[PPT] 场论初步 - [ 轉為繁體網頁 ]
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由散度的这一定义，可见它与坐标的选取无关。 4' 向量场的环流量与旋度 斯托克斯 ... 称为向量 沿曲线 的线积分，其中 表示向量 在曲线 的切线 上的投影， 表示曲线 的 ...
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§4.场论初步
向量场的散度与旋度
1’向量线
如果在空间或某一部分空间的每一点处都确定一个向量 ，就有了向量场，向量 是点的函数
其中 都是 的数量函数。以后我们假定
是 的单值连续函数，且各个连续偏导数都存在。在必要时还需假定二阶偏导数皆存在。
在研究向量场时，向量线的概念是很重要的。在一向量场的确定的区域中，若一曲线上每一点处的切线恰与在这点的场向量重合，则这条曲线称为向量场的向量线。
设 为向量上任一点，则向量线在这点的切
线的方向余弦和向量线上的 成比例，从而得到向量线应满足的微分方程
在向量 不为零的条件下，由线性微分方程组的理论可知所考虑的整个场被向量线所填满，而通过场中每一点由一条且只有一条这样的曲线，且过不同的点的两条向量线没有公共点。
2’ 流量
设给定一个向量场，且设在点 处的向量为
。在这场中，任取一个双侧曲面 ，当选定它的一个侧后，在它的每一点处引有向法线 ，若 是封闭的，则在法线的两个指向中任意选定一个。这样，曲面积分
称为向量 通过曲面 在所选择的那一侧的流量。显然这个流量还可以表示为更简单形式
其中 为 在 上的投影。通常我们还引用以下记号
称为有向曲面元，其中 为曲面的单位法向量，指向所选定的一侧。于是上述积分又可表示为向量形式
3’散度 高斯公式的向量形式
设一向量场 为一闭曲面 所包围的空间区域，
为曲面上向外的法向量，由高斯公式得
量 称为向量 的散度，它是一个数量场，记为
利用散度的定义，高斯公式可写为
这是高斯公式向量形式，它说明：向量 通过闭曲面
的流量等于这个向量的散度在 所包围的区域上的三重积分。
根据定义，向量场在一给定处的散度是一数量，散度的全体构成一数量场。
上面所给出的散度的定义好像与坐标的选择有关，其实不然。为了说明这个事实，我们可给散度另一形式的定义，设 为区域中任一点，在这点周围任取一含有这点的区域 ，令 为 的表面，则有高斯公式
现在将两端除以体积 ，然后令体积 趋于零，也就是
缩成点 而求极限。利用三重积分的中值定理，则右端恰等于 在 点的值，即 ，这样就有散度的另一个定义
由散度的这一定义，可见它与坐标的选取无关。
4’ 向量场的环流量与旋度 斯托克斯公式的向量形式
设已知一向量场 ， 并设在这场中任取一曲线 ，则沿此曲线 的曲线积分
称为向量 沿曲线 的线积分，其中 表示向量 在曲线 的切线 上的投影， 表示曲线 的弧长微分。
当 为闭曲线时，则积分 称为向量 沿闭曲线
的环流量。
通常我们还引用记号
称为有向曲线元，其中 为单位切向量。于是上述环流量又可以写成以下的向量形式
设闭曲线 为某一曲面 的边界，那么由斯托克斯公式，向量 沿闭曲线 的环流量可表为曲面积分
称向量
为向量 的旋度，记为
利用 的定义，斯托克斯公式可写为向量形式
这个公式指出：向量 沿闭曲线 的环流量等于它的旋度
通过以 为边界所张的任意曲面 的流量。
特别，若所取向量是在 平面上，那么斯托克斯公式就变成向量形式的格林公式。
与散度一样，旋度是与坐标的选择无关的，为了说明这个事实，我们来给它另一形式的定义：过一已知点 选定一个方向 及以 为法线的一块小平面区域 ，且设 为 的边界，于是根据向量形式的斯托克斯公式，得
这里 表示向量 在曲线 的切线上的投影， 表示
在法方向 上的投影。于是等式的两端除以所述小块平面面积 ，并零这小块区域 收缩到给定点
这时面积 趋于零。应用二重积分中值定理，右端的极限恰等于 ，即
这公式给出向量 在任意方向 上的射影的定义，而且很明显，它是与坐标选择无关的。
5’ 散度与旋度的性质
散度与旋度都是线性的，即
其中 ， 是任意常数，这个性质可由定义直接验证。
关于各种乘积有以下的计算公式，其中 是函数， 和 是向量，
6’ 二阶微分运算
是由数量场产生的向量场， 是由向量场产生的数量场，对它们继续进行梯度、散度或旋度运算，可以产生以下五种量
这时需求二阶偏导数，所以也叫做二阶微分运算，通过直接计算，容易得到以下结果：
这里记 ，称为拉普拉斯算子
最后，有以下关系：
这里 的含义是
而 是向量函数 的三个分量函数。
三、 保守场
曲线积分只与起点和终点有关，而与所沿途径无关，物理学中称这种场叫保守场。
利用斯托克斯公式，可以推出，一个向量场 为空间保守场的充要条件是
亦即
旋度为零的场称为无旋场，因此保守场也就是无旋场。
这时，定义一个函数
完全与上节一样，可以推得
亦即
这时，我们也称 是一个势场， 称为向量场 的势函数。上段二阶微分运算中已指出
即梯度场必为无旋场。于是，综上所述，我们可列出保守
场的几个充要条件如下：
保守场 无旋场 势场
其中 为任意光滑闭曲线。上述结论都是对单连通区域来说的。
四、算子
算子 ，也称哈密顿算子，定义为
算子 在物理学和力学中有广泛应用
利用这个符号，我们可以算出
由此可以看出，算子 的作用在于把微分运算化为关于算子 的向量代数运算。
算子 的运算法则有以下两条：
（i） 是线性算子，即对任意常数 和 ，有
（ii）把 作用在乘积上，其结果等于在每一因子上各作用一次，然后相加，即如
上述法则中的乘积 ，包括两个函数的乘积，也包括两个向量的向量积或数量积等，只要这样的运算是有意义的。
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由散度的这一定义，可见它与坐标的选取无关。 4' 向量场的环流量与旋度 斯托克斯 ... 称为向量 沿曲线 的线积分，其中 表示向量 在曲线 的切线 上的投影， 表示曲线 的 ...
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§4.场论初步
向量场的散度与旋度
1’向量线
如果在空间或某一部分空间的每一点处都确定一个向量 ，就有了向量场，向量 是点的函数
其中 都是 的数量函数。以后我们假定
是 的单值连续函数，且各个连续偏导数都存在。在必要时还需假定二阶偏导数皆存在。
在研究向量场时，向量线的概念是很重要的。在一向量场的确定的区域中，若一曲线上每一点处的切线恰与在这点的场向量重合，则这条曲线称为向量场的向量线。
设 为向量上任一点，则向量线在这点的切
线的方向余弦和向量线上的 成比例，从而得到向量线应满足的微分方程
在向量 不为零的条件下，由线性微分方程组的理论可知所考虑的整个场被向量线所填满，而通过场中每一点由一条且只有一条这样的曲线，且过不同的点的两条向量线没有公共点。
2’ 流量
设给定一个向量场，且设在点 处的向量为
。在这场中，任取一个双侧曲面 ，当选定它的一个侧后，在它的每一点处引有向法线 ，若 是封闭的，则在法线的两个指向中任意选定一个。这样，曲面积分
称为向量 通过曲面 在所选择的那一侧的流量。显然这个流量还可以表示为更简单形式
其中 为 在 上的投影。通常我们还引用以下记号
称为有向曲面元，其中 为曲面的单位法向量，指向所选定的一侧。于是上述积分又可表示为向量形式
3’散度 高斯公式的向量形式
设一向量场 为一闭曲面 所包围的空间区域，
为曲面上向外的法向量，由高斯公式得
量 称为向量 的散度，它是一个数量场，记为
利用散度的定义，高斯公式可写为
这是高斯公式向量形式，它说明：向量 通过闭曲面
的流量等于这个向量的散度在 所包围的区域上的三重积分。
根据定义，向量场在一给定处的散度是一数量，散度的全体构成一数量场。
上面所给出的散度的定义好像与坐标的选择有关，其实不然。为了说明这个事实，我们可给散度另一形式的定义，设 为区域中任一点，在这点周围任取一含有这点的区域 ，令 为 的表面，则有高斯公式
现在将两端除以体积 ，然后令体积 趋于零，也就是
缩成点 而求极限。利用三重积分的中值定理，则右端恰等于 在 点的值，即 ，这样就有散度的另一个定义
由散度的这一定义，可见它与坐标的选取无关。
4’ 向量场的环流量与旋度 斯托克斯公式的向量形式
设已知一向量场 ， 并设在这场中任取一曲线 ，则沿此曲线 的曲线积分
称为向量 沿曲线 的线积分，其中 表示向量 在曲线 的切线 上的投影， 表示曲线 的弧长微分。
当 为闭曲线时，则积分 称为向量 沿闭曲线
的环流量。
通常我们还引用记号
称为有向曲线元，其中 为单位切向量。于是上述环流量又可以写成以下的向量形式
设闭曲线 为某一曲面 的边界，那么由斯托克斯公式，向量 沿闭曲线 的环流量可表为曲面积分
称向量
为向量 的旋度，记为
利用 的定义，斯托克斯公式可写为向量形式
这个公式指出：向量 沿闭曲线 的环流量等于它的旋度
通过以 为边界所张的任意曲面 的流量。
特别，若所取向量是在 平面上，那么斯托克斯公式就变成向量形式的格林公式。
与散度一样，旋度是与坐标的选择无关的，为了说明这个事实，我们来给它另一形式的定义：过一已知点 选定一个方向 及以 为法线的一块小平面区域 ，且设 为 的边界，于是根据向量形式的斯托克斯公式，得
这里 表示向量 在曲线 的切线上的投影， 表示
在法方向 上的投影。于是等式的两端除以所述小块平面面积 ，并零这小块区域 收缩到给定点
这时面积 趋于零。应用二重积分中值定理，右端的极限恰等于 ，即
这公式给出向量 在任意方向 上的射影的定义，而且很明显，它是与坐标选择无关的。
5’ 散度与旋度的性质
散度与旋度都是线性的，即
其中 ， 是任意常数，这个性质可由定义直接验证。
关于各种乘积有以下的计算公式，其中 是函数， 和 是向量，
6’ 二阶微分运算
是由数量场产生的向量场， 是由向量场产生的数量场，对它们继续进行梯度、散度或旋度运算，可以产生以下五种量
这时需求二阶偏导数，所以也叫做二阶微分运算，通过直接计算，容易得到以下结果：
这里记 ，称为拉普拉斯算子
最后，有以下关系：
这里 的含义是
而 是向量函数 的三个分量函数。
三、 保守场
曲线积分只与起点和终点有关，而与所沿途径无关，物理学中称这种场叫保守场。
利用斯托克斯公式，可以推出，一个向量场 为空间保守场的充要条件是
亦即
旋度为零的场称为无旋场，因此保守场也就是无旋场。
这时，定义一个函数
完全与上节一样，可以推得
亦即
这时，我们也称 是一个势场， 称为向量场 的势函数。上段二阶微分运算中已指出
即梯度场必为无旋场。于是，综上所述，我们可列出保守
场的几个充要条件如下：
保守场 无旋场 势场
其中 为任意光滑闭曲线。上述结论都是对单连通区域来说的。
四、算子
算子 ，也称哈密顿算子，定义为
算子 在物理学和力学中有广泛应用
利用这个符号，我们可以算出
由此可以看出，算子 的作用在于把微分运算化为关于算子 的向量代数运算。
算子 的运算法则有以下两条：
（i） 是线性算子，即对任意常数 和 ，有
（ii）把 作用在乘积上，其结果等于在每一因子上各作用一次，然后相加，即如
上述法则中的乘积 ，包括两个函数的乘积，也包括两个向量的向量积或数量积等，只要这样的运算是有意义的。
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