http://www.lantianyu.net/pdf22/ts088013_1.htm
1714 年，英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）发表了小提琴弦 的振动基频与弦的长度、张力和密度的关系。1746 年，法国人让·勒朗·达 朗贝尔（Jean Le Rond d'Alemberi）证明，小提琴的许多振动并不是正 弦驻波。事实上，他证明了波的瞬时形状可以是你喜欢的任何形状。1748 年， 针对达朗贝尔的工作，杰出的瑞士数学家列昂纳德·欧拉（Leonhard Euler） 就弦建立了“波动方程”。按照牛顿的精神，这是一个刻划弦形状变化率的 微分方程。事实上，这是一个“偏微分方程”，其意义是它不但包含相对于 时间的变化率，而且包含相对于空间——沿弦的方向——的变化率。它用数 学语言表达了这样的思想：弦的每一小段的加速度与作用于那小段的张力成 正比，所以它是牛顿运动定律的产物。
欧拉不仅建立了波动方程，他还解出了波动方程。他的解可以用文字来
描述。首先，把弦变形成你选择的任何形状——比如抛物线、三角形，或你 自己设计的扭动的不规则曲线。然后想象该形状沿弦向右传播，这被称为右 向行波。接着把所选择的形状倒过来，想象它沿另一条路线传播，产生左向 行波。最后，叠加这两个波形。这一过程导致弦端点保持不动的波动方程的 所有可能的解。
欧拉几乎立即卷入了与丹尼尔·伯努利（DanieI Bernoulli）①的一场
争论。伯努利也解出了这个波动方程，但用的是一种完全不同的方法。按照 伯努利的方法，最一般的解可以表示为无限多个正弦驻波的叠加。这种表面 上的不一致引发了长达一个世纪的争论，最终以欧拉和伯努利都正确而结束 了这场争论。他们都正确的原因在于，每个周期性改变的形状都可表示为无 限多个正弦曲线的叠加。欧拉认为他的方法导致较为多样的形状，因为他未 认识到它们的周期性。然而，这种数学分析适用于无限长的曲线。由于曲线 的唯一部分是两个端点之间的那部分物质，所以它可以不发生任何实质性的 变化沿很长的弦周期性地重复。因此，欧拉的担忧是不成立的。
从而，这一切工作的结论是，正弦波是基本振动成分。可以出现的所有 振动，由形成所有可能振幅的所有可能有限多个或无限多个正弦波之和给 出。正像伯努利一贯坚持的那样，“一切由达朗贝尔和欧拉给出的新曲线只 是泰勒振动的组合”。
随着这一争论的解决，小提琴弦的振动不再是一个谜了，于是数学家们
着手猎取更大的猎物。小提琴弦是一条曲线，是一维对象，但多维对象也可 以振动。二维振动最明显的乐器是鼓，因为鼓面是一个平面，不是一条直线。 因而，1759 年从欧拉开始，数学家们把注意力转向了鼓。欧拉又导出了一个 波动方程，这个方程描述鼓面在垂直方向上随时间变化的位移。它的物理解 释是，一小片鼓面的加速度与所有邻近部分鼓面作用于其上的平均张力成正 比。如用符号来表示，它看上去很像一维波动方程，但现在除了有时间变化 率之外，在两个独立方向上还有空间（二阶）变化率。
1714 年，英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）发表了小提琴弦 的振动基频与弦的长度、张力和密度的关系。1746 年，法国人让·勒朗·达 朗贝尔（Jean Le Rond d'Alemberi）证明，小提琴的许多振动并不是正 弦驻波。事实上，他证明了波的瞬时形状可以是你喜欢的任何形状。1748 年， 针对达朗贝尔的工作，杰出的瑞士数学家列昂纳德·欧拉（Leonhard Euler） 就弦建立了“波动方程”。按照牛顿的精神，这是一个刻划弦形状变化率的 微分方程。事实上，这是一个“偏微分方程”，其意义是它不但包含相对于 时间的变化率，而且包含相对于空间——沿弦的方向——的变化率。它用数 学语言表达了这样的思想：弦的每一小段的加速度与作用于那小段的张力成 正比，所以它是牛顿运动定律的产物。
欧拉不仅建立了波动方程，他还解出了波动方程。他的解可以用文字来
描述。首先，把弦变形成你选择的任何形状——比如抛物线、三角形，或你 自己设计的扭动的不规则曲线。然后想象该形状沿弦向右传播，这被称为右 向行波。接着把所选择的形状倒过来，想象它沿另一条路线传播，产生左向 行波。最后，叠加这两个波形。这一过程导致弦端点保持不动的波动方程的 所有可能的解。
欧拉几乎立即卷入了与丹尼尔·伯努利（DanieI Bernoulli）①的一场
争论。伯努利也解出了这个波动方程，但用的是一种完全不同的方法。按照 伯努利的方法，最一般的解可以表示为无限多个正弦驻波的叠加。这种表面 上的不一致引发了长达一个世纪的争论，最终以欧拉和伯努利都正确而结束 了这场争论。他们都正确的原因在于，每个周期性改变的形状都可表示为无 限多个正弦曲线的叠加。欧拉认为他的方法导致较为多样的形状，因为他未 认识到它们的周期性。然而，这种数学分析适用于无限长的曲线。由于曲线 的唯一部分是两个端点之间的那部分物质，所以它可以不发生任何实质性的 变化沿很长的弦周期性地重复。因此，欧拉的担忧是不成立的。
从而，这一切工作的结论是，正弦波是基本振动成分。可以出现的所有 振动，由形成所有可能振幅的所有可能有限多个或无限多个正弦波之和给 出。正像伯努利一贯坚持的那样，“一切由达朗贝尔和欧拉给出的新曲线只 是泰勒振动的组合”。
随着这一争论的解决，小提琴弦的振动不再是一个谜了，于是数学家们
着手猎取更大的猎物。小提琴弦是一条曲线，是一维对象，但多维对象也可 以振动。二维振动最明显的乐器是鼓，因为鼓面是一个平面，不是一条直线。 因而，1759 年从欧拉开始，数学家们把注意力转向了鼓。欧拉又导出了一个 波动方程，这个方程描述鼓面在垂直方向上随时间变化的位移。它的物理解 释是，一小片鼓面的加速度与所有邻近部分鼓面作用于其上的平均张力成正 比。如用符号来表示，它看上去很像一维波动方程，但现在除了有时间变化 率之外，在两个独立方向上还有空间（二阶）变化率。
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