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信息（关注人越多越强）的势场平面
第五章、电磁波的辐射
内容提要：
时变电磁场的标势和矢势，势的非唯一性，规范变换和规范不变性；
电磁波的势方程，达朗伯方程，推迟势，相互作用的传播速度；
电偶极辐射──小区域（ ）电荷、电流激发的势的波动问题；
本章重点：达朗伯方程，推迟势，偶极辐射
§5.1变化电磁场的矢势和标势
直接解电磁场方程往往是困难的。同稳定场一样，我们可以给变化电磁场引入势，导出关于势的微分方程，再求出势方程的解，进而利用场与势的关系定量地确定场量，这是常用的比较简便的方法。
一、标势与矢势的引出
根据场论中“标量场的梯度必无旋（定理一）”和“矢量场的旋度必无源（定理二）”，在静电场中曾经引入了电势，在静磁场中曾经引入了磁矢势
静电场：
静磁场：
时变电磁场虽然是变化的，其场量仍然符合麦克斯韦方程
（5-1-1）
同静态电磁场一样，根据场方程的性质，我们也可引出时变电磁场的势。
1. 时变电磁场的矢势
在时变场中，根据 和场论的定理二同样可以引出矢势
∵ ∴ （5-1-2）
可见，时变场的磁场矢势同静磁场的矢势具有相同的形式。
2．时变电磁场的标势
在时变电磁场中，麦克斯韦方程（5-1-1）的第三式实际上是由两部分组成的
（5-1-3）
该式表明，在时变电磁场中存在着两种电场 与 ，它们的性质是完全不同的，因而针对时变场的电场就不能象静电场那样简单地引出标势。但是，如果将 代入（5-1-1）的（b）式中，则有
整理可得
（5-1-4）
上式为标势的引出提供了依据。根据（5-1-4）和场论的定理二，同样可以引出标势
∵ ∴ （5-1-5）
可见，时变电磁场的标势与静电场的标势不同。将式（5-1-5）整理变形就得到
（5-1-6）
该式表明：
(1). 时变场的 不仅与标势 相关，而且还与矢势 有关，这就进一步说明了电磁的统一性；
(2). 时变场中的 不再具有以往保守场、有势场的含义，迅变情况下电压已失去确切的意义；
(3). 在稳恒情况下，由于 ，（5-1-6）式退化为 ，即（5-1-5）完全覆盖了静电场的 。
二、规范变换和规范不变性
1． , 的非唯一性（多值性）
同稳定场情况一样，在时变场中，一个场量 或 可对应多个 或 ，证明如下：
对时变场的势作变换 （5-1-7）
在上式中， 为任意标量函数。
将（5-1-7）的两式分别代入（5-1-2）、（5-1-6）中：
（5-1-8）
（5-1-9）
结果表明， 与 描述了同一场量。
因为 是任意的，所以 、 就是非唯一的，多值的。多值的原因主要是我们只限定了矢势的横场（ ），而没有限定矢势的纵场（ ）。
2．规范变换和规范不变性
在电动力学中将上面的（5-1-7）的两式称为“规范变换”式。当势作规范变换时，场量 、 均保持不变，把场的这一性质称为“规范不变性”。在作规范变换时，场量 、 的不变意味着所有物理量和物理规律都保持不变，也就是说，“客观规律与势的特殊规范选择无关”。
在量子力学中， 和 已经不能完全描述电磁场的所有物理效应。例如在 效应中，非单连通域内绕闭合路径一周的电子波函数的相位差，就由回路积分 描述，而不能由 的局域作用来描述。回路积分 也是规范不变的，当我们对式中的 按照（5-1-7）式作规范变换后，即有
（5-1-10）
因此，即是在量子力学中，所有可测量的物理量仍然保持规范不变性。
在经典电动力学中，势 和 的引入是辅助描述电磁场的一种方法，规范不变性则是对描述方法所加的要求。在近代物理中，规范变换是由量子力学的基本原理引入的，规范不变性则是一条重要的物理原理。在量子力学中 和 的地位也比在经典电动力学中重要得多。现在已经清楚，不仅在电磁相互作用中，而且在其它基本相互作用中，规范不变性是决定相互作用的一条基本原理。传递这些相互作用的场称为“规范场”，电磁场则是人们熟知的一种较为简单的规范场。
3．对于势 和 的规范限定
由于我们对 未作任何限定，导致了 的多值性。为了使计算和有关势方程的简化，可对 选取一定的规范。应用最广的规范有两种：
(1). 库仑规范条件 （5-1-11）
表明 为无源场，因而电场的表示式为
式中的第二项 也是无源（横场），而第一项 为无旋场（纵场）。 的纵场部分完全由 描述，而横场部分则完全由 描述。因此，上式中的两项各自对应一种类型的场，泾渭分明
这种划分对于讨论某些问题是比较方便的，规范条件 也曾在限定静磁场的矢势中使用过。
(2). 洛仑兹规范条件 （5-1-12）
选取了这种规范能使势的方程高度的对称，方程的物理意义也特别明显，从而使势的计算大为简化，这在下面达朗伯（D’lembert）方程的推导中可以看到。选用这种规范使基本理论的研究和辐射问题的计算更加方便。
三、真空中的达朗伯方程
我们可由麦克斯韦方程推导出势 和 的微分方程，具体的做法就是将麦克斯韦方程中的 、 用 和 取代，这与推导静电场的势方程相似。推导从下面的方程出发
（5-1-13） （5-1-14）
1．不加规范条件时的势方程
用（5-1-2）和（5-1-6）取代（5-1-13）中的 和 ，于是可得 （5-1-15）
它可整理为
（5-1-16）
（5-1-15）、（5-1-16）即为不加任何规范条件时的势方程。
2．库仑规范条件下的势方程
当我们对 取库仑规范时，即限定了 ，（5-1-15）式就变成了
（5-1-17）
而（5-1-16）式则变为
（5-1-18）
（5-1-17）、（5-1-18）就是库仑规范条件下的势方程。
3．洛仑兹规范条件下的势方程──达朗伯方程
将洛仑兹规范条件（5-1-12）式代入（5-1-15）、（5-1-16）中可得
（5-1-19）
（5-1-20）
（5-1-19）、（5-1-20）被称为达朗伯方程。达朗伯方程不但显示了高度的对称美，而且完全覆盖了静态电磁场势的泊松方程和拉普拉斯方程，下面简洁地描述了这种覆盖关系：
四、例题
1．已知： 、 满足洛仑兹条件 ， 满足
求证： 、 满足 （ ； ）
证明：
2．求平面电磁波的势及 、 之间的关系。
解：平面波在自由空间传播 ∴ ，
于是达朗伯方程变成了波动方程 （5-1-21）
其势的解当为 （5-1-22）
把解代入洛仑兹规范条件的变形式 中，即
左边：
右边：
∴ （5-1-23）
分别消去或保留因子 可得到两势间的关系
（5-1-24） （5-1-25）
．求证：在定态平面电磁波中有
证明：(1).将 和 代入 中
∴
(2).对方程 作代换 ，
∴
整理得
（5-1-26）
五、对两种规范条件的讨论
从上述内容已知，库仑规范和洛仑兹规范对于势方程及其解的影响的确不同，那么具体的差别究竟怎样，两种规范的特点如何，这些都有待于下面的讨论。
1．对库仑规范的讨论
库仑规范限定了时变场 、 的自由度，取这种规范时，标势 描述库仑作用，可以直接由电荷分布 求出， 的纵场部分完全由 描述，横场部分完全由 描述。在平面电磁波中，场量可用势表示为
（5-1-27）
该式表明，场量只依赖于矢势 就可以算出。
在平面电磁波的势解（5-1-22）中，对于 加上任意纵向分量 ， 加上任意标量 （ 为任意常数），都不影响场量 、 ，因为任何常矢量的纵向分量均无旋，而任何常标量的梯度均为零。如果取 只有横向部分，即取了 ，也就是 ，那么（5-1-25）式就变成了 ，这样（5-1-27）就变成了
（5-1-28）
于是场量就能完全取决于矢势 。
采用了库仑规范 ，势方程（5-1-17）和（5-1-18）在自由空间中就变成 （5-1-29）
（5-1-30）
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势 ，将其代入（5-1-30），该式就变成了 的波动方程 （5-1-31）
它应有波解 （5-1-32）
可见，库仑规范的标势描述库仑作用，可直接由电荷分布 求出；矢势只有横向分量，刚好足够描写辐射电磁波的两种独立偏振。
2．对洛仑兹规范的讨论
采用洛仑兹规范时，势方程简化为对称的达朗伯方程， 的纵向部分和标势 的选择还可以有一些任意性，即 、 依然不是唯一的，还剩有适量的变换自由度。尽管如此，洛仑兹规范还是让矢势方程和标势方程从形式上完全对称，呈现了高度的对称美。这个突出的优点，不仅美化了方程的形式，还使其在相对论中显示出充分的“协变性”，为四维空间电磁场矢势与标势的统一，以及理论探讨和实际计算都提供了很大的方便。
采用洛仑兹规范的另一个优点就是，由它限定的势方程即达朗伯方程，完全覆盖了以往的泊松方程和拉普拉斯方程，从这一点说，达朗伯方程揽以往的势方程为一统。
信息（关注人越多越强）的势场平面
第五章、电磁波的辐射
内容提要：
时变电磁场的标势和矢势，势的非唯一性，规范变换和规范不变性；
电磁波的势方程，达朗伯方程，推迟势，相互作用的传播速度；
电偶极辐射──小区域（ ）电荷、电流激发的势的波动问题；
本章重点：达朗伯方程，推迟势，偶极辐射
§5.1变化电磁场的矢势和标势
直接解电磁场方程往往是困难的。同稳定场一样，我们可以给变化电磁场引入势，导出关于势的微分方程，再求出势方程的解，进而利用场与势的关系定量地确定场量，这是常用的比较简便的方法。
一、标势与矢势的引出
根据场论中“标量场的梯度必无旋（定理一）”和“矢量场的旋度必无源（定理二）”，在静电场中曾经引入了电势，在静磁场中曾经引入了磁矢势
静电场：
静磁场：
时变电磁场虽然是变化的，其场量仍然符合麦克斯韦方程
（5-1-1）
同静态电磁场一样，根据场方程的性质，我们也可引出时变电磁场的势。
1. 时变电磁场的矢势
在时变场中，根据 和场论的定理二同样可以引出矢势
∵ ∴ （5-1-2）
可见，时变场的磁场矢势同静磁场的矢势具有相同的形式。
2．时变电磁场的标势
在时变电磁场中，麦克斯韦方程（5-1-1）的第三式实际上是由两部分组成的
（5-1-3）
该式表明，在时变电磁场中存在着两种电场 与 ，它们的性质是完全不同的，因而针对时变场的电场就不能象静电场那样简单地引出标势。但是，如果将 代入（5-1-1）的（b）式中，则有
整理可得
（5-1-4）
上式为标势的引出提供了依据。根据（5-1-4）和场论的定理二，同样可以引出标势
∵ ∴ （5-1-5）
可见，时变电磁场的标势与静电场的标势不同。将式（5-1-5）整理变形就得到
（5-1-6）
该式表明：
(1). 时变场的 不仅与标势 相关，而且还与矢势 有关，这就进一步说明了电磁的统一性；
(2). 时变场中的 不再具有以往保守场、有势场的含义，迅变情况下电压已失去确切的意义；
(3). 在稳恒情况下，由于 ，（5-1-6）式退化为 ，即（5-1-5）完全覆盖了静电场的 。
二、规范变换和规范不变性
1． , 的非唯一性（多值性）
同稳定场情况一样，在时变场中，一个场量 或 可对应多个 或 ，证明如下：
对时变场的势作变换 （5-1-7）
在上式中， 为任意标量函数。
将（5-1-7）的两式分别代入（5-1-2）、（5-1-6）中：
（5-1-8）
（5-1-9）
结果表明， 与 描述了同一场量。
因为 是任意的，所以 、 就是非唯一的，多值的。多值的原因主要是我们只限定了矢势的横场（ ），而没有限定矢势的纵场（ ）。
2．规范变换和规范不变性
在电动力学中将上面的（5-1-7）的两式称为“规范变换”式。当势作规范变换时，场量 、 均保持不变，把场的这一性质称为“规范不变性”。在作规范变换时，场量 、 的不变意味着所有物理量和物理规律都保持不变，也就是说，“客观规律与势的特殊规范选择无关”。
在量子力学中， 和 已经不能完全描述电磁场的所有物理效应。例如在 效应中，非单连通域内绕闭合路径一周的电子波函数的相位差，就由回路积分 描述，而不能由 的局域作用来描述。回路积分 也是规范不变的，当我们对式中的 按照（5-1-7）式作规范变换后，即有
（5-1-10）
因此，即是在量子力学中，所有可测量的物理量仍然保持规范不变性。
在经典电动力学中，势 和 的引入是辅助描述电磁场的一种方法，规范不变性则是对描述方法所加的要求。在近代物理中，规范变换是由量子力学的基本原理引入的，规范不变性则是一条重要的物理原理。在量子力学中 和 的地位也比在经典电动力学中重要得多。现在已经清楚，不仅在电磁相互作用中，而且在其它基本相互作用中，规范不变性是决定相互作用的一条基本原理。传递这些相互作用的场称为“规范场”，电磁场则是人们熟知的一种较为简单的规范场。
3．对于势 和 的规范限定
由于我们对 未作任何限定，导致了 的多值性。为了使计算和有关势方程的简化，可对 选取一定的规范。应用最广的规范有两种：
(1). 库仑规范条件 （5-1-11）
表明 为无源场，因而电场的表示式为
式中的第二项 也是无源（横场），而第一项 为无旋场（纵场）。 的纵场部分完全由 描述，而横场部分则完全由 描述。因此，上式中的两项各自对应一种类型的场，泾渭分明
这种划分对于讨论某些问题是比较方便的，规范条件 也曾在限定静磁场的矢势中使用过。
(2). 洛仑兹规范条件 （5-1-12）
选取了这种规范能使势的方程高度的对称，方程的物理意义也特别明显，从而使势的计算大为简化，这在下面达朗伯（D’lembert）方程的推导中可以看到。选用这种规范使基本理论的研究和辐射问题的计算更加方便。
三、真空中的达朗伯方程
我们可由麦克斯韦方程推导出势 和 的微分方程，具体的做法就是将麦克斯韦方程中的 、 用 和 取代，这与推导静电场的势方程相似。推导从下面的方程出发
（5-1-13） （5-1-14）
1．不加规范条件时的势方程
用（5-1-2）和（5-1-6）取代（5-1-13）中的 和 ，于是可得 （5-1-15）
它可整理为
（5-1-16）
（5-1-15）、（5-1-16）即为不加任何规范条件时的势方程。
2．库仑规范条件下的势方程
当我们对 取库仑规范时，即限定了 ，（5-1-15）式就变成了
（5-1-17）
而（5-1-16）式则变为
（5-1-18）
（5-1-17）、（5-1-18）就是库仑规范条件下的势方程。
3．洛仑兹规范条件下的势方程──达朗伯方程
将洛仑兹规范条件（5-1-12）式代入（5-1-15）、（5-1-16）中可得
（5-1-19）
（5-1-20）
（5-1-19）、（5-1-20）被称为达朗伯方程。达朗伯方程不但显示了高度的对称美，而且完全覆盖了静态电磁场势的泊松方程和拉普拉斯方程，下面简洁地描述了这种覆盖关系：
四、例题
1．已知： 、 满足洛仑兹条件 ， 满足
求证： 、 满足 （ ； ）
证明：
2．求平面电磁波的势及 、 之间的关系。
解：平面波在自由空间传播 ∴ ，
于是达朗伯方程变成了波动方程 （5-1-21）
其势的解当为 （5-1-22）
把解代入洛仑兹规范条件的变形式 中，即
左边：
右边：
∴ （5-1-23）
分别消去或保留因子 可得到两势间的关系
（5-1-24） （5-1-25）
．求证：在定态平面电磁波中有
证明：(1).将 和 代入 中
∴
(2).对方程 作代换 ，
∴
整理得
（5-1-26）
五、对两种规范条件的讨论
从上述内容已知，库仑规范和洛仑兹规范对于势方程及其解的影响的确不同，那么具体的差别究竟怎样，两种规范的特点如何，这些都有待于下面的讨论。
1．对库仑规范的讨论
库仑规范限定了时变场 、 的自由度，取这种规范时，标势 描述库仑作用，可以直接由电荷分布 求出， 的纵场部分完全由 描述，横场部分完全由 描述。在平面电磁波中，场量可用势表示为
（5-1-27）
该式表明，场量只依赖于矢势 就可以算出。
在平面电磁波的势解（5-1-22）中，对于 加上任意纵向分量 ， 加上任意标量 （ 为任意常数），都不影响场量 、 ，因为任何常矢量的纵向分量均无旋，而任何常标量的梯度均为零。如果取 只有横向部分，即取了 ，也就是 ，那么（5-1-25）式就变成了 ，这样（5-1-27）就变成了
（5-1-28）
于是场量就能完全取决于矢势 。
采用了库仑规范 ，势方程（5-1-17）和（5-1-18）在自由空间中就变成 （5-1-29）
（5-1-30）
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势 ，将其代入（5-1-30），该式就变成了 的波动方程 （5-1-31）
它应有波解 （5-1-32）
可见，库仑规范的标势描述库仑作用，可直接由电荷分布 求出；矢势只有横向分量，刚好足够描写辐射电磁波的两种独立偏振。
2．对洛仑兹规范的讨论
采用洛仑兹规范时，势方程简化为对称的达朗伯方程， 的纵向部分和标势 的选择还可以有一些任意性，即 、 依然不是唯一的，还剩有适量的变换自由度。尽管如此，洛仑兹规范还是让矢势方程和标势方程从形式上完全对称，呈现了高度的对称美。这个突出的优点，不仅美化了方程的形式，还使其在相对论中显示出充分的“协变性”，为四维空间电磁场矢势与标势的统一，以及理论探讨和实际计算都提供了很大的方便。
采用洛仑兹规范的另一个优点就是，由它限定的势方程即达朗伯方程，完全覆盖了以往的泊松方程和拉普拉斯方程，从这一点说，达朗伯方程揽以往的势方程为一统。
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