波包的运动是量子力学中一个古老的课题

正常的市场应该是大波包，各种看法，风险高的时候往往是小波包
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　收稿日期:2001 - 10 - 08
　基金项目:国家自然科学基金资助项目(19905016) ;教育部国家理科基地创建名牌课程基金资助项目;香港中山大学高等学术
研究中心基金会资助项目(02P3)
　作者简介:林琼桂(1963 —) ,男,广东潮阳人,中山大学物理系教授,博士,从事理论物理学的教学和研究.
第22 卷第2 期大　学　物　理Vol. 22 No. 2
2003 年2 月COLL EGE 　PHYSICS Feb. 2003
教学研究
一般波包在均匀场中的运动
林琼桂
(中山大学物理系,广东广州　510275)
摘要:求出了一般波包的中心和宽度在一维均匀场中的变化规律. 波包的中心遵循经典粒子的运动规律,宽度
的平方则以时间的二次函数增长. 但动量空间的相应波包却保持其宽度不变,特别是平面波在运动过程中仍保持
为平面波. 对Gauss 波包,求出了波函数随时间变化的显式,验证了一般结论.
关键词:波包;均匀场(线性势) ;一般规律;显式
　　中图分类号: O 413. 1 　　　文献标识码:A 　　　文章编号:100020712 (2003) 0220003204
1 　概述
　　由于激光技术的发展,目前已经可以在实验上制
作出各种波包,并对其运动进行观察. 因此,近年来有
许多文献对各种量子力学体系中的波包作了研究[ 1 ] .
其实波包的运动是量子力学中一个古老的课题.
在量子力学的教科书中就可以找到这方面的内容,比
如自由粒子波包的扩散,最简单的谐振子波包的振
荡[ 2 ] .
波包的演化可以从两个方面来描述:中心(坐标矢
量的平均值) 的运动和形状的变化. 在一般情况下,波
包的中心并不遵循经典粒子的运动规律. 以下三种情
况是例外:自由粒子,线性势(均匀场) ,二次势(势能是
坐标的二次多项式) . 至于形状的变化则较复杂,难以
作出一般的结论.
自由粒子是最简单的情况,通过对一维Gauss 波
包的研究可以看到,波包的中心保持静止或作匀速运
动,而宽度则随着时间不断增大, 因此最后必然崩
溃[ 2 ] . 下面可以看到,对一般波包也是如此.
二次势的最简单情况是一维谐振子. 对谐振子波
包的研究有很长的历史. 1926 年,SchrÊdinger 就对最简
单的Gauss 波包作了研究,该波包由谐振子的基态平
移得到(实即相干态) . 结果表明,波包的中心像经典粒
子一样作简谐振动(这一点对任何波包都是成立的) ,
而其形状保持不变. 这一结果现在已作为谐振子波包
运动的典型例子写入了教科书[ 2 ] (即前面提到的例
子) . 1927 年,Kennard 研究了更一般的Gauss 波包,其
宽度与谐振子基态的宽度不同(实即相干压缩态) ,结
果发现,在其中心作简谐振动的同时,波包的宽度也在
作周期性的振荡. 50 年代,人们对谐振子波包的运动作
了进一步的研究,发现了更一般的结果:由任何能量本
征态经过平移得到的波包在运动中保持形状不变,如
果先压缩(压缩参数为实数) 再平移,则其宽度在运动
过程中也是振荡的. 在近年的一篇文献中,Nieto 对由
能量本征态经过最一般的压缩(压缩参数为复数) 后再
平移所得到的波包作了研究[ 3 ] ,求得了波函数随时间
变化的显式. 这可能代表了可以求得波函数显式的最
一般情况了. 其运动图像与压缩参数为实数的情况类
似. 事实上,最一般的波包的运动图像基本如此. 在该
文中,Nieto 对谐振子波包的研究历史作了回顾,指出
了若干被人们遗忘了的早期文献. 上面提到的文献都
可以在该文中找到出处. 值得指出,存在着许多宽度不
变但其形状仍在作周期性变化的波包. 最近,我们对波
包的形状变化的程度作了细致的分析,引入了一个称
为“刚度”的自然数对之进行定性描述,并对每种刚度
都给出了两类波包的具体表式[ 4 ] .
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本文的目的是研究一般波包在均匀场(线性势) 中
的运动. 就我们所知,这一问题在文献上并未引起重
视. 虽然它比较简单,但有几个理由值得对其加以研
究. 第一,均匀场在物理上有重要的实际意义. 第二,研
究结果显示出一些有趣的特点. 如上所述,在均匀场
中,波包中心遵循经典运动规律. 所以关键是研究其形
状的变化. 下面将会看到:波包宽度的变化规律与自由
粒子完全一样. 具体来说,波包宽度的平方以时间的二
次函数增长,而动量空间的相应波包却保持宽度不变,
特别是平面波在运动过程中仍保持为平面波. 第三,对
于Gauss 波包,可以求出波函数随时间变化的显式,从
而使一般结果具体化.
本文将以一维情况为例进行计算,对高维情况可
以作类似的讨论. 在下面的讨论中,我们求出了任意波
包的中心和宽度随时间变化的一般规律. 给出了一般
波包的波函数随时间变化的具体计算方法,尤其是得
到了平面波演化的显式. 最后计算了Gauss 波包演化
的显式,验证了前面得到的一般结论.
2 　一般结果
一质量为μ的粒子在一维线性势V ( x) = - λx 中
运动,其中λ是常数, Hamiltonian 为
H = ^p2
2μ- λx (1)
我们把动量算符记作^p , 以区别于下面出现的本征值
p. 取初始时刻为t = 0 , 归一化的初态波函数记作ψ
( x ,0) ,亦简记为ψ0 . 设初态是局域化的, 即对一切非
负的k 和l , xk^pl 的平均值都是有限的. 典型的例子是
Gauss 波包. t 时刻的波函数记作ψ( x , t ) , 亦简记为
ψt
. x 和^p 在t 时刻的平均值分别记作…x t 和…p t ,即
…x
t = (ψt , xψt ) , 　…p t = (ψt , ^pψt ) (2)
用SchrÊdinger 方程容易证明:
…x
·
t = …pt / μ, 　…p
·
t =λ (3)
解之得:
…x
t = …x 0 +
…p
0
μt +
λ
2μt2 , …
pt = …p 0 +λt (4)
这说明波包的中心像经典粒子一样作匀加速运动. 当
λ= 0 时,我们就得到自由粒子的结果, 即波包的中心
保持静止或匀速运动.
为了研究波包的宽度随时间的变化, 定义下列实
函数:
Q ( t) = (ψt , ( x - …x t ) 2ψt )
P( t) = (ψt , ( ^p - …p t ) 2ψt) (5)
R ( t) =
1
2
(ψt ,{ ( x - …x t ) , ( ^p - …p t ) }ψt)
其中{ } 是反对易括号. 显然,Δt x = Q ( t) 就是t 时
刻的波包宽度, 而Δt p = P( t) 是相应的动量空间波
包的宽度. 用SchrÊdinger 方程和式(3) 不难证明:
Q
·
( t) =
2μ
R ( t) , R
·
( t) =
1μ
P( t) , P
·
( t) = 0 (6)
解之得:
　　Q ( t) = Q (0) +
2 R (0)
μ t + P(0)
μ2 t2
R ( t) = R (0) + P(0)
μ t (7)
P( t) = P(0)
由此可见,波包宽度的平方以时间的二次函数增大(如
果R (0) < 0 ,则t 较小时会先减小,见下) ,而相应的动
量空间波包的宽度却保持不变. 因此,平面波在运动过
程中必定仍保持为平面波. 这将在下面直接证明. 一
个需要说明的细节是, 虽然按定义有Q ( t ) ≥0 , P ( t )
≥0 ,但由上面解出的结果看, Q ( t) ≥0 并不是显然的.
为了证明这一点,设P(0) > 0 (若P(0) = 0 ,则P( t ) =
0 ,由不确定关系必有Q ( t ) = ∞,反之若Q (0) = 0 ,则
P( t) = P(0) = ∞) ,则Q ( t) 可以改写为
Q ( t) = Q (0) - R2 (0)
P(0) + P(0)
μ2 t +
μR (0)
P(0)
2
(8)
由
(ψ0 , [ P(0) ( x - …x 0) ± Q (0) ( ^p - …p0) ]2ψ0) > 0
(9)
(该式不能为0 ,否则将导致ψ0 不能归一化) 容易推出
Q (0) P(0) > R2 (0) (10)
从而Q ( t) > 0. 由式(8) 亦容易看出,若R (0) < 0 ,则当
t 较小时, Q ( t ) 先是减小,当t = - μR (0) / P (0) 时达
到最小值,之后开始不断增大,故波包最终必定崩溃.
值得指出的是, 上面的方程(6) 和解式( 7) 都与λ
无关,所以这些结果同样适用于λ= 0 , 即自由粒子的
情况. 换句话说,均匀场中波包宽度的变化规律与自由
粒子的情况完全一样.
3 　平面波与一般波包
本节直接计算波函数随时间的变化. 先考虑初态
为平面波,即动量本征态的最简单情况:
ψ( x ,0) =ψp ( x) =
1
2πÜ
ei px/ Ü (11)
由于H 不显含t ,故t 时刻的波函数为
ψ( x , t) = e - i Ht/ Üψ( x ,0) (12)
为计算上式,应用文献[5 ]给出的算符公式(最近,笔者
和喀兴林先生发现该公式在一般情况下需要修正, 并
已撰文讨论这一问题[6 ] ,但该修正不影响以下结果) :
4 大　学　物　理　　　　　　　　　　　　　　　　第22 卷
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　　e A +B = eA eBexp Σ
∞
m =0Σ
∞
n =1
1
m ! n !( m + n + 1) ·
　[ [ B , A ( n) ] , B ( m) ] (13)
其中[ B , A ( n) ] = [ [ B , A ( n - 1) ] , A ] ,而[ B , A (0) ] = B .
取A = iλt x/ Ü, B = - i t^p2/ 2Üμ,只有m = 0 和n = 1 , 2
对指数上的求和有贡献,不难求得
e - i Ht/ Ü= exp - i
λ2 t3
6Üμ exp i
λt
Üx ·
　exp - i t
2Üμ^p2 - i
λt
2
2Üμ^p (14)
由此立得
ψ( x , t) =
1
2πÜ
exp - i
1
6Üμ(λ2 t3 + 3λpt2 + 3 p2 t) ·
　exp
i
Ü( p +λt) x (15)
可见, t 时刻的波函数仍是平面波,只是动量本征值变
为p +λt (符合式(4) 的一般结果) ,并多了一个与时间
有关的相因子. 上式的另一种计算方法是利用演化关
系:
ψ( x , t) =∫+ ∞
- ∞
K( x , t ; y ,0)ψ( y ,0) d y (16)
其中传播子
　　K( x , t ; y ,0) =
μ
2πiÜt
exp
i
Ü
μ( x - y) 2
2 t
+
　
λ( x + y) t
2
-
λ2 t3
24μ (17)
可用路径积分方法求得. 经过计算,可以得到同样的结
果.
再考虑一般的初态,记作Ψ( x , 0) ,它总可以展开
为平面波的叠加:
Ψ( x ,0) =∫+ ∞
- ∞
<( p)ψp ( x) d p =
　
1
2πÜ∫+ ∞
- ∞
<( p) ei px/ Üd p (18)
其中<( p) 即是动量空间的波函数. 由上式和式(15) 的
结果易得t 时刻的波函数为
Ψ( x , t) =
1
2πÜ
eiλtx/ Ü∫+ ∞
- ∞
exp - i
1
6Üμ(λ2 t3 +
　3λpt2 + 3 p2 t) <( p) ei px/ Üd p (19)
上式便于实际计算. 给定一初态,由式(18) 的反变换可
求出<( p) ,再代入上式, 原则上可以算出Ψ( x , t) . 上
式也可以写成另一形式. 将积分变量换为p′= p +λt ,
再将p′改写为p ,可得
Ψ( x , t) =
1
2πÜ∫+ ∞
- ∞
Φ( p , t) ei px/ Üd p (20a)
其中Φ( p , t) = exp - i
1
6Üμ(λ2 t3 - 3λpt2 + 3 p2 t) ·
<( p - λt) (20b)
这一形式便于一般讨论. 事实上,与式(18) 比较易知Φ
( p , t) 是t 时刻的动量空间波函数,相应的概率分布为
| Φ( p , t) | 2 = | <( p - λt) | 2 (21)
由此可见,在动量空间, t 时刻的概率分布可由初始时
刻的概率分布作一平移得到. 因此,波包的宽度不变是
显然的. 这也符合前面的一般结论.
4 　Gauss 波包
本节对Gauss 波包作具体计算,以使前面的一般
讨论更具体化.
先讨论最简单的Gauss 波包,取初态为
ψ( x ,0) =
1
(2πσ2) 1/ 4exp -
x2
4σ2 (22)
动量空间的相应波函数为
<( p) =
1
2πÜ∫+ ∞
- ∞
ψ( x ,0) e- i px/ Üd x =
　
2σ2
πÜ2
1/ 4
exp -
σ2 p2
Ü2(23)
代入式(19) ,利用积分公式
∫+ ∞
- ∞
exp ( - αu2 +βu) d u =
π
αexp
β2
4α ,Re α > 0
不难求出t 时刻的波函数为
ψ( x , t) =
σ2
2π
1/ 4 1
σ2 + iÜt/ 2μ
exp - i
λ2 t3
6Üμ ·
exp -
( x - λt2/ 2μ) 2
4 (σ2 + iÜt/ 2μ)
exp i
λt
Üx (24)
其概率分布为
　| ψ( x , t) | 2 =
1
2π(σ2 + Ü2 t2/ 4μ2σ2)
·
　exp -
( x - λt2/ 2μ) 2
2 (σ2 + Ü2 t2/ 4μ2σ2)
(25)
它仍是Gauss 波包. 不难求出波包的中心在…x t = λt2/
2μ,动量平均值为…p t =λt ,而波包宽度的平方为Q ( t )
=σ2 + Ü2 t2/ 4μ2σ2 . 注意到在初态中…x 0 = 0 , …p0 = 0 , Q
(0) =σ2 , P(0) = Ü2 / 4σ2 , R (0) = 0 ,则易见所得结果符
合前面的一般结论,即式(4) 和式(7) . 以上结果(24) 也
可以用演化关系式(16) 来计算,虽然积分后所得结果
在形式上与式(24) 有较大的差异,但通过变形可以发
现它们是一致的.
对于更一般的Gauss 波包,
　Ψ( x ,0) =
1
(2πσ2) 1/ 4exp -
( x - a) 2
4σ2 +
i
Übx (26)
其中a、b 均为实常量,当然可以重复上面的计算来得到t
时刻的波函数Ψ( x , t) ,但计算过程要复杂得多. 因此,我
第2 期　　　　　　　　　　　　　　林琼桂:一般波包在均匀场中的运动5
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们改用另一种方法来处理,以便充分利用已经得到的结果
(24) . 注意到对任意函数f ( x) 有
e - i a^p/ Ü
f ( x) = f ( x - a) (27)
则以上初态可以写作
Ψ( x ,0) = ei bx/ Üe - i a^p/ Üψ( x ,0) (28)
其中ψ( x ,0) 由式(22) 给出. 于是, t 时刻的波函数为
Ψ( x , t) = e - i Ht/ ÜΨ( x ,0) = [e - i Ht/ Üei bx/ Üe - i a^p/ Üei Ht/ Ü
].
[e - i Ht/ Üψ( x ,0) ] = exp
i
Übx H ( - t) ·
exp -
i
Üa^pH ( - t) ψ( x , t) (29)
其中ψ( x , t) 由式(24) 给出,而x H ( - t) 和^pH ( - t) 是
Heisenberg 绘景中的算符,定义为
x H ( t) = ei Ht/ Ü
xe - i Ht/ Ü
, ^pH ( t) = ei Ht/ Ü
^pe - i Ht/ Ü(30)
对以上两式微分,可得与式(3) 类似的微分方程, 解之
即得与式(4) 类似的结果:
x H ( t) = x + tμ
^p +
λt2
2μ, ^pH ( t) = ^p +λt (31)
将t 换为- t ,代入式(29) ,对第一个因子利用算符公
式(13) ,现在指数上的求和只有一项,对应于m = 0 , n
= 1 ,整理之后,再用式(27) ,最后的结果为
　　Ψ( x , t) =
σ2
2π
1/ 4 1
σ2 + iÜt/ 2μ
·
　　　exp - i
t
6Üμ(3 b2 + 3λbt +λ2 t2) ·
exp -
( x - a - bt/ μ- λt2/ 2μ) 2
4 (σ2 + iÜt/ 2μ) ·
exp
i
Ü( b +λt) x (32)
其概率分布亦仍是Gauss 波包. 不难求出波包的中心
在…x t = a + bt/ μ+λt2/ 2μ,动量平均值为…pt = b +λt ,
而波包宽度的平方仍为Q ( t ) =σ2 + Ü2 t2/ 4μ2σ2 . 注意
到在目前的初态中有…x 0 = a , …p0 = b , 而其他各量仍为
Q (0) =σ2 , P(0) = Ü2 / 4σ2 , R (0) = 0 ,则易见所得结果
亦与前面的一般结论相符.
参考文献:
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2002 ,21 (12) :14.
General wave packets in a homogeneous f ield
L IN Qiong2gui
(Department of Physics ,Sun Yat2Sen University ,Guangzhou ,Guangdong ,510275 ,China )
　　Abstract :The cent roid and width of a general wave packet moving in a homogeneous field in one
dimension are obtained as explicit functions of time. The cent roid moves like a classical particle ,and the
width increases with time quadratically. However ,the width of the corresponding wave packet in the
momentum space does not vary with time ,so a plane wave remains to be a plane wave at any time. The
time dependence of a Gaussian wave packet is worked out explicitly and the general result s are verified.
Key words :wave packet ;homogeneous field ;general result ;explicit result
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