转载】内部对称性（续）群：终极理论之梦 2009-04-10 18:53:13 阅读13 评论0 字号：大中小
） 2009-04-08 12:35 | (分类:学术) susy物理学笔记（六）——(牛家树)
上次我们说了很多东西，放到网上一看我也觉得太长了，所以很长一段时间没有继续写，现在我们继续谈谈规范对称性。我们上次提到了伴丛这个概念，并没有加以解释，但我想，我们完全可以暂时绕开这个问题不谈，不然真的要变成数学的东西了。
我们继续上文中的比喻，现在我们的那根圆柱面上除了物质场，还多了一样东西——联络。如果我们要研究圆柱面的物理学，我们就不仅要知道物质场在那上面的运动状态，还要知道这个圆柱面被扭曲的程度。因此，在Lagrange密度中一定会出现于联络有关的项，而且这一项不会是以上文中提到的对物质场求协变导数的形式出现在Lagrange密度中的，因为我们现在需要的是纯粹的圆柱面的几何状态，它不应该与上面的物质场有如此密切的关系。首先，我们需要明白，事实上拧动这类变换并没有反映规范场的内在性质，因为这实际上是转换函数的主动观点。那么什么是规范场的内在性质呢？
让我们从几何直观出发，想象在圆柱面上做出横空间的积分曲线（其切矢张成横空间，对于高维Lie群也可定义这样的局域积分超曲面）。我们注意到，当我们拧动圆柱面的时候，这些积分曲线会发生形变，然而就像前面说的，这种形变引起的弯曲不应视为规范场的内在性质。不过我们总可以尝试做下面这件事，那就是通过拧动圆柱面使所有的积分曲线最终都变成圆柱面的直母线。遗憾的是（或者说幸运的是），这并不是总能做到的，因为我们的拧动操作虽然是局域的，却不能改变同一纵空间上两点间的相对“距离”（因为转换函数具体到底流形上的一点是一个整体变换，大家改变相同），如果两条积分曲线在这里离得近一些，在那里离得远一些，我们就不可能通过拧动变换将它们变成平行的直母线。因此，这个意义上的相对位形才是规范场的内在性质，而描述这一性质的量最多与规范势的一阶微商有关，并且一定是一个协变的量，我们的任务就是找一个这样的量。我在上文中写出了gA'=Ag+dg，我们对它做外微分（这是在一个流形上能对形式作的最自然的微分），得到dg^A'+gdA'=(dA)g-A^dg，将dg=gA'-Ag带入得到gA'^A'-Ag^A'+gdA'=(dA)g-A^gA'+A^Ag，于是我们有dA'+A'^A'=(1/g)(dA+A^A)g，因此这样一个量就是dA+A^A，这就是我们熟悉的联络A对应的曲率F。（有的朋友说我的数学式子太少了，这下过瘾了吧:-)）
应该注意的是，由于A取值在规范群Lie代数上，因此A^A对于非abel群是非零的。另外，由于并没有对Lie代数的结构进行什么微分（d是时空微分），因此得到的F是一个取值在Lie代数上的2-形式场。为了将它写进Lagrange密度，我们需要构造一个标量，这个标量既是Lorentz群意义上的（实际上是4-形式），同时也是规范群意义上的。由于F是2-形式，我们知道，不求微分能得到的4-形式有F^*F和F^F，对于U(1)群，F^F=0，因此一般而言这个4-形式应该是F^*F。实际上没有理由将F^F排除在外，在强相互作用中我们会看到出现F^F的项等价于出现θ真空，它的大小描述了强CP破坏的程度。我们还要对Lie代数元求内积（由于有Killing型，这是没有歧义的），写具体就是矩阵相乘求迹。
上次写得太多了，这次少写点儿，就到这里吧:-)
） 2009-04-08 12:35 | (分类:学术) susy物理学笔记（六）——(牛家树)
上次我们说了很多东西，放到网上一看我也觉得太长了，所以很长一段时间没有继续写，现在我们继续谈谈规范对称性。我们上次提到了伴丛这个概念，并没有加以解释，但我想，我们完全可以暂时绕开这个问题不谈，不然真的要变成数学的东西了。
我们继续上文中的比喻，现在我们的那根圆柱面上除了物质场，还多了一样东西——联络。如果我们要研究圆柱面的物理学，我们就不仅要知道物质场在那上面的运动状态，还要知道这个圆柱面被扭曲的程度。因此，在Lagrange密度中一定会出现于联络有关的项，而且这一项不会是以上文中提到的对物质场求协变导数的形式出现在Lagrange密度中的，因为我们现在需要的是纯粹的圆柱面的几何状态，它不应该与上面的物质场有如此密切的关系。首先，我们需要明白，事实上拧动这类变换并没有反映规范场的内在性质，因为这实际上是转换函数的主动观点。那么什么是规范场的内在性质呢？
让我们从几何直观出发，想象在圆柱面上做出横空间的积分曲线（其切矢张成横空间，对于高维Lie群也可定义这样的局域积分超曲面）。我们注意到，当我们拧动圆柱面的时候，这些积分曲线会发生形变，然而就像前面说的，这种形变引起的弯曲不应视为规范场的内在性质。不过我们总可以尝试做下面这件事，那就是通过拧动圆柱面使所有的积分曲线最终都变成圆柱面的直母线。遗憾的是（或者说幸运的是），这并不是总能做到的，因为我们的拧动操作虽然是局域的，却不能改变同一纵空间上两点间的相对“距离”（因为转换函数具体到底流形上的一点是一个整体变换，大家改变相同），如果两条积分曲线在这里离得近一些，在那里离得远一些，我们就不可能通过拧动变换将它们变成平行的直母线。因此，这个意义上的相对位形才是规范场的内在性质，而描述这一性质的量最多与规范势的一阶微商有关，并且一定是一个协变的量，我们的任务就是找一个这样的量。我在上文中写出了gA'=Ag+dg，我们对它做外微分（这是在一个流形上能对形式作的最自然的微分），得到dg^A'+gdA'=(dA)g-A^dg，将dg=gA'-Ag带入得到gA'^A'-Ag^A'+gdA'=(dA)g-A^gA'+A^Ag，于是我们有dA'+A'^A'=(1/g)(dA+A^A)g，因此这样一个量就是dA+A^A，这就是我们熟悉的联络A对应的曲率F。（有的朋友说我的数学式子太少了，这下过瘾了吧:-)）
应该注意的是，由于A取值在规范群Lie代数上，因此A^A对于非abel群是非零的。另外，由于并没有对Lie代数的结构进行什么微分（d是时空微分），因此得到的F是一个取值在Lie代数上的2-形式场。为了将它写进Lagrange密度，我们需要构造一个标量，这个标量既是Lorentz群意义上的（实际上是4-形式），同时也是规范群意义上的。由于F是2-形式，我们知道，不求微分能得到的4-形式有F^*F和F^F，对于U(1)群，F^F=0，因此一般而言这个4-形式应该是F^*F。实际上没有理由将F^F排除在外，在强相互作用中我们会看到出现F^F的项等价于出现θ真空，它的大小描述了强CP破坏的程度。我们还要对Lie代数元求内积（由于有Killing型，这是没有歧义的），写具体就是矩阵相乘求迹。
上次写得太多了，这次少写点儿，就到这里吧:-)
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