[PPT] PowerPoint 演示文稿
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时间均匀性的涵义：. 1.假定系统处于变化的外场中，时间不是均匀的。即用. 不同的时刻作为计算时间的起点，所得到的运动方程. 不相同；以不同的时刻作为时间轴的原点 ...
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第二章 守恒律
力学规律：
拉格朗日方程
1.解方程得到运动规律；2.得到守恒量。
广义坐标： 广义速度：
由 和 组成一些不随时间变化的量(守恒量)
守恒量 求运动方程的解；分析解的性质。
§1.2.1 动量和能量
一 、循环坐标与广义动量
比较：拉格朗日方程
和牛顿方程
定义： ——广义动量
——广义力
例子1：对在保守场中运动的单个质点，有
——直角坐标系
广义动量 ——通常的动量
广义力 ——通常的力
例子2：对在有心力场中运动的质点，有
——球坐标系
对应于广义坐标 的广义动量：
广义力：
质点m到轴的垂直距离： ，则
——质点绕轴的转动惯量
于是对应于 的广义动量可写为：
——绕z轴的角动量
由拉格朗日方程得：
——在有心力场中，绕任意选取的轴的角动量守恒。
广义动量 守恒的原因：在拉格朗日函数L中不包含
对应的广义坐标 。
(这只是从数学形式上的原因，物理上的原因？)
一般结论：如果在拉格朗日函数中不包含某一个广义
坐标 ，则称这一广义坐标为循环坐标。和循环坐标
对应的广义动量守恒。
二、能量
一般情况： ——显含时间变量t
例：处于随时间变化的外场中的系统，其拉格朗日
函数为 ——L显含时间变量t
——系统与外力场的源必有能量交换，
系统不是保守系。
对保守系，L不明显含变量t，则 。
拉格朗日方程：
定义： ——机械能(能量)
显然： ——保守系统的能量守恒
在直角坐标系中，动能只是速度 的函数，不是坐标
的 函数，但在广义坐标中，动能 ，则
。
动能T是广义速度 的二次齐次式。
例：有心力场中动能
动能T是广义速度 的二次齐次式。
通常：动能都是广义速度的二次齐次式。
根据齐次函数的欧拉定理，如果 是
s个变量 的n次齐次式，则
由于动能T是广义速度 的二次齐次函数，则有
而
所以
——机械能等于动能与势能之和
结论：对于保守系统，在运动过程中，机械能保持不变。
§1.2.2 质点组的动量定理、质心
一、质点组的动量定理
在此：选笛卡儿坐标系。
设：力学系统——N个粒子，第a个粒子和第b个粒子
之间的相互作用势能用 表示。
令 ——质点b作用于质点a上的力
——质点a作用于质点b上的力
则
——牛顿第三定律
设：作用在质点a上的力为
：系统内其它质点对a的内力之和；
：系统外质点对a的合外力。
拉格朗日方程：
(直角坐标系)
又
所以
矢量式：
作和式：
：质点组的总动量； ：系统所受合外力
则： ——质点组的动量定理
若不存在外场，则 ，有
——不受外力作用时质点组的总动量守恒
二、质心
动量守恒定律与能量守恒定律的成立不依赖于惯
性系的选取。但：在不同惯性系中，动量和能量所取
的值不同。
设：惯性系K、 ，其中 相对K以速度V运动。
：第a个质点对K 、 系的速度
：质点组对K 、 系的总动量
因为
所以
即
若：
则：
——在此惯性系中，质点组的总动量为零。此惯
性系中称为质心系。
质心系中：质点组整体是静止的，但质点组中的质点
有内部运动。
此时
—质点组的总质量
V：质点组作为一个整体的速度
由
定义： 为质点组的质心
则：
即：质点组整体的运动速度就是质心的运动速度
且
——质心运动定理
三、能量的变换
设： 分别为质点组在 系的能量
则：
若 为特殊的惯性系——质心系，则
其中 ——内能
——在K系中的能量等于在质心系中的能量加上质点组总
质量附在质心上时质心在K系中的动能。
§1.2.3 守恒律与对称性的关系、角动量
对称性：
对称性的概念最初是在几何学中提出的：某个几何形体，如果按照某种操作规则改变一下它在空间的位置，它的几何形体与操作前的完全重合，就说该几何形体具有某种对称性。
对称性的推广：
如果某一物理定律或某物理量在某种变换下其形式或量值保持不变，则称这种变换具有不变性或协变性，或者说，这个定律或物理量对某种变换具有对称性或不变性。
已讲： 能量(机械能)守恒律 + 动量守恒律
守恒的原因： 时间的均匀性 空间的均匀性
一、时间的均匀性与能量守恒
时间均匀性的涵义：
1.假定系统处于变化的外场中，时间不是均匀的。即用
不同的时刻作为计算时间的起点，所得到的运动方程
不相同；以不同的时刻作为时间轴的原点对于研究系
统的运动不等效；
2.系统处于不变的外场中或不处于外场中，时间是均匀
的。即以不同时刻作为计算时间的起点对于研究系统
的运动是等效的。
时间不均匀:
L:显含时间t
时间均匀：
L:不显含时间t
此时
则
又：
——能量守恒
结论：能量守恒是由时间的均匀性产生的。
(能量守恒深刻的物理根源)
二、空间的均匀性与动量守恒
空间均匀性的涵义：
系统不处于外场中，空间是均匀的——无论选用空
间哪一点作为坐标原点来研究系统的运动都是等效的。
设：一坐标系中，系统的拉格朗日为L，现将坐标系平移
一个常矢量 ，即选另一点作为坐标原点。
后果：1.系统中每个粒子的坐标改变 :
2.系统的拉格朗日改变 。
若：空间均匀，则：
又 (坐标平移时，速度不变)
所以
拉格朗日方程：
作和：
而
——系统的总动量守恒
结论：动量守恒是由空间的均匀性产生的。
空间均匀：坐标系平移，L不变；
时间均匀：时间轴平移，L不变。
时间和空间均匀性导致：拉格朗日L在时间平移
和空间平移下的不变性。
对称性：系统对某种变换的不变性称为系统对这种变换
的对称性。
结论：能量守恒是由于系统具有时间平移的对称性；
动量守恒是由于系统具有空间平移的对称性。
四、空间的各向同性与角动量守恒
空间各向同性的涵义：
在无外场或在有心力场中，空间的各个方向是等效。
系统具有转动对称性：将坐标系转动，拉格朗日不变。
问题：转动对称性导致什么守恒？
已知：无限小的角位移是矢量，有限角位移不是矢量。
设：坐标系绕空间任取的某一轴转动一个角度 ，
用 表示这一角位移。
：r与 之间的夹角，
r端点绕 轴转动的半径： ，则
又： 很小， 组成的平面。考虑到
的大小、方向，有：
上式对t求导：
交换 和 的次序( 、 互相独立)，有：
物理上：体系旋转后速度发生了改变，此改变仅仅
是由于体系的旋转引起的。
由转动产生的L的变化：
拉格朗日方程：
若系统具有转动对称性，则
即
令： ——系统的角动量
则： ——系统的角动量守恒
结论：角动量守恒是由空间的各向同性产生的。
有时，系统并不具有完全的转动不变性，但有绕某个轴
(如z轴)的转动不变性。此时，角动量L的z分量 守恒。
球坐标系下：
：广义动量
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第二章 守恒律
力学规律：
拉格朗日方程
1.解方程得到运动规律；2.得到守恒量。
广义坐标： 广义速度：
由 和 组成一些不随时间变化的量(守恒量)
守恒量 求运动方程的解；分析解的性质。
§1.2.1 动量和能量
一 、循环坐标与广义动量
比较：拉格朗日方程
和牛顿方程
定义： ——广义动量
——广义力
例子1：对在保守场中运动的单个质点，有
——直角坐标系
广义动量 ——通常的动量
广义力 ——通常的力
例子2：对在有心力场中运动的质点，有
——球坐标系
对应于广义坐标 的广义动量：
广义力：
质点m到轴的垂直距离： ，则
——质点绕轴的转动惯量
于是对应于 的广义动量可写为：
——绕z轴的角动量
由拉格朗日方程得：
——在有心力场中，绕任意选取的轴的角动量守恒。
广义动量 守恒的原因：在拉格朗日函数L中不包含
对应的广义坐标 。
(这只是从数学形式上的原因，物理上的原因？)
一般结论：如果在拉格朗日函数中不包含某一个广义
坐标 ，则称这一广义坐标为循环坐标。和循环坐标
对应的广义动量守恒。
二、能量
一般情况： ——显含时间变量t
例：处于随时间变化的外场中的系统，其拉格朗日
函数为 ——L显含时间变量t
——系统与外力场的源必有能量交换，
系统不是保守系。
对保守系，L不明显含变量t，则 。
拉格朗日方程：
定义： ——机械能(能量)
显然： ——保守系统的能量守恒
在直角坐标系中，动能只是速度 的函数，不是坐标
的 函数，但在广义坐标中，动能 ，则
。
动能T是广义速度 的二次齐次式。
例：有心力场中动能
动能T是广义速度 的二次齐次式。
通常：动能都是广义速度的二次齐次式。
根据齐次函数的欧拉定理，如果 是
s个变量 的n次齐次式，则
由于动能T是广义速度 的二次齐次函数，则有
而
所以
——机械能等于动能与势能之和
结论：对于保守系统，在运动过程中，机械能保持不变。
§1.2.2 质点组的动量定理、质心
一、质点组的动量定理
在此：选笛卡儿坐标系。
设：力学系统——N个粒子，第a个粒子和第b个粒子
之间的相互作用势能用 表示。
令 ——质点b作用于质点a上的力
——质点a作用于质点b上的力
则
——牛顿第三定律
设：作用在质点a上的力为
：系统内其它质点对a的内力之和；
：系统外质点对a的合外力。
拉格朗日方程：
(直角坐标系)
又
所以
矢量式：
作和式：
：质点组的总动量； ：系统所受合外力
则： ——质点组的动量定理
若不存在外场，则 ，有
——不受外力作用时质点组的总动量守恒
二、质心
动量守恒定律与能量守恒定律的成立不依赖于惯
性系的选取。但：在不同惯性系中，动量和能量所取
的值不同。
设：惯性系K、 ，其中 相对K以速度V运动。
：第a个质点对K 、 系的速度
：质点组对K 、 系的总动量
因为
所以
即
若：
则：
——在此惯性系中，质点组的总动量为零。此惯
性系中称为质心系。
质心系中：质点组整体是静止的，但质点组中的质点
有内部运动。
此时
—质点组的总质量
V：质点组作为一个整体的速度
由
定义： 为质点组的质心
则：
即：质点组整体的运动速度就是质心的运动速度
且
——质心运动定理
三、能量的变换
设： 分别为质点组在 系的能量
则：
若 为特殊的惯性系——质心系，则
其中 ——内能
——在K系中的能量等于在质心系中的能量加上质点组总
质量附在质心上时质心在K系中的动能。
§1.2.3 守恒律与对称性的关系、角动量
对称性：
对称性的概念最初是在几何学中提出的：某个几何形体，如果按照某种操作规则改变一下它在空间的位置，它的几何形体与操作前的完全重合，就说该几何形体具有某种对称性。
对称性的推广：
如果某一物理定律或某物理量在某种变换下其形式或量值保持不变，则称这种变换具有不变性或协变性，或者说，这个定律或物理量对某种变换具有对称性或不变性。
已讲： 能量(机械能)守恒律 + 动量守恒律
守恒的原因： 时间的均匀性 空间的均匀性
一、时间的均匀性与能量守恒
时间均匀性的涵义：
1.假定系统处于变化的外场中，时间不是均匀的。即用
不同的时刻作为计算时间的起点，所得到的运动方程
不相同；以不同的时刻作为时间轴的原点对于研究系
统的运动不等效；
2.系统处于不变的外场中或不处于外场中，时间是均匀
的。即以不同时刻作为计算时间的起点对于研究系统
的运动是等效的。
时间不均匀:
L:显含时间t
时间均匀：
L:不显含时间t
此时
则
又：
——能量守恒
结论：能量守恒是由时间的均匀性产生的。
(能量守恒深刻的物理根源)
二、空间的均匀性与动量守恒
空间均匀性的涵义：
系统不处于外场中，空间是均匀的——无论选用空
间哪一点作为坐标原点来研究系统的运动都是等效的。
设：一坐标系中，系统的拉格朗日为L，现将坐标系平移
一个常矢量 ，即选另一点作为坐标原点。
后果：1.系统中每个粒子的坐标改变 :
2.系统的拉格朗日改变 。
若：空间均匀，则：
又 (坐标平移时，速度不变)
所以
拉格朗日方程：
作和：
而
——系统的总动量守恒
结论：动量守恒是由空间的均匀性产生的。
空间均匀：坐标系平移，L不变；
时间均匀：时间轴平移，L不变。
时间和空间均匀性导致：拉格朗日L在时间平移
和空间平移下的不变性。
对称性：系统对某种变换的不变性称为系统对这种变换
的对称性。
结论：能量守恒是由于系统具有时间平移的对称性；
动量守恒是由于系统具有空间平移的对称性。
四、空间的各向同性与角动量守恒
空间各向同性的涵义：
在无外场或在有心力场中，空间的各个方向是等效。
系统具有转动对称性：将坐标系转动，拉格朗日不变。
问题：转动对称性导致什么守恒？
已知：无限小的角位移是矢量，有限角位移不是矢量。
设：坐标系绕空间任取的某一轴转动一个角度 ，
用 表示这一角位移。
：r与 之间的夹角，
r端点绕 轴转动的半径： ，则
又： 很小， 组成的平面。考虑到
的大小、方向，有：
上式对t求导：
交换 和 的次序( 、 互相独立)，有：
物理上：体系旋转后速度发生了改变，此改变仅仅
是由于体系的旋转引起的。
由转动产生的L的变化：
拉格朗日方程：
若系统具有转动对称性，则
即
令： ——系统的角动量
则： ——系统的角动量守恒
结论：角动量守恒是由空间的各向同性产生的。
有时，系统并不具有完全的转动不变性，但有绕某个轴
(如z轴)的转动不变性。此时，角动量L的z分量 守恒。
球坐标系下：
：广义动量
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