理查德·费曼Richard Feynman（1918年5月11日－1988年2月15日）美国著名的物理学家。1965年诺贝尔物理 理查德·费曼奖得主。提出了费曼图、费曼规则和重正化的计算方法，是研究量子电动力学和粒子物理学不可缺少的工具。
理查德·费曼-生平简介 1918年出生于纽约市皇后区小镇法洛克卫Far Rockaway。
1939年毕业于麻省理工学院。进入普林斯顿大学念研究生。
1942年6月获得理论物理学博士学位。同年与阿琳·格林鲍姆结婚。
1943年进入洛斯阿拉莫斯国家实验室，参与曼哈顿计划，对原子弹发展贡献卓绝。 理查德·费曼
1945年6月16日，第一个妻子阿琳去世。同年开始任教于康奈尔大学。
1951年开始任教于加州理工学院。因其幽默生动，不拘一格的风格深受学生欢迎。
1965年因量子电动力学方面的贡献获得诺贝尔物理奖。
1986年调查美国挑战者号航天飞机一事, 用一杯冰水及一只橡皮环证明出事原因。
1988年2月15日不幸因癌症逝世。
理查德·费曼-著作
费曼物理学讲义(The Feynman's Lectures on Physics)
物理之美(The Character of Physical Law)
量子电动力学(Q.E.D.: The Strange Theory of Light and Matter)
你管别人怎么想(What Do You Care What Other People Think?)
理查德·费曼
别闹了费曼先生(Surely You're Joking,MR.Feynman!)
这个不科学的年代(The Meaning of It All: Thought of a Citizen Scientist!)
理查德·费曼-事迹
许多人认为，理查德·费曼(RichardFeynman)是本世纪诞生于美国的最伟大的物理学家，一个独辟蹊径的思考者，超乎寻常的教师，尽善尽美的演员，1918年5月11日，理查德·菲利浦·费曼(RichardPhillipsFeynman)出生于纽约市。他的父亲是麦尔维尔·阿瑟·费曼，母亲是露茜尔·菲利浦。但是费曼是在长岛南岸的法罗克维长大的。他有一个妹妹琼，比他小9岁，两个人的关系非常亲密，琼后来也成了一名物理学家。虽然麦尔维尔和露茜尔都是犹太人，但是他们对孩子的教育却没有狭隘偏执的宗教观念。
麦尔维尔是1895年和父母一起来到美国的，那时他还是个5岁的孩子。他们是白俄罗斯的明斯克人。年轻的时候他
理查德·费曼对科学产生了浓厚的兴趣，可是他没有足够的经济来源来实现做物理学家的梦想。干了几种杂活之后，他成了一个制服加工公司的业务代表。在理查德出生之前，麦尔维尔就对妻子说：“如果生个男孩子，他准能当个科学家。”为了确保自己的预言实现，他尽了最大的努力。
当儿子还坐着幼儿专用的高椅子时，麦尔维尔就买了一套浴室用的白色和蓝色瓷砖。他用各种方法来摆放它们，教理查德认识形状和简单的算术原理。当孩子长大一点时，麦尔维尔就带他去博物馆，并且给他读《不列颠百科全书》，然后用自己的语言耐心地解释。后来费曼愉快地回忆道：“没有压力，只有可爱的、有趣的讨论。”
麦尔维尔教会了理蒂(小理查德的昵称)怎样思考。他让理蒂设想他遇见了火星人，火星人肯定要问很多关于地球的问题。比如说，为什么人在夜里睡觉呢？理蒂怎么回答这个问题呢？
这种培养和教导是很有好处的。年轻的理查德很快就开始自己读《不列颠百科全书》了，他对上面的科学和数学文章尤其感兴趣。他从阁楼上找到一本旧课本，于是就照着课本自学起几何。
尽管理查德是一个智力早熟的少年，但是他却觉得人文科学枯燥无味，他对历史和文学毫无兴趣。他认为英语的拼写太缺乏逻辑性，所以他即使到了成年以后也不擅长拼写。
高中毕业之后，费曼进入麻省理工学院学习，最初主修数学和电力工程，后来他在物理学中找到了最适合自己的位置。1939年，他以优异的成绩毕业于麻省理工学院，又到普林斯顿大学念研究生。1942年6月，他获得了理论物理学博士学位。费曼最可亲的品质之一，是他对于自然的奇迹无休止的好奇心和从全新的角度看问题的能力。费曼喜欢观察最普通的自然现象，并找出其中的道理，这些现象大部分人，包括物理学家在内，都不会注意到。费曼常说，如果一个人学会了解释简单的东西，他就懂得了解释是什么；也就是说，他理解了科学本身。
费曼具有一种奇特的性格。第一次遇到费曼的人马上会为他的才华所倾倒，同时又会对他的幽默感到吃惊。第二次世界大战后不久，物理学家弗里曼·戴森在康奈尔大学见到了理查德·费曼，他说他的印象是：“半是天才，半是滑稽演员。”后来，当戴森对费曼非常了解之后，他把原来的评价修改为：“完全是天才，完全是滑稽演员。”
费曼总是用通俗的语言说话，从来不用高深的词语或者词组。虽然费曼一直使用通俗的语言，但是如果他愿意的话，他可以很雄辩地讲话(完全符合语法规范)，他还能写出非常优美的诗句。这也许正是对他的天才和自信的最好注释。在他的晚年，费曼努力地做好他的前妻阿琳认为重要的事情。他开始绘画，并画出了很好的素描和油画作品。1988年2月15日，他与世长辞，终年69岁。他去世后的第二天，学生们在加州理工学院10层高的图书馆顶楼挂起一条横幅，上面写着：“我们爱你，迪克”。
理查德·费曼-曼哈顿计划
曼哈顿计划是费曼研究生涯的起点。在洛斯阿拉莫斯，刚刚研究生毕业的费曼跃跃欲试，他获得了一个难得的机
理查德·费曼会，同一批最伟大的物理学家和数学家一起工作，他们包括：奥本海默、汉斯·贝特、恩里科·费米、爱德华·泰勒，还有约翰·冯·诺曼。
在此之前，费曼发现自己总是跟贝特唱反调。贝特当时已经是一位知名度较高、很受尊敬的物理学家。当贝特说出一个费曼不同意的观点时，费曼总是公开地强烈地表示反对。经过贝特耐心解释他的推理过程，费曼才能平静下来。可是等到下次观点出现分歧时，这个过程又会重复一遍。贝特一点也不生气，相反，费曼深入的思维给他留下了很好的印象，因此他对费曼产生了一种尊敬。
贝特让费曼到自己手下来工作，让他做了计算组的组长。于是费曼成了几位组长当中最年轻的一位。在那个时候，所有的计算都是由人工完成的，要使用对数表和笨重的机械计算器。在费曼的领导下，计算组的工作效率大幅度提高，老科学家们的工作都要依赖这些计算结果，所以他们对费曼的工作非常满意。
让老科学家们满意的还有费曼那卓越的能力，他能运用逻辑来分析一切复杂问题，找出主要因素，并简单明了地说明需要解答的关键问题。令他们同样满意的是这位年轻的科学家对物理学那富于感染力的热情。很快，贝特就自豪地宣称：“费曼能做任何事情，所有的事情。”奥本海默写道：“他是这里最才华横溢的年轻物理学家，……他有着非常吸引人的性格与个性，……他是一个优秀的教师，对物理学的各个方面都有着热烈的感情。”
战后，贝特邀请费曼到康奈尔大学跟他一起工作，费曼愉快地接受了。
理查德·费曼-独辟蹊径的思考者和“天才”
亲自参与了释放毁灭性的核能量，又看到挚爱的妻子去世，这使费曼陷入了深深的忧郁，这种情形持续了差不多
理查德·费曼两年。他不知道自己的忧郁在多大程度上来自于原子弹，又在多大程度上来自于他深爱的阿琳的去世。但是他不能进行物理学研究了，他的创造灵感枯竭了。然而，他戴上勇敢的面具继续教学，并从中获得了极大的安慰。康奈尔大学给费曼提供了一个避风港，让他集中精力从事教学，而不要求他拿出研究成果。
1946年10月，麦尔维尔在一次中风后去世，这更加重了费曼的忧郁。但是他既没有闷闷不乐也没有与世隔绝。正如贝特解释的那样：“费曼忧郁的时候也比任何其他人兴高采烈的时候还要高兴。”
最终，费曼用一种完全是费曼式的方法打破了忧郁的恶性循环。有一天，他在康奈尔大学的咖啡厅里看见一个学生抛起了一个餐盘。他给自己提出一个挑战，用公式来描述盘子的转动和摆动之间的关系。经过一番努力，他终于能够证明，就像他观察到的一样，当摆动角度很小时，转动速度是摆动速度的两倍。当费曼兴奋地把这一结果告诉贝特的时候，贝特很有兴趣地听完了他的话，然后问他：这有什么实际价值呢？
费曼只好承认这的确没有任何实际价值。对于费曼来说，这是一次深刻的领悟。他决定从今以后，他只为了自己的兴趣而研究物理。被这个决定激励着，他重新开始研究量子电动力学的问题，早在普林斯顿大学的时候他就开始涉足这个领域了，最终就是这方面的研究使他获得了诺贝尔奖。具有讽刺意味的是，他发现他出于感兴趣而研究的旋转餐碟的运动，也适用于电子旋转的问题。
在康奈尔大学待了四年以后，费曼厌倦了绮色佳城冬季的气候和小镇的气氛。他对那里学术自由的环境和周围众多的人文学科教授也感到不舒服。所以当他接到加利福尼亚理工学院具有吸引力的邀请时，他马上接受了。此后费曼的全部时间都是在加州理工学院度过的，在那里他进行了最有成果的研究工作。
在加州理工学院，费曼作为一个传奇人物的名声确立起来。随着他越来越显示出在数学上直觉性的才能和对物理学的深刻的洞察力，“天才”这个词也越来越多地与他联系在一起了。
理查德·费曼-超乎寻常的教师
对于费曼的教学生涯来说，父亲对他早年的训练是无价之宝。最重要的是，麦尔维尔在他身上灌注了一种对于大
理查德·费曼自然的美的赞叹和欣赏，并使他产生了与他人分享这种感受的灼人的欲望。听费曼讲课确实是一种触电的经历。在讲台上，他总是处于动态，正如他喜欢谈论的原子一样。他像个舞蹈演员一样昂首挺胸地在台上走来走去，他的胳膊和双手划出复杂而优美的弧线，配合着他的语言。他的声音时高时低，用来证明他的论点。总而言之，他能牢牢地抓住听众的注意力。
费曼从教学当中得到了活力。学生们经常提出一些深刻的问题，这常常会进一步激发他的头脑，提供研究的课题。有一次他写道：“教学和学生使我的生命得以延续。如果有人给我创造一个很好的环境，但是我不能教学的话，那我永远不会接受。永远不会。”
费曼也相信，人们记住他首先是因为他的教学工作。加州理工学院把他的一系列讲座收集在一起，出版了《费曼讲物理》，这本书马上成了经典著作，成了全世界的热销书。这本书本来是面向加州理工学院的一二年级学生的，可是最能认识到这本书价值的却是物理教师，他们从中找到了自己讲座的灵感。所以，费曼被称做“老师的老师”是当之无愧的.
理查德·费曼-奇特的性格
费曼最可亲的品质之一，是他对于自然的奇迹无休止的好奇心和从全新的角度看问题的能力。费曼喜欢观察最普
理查德·费曼通的自然现象，并找出其中的道理，这些现象大部分人，包括物理学家在内，都不会注意到。费曼常说，如果一个人学会了解释简单的东西，他就懂得了解释是什么；也就是说，他理解了科学本身。
费曼具有一种奇特的性格。第一次遇到费曼的人马上会为他的才华所倾倒，同时又会对他的幽默感到吃惊。第二次世界大战后不久，物理学家弗里曼·戴森在康奈尔大学见到了理查德·费曼，他说他的印象是：“半是天才，半是滑稽演员。”后来，当戴森对费曼非常了解之后，他把原来的评价修改为：“完全是天才，完全是滑稽演员。”
费曼总是用通俗的语言说话，从来不用高深的词语或者词组。他的句子经常不合语法规范。伟大的德国物理学家沃尔夫冈·鲍利曾经表示过对费曼的疑惑：“为什么这个聪明的年轻人谈吐像个无业游民呢？”费曼喜欢听到别人这样描述他。贝特认为费曼经常“模仿布鲁克林口音和作派”来故意“掩盖他那其实很脆弱的灵魂”。确实，人们很容易看出，他是用插科打诨来掩饰因为失去阿琳而带来的永远挥之不去的悲伤。
虽然费曼一直使用通俗的语言，但是如果他愿意的话，他可以很雄辩地讲话(完全符合语法规范)，他还能写出非常优美的诗句。这也许正是对他的天才和自信的最好注释。在他的晚年，费曼努力地做好阿琳认为重要的事情。他开始绘画，并画出了很好的素描和油画作品。
理查德·费曼-主要成就
费曼于40年代发展了用路径积分表达量子振幅的方法，并于1948年提出量子电动力学新的理论形式、计算方法和重正化方法，从而避免了量子电动力学中的发散困难。目前量子场论中的“费曼振幅”、“费曼传播子”、“费曼规则”等均以他的姓氏命名。
费曼图表是费曼在四十年代末首先提出的，用于表述场与场间的相互作用，可以简明扼要地体现出过程的本质，费曼图表早已得到广泛运用，至今还是物理学中对电磁相互作用的基本表述形式。它改变了把物理过程概念化和数学化的处理方式。
费曼总是以自己独特的方式来研究物理学。他不受已有的薛定谔的波函数和海森堡的矩阵这两种方法的限制，独立地提出用跃迁振幅的空间-时间描述来处理几率问题。他以几率振幅叠加的基本假设为出发点，运用作用量的表
理查德·费曼达形式，对从一个空间-时间点到另一个空间-时间点的所有可能路径的振幅求和。这一方法简单明了，成了第三种量子力学的表述法。
1968年费曼根据电子深度非弹性散射实验和布约肯（J.D.Bjorken）的标度无关性提出高能碰撞中的强子结构模型。这种模型认为强子是由许多点粒子构成，这些点粒子就叫部分子（parton）。部分子模型在解释高能实验现象上比较成功，它能较好地描述有关轻子对核子的深度非弹性散射、电子对湮灭、强子以及高能强子散射等高能过程，并在说明这些过程中逐步丰富了强子结构的物理图像。
除了量子电动力学方面的卓越贡献，费曼还建立了解决液态氦超流体现象的数学理论。之后，他和莫雷盖尔曼在弱相互作用领域，比如β衰变方面，做了一些奠基性工作。费曼通过提出高能质子碰撞过程的层子模型，在夸克理论的发展中，起了重要作用。
费曼有一种特殊能力，就是能把复杂的观点，用简单的语言把它表述出来，这使得他成为一位硕果累累的教育家。在获得的诸多奖项中，他特别感到自豪的，是1972年获得的奥尔斯特教育奖章。最初出版于1962年的《费曼物理学讲义》被《科学美国人》这样赞誉：“尽管这套教材深奥难懂，但是它的内容丰富而且富有启发性。在它出版25年后，它已经成为讲师、教授和低年级优秀学生的学习指南。”费曼自己则在前言中写道：“我讲授的主要目的，不是帮助你们应付考试，也不是帮你们为工业或国防服务。我最希望做到的是，让你们欣赏这奇妙的世界以及物理学观察它的方法”。
为了促进普通公众对物理学的理解，费曼撰写了《物理定律的特征》和《量子电动力学：光和物质的奇特理论》等。同时还发表了许多高深的专业论文和著作，这些论文和著作已成为研究者和学生的经典文献和教科书。费曼还是一位富有建设性的公众人物。1986年，挑战者号失事后，费曼做了著名的O型环演示实验，只用一杯冰水和一只橡皮环，就在国会向公众揭示了挑战者失事的根本原因－低温下橡胶失去弹性。20世纪60年代，费曼还在加州课程设计委员会上，为反对教科书的平庸，作出了努力。
宇宙历史求和
A~sum(e^I*S[G]/h). 这个公式是费曼的宇宙历史求合公式。里面每个字母的意义，不要问我，我不知道。我仅知这个公式应该和路径积分有关(是霍金说的)，你们认为我能知道路径积分是啥东西吗？求每一点的全局真实光照的话，就要解光亮度方程，光亮度方程就要知道这点BRDF(双向反射分布函数)。这个BRDF的最原始和最完善解决方案就是这个点处作路径积分。关于路径积分我还知道的是：在量子力学里用路径积分来求出核外电子围绕原子核的可能的轨道。所以我想霍金提出这个费曼历史求和公式的用意是这样的：用相对论可以很好地描述我们宇宙的模式，但想要解释为什么会形成这样的模型以及维护这个模型运转的原因，那将会是量子理论。
费曼的历史求和，数学上非常困难，只好引入虚时间。粒子的路径求和，就是把波加起来，这也就是量子场论中的维克旋转，用it代替t实现时间轴的旋转，同时把闵可夫斯基空间翻译成欧氏空间，在欧氏理论中量子场论的某些表达式（譬如路径积分）可被更好地定义。霍金进一步把"维克旋转"运用到洛化度规这一类弯曲时空的度规中，以便得到欧氏度规的空间的更高水平上的维克旋转。
虽然用费曼历史求和法确定宇宙波函数，数学上非常困难，必须运用鞍点近似和维克旋转等数学技巧，不但要求时间值取虚值，而且虚时间所对应的度规还要周期等同。在实时间方向上，与将来方向夹角小，不可避免遭遇到奇性；而虚时间和实时方向夹正直角，可转弯绕过奇性——虚时的引入意味着时间和空间的差别完全消失。
泛函积分-泛函积分
泛函积分-正文 无限维分析学的一个新分支。它起源于量子物理学中的连续积分和概率论中的随机过程的样本空间的研究。目前，泛函积分方法已深入到分理化量子场论、基本粒子理论、随机力学、马尔可夫场、统计物理和湍流理论等领域。同时，泛函积分正在与群表示论、巴拿赫空间几何学、微分方程论、随机过程理论相互渗透。这一切都使它成为现代分析学中的一个令人瞩目的学科。泛函积分的内容目前主要包括连续积分、柱测度、正定函数、拟不变测度理论等。
连续积分 连续积分是指泛函沿着一类连续轨道的积分。1942年R.P.费因曼从最小作用量原理出发定义路径积分,它给出量子力学的另一种等价的表达形式,后人称为费因曼路径积分，目前它已在量子物理中被愈来愈多地引用。为简单起见，以有限个自由度的量子力学体系为例。通常这种体系的状态用满足薛定谔方程的复值的波函数Ψ描写。例如,质量为m 的粒子在势能场V(x)中的运动，这时Ψ满足方程
如果用Ψ(x,t；x0,t0)表示粒子在t0时刻处于x0位置的波函数，那么量子力学的一个基本问题是求出Ψ (x,t)或Ψ(x,t；x0,t0)的表达式。
按照经典力学的观点,质量为m的粒子在势能场V(x)中运动的拉格朗日函数为设 x(τ)是一条连续路径，适合条件x(τ0)=x0，x(τ)=x,那么沿着路径的作用量为
费因曼从最小作用量原理出发将波函数Ψ（x,t；x0，t0）表示成作用量S沿着一切可能的连接(x0,t0)和(x,t)的连续轨道上的积分，即
这里N 是规范因子。
从数学的角度看，路径积分是没有经过严格定义的概念，最通常的理解是，先将【t0,t】进行n等分,记0≤j ≤n。作依次连接（xj,jΔt）的折线xn(τ),设作n重积分
（这里Nn是规范因子）,然后将费因曼积分设想成当n→∞时上述积分的极限。但因为是随着n的增大而剧烈振荡的函数,故上述的极限实际上是不存在的。但费因曼积分非常富有启发性，许多物理学家运用这种路径积分及按他们的物理设想所提出的一些计算法则能很好地说明量子物理中的许多问题，例如从量子力学到经典力学的过渡等。同时，在量子场论中也出现了大量的类似的没有严格定义的连续积分。这就向数学家提出了建立路径积分的严格的数学基础的要求。它是泛函积分研究的重要课题之一。近40年中，人们利用解析开拓、广义函数、复值测度和振荡积分等各种手段去进行研究，但至今尚未解决。
泛函积分与微分方程 早在路径积分出现以前，N.维纳在研究作布朗运动的粒子的统计规律时已提出维纳测度。设t>0，C表示【0,t】区间上连续并在0点取值为零的函数全体（C 中的每个元素可理解为作一维布朗运动的粒子的轨道）。又设(αi,bi)，1≤i≤n，是n个区间， 称集合A＝{x|x∈C,x(ti)∈(αi，bi),1≤i≤n}是C中的柱集。那么，轨道x 落入A中的概率是
这样在柱集全体上定义了一个柱测度。维纳证明了它可以延拓成C上的可列可加的测度dωx，通常称为维纳测度，关于这个测度的积分称为维纳积分。
M.卡茨研究了一类泛函在作布朗运动的粒子所有轨道上的平均值的计算。设F是C上的连续泛函，这个平均值就是F关于维纳测度的数学期望。对连续轨道x作依次连接1≤j≤n的折线xn(t),记 1≤i≤n，则 引用费因曼的记号,上式可改写为
M.卡茨受到费因曼路径积分表示薛定谔方程的解的思想的启发，利用维纳积分去解微分方程。证明了 在一定条件下满足方程，Ψ(y,0)=ƒ(y)。
这项工作开辟了用泛函积分研究微分方程的新方向，至今也还是泛函积分中的一个十分有意义的研究领域。
柱测度 柱测度是测度概念的推广，它也是研究具有无限多个参数的随机过程(广义随机过程)的重要工具之一。设φ是拓扑线性空间,(Ω,P)是概率空间，如果给定一族依赖于φ中的元素φ 的随机变量{X(·,φ),φ∈φ }，满足线性关系（等式关于P几乎处处成立）;则称它是φ上的线性过程。另外,如果对φ中任何一个收敛于0的定向序列{φλ,λ∈Λ}，随机变量序列{x(·,φλ)，λ∈Λ}依概率收敛于0,则称{x(·，φ),φ∈φ }为广义 (线性)随机过程。根据柯尔莫哥洛夫概率测度存在性定理，在φ的代数对偶空间φA（φ上的线性泛函全体）上存在σ 代数B和概率测度μ，使得φA上的由φ(ƒ)=ƒ(φ)(φ∈φ，ƒ∈φA)定义的函数φ关于B可测，而且若，则
以上A表示Rn中的波莱尔集。
这里的基本问题之一是研究μ 能否集中在一个比φA更小的线性子空间W上，以便对广义随机过程{x(·，φ)，φ∈φ}的样本轨道X(ω，·)作比较深入的研究。寻找样本空间W 的问题等价于研究柱测度的可列可加性。
设X,Y是两个实的线性空间，〈x,y〉,x∈X，y∈Y是X×Y上的实的双线性泛函,并且对X中的任何非零向量x，必定存在y∈Y，使〈x,y〉≠0，对Y空间也有同样假定。在X中任取n个向量x1,x2,…xn，记Y 中使,,…,可测的最小σ代数为F(x1,x2,…,xn)。F(x1,x2,…,xn)中的集称为Y中的柱集，柱集全体记为φ，它是Y上的代数。设μ是φ上的集函数,μ 限制在每一个F(x1,x2,…,xn)上是一个概率测度，称为Y上的柱测度。当X是拓扑线性空间时，如果对任何ε>0，存在X中零的邻域V，对任何x∈V，成立μ｛y|||>1｝<ε，则称μ 关于X 的拓扑是连续的。特别当{X (·，φ),φ∈φ }是广义随机过程时，取φA中的线性子空间W0，使得φ=0与对一切ƒ∈W0,ƒ(φ)=0等价。设X=φ，Y=W0,<φ，ƒ>=ƒ(φ)，定义
那么，μ 是W0上关于φ 的拓扑连续的柱测度。从而W0是否成为样本空间的问题等价于柱测度μ 在W0∩φ上具有可列可加性。1959年，P.A.明洛斯证明了下面的基本定理：设φ是核空间，则φ的共轭空间(连续线性泛函全体)φ┡上的任何一个关于φ 的拓扑连续的柱测度都是可列可加的。所以φ 上的每一个广义随机过程都以φ┡为样本空间。1962年，夏道行证明，设B是具有基底{en,n≥1}的巴拿赫空间，φ是由{en,n≥1}张成的线性子空间,{en}是一列随机变量，并依概率1成立 令依概率收敛｝,则W上关于B的拓扑连续的柱测度是可列可加的。这个结果的重要性不但在于它是明洛斯定理的推广而且在于它指出了柱测度可列可加性与巴拿赫空间结构的本质联系。
L.施瓦尔茨研究了将柱测度变换成可列可加测度的线性映射-拉东映射，提出了巴拿赫空间型的概念,在此基础上建立了研究柱测度可列可加性的一般原理即施瓦尔茨对偶性定理。
正定函数表示 将是限维空间上深刻的调和分析理论推广到无限维空间(拓扑线性空间或更一般的拓扑群)是无限维分析的主要课题。正定函数的表示问题就是其中之一。设G是拓扑群，e是G的单位元,ƒ(G)是G上的函数,ƒ(e)=1。如果对g中任意n个元素g1,g2,…gn和任意n个复数z1,z2,…zn，成立，称ƒ是g上的正定函数。
正定函数的表示问题和柱测度的可列可加性的关系极为密切。设φ 是拓扑线性空间，φ 按向量的加法成为交换的拓扑群。若ƒ是φ上的正定函数,W是φA上的线性子空间,且φ∈φ,φ=0等价于ƒ（φ）=0，对任何ƒ∈W；那么在W上有惟一的柱测度Λ，使 (g∈φ)。ƒ是 φ上的连续的正定函数的充要条件是柱测度Λ关于φ 的拓扑是连续的。因此，经典调和分析中的有限维空间上的博赫纳定理在无限维空间上的推广问题与研究柱测度的可列可加性是等价的。当 G是一般的交换的拓扑群时，可用G的特征标群GA代替φA进行类似的讨论。根据关于柱测度可列可加性的明洛斯定理知道,核空间φ上的连续正定函数必是φ ┡上的概率测度的傅里叶变换。夏道行利用拟不变测度的理论对交换拓扑群上的正定函数的表示得到了很一般的结果，即对一类交换的拓扑群推广了博赫纳定理。
拟不变测度 设X是拓扑空间，B是X中开集全体张成的σ 代数。如果 g 是 X 上的双射，并且对任何 A∈，则称g是(X，B)上可测同构。令G是(X,B)上可测同构全体所成的变换群。设μ是B上正则测度（即μ是满足下列条件的测度：对任何 A∈B以及ε>0，必存在开集O，闭紧集F,使得O叾A叾F，并且μ(O-F)<ε）对任何G∈G，定义，A∈B。如果对一切g∈g ，g·μ与μ都等价，则称μ关于群g是拟不变的测度。
和连续积分一样，拟不变测度的研究来源于量子物理。例如，量子场论中交换关系的表示问题实质上是和寻找某个拓扑线性空间上拟不变的概率测度问题等价的。又如相应于量子场论中真空态的测度就具有某个拟不变性质。这个事实推动了一般的拟不变测度理论的研究。夏道行利用测度论和算子代数的方法率先对它们作了系统的研究，建立了一整套理论，获得拟不变测度的许多基本性质，例如，证明了如下结果：设X是拓扑群，G是X的子群，G上有拓扑τ使(g,τ)成为第二纲的拓扑群，且G到X中的嵌入是连续的。对每个g∈G，定义左乘变换τg，如果(X,B)上存在有限的正则测度μ,它关于{τg,g∈G }是拟不变的，那么对B中每一个正测度的紧子集K,必然存在(G,τ)中单位元的邻域V,当h∈V时，μ(K ∩τhK)>0。由此,立即可推出在无限维的巴拿赫空间E上不存在关于全空间平移拟不变的正则的概率测度。
另外,设P(x)是(X,B)上的非负可测函数,当g∈G时，定义p(g)=本性下界(p(x)+p(τg_1x))(本性下界指在X中除去任意一个μ零集后在其上取下界,然后取这些下界的最大值）。
夏道行证明了下面的重要不等式：当(G，τ)又满足第一可列公理时，对B中任一正测度集A，必有(G,τ)中单位元的邻域V和正数с,使得对X上的任一非负可测函数p，成立
。
对g∈G，可定义L2(x,μ)上的酉算子UG，
{Ug,g∈g}是群g的酉表示,记u是由{Ug,g∈g}张成的L上的对称的弱闭算子代数，夏道行利用对称的弱闭算子代数的分解定理，研究了拟不变测度的分解，证明对偶空间的存在，在这个基础上建立了关于拟不变测度的L2傅里叶变换理论和相应的计算公式。看来，这个理论将为无限维空间上的微分方程、变分方程的研究提供工具
理查德·费曼-生平简介 1918年出生于纽约市皇后区小镇法洛克卫Far Rockaway。
1939年毕业于麻省理工学院。进入普林斯顿大学念研究生。
1942年6月获得理论物理学博士学位。同年与阿琳·格林鲍姆结婚。
1943年进入洛斯阿拉莫斯国家实验室，参与曼哈顿计划，对原子弹发展贡献卓绝。 理查德·费曼
1945年6月16日，第一个妻子阿琳去世。同年开始任教于康奈尔大学。
1951年开始任教于加州理工学院。因其幽默生动，不拘一格的风格深受学生欢迎。
1965年因量子电动力学方面的贡献获得诺贝尔物理奖。
1986年调查美国挑战者号航天飞机一事, 用一杯冰水及一只橡皮环证明出事原因。
1988年2月15日不幸因癌症逝世。
理查德·费曼-著作
费曼物理学讲义(The Feynman's Lectures on Physics)
物理之美(The Character of Physical Law)
量子电动力学(Q.E.D.: The Strange Theory of Light and Matter)
你管别人怎么想(What Do You Care What Other People Think?)
理查德·费曼
别闹了费曼先生(Surely You're Joking,MR.Feynman!)
这个不科学的年代(The Meaning of It All: Thought of a Citizen Scientist!)
理查德·费曼-事迹
许多人认为，理查德·费曼(RichardFeynman)是本世纪诞生于美国的最伟大的物理学家，一个独辟蹊径的思考者，超乎寻常的教师，尽善尽美的演员，1918年5月11日，理查德·菲利浦·费曼(RichardPhillipsFeynman)出生于纽约市。他的父亲是麦尔维尔·阿瑟·费曼，母亲是露茜尔·菲利浦。但是费曼是在长岛南岸的法罗克维长大的。他有一个妹妹琼，比他小9岁，两个人的关系非常亲密，琼后来也成了一名物理学家。虽然麦尔维尔和露茜尔都是犹太人，但是他们对孩子的教育却没有狭隘偏执的宗教观念。
麦尔维尔是1895年和父母一起来到美国的，那时他还是个5岁的孩子。他们是白俄罗斯的明斯克人。年轻的时候他
理查德·费曼对科学产生了浓厚的兴趣，可是他没有足够的经济来源来实现做物理学家的梦想。干了几种杂活之后，他成了一个制服加工公司的业务代表。在理查德出生之前，麦尔维尔就对妻子说：“如果生个男孩子，他准能当个科学家。”为了确保自己的预言实现，他尽了最大的努力。
当儿子还坐着幼儿专用的高椅子时，麦尔维尔就买了一套浴室用的白色和蓝色瓷砖。他用各种方法来摆放它们，教理查德认识形状和简单的算术原理。当孩子长大一点时，麦尔维尔就带他去博物馆，并且给他读《不列颠百科全书》，然后用自己的语言耐心地解释。后来费曼愉快地回忆道：“没有压力，只有可爱的、有趣的讨论。”
麦尔维尔教会了理蒂(小理查德的昵称)怎样思考。他让理蒂设想他遇见了火星人，火星人肯定要问很多关于地球的问题。比如说，为什么人在夜里睡觉呢？理蒂怎么回答这个问题呢？
这种培养和教导是很有好处的。年轻的理查德很快就开始自己读《不列颠百科全书》了，他对上面的科学和数学文章尤其感兴趣。他从阁楼上找到一本旧课本，于是就照着课本自学起几何。
尽管理查德是一个智力早熟的少年，但是他却觉得人文科学枯燥无味，他对历史和文学毫无兴趣。他认为英语的拼写太缺乏逻辑性，所以他即使到了成年以后也不擅长拼写。
高中毕业之后，费曼进入麻省理工学院学习，最初主修数学和电力工程，后来他在物理学中找到了最适合自己的位置。1939年，他以优异的成绩毕业于麻省理工学院，又到普林斯顿大学念研究生。1942年6月，他获得了理论物理学博士学位。费曼最可亲的品质之一，是他对于自然的奇迹无休止的好奇心和从全新的角度看问题的能力。费曼喜欢观察最普通的自然现象，并找出其中的道理，这些现象大部分人，包括物理学家在内，都不会注意到。费曼常说，如果一个人学会了解释简单的东西，他就懂得了解释是什么；也就是说，他理解了科学本身。
费曼具有一种奇特的性格。第一次遇到费曼的人马上会为他的才华所倾倒，同时又会对他的幽默感到吃惊。第二次世界大战后不久，物理学家弗里曼·戴森在康奈尔大学见到了理查德·费曼，他说他的印象是：“半是天才，半是滑稽演员。”后来，当戴森对费曼非常了解之后，他把原来的评价修改为：“完全是天才，完全是滑稽演员。”
费曼总是用通俗的语言说话，从来不用高深的词语或者词组。虽然费曼一直使用通俗的语言，但是如果他愿意的话，他可以很雄辩地讲话(完全符合语法规范)，他还能写出非常优美的诗句。这也许正是对他的天才和自信的最好注释。在他的晚年，费曼努力地做好他的前妻阿琳认为重要的事情。他开始绘画，并画出了很好的素描和油画作品。1988年2月15日，他与世长辞，终年69岁。他去世后的第二天，学生们在加州理工学院10层高的图书馆顶楼挂起一条横幅，上面写着：“我们爱你，迪克”。
理查德·费曼-曼哈顿计划
曼哈顿计划是费曼研究生涯的起点。在洛斯阿拉莫斯，刚刚研究生毕业的费曼跃跃欲试，他获得了一个难得的机
理查德·费曼会，同一批最伟大的物理学家和数学家一起工作，他们包括：奥本海默、汉斯·贝特、恩里科·费米、爱德华·泰勒，还有约翰·冯·诺曼。
在此之前，费曼发现自己总是跟贝特唱反调。贝特当时已经是一位知名度较高、很受尊敬的物理学家。当贝特说出一个费曼不同意的观点时，费曼总是公开地强烈地表示反对。经过贝特耐心解释他的推理过程，费曼才能平静下来。可是等到下次观点出现分歧时，这个过程又会重复一遍。贝特一点也不生气，相反，费曼深入的思维给他留下了很好的印象，因此他对费曼产生了一种尊敬。
贝特让费曼到自己手下来工作，让他做了计算组的组长。于是费曼成了几位组长当中最年轻的一位。在那个时候，所有的计算都是由人工完成的，要使用对数表和笨重的机械计算器。在费曼的领导下，计算组的工作效率大幅度提高，老科学家们的工作都要依赖这些计算结果，所以他们对费曼的工作非常满意。
让老科学家们满意的还有费曼那卓越的能力，他能运用逻辑来分析一切复杂问题，找出主要因素，并简单明了地说明需要解答的关键问题。令他们同样满意的是这位年轻的科学家对物理学那富于感染力的热情。很快，贝特就自豪地宣称：“费曼能做任何事情，所有的事情。”奥本海默写道：“他是这里最才华横溢的年轻物理学家，……他有着非常吸引人的性格与个性，……他是一个优秀的教师，对物理学的各个方面都有着热烈的感情。”
战后，贝特邀请费曼到康奈尔大学跟他一起工作，费曼愉快地接受了。
理查德·费曼-独辟蹊径的思考者和“天才”
亲自参与了释放毁灭性的核能量，又看到挚爱的妻子去世，这使费曼陷入了深深的忧郁，这种情形持续了差不多
理查德·费曼两年。他不知道自己的忧郁在多大程度上来自于原子弹，又在多大程度上来自于他深爱的阿琳的去世。但是他不能进行物理学研究了，他的创造灵感枯竭了。然而，他戴上勇敢的面具继续教学，并从中获得了极大的安慰。康奈尔大学给费曼提供了一个避风港，让他集中精力从事教学，而不要求他拿出研究成果。
1946年10月，麦尔维尔在一次中风后去世，这更加重了费曼的忧郁。但是他既没有闷闷不乐也没有与世隔绝。正如贝特解释的那样：“费曼忧郁的时候也比任何其他人兴高采烈的时候还要高兴。”
最终，费曼用一种完全是费曼式的方法打破了忧郁的恶性循环。有一天，他在康奈尔大学的咖啡厅里看见一个学生抛起了一个餐盘。他给自己提出一个挑战，用公式来描述盘子的转动和摆动之间的关系。经过一番努力，他终于能够证明，就像他观察到的一样，当摆动角度很小时，转动速度是摆动速度的两倍。当费曼兴奋地把这一结果告诉贝特的时候，贝特很有兴趣地听完了他的话，然后问他：这有什么实际价值呢？
费曼只好承认这的确没有任何实际价值。对于费曼来说，这是一次深刻的领悟。他决定从今以后，他只为了自己的兴趣而研究物理。被这个决定激励着，他重新开始研究量子电动力学的问题，早在普林斯顿大学的时候他就开始涉足这个领域了，最终就是这方面的研究使他获得了诺贝尔奖。具有讽刺意味的是，他发现他出于感兴趣而研究的旋转餐碟的运动，也适用于电子旋转的问题。
在康奈尔大学待了四年以后，费曼厌倦了绮色佳城冬季的气候和小镇的气氛。他对那里学术自由的环境和周围众多的人文学科教授也感到不舒服。所以当他接到加利福尼亚理工学院具有吸引力的邀请时，他马上接受了。此后费曼的全部时间都是在加州理工学院度过的，在那里他进行了最有成果的研究工作。
在加州理工学院，费曼作为一个传奇人物的名声确立起来。随着他越来越显示出在数学上直觉性的才能和对物理学的深刻的洞察力，“天才”这个词也越来越多地与他联系在一起了。
理查德·费曼-超乎寻常的教师
对于费曼的教学生涯来说，父亲对他早年的训练是无价之宝。最重要的是，麦尔维尔在他身上灌注了一种对于大
理查德·费曼自然的美的赞叹和欣赏，并使他产生了与他人分享这种感受的灼人的欲望。听费曼讲课确实是一种触电的经历。在讲台上，他总是处于动态，正如他喜欢谈论的原子一样。他像个舞蹈演员一样昂首挺胸地在台上走来走去，他的胳膊和双手划出复杂而优美的弧线，配合着他的语言。他的声音时高时低，用来证明他的论点。总而言之，他能牢牢地抓住听众的注意力。
费曼从教学当中得到了活力。学生们经常提出一些深刻的问题，这常常会进一步激发他的头脑，提供研究的课题。有一次他写道：“教学和学生使我的生命得以延续。如果有人给我创造一个很好的环境，但是我不能教学的话，那我永远不会接受。永远不会。”
费曼也相信，人们记住他首先是因为他的教学工作。加州理工学院把他的一系列讲座收集在一起，出版了《费曼讲物理》，这本书马上成了经典著作，成了全世界的热销书。这本书本来是面向加州理工学院的一二年级学生的，可是最能认识到这本书价值的却是物理教师，他们从中找到了自己讲座的灵感。所以，费曼被称做“老师的老师”是当之无愧的.
理查德·费曼-奇特的性格
费曼最可亲的品质之一，是他对于自然的奇迹无休止的好奇心和从全新的角度看问题的能力。费曼喜欢观察最普
理查德·费曼通的自然现象，并找出其中的道理，这些现象大部分人，包括物理学家在内，都不会注意到。费曼常说，如果一个人学会了解释简单的东西，他就懂得了解释是什么；也就是说，他理解了科学本身。
费曼具有一种奇特的性格。第一次遇到费曼的人马上会为他的才华所倾倒，同时又会对他的幽默感到吃惊。第二次世界大战后不久，物理学家弗里曼·戴森在康奈尔大学见到了理查德·费曼，他说他的印象是：“半是天才，半是滑稽演员。”后来，当戴森对费曼非常了解之后，他把原来的评价修改为：“完全是天才，完全是滑稽演员。”
费曼总是用通俗的语言说话，从来不用高深的词语或者词组。他的句子经常不合语法规范。伟大的德国物理学家沃尔夫冈·鲍利曾经表示过对费曼的疑惑：“为什么这个聪明的年轻人谈吐像个无业游民呢？”费曼喜欢听到别人这样描述他。贝特认为费曼经常“模仿布鲁克林口音和作派”来故意“掩盖他那其实很脆弱的灵魂”。确实，人们很容易看出，他是用插科打诨来掩饰因为失去阿琳而带来的永远挥之不去的悲伤。
虽然费曼一直使用通俗的语言，但是如果他愿意的话，他可以很雄辩地讲话(完全符合语法规范)，他还能写出非常优美的诗句。这也许正是对他的天才和自信的最好注释。在他的晚年，费曼努力地做好阿琳认为重要的事情。他开始绘画，并画出了很好的素描和油画作品。
理查德·费曼-主要成就
费曼于40年代发展了用路径积分表达量子振幅的方法，并于1948年提出量子电动力学新的理论形式、计算方法和重正化方法，从而避免了量子电动力学中的发散困难。目前量子场论中的“费曼振幅”、“费曼传播子”、“费曼规则”等均以他的姓氏命名。
费曼图表是费曼在四十年代末首先提出的，用于表述场与场间的相互作用，可以简明扼要地体现出过程的本质，费曼图表早已得到广泛运用，至今还是物理学中对电磁相互作用的基本表述形式。它改变了把物理过程概念化和数学化的处理方式。
费曼总是以自己独特的方式来研究物理学。他不受已有的薛定谔的波函数和海森堡的矩阵这两种方法的限制，独立地提出用跃迁振幅的空间-时间描述来处理几率问题。他以几率振幅叠加的基本假设为出发点，运用作用量的表
理查德·费曼达形式，对从一个空间-时间点到另一个空间-时间点的所有可能路径的振幅求和。这一方法简单明了，成了第三种量子力学的表述法。
1968年费曼根据电子深度非弹性散射实验和布约肯（J.D.Bjorken）的标度无关性提出高能碰撞中的强子结构模型。这种模型认为强子是由许多点粒子构成，这些点粒子就叫部分子（parton）。部分子模型在解释高能实验现象上比较成功，它能较好地描述有关轻子对核子的深度非弹性散射、电子对湮灭、强子以及高能强子散射等高能过程，并在说明这些过程中逐步丰富了强子结构的物理图像。
除了量子电动力学方面的卓越贡献，费曼还建立了解决液态氦超流体现象的数学理论。之后，他和莫雷盖尔曼在弱相互作用领域，比如β衰变方面，做了一些奠基性工作。费曼通过提出高能质子碰撞过程的层子模型，在夸克理论的发展中，起了重要作用。
费曼有一种特殊能力，就是能把复杂的观点，用简单的语言把它表述出来，这使得他成为一位硕果累累的教育家。在获得的诸多奖项中，他特别感到自豪的，是1972年获得的奥尔斯特教育奖章。最初出版于1962年的《费曼物理学讲义》被《科学美国人》这样赞誉：“尽管这套教材深奥难懂，但是它的内容丰富而且富有启发性。在它出版25年后，它已经成为讲师、教授和低年级优秀学生的学习指南。”费曼自己则在前言中写道：“我讲授的主要目的，不是帮助你们应付考试，也不是帮你们为工业或国防服务。我最希望做到的是，让你们欣赏这奇妙的世界以及物理学观察它的方法”。
为了促进普通公众对物理学的理解，费曼撰写了《物理定律的特征》和《量子电动力学：光和物质的奇特理论》等。同时还发表了许多高深的专业论文和著作，这些论文和著作已成为研究者和学生的经典文献和教科书。费曼还是一位富有建设性的公众人物。1986年，挑战者号失事后，费曼做了著名的O型环演示实验，只用一杯冰水和一只橡皮环，就在国会向公众揭示了挑战者失事的根本原因－低温下橡胶失去弹性。20世纪60年代，费曼还在加州课程设计委员会上，为反对教科书的平庸，作出了努力。
宇宙历史求和
A~sum(e^I*S[G]/h). 这个公式是费曼的宇宙历史求合公式。里面每个字母的意义，不要问我，我不知道。我仅知这个公式应该和路径积分有关(是霍金说的)，你们认为我能知道路径积分是啥东西吗？求每一点的全局真实光照的话，就要解光亮度方程，光亮度方程就要知道这点BRDF(双向反射分布函数)。这个BRDF的最原始和最完善解决方案就是这个点处作路径积分。关于路径积分我还知道的是：在量子力学里用路径积分来求出核外电子围绕原子核的可能的轨道。所以我想霍金提出这个费曼历史求和公式的用意是这样的：用相对论可以很好地描述我们宇宙的模式，但想要解释为什么会形成这样的模型以及维护这个模型运转的原因，那将会是量子理论。
费曼的历史求和，数学上非常困难，只好引入虚时间。粒子的路径求和，就是把波加起来，这也就是量子场论中的维克旋转，用it代替t实现时间轴的旋转，同时把闵可夫斯基空间翻译成欧氏空间，在欧氏理论中量子场论的某些表达式（譬如路径积分）可被更好地定义。霍金进一步把"维克旋转"运用到洛化度规这一类弯曲时空的度规中，以便得到欧氏度规的空间的更高水平上的维克旋转。
虽然用费曼历史求和法确定宇宙波函数，数学上非常困难，必须运用鞍点近似和维克旋转等数学技巧，不但要求时间值取虚值，而且虚时间所对应的度规还要周期等同。在实时间方向上，与将来方向夹角小，不可避免遭遇到奇性；而虚时间和实时方向夹正直角，可转弯绕过奇性——虚时的引入意味着时间和空间的差别完全消失。
泛函积分-泛函积分
泛函积分-正文 无限维分析学的一个新分支。它起源于量子物理学中的连续积分和概率论中的随机过程的样本空间的研究。目前，泛函积分方法已深入到分理化量子场论、基本粒子理论、随机力学、马尔可夫场、统计物理和湍流理论等领域。同时，泛函积分正在与群表示论、巴拿赫空间几何学、微分方程论、随机过程理论相互渗透。这一切都使它成为现代分析学中的一个令人瞩目的学科。泛函积分的内容目前主要包括连续积分、柱测度、正定函数、拟不变测度理论等。
连续积分 连续积分是指泛函沿着一类连续轨道的积分。1942年R.P.费因曼从最小作用量原理出发定义路径积分,它给出量子力学的另一种等价的表达形式,后人称为费因曼路径积分，目前它已在量子物理中被愈来愈多地引用。为简单起见，以有限个自由度的量子力学体系为例。通常这种体系的状态用满足薛定谔方程的复值的波函数Ψ描写。例如,质量为m 的粒子在势能场V(x)中的运动，这时Ψ满足方程
如果用Ψ(x,t；x0,t0)表示粒子在t0时刻处于x0位置的波函数，那么量子力学的一个基本问题是求出Ψ (x,t)或Ψ(x,t；x0,t0)的表达式。
按照经典力学的观点,质量为m的粒子在势能场V(x)中运动的拉格朗日函数为设 x(τ)是一条连续路径，适合条件x(τ0)=x0，x(τ)=x,那么沿着路径的作用量为
费因曼从最小作用量原理出发将波函数Ψ（x,t；x0，t0）表示成作用量S沿着一切可能的连接(x0,t0)和(x,t)的连续轨道上的积分，即
这里N 是规范因子。
从数学的角度看，路径积分是没有经过严格定义的概念，最通常的理解是，先将【t0,t】进行n等分,记0≤j ≤n。作依次连接（xj,jΔt）的折线xn(τ),设作n重积分
（这里Nn是规范因子）,然后将费因曼积分设想成当n→∞时上述积分的极限。但因为是随着n的增大而剧烈振荡的函数,故上述的极限实际上是不存在的。但费因曼积分非常富有启发性，许多物理学家运用这种路径积分及按他们的物理设想所提出的一些计算法则能很好地说明量子物理中的许多问题，例如从量子力学到经典力学的过渡等。同时，在量子场论中也出现了大量的类似的没有严格定义的连续积分。这就向数学家提出了建立路径积分的严格的数学基础的要求。它是泛函积分研究的重要课题之一。近40年中，人们利用解析开拓、广义函数、复值测度和振荡积分等各种手段去进行研究，但至今尚未解决。
泛函积分与微分方程 早在路径积分出现以前，N.维纳在研究作布朗运动的粒子的统计规律时已提出维纳测度。设t>0，C表示【0,t】区间上连续并在0点取值为零的函数全体（C 中的每个元素可理解为作一维布朗运动的粒子的轨道）。又设(αi,bi)，1≤i≤n，是n个区间， 称集合A＝{x|x∈C,x(ti)∈(αi，bi),1≤i≤n}是C中的柱集。那么，轨道x 落入A中的概率是
这样在柱集全体上定义了一个柱测度。维纳证明了它可以延拓成C上的可列可加的测度dωx，通常称为维纳测度，关于这个测度的积分称为维纳积分。
M.卡茨研究了一类泛函在作布朗运动的粒子所有轨道上的平均值的计算。设F是C上的连续泛函，这个平均值就是F关于维纳测度的数学期望。对连续轨道x作依次连接1≤j≤n的折线xn(t),记 1≤i≤n，则 引用费因曼的记号,上式可改写为
M.卡茨受到费因曼路径积分表示薛定谔方程的解的思想的启发，利用维纳积分去解微分方程。证明了 在一定条件下满足方程，Ψ(y,0)=ƒ(y)。
这项工作开辟了用泛函积分研究微分方程的新方向，至今也还是泛函积分中的一个十分有意义的研究领域。
柱测度 柱测度是测度概念的推广，它也是研究具有无限多个参数的随机过程(广义随机过程)的重要工具之一。设φ是拓扑线性空间,(Ω,P)是概率空间，如果给定一族依赖于φ中的元素φ 的随机变量{X(·,φ),φ∈φ }，满足线性关系（等式关于P几乎处处成立）;则称它是φ上的线性过程。另外,如果对φ中任何一个收敛于0的定向序列{φλ,λ∈Λ}，随机变量序列{x(·,φλ)，λ∈Λ}依概率收敛于0,则称{x(·，φ),φ∈φ }为广义 (线性)随机过程。根据柯尔莫哥洛夫概率测度存在性定理，在φ的代数对偶空间φA（φ上的线性泛函全体）上存在σ 代数B和概率测度μ，使得φA上的由φ(ƒ)=ƒ(φ)(φ∈φ，ƒ∈φA)定义的函数φ关于B可测，而且若，则
以上A表示Rn中的波莱尔集。
这里的基本问题之一是研究μ 能否集中在一个比φA更小的线性子空间W上，以便对广义随机过程{x(·，φ)，φ∈φ}的样本轨道X(ω，·)作比较深入的研究。寻找样本空间W 的问题等价于研究柱测度的可列可加性。
设X,Y是两个实的线性空间，〈x,y〉,x∈X，y∈Y是X×Y上的实的双线性泛函,并且对X中的任何非零向量x，必定存在y∈Y，使〈x,y〉≠0，对Y空间也有同样假定。在X中任取n个向量x1,x2,…xn，记Y 中使
那么，μ 是W0上关于φ 的拓扑连续的柱测度。从而W0是否成为样本空间的问题等价于柱测度μ 在W0∩φ上具有可列可加性。1959年，P.A.明洛斯证明了下面的基本定理：设φ是核空间，则φ的共轭空间(连续线性泛函全体)φ┡上的任何一个关于φ 的拓扑连续的柱测度都是可列可加的。所以φ 上的每一个广义随机过程都以φ┡为样本空间。1962年，夏道行证明，设B是具有基底{en,n≥1}的巴拿赫空间，φ是由{en,n≥1}张成的线性子空间,{en}是一列随机变量，并依概率1成立 令依概率收敛｝,则W上关于B的拓扑连续的柱测度是可列可加的。这个结果的重要性不但在于它是明洛斯定理的推广而且在于它指出了柱测度可列可加性与巴拿赫空间结构的本质联系。
L.施瓦尔茨研究了将柱测度变换成可列可加测度的线性映射-拉东映射，提出了巴拿赫空间型的概念,在此基础上建立了研究柱测度可列可加性的一般原理即施瓦尔茨对偶性定理。
正定函数表示 将是限维空间上深刻的调和分析理论推广到无限维空间(拓扑线性空间或更一般的拓扑群)是无限维分析的主要课题。正定函数的表示问题就是其中之一。设G是拓扑群，e是G的单位元,ƒ(G)是G上的函数,ƒ(e)=1。如果对g中任意n个元素g1,g2,…gn和任意n个复数z1,z2,…zn，成立，称ƒ是g上的正定函数。
正定函数的表示问题和柱测度的可列可加性的关系极为密切。设φ 是拓扑线性空间，φ 按向量的加法成为交换的拓扑群。若ƒ是φ上的正定函数,W是φA上的线性子空间,且φ∈φ,φ=0等价于ƒ（φ）=0，对任何ƒ∈W；那么在W上有惟一的柱测度Λ，使 (g∈φ)。ƒ是 φ上的连续的正定函数的充要条件是柱测度Λ关于φ 的拓扑是连续的。因此，经典调和分析中的有限维空间上的博赫纳定理在无限维空间上的推广问题与研究柱测度的可列可加性是等价的。当 G是一般的交换的拓扑群时，可用G的特征标群GA代替φA进行类似的讨论。根据关于柱测度可列可加性的明洛斯定理知道,核空间φ上的连续正定函数必是φ ┡上的概率测度的傅里叶变换。夏道行利用拟不变测度的理论对交换拓扑群上的正定函数的表示得到了很一般的结果，即对一类交换的拓扑群推广了博赫纳定理。
拟不变测度 设X是拓扑空间，B是X中开集全体张成的σ 代数。如果 g 是 X 上的双射，并且对任何 A∈，则称g是(X，B)上可测同构。令G是(X,B)上可测同构全体所成的变换群。设μ是B上正则测度（即μ是满足下列条件的测度：对任何 A∈B以及ε>0，必存在开集O，闭紧集F,使得O叾A叾F，并且μ(O-F)<ε）对任何G∈G，定义，A∈B。如果对一切g∈g ，g·μ与μ都等价，则称μ关于群g是拟不变的测度。
和连续积分一样，拟不变测度的研究来源于量子物理。例如，量子场论中交换关系的表示问题实质上是和寻找某个拓扑线性空间上拟不变的概率测度问题等价的。又如相应于量子场论中真空态的测度就具有某个拟不变性质。这个事实推动了一般的拟不变测度理论的研究。夏道行利用测度论和算子代数的方法率先对它们作了系统的研究，建立了一整套理论，获得拟不变测度的许多基本性质，例如，证明了如下结果：设X是拓扑群，G是X的子群，G上有拓扑τ使(g,τ)成为第二纲的拓扑群，且G到X中的嵌入是连续的。对每个g∈G，定义左乘变换τg，如果(X,B)上存在有限的正则测度μ,它关于{τg,g∈G }是拟不变的，那么对B中每一个正测度的紧子集K,必然存在(G,τ)中单位元的邻域V,当h∈V时，μ(K ∩τhK)>0。由此,立即可推出在无限维的巴拿赫空间E上不存在关于全空间平移拟不变的正则的概率测度。
另外,设P(x)是(X,B)上的非负可测函数,当g∈G时，定义p(g)=本性下界(p(x)+p(τg_1x))(本性下界指在X中除去任意一个μ零集后在其上取下界,然后取这些下界的最大值）。
夏道行证明了下面的重要不等式：当(G，τ)又满足第一可列公理时，对B中任一正测度集A，必有(G,τ)中单位元的邻域V和正数с,使得对X上的任一非负可测函数p，成立
。
对g∈G，可定义L2(x,μ)上的酉算子UG，
{Ug,g∈g}是群g的酉表示,记u是由{Ug,g∈g}张成的L上的对称的弱闭算子代数，夏道行利用对称的弱闭算子代数的分解定理，研究了拟不变测度的分解，证明对偶空间的存在，在这个基础上建立了关于拟不变测度的L2傅里叶变换理论和相应的计算公式。看来，这个理论将为无限维空间上的微分方程、变分方程的研究提供工具
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