标(x,y,z,).如E(x,y,z) = E(r)
标量场的梯度（gradient of a scalar field）
在直角坐标系中，无限接近的两点P与P'之间，线元矢量dl分解为
标量场φ 在P点的值：φ（ r）
在P'点的值：φ(r +dr)
在这两点之间，φ的无限小增量——全微分为
我们称
为标量场φ在P点的梯度，它是一个矢量. φ在所有点上的梯度构成矢量场
我们看到，微分算符（读作“del” ）
具有矢量性质,
它作用于标量函数 f 的结果，变成一个矢量函数.
若P'与P两点处于标量场φ的同一等值面，即线元矢量dl沿此等值面的切向，此时dφ=0，这意味着P点上的矢量 必定沿等值面的法向.
仅当线元矢量dl与此等值面的法向一致，即dl = dn时，dφ才有最大值：
因此有
这表示：标量场在某点的梯度,数值上等于φ沿等值面的法向导数，其方向与φ的等值面垂直（沿φ增加最快的方向）.
大家将看到，某点上电势（或称电位）函数U 的梯度之负值，等于该点的电场强度E (矢量函数) ：
即电场强度E总与等势面（或称等位面）正交.
在球坐标系中，标量场φ的梯度
而在圆柱坐标系中
微分算符对矢量函数E 的有两种运算方式:
E 的散度（divergence）：
是一个标量
E 的旋度（rotation, 或curl）
则是一个矢量
高斯定理和斯托克斯定理
高斯定理： 对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换定理成立：
左方表示矢量场A通过闭合曲面S 的净通量（net flux）
右方表示矢量场A在V 内所有点的散度对V 的体积分
规定：闭合曲面面积元矢量dS 沿曲面的外法线方向
斯托克斯定理： 对任意的闭合路径L所围的曲面S，下述积分变换成立:
左方表示矢量场A绕闭合路径L的环流（circulation）
右方表示矢量场A在曲面S所有点的旋度通过S的通量（ flux）
规定：无限小的闭合路径L围成的面积元矢量dS ， dS的方向与路径L的绕行方向成右手螺旋关系
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