②作用力和反作用力是作用在不同的物体上,各产生其 作用力和反作用力是作用在不同的物体上, 效果;同时产生,同时存在,同时消失,永不抵消. 效果;同时产生,同时存在,同时消失,永不抵消. 适用范围:笫三定律不涉及运动, ③ 适用范围:笫三定律不涉及运动,不要求参考系是 惯性系;对于接触力,笫三定律总是正确的, 惯性系;对于接触力,笫三定律总是正确的,而对于 非接触力,该定律则不一定正确. 非接触力,该定律则不一定正确. 笫三定律是关于力的性质的定律,而不是动力学本身的定律.
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笫二章 质点动力学 目 录 1,牛顿三定律与伽利略变换 , 2,力学量的单位及量纲 , 3,几种常见的力 , 4,牛顿定律的运用 , 5,非惯性参考系与虚拟力 , 1 牛顿在1687年 发表了具有里程碑意义的《自然哲学的数学 年 发表了具有里程碑意义的《 牛顿在 原理》一书.牛顿的主要功绩是把考察物体周围所有的物体群 牛顿的主要功绩是把考察物体周围所有的物体群( 原理》一书 牛顿的主要功绩是把考察物体周围所有的物体群( 环境)对该考察物体的作用归结为力, 环境)对该考察物体的作用归结为力,而该物体则在力的作用 下按一定的规律运动. 下按一定的规律运动.即 力 环 境 力的定律 物 体 运动 运动定律 由此可见, 由此可见,动力学的根本任务就是回答在周围其他物体的 作用下,所考察的物体如何运动. 作用下,所考察的物体如何运动. 在牛顿以后,拉格朗日( . . 在牛顿以后,拉格朗日(J.L.Lagrange)和哈密顿(W. )和哈密顿( . Hamilton)等人以能量和作用量为基础,从另一途径建立了解 )等人以能量和作用量为基础, 决动力学问题的方法,这就是分析力学. 决动力学问题的方法,这就是分析力学.分析力学和牛顿力学 是等效的. 是等效的. 2 一 牛顿三定律和伽利略变换牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中, 牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中,把运动规律归纳 为三条定律,现分别叙述如下. 为三条定律,现分别叙述如下 一,第一定律(惯性定律) 第一定律(惯性定律) 该定律最初是伽利略(近代科学之父)提出的,他设计了 该定律最初是伽利略(近代科学之父)提出的, 两个理想实验: 两个理想实验: 理想实验之一:当一个球沿斜面向下滚时,其速度增大, 理想实验之一:当一个球沿斜面向下滚时,其速度增大, 向上滚时速度减小.由此推论,当球沿水平面滚动时, 向上滚时速度减小.由此推论,当球沿水平面滚动时,其速度 应不增不减. 应不增不减. 理想实验之二: 理想实验之二: ? 3 当球沿斜面的顶端向下滚后,即沿对面的斜面向上滚, 当球沿斜面的顶端向下滚后,即沿对面的斜面向上滚,达 到与原来差不多的高度.他推论,若没有摩擦力, 到与原来差不多的高度.他推论,若没有摩擦力,减少后一斜 面的斜率,球仍达到同一高度,但这时球要滚得远些. 面的斜率,球仍达到同一高度,但这时球要滚得远些.斜率愈 球滚得愈远.若将后一斜面放平,球要永远滚下去. 小,球滚得愈远.若将后一斜面放平,球要永远滚下去. 惯性定律: 惯性定律: 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动的状态 ,直到外力迫使它改变运动状态为止. 直到外力迫使它改变运动状态为止. 说明: 说明: 笫一定律是大量观察和实验事实的抽象与概括; (1) 笫一定律是大量观察和实验事实的抽象与概括; 第一定律定性提出了" 惯性"两个重要概念: (2) 第一定律定性提出了"力"和"惯性"两个重要概念:力 是迫 使物体改变静止或匀速直线运动状态的一种作用; 使物体改变静止或匀速直线运动状态的一种作用;惯性是 物体按其一定的量而存在于其中的一种抵抗能力. 物体按其一定的量而存在于其中的一种抵抗能力. (3) 第一定律定义了一类重要的参考系-惯性系; 第一定律定义了一类重要的参考系 惯性系; 的参考系- 爱因斯坦说: 爱因斯坦说:"伽利略的发现以及他所用的科学推理方法是人 类思想史上最伟大的成就之一,而且标志着物理学的真正开端" 类思想史上最伟大的成就之一,而且标志着物理学的真正开端". 4 二,牛顿第二定律牛顿表述:运动的改变与所加的动力成正比, 牛顿表述:运动的改变与所加的动力成正比,并发生在所 加的力的那个直线方向上. 加的力的那个直线方向上.确切的表述应为动量的变化率与 力成正比. (动)力成正比. 即 F = d ( mv ) = m dv + v dm dt dt dt dv F =m = ma dt B a1 F a2 m 2 = m1 如图 m1a1 = m 2 a 2 a2 的质量为标准质量( ),由于 若取 m1的质量为标准质量(可取 m1=1),由于 a1和 a 2 ), 都是可测量的, 的质量可以完全确定.这样, 都是可测量的,故 m 2的质量可以完全确定.这样,作为导出量 说明: 1)惯性的量度-惯性质量 说明: )惯性的量度- ( F A a1 的作用力F也就完全确定. 的作用力 也就完全确定. 也就完全确定 5 用惯性大小定义的质量称为惯性质量.是一个绝对量, 用惯性大小定义的质量称为惯性质量.是一个绝对量,具 有可加性.其单位称千克( ). ).千克的标准是保存在巴黎国 有可加性.其单位称千克(kg).千克的标准是保存在巴黎国 际计量局中的一个铂铱圆柱体. 际计量局中的一个铂铱圆柱体. 1原子质量单位=1.6605655 × 10 27 kg 原子质量单位= 原子质量单位 物体的惯性表现,在牛顿第二定律中被"质量"定量地表示来. 物体的惯性表现,在牛顿第二定律中被"质量"定量地表示来. (2)笫二定律适用的参考系是惯性系; 笫二定律适用的参考系是惯性系; 笫二定律是瞬时关系式; (3)笫二定律是瞬时关系式; 笫二定律是矢量式, (4)笫二定律是矢量式,使用时可用分量式 三,牛顿第三定律两个物体之间的作用力和反作用力,沿同一直线, 两个物体之间的作用力和反作用力,沿同一直线,大小相等 方向相反,分别作用在两个物体上. ,方向相反,分别作用在两个物体上. 数学表达: 数学表达: F12 = F21 6 说明: 作用力与反作用力的性质相同; 说明: 作用力与反作用力的性质相同; ① ②作用力和反作用力是作用在不同的物体上,各产生其 作用力和反作用力是作用在不同的物体上, 效果;同时产生,同时存在,同时消失,永不抵消. 效果;同时产生,同时存在,同时消失,永不抵消. 适用范围:笫三定律不涉及运动, ③ 适用范围:笫三定律不涉及运动,不要求参考系是 惯性系;对于接触力,笫三定律总是正确的, 惯性系;对于接触力,笫三定律总是正确的,而对于 非接触力,该定律则不一定正确. 非接触力,该定律则不一定正确. 笫三定律是关于力的性质的定律,而不是动力学本身的定律. 笫三定律是关于力的性质的定律,而不是动力学本身的定律. 物理学中的抽象和定义: 物理学中的抽象和定义:伟大的科学理论及其形式常常起始 于卓越的抽象与精当的定义, 于卓越的抽象与精当的定义,它们源于科学家对未知的复杂事 物包括实验现象,一番深邃的缜密的反复的思考和分析. 物包括实验现象,一番深邃的缜密的反复的思考和分析.牛顿 力学逻辑严谨的理论体系, 物理学理论首创的典范, 力学逻辑严谨的理论体系,是物理学理论首创的典范,三百多 年来对物理学和自然科学乃至人类文明,一直有着深刻的影响. 年来对物理学和自然科学乃至人类文明,一直有着深刻的影响. 7 四,伽利略变换实际上,上面讨论两个相互作匀速直线运动参考系时, 实际上,上面讨论两个相互作匀速直线运动参考系时,在时 空度量问题上隐含着更本质的内涵. 空度量问题上隐含着更本质的内涵 如图, 如图,设有两个相对作匀速直线运 相对于K的速度 动参考系K,K ′ K ′ 相对于 的速度 , 为u. 若t=0时两坐标系重合,则 时两坐标系重合, 时两坐标系重合 r ′ = r ut v′ = v u r0 a′ = a z z′ u 轴沿相对速度u的方向 取x轴沿相对速度 的方向,则 轴沿相对速度 的方向, 0 0′ y x ′ = x ut y′ y′ = y 伽利略坐标变换式 z′ = z x x′ t′ = t 8 伽利略变换蕴含的时空观- 伽利略变换蕴含的时空观-绝对时空观 1.关于同时性-同时性是绝对的 关于同时性- 关于同时性 ′ t1 = t , ′ t2 = t ′ ′ t1 = t 2 2.关于时间间隔-时间间隔是绝对的 关于时间间隔- 关于时间间隔 ′ t 1 = t1 , ′ t2 = t2 ′ ′ t 2 t1 = t 2 t1 3.关于长度测量一长度测量是绝对的 关于长度测量一长度测量是绝对的 ′ ′ x1 = x1 ut , x2 = x2 ut ′ ′ x2 x1 = x2 x1 ∴ x ′ = x 概括地说,绝对时空观认为时间,空间都是绝对的, 概括地说,绝对时空观认为时间,空间都是绝对的,它 们彼此无关,也与参考系的运动状态无关. 们彼此无关,也与参考系的运动状态无关 9 二 力学量的单位和量纲 一,基本量和导出量被选作独立规定单位的物理量称为基本量,它们 被选作独立规定单位的物理量称为基本量, 基本量 基本单位; 导出量, 的单位叫基本单位 其他量叫导出量 其单位叫导 的单位叫基本单位;其他量叫导出量,其单位叫导 出单位. 出单位. 二,单位制绝对单位制:先规定质量的单位,从而导出力的单位的单位制. 绝对单位制:先规定质量的单位,从而导出力的单位的单位制. 国际单位制(SI)七个基本量及基本单位: 国际单位制(SI)七个基本量及基本单位: (SI)七个基本量及基本单位 长度L(m) 时间T(s) 质量M(kg) 长度L(m) 时间T(s) 质量M(kg) 电流I(A) 物质的量(mol) 电流I(A) 物质的量(mol) 热力学温度C(k) 发光强度(cd) 热力学温度C(k) 发光强度(cd) 10 三,量纲表示一个物理量如何由基本量(包括这些量的幂) 表示一个物理量如何由基本量(包括这些量的幂)组 合的式子,称为物理量的量纲. 合的式子,称为物理量的量纲. [A] = L p M q T s 量纲法则:只有量纲相同的物理量才能相加,相减,用等号 量纲法则:只有量纲相同的物理量才能相加,相减, 相联系. 相联系. 应用: 在基本量相同的单位制之间进行单位换算. 应用: ① 在基本量相同的单位制之间进行单位换算. 验证公式,检查等式的正确性. ② 验证公式,检查等式的正确性. ③ 为推导某些复杂公式提供线索,或直接推导公式. 为推导某些复杂公式提供线索,或直接推导公式. 问题:验证平面极坐标系中各物理量的量纲是否相同? 问题:验证平面极坐标系中各物理量的量纲是否相同? F = m rθ 2 r r Fθ ( ) = m (rθ + 2rθ ) 11 三 力 几种常见的力接触力: 接触力:弹性力和摩擦力 非接触力(场力):万有引力 非接触力(场力):万有引力 ): 一,万有引力与重力 m1 m 2 F =G 2 r 重力: 重力:地球对表面物体的 万有引力mg 万有引力mg m1 r m2 mg GM g= 2 R 12 二,分子力与弹性力 f 分子力即原子间的力.可用半经验公式表示 分子力即原子间的力 可用半经验公式表示 F= λ r s r t 斥力 斥力 斥力 斥力 (s > t ) 0 r 引力 引力 引力 引力 引力 引力 引力 引力 弹簧力,正压力,支持力,绳张力-- 弹簧力,正压力,支持力,绳张力由于分子力, 由于分子力,相互接触的物体因彼此形变而产生欲 使物体恢复其原来形状的力. 使物体恢复其原来形状的力. 胡克定律 N′ N f = kx N 13 三,摩擦力物体与物体相互接触时, 物体与物体相互接触时,沿接触面两物体相互施以阻止 相对滑动的作用力.分子力是产生摩擦的根本原因. 相对滑动的作用力.分子力是产生摩擦的根本原因. 干 摩 擦 静摩擦力: 静摩擦力: 0 ≤ f f 0 ≤ N 0 方向: 方向:与物体相对滑动趋势的方向相反 滑动摩擦力: 滑动摩擦力: = N 方向: 方向:与物体相对 柟 的摩擦力的方向: 的摩擦力的方向: 动的方向相反 14 四,力的分类在目前的宇宙中,存在着四类基本的相互作用, 在目前的宇宙中,存在着四类基本的相互作用,所有的 运动现象的原因都逃不出这四类基本的力,各式各样的力只不 运动现象的原因都逃不出这四类基本的力 各式各样的力只不 过是这四类基本力在不同情况下的不同表现. 过是这四类基本力在不同情况下的不同表现 四种力:万有引力,电磁力, 四种力:万有引力,电磁力,强力和弱力万有引力 适用范围 m 相互作用举 例 相对强度 长程力 电磁力 长程力 强 力 弱 力 10 15 << 10 16 恒星结合在一 电子和原子核 质子和中子结 表征核子 β 起形成银河系 结合形成原子 合形成原子核 衰变的力 10 39 10 2 1 10 5 15 四 牛顿运动定律应用动力学的典型问题可归结为两类: 一,动力学的典型问题可归结为两类: 笫一类问题:己知作用于物体(质点)上的力,由力 笫一类问题:己知作用于物体(质点)上的力, 学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态. 学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态 笫二类问题:己知物体的运动情况或平衡状态, 笫二类问题:己知物体的运动情况或平衡状态,由 力学规律来推究作用于物体上各种力. 力学规律来推究作用于物体上各种力 力是牛顿力学的核心概念.质点动力学问题的求解,关键是力 力是牛顿力学的核心概念.质点动力学问题的求解,关键是力. 约束:对运动物体的一定限制. 二,约束:对运动物体的一定限制. 约束力:约束物对被约束物体所施的作用力. 约束力:约束物对被约束物体所施的作用力. 主动力:大小和方向与约束无关的作用在物体上的外力. 主动力:大小和方向与约束无关的作用在物体上的外力. 主动力与约束条件无关,它的变化规律是已知的,如重力, 主动力与约束条件无关,它的变化规律是已知的,如重力, 粘滞阻力等.而约束力一般都是未知的,是一种被动力, 粘滞阻力等.而约束力一般都是未知的,是一种被动力,须通过 16 求解运动微分方程才能确定. 求解运动微分方程才能确定. 约束方程:物体作约束运动时, 约束方程:物体作约束运动时,受到限制常表现为各坐标之间 一定的函数关系. 一定的函数关系. 例:如图,求每个物体的加速度? 如图,求每个物体的加速度 设动滑轮的中心坐标为x, 设动滑轮的中心坐标为 ,加速度 为a,由约束条件(绳长不变)给出 ,由约束条件(绳长不变) 0 x3 m3 ( x2 x ) + ( x1 x ) = l 2 微分两次, 微分两次,得 x + x 3 = l1 x x2 a + a3 = 0 a 2 + a1 2a = 0 x1 m1 m2 x 消去a, 消去 ,得约束条件 a 2 + a1 + 2a 3 = 0 1 a3 = (a1 + a2 )17 2 解题步骤: 三,解题步骤: 1,明确题意,确定研究对象. 明确题意,确定研究对象. 隔离物体,受力分析,画受力图. 2,隔离物体,受力分析,画受力图. 选取坐标系,列出分量方程式(包括约束方程). 3,选取坐标系,列出分量方程式(包括约束方程). 解方程,讨论. 4,解方程,讨论. 例题2-1 有一轻绳索围绕在圆柱上,绳索绕圆柱的张 例题2 有一轻绳索围绕在圆柱上, 角为 θ ,绳与圆柱间的静摩擦系数为 ,求绳索处于 滑动的边缘时,绳两端的张力间的关系. 滑动的边缘时,绳两端的张力间的关系. Y B θ 0 A T f N dθ 2 X TB TA dθ T + dT 18 解:如图,选取研究对象,受力分析(如图,设圆柱右力 如图,选取研究对象,受力分析(如图, 大于左力) 建立坐标系xy 大于左力) ,建立坐标系xy dθ dθ X方向: (T + dT ) cos 方向: 方向 T cos f = 0 2 2 y方向: (T + dT ) sin dθ T sin dθ + N = 0 方向: 方向 2 2 又 f = N sin dθ 2 dθ θ , cos d2 1 2 整理以上方程可得: 整理以上方程可得: dT = N 1 dTdθ + Tdθ = N 2 19 ∫ TA TB dT θ = ∫0 dθ T TA ln = θ TB TB = TAe θ 讨论: 讨论: 如果 = 0.25 则: θ = π时, TB = 0.46TA θ = 2π时, TB = 0.21TA θ = 10π时, TB = 0.00039TA 20 例题2 从实验知道,当物体速度不大时, 例题2-2 从实验知道,当物体速度不大时,可认为 空气阻力正比于物体的速度, 空气阻力正比于物体的速度,问以初速度竖直向上运 动的物体,其速度将如何变化? 动的物体,其速度将如何变化? 解: 运动物体所受力有: 运动物体所受力有: 重力mg方向向下 重力mg方向向下 mg 空气阻力 f = γv 方向向下 据牛顿第二定律,运动方程为: 据牛顿第二定律,运动方程为: y f mg 21 dv mg γ v = m dt dv mg γ v = m dt 分离变量再积分: 分离变量再积分: dv γ g v m dv = dt t ∫ v0 v g γ m = v ∫ dt 0 γ t mg γ v= v0 )e m 1 (1 + mg γ 22 例题2- 质量为m的物块置于倾角为 例题 -3 质量为 的物块置于倾角为 θ 的固定斜 面上, 面上,物块与斜面间静摩擦系数为 , < tan θ .现 现 用一水平外力F推物块 欲使物块不滑动, 的大小 推物块, 用一水平外力 推物块,欲使物块不滑动,F的大小 应满足什么条件? 应满足什么条件? x 解:如图,根据平衡条件 如图, m y F mg + N + f + F = 0 取图上所示坐标, 取图上所示坐标,考察即将 下滑时平衡方程的分量式为 下滑时平衡方程的分量式为 θ N y θ 23 F cosθ + f mg sinθ = 0 N F sinθ mg cosθ = 0 ⑴ ⑵ x f θ F ∵ f = N ⑶ 由⑴,⑵,⑶可解得 sinθ cos θ F = F1 = mg cos θ + sinθ 时物块将下滑.但 也不能太大 也不能太大, 即当作用力小于 F1 时物块将下滑 但F也不能太大,否则物 块还可上滑.当物块即将上滑时, 当物块即将上滑时 块还可上滑 当物块即将上滑时,平衡方程为 x F cos θ mg sinθ N = 0 ⑷ N N mg cosθ F sinθ = 0 解⑷,⑸两式得 ⑸ y sinθ + cos θ F = F2 = mg cos θ sinθ f θ θ F 即当F> F2 时物块上滑 综合以上结果,物块不滑动的条件为 时物块上滑.综合以上结果 综合以上结果, 即当 sinθ cosθ sinθ + cosθ mg < F < mg cosθ + sinθ cosθ sinθ 24 例题2-4 质量为m质点,沿半径为R的圆环的内壁运 例题2 质量为m质点,沿半径为R 整个圆环水平地固定在光滑的桌面上. 动,整个圆环水平地固定在光滑的桌面上.已知质点 与环壁间的摩擦系数 和质点开始运动的速率 v 0 , 试求:1 质点在任一时刻的速率; :1, 试求:1,质点在任一时刻的速率;2,经过多长时 间质点速度是原来的一半. 间质点速度是原来的一半. v 解:以地面为参考系,并选用自然坐标系: 以地面为参考系,并选用自然坐标系: m R N f 分析受力,列方程,则有 分析受力,列方程, o v2 N =m R dv f =m dt f =N ( 2) (1) 25 综合(1),(2)两式有: 综合( ),(2 两式有: 分离变量进行积分,并注意初值条件,有: 分离变量进行积分,并注意初值条件, v dv t ∫ dt = ∫ 2 R0 v0 v dv 2 v = R dt v0 v = v 0 1+ t R 当质点速度是原来的一半时, 当质点速度是原来的一半时, = v 0 2,则 v t = R v 0 26 例题2- 一质量为m的物块拴在穿过小孔的轻绳的 例题 -5 一质量为 的物块拴在穿过小孔的轻绳的 一端, 一端,在光滑水平台面上以角速度 ω 0 作半径为 r0 的园周运动, 时刻起, 的园周运动,自t=0时刻起,手拉着绳子的另一端以 时刻起 匀速v向下运动 使半径逐渐减少,试求: 向下运动, 匀速 向下运动,使半径逐渐减少,试求:⑴角速度 绳中的拉力与时间的关系. 与时间的关系 ω (t ) ;⑵绳中的拉力与时间的关系在平面极坐标中, 解:在平面极坐标中,运动方程为 m ( rθ 2 ) = F r <1> <2> ⑴ 根据题意 r = v, = 0,θ = ω r 由方程<2> 由方程 m rθ + 2rθ = 0 ( ) θ r v dω r = 2v ω dt dω 2v dt = r ω 27 ∵ r = v ∴ dω ∴ r = r0 vt 两边积分 2v dt = r0 vt ω ∫ω ω 0 dω 2v dt =∫ 0 r vt ω 0 t ω r0 vt ln = ln ω0 r0 ω 0 r02 2 ∴ 代入方程<1>,得 ⑵ 代入方程 , ω (t ) = (r0 vt ) F = mr θ 2 = m (r0 vt ) (r0 vt ) ω 02 r04 4 mω 02 r04 = 3 (r0 vt ) 28 五 非惯性参考系与虚拟力一 相对运动通常,把相对观察者静止的参考系称为定参考系或静参 通常,把相对观察者静止的参考系称为定参考系或静参 考系,把相对观察者运动的参考系称为动参考系 动参考系; 考系,把相对观察者运动的参考系称为动参考系;把物体相 对于动参考系的运动称为相对运动 相对运动, 对于动参考系的运动称为相对运动,物体相对定参考系的运 动称为绝对运动 动称为绝对运动. 绝对运动 讨论两个相对平动参考系 y y′ 相对S平动速度为 设S ′相对 平动速度为 v S ′S S系 S′系 系 ′ A′ ′ 如图, 如图,有 rS rS ′ rS = rS ′ + rS ′S A′ x′ A rS ′S o ′ x 两边除 两边除t , 取极限则有 o v AS = v AS ′ + v S ′S 29 v AS ′ = v AS v S ′S v AS -称为质点 相对 系的速度 (绝对速度) 称为质点A 相对S系的速度 绝对速度) v AS ′ - 称为质点 相对 ′系的速度(相对速度) 称为质点A 相对S 系的速度(相对速度) v S ′S -称为 ′系相对于 系的速度 (牵连速度) 称为S 系相对于S系的速度 牵连速度) 将上式对时间求导, 将上式对时间求导,加速度关系为 a′ = a A 其中: 其中: a ′ = d v AS ′ , dt dv AS , a= dt dv S ′S A= dt 上述关于质点位矢,运动速度,加速度的相对性, 上述关于质点位矢,运动速度,加速度的相对性,建立了两个 不同的参考系描述同一质点运动的联系, 不同的参考系描述同一质点运动的联系,提供了从一个参考系的 运动描述转入另一个参考系描述的可能性. 运动描述转入另一个参考系描述的可能性 30 运动的相对性.swf 一货车在行驶过程中,遇到5m/s竖直下落的大 例1.7 一货车在行驶过程中,遇到 竖直下落的大 车上紧靠挡板平放有长为l=1m的木板. 如果木 的木板. 雨 , 车上紧靠挡板平放有长为 的木板 板上表面距挡板最高端的距离h=1m,问货车应以多 板上表面距挡板最高端的距离 , 大的速度行驶,才能使木板不致淋雨? 大的速度行驶,才能使木板不致淋雨? 为使木板不致淋湿, 解:为使木板不致淋湿 , 雨滴对 货车的速度 v雨 车 的方向与地 面的夹角α必须满足下式: 面的夹角α必须满足下式: l h 由图知: 由图知: h α = arctg = 450 l v 地车 v雨车 45° ° h α v地车 31 = v ctgα = 5m/s 雨地 v雨地 l v 地车 和 v 车 地 大小相等而方向相反, 大小相等而方向相反 所以货车如 的速度行驶, 以5m/s的速度行驶 木板就不致淋雨了 的速度行驶 木板就不致淋雨了. 一实验者A在以 在以10ms-1 的速率沿水平轨道前进 例 1.8 一实验者 在以 的平板车上控制一台弹射器, 的平板车上控制一台弹射器 此弹射器以与车前进的 反方向呈60 的角斜向上射出一弹丸.此时站在地面上 反方向呈 o的角斜向上射出一弹丸 此时站在地面上 的另一实验者B看到弹丸铅直向上运动 看到弹丸铅直向上运动, 的另一实验者 看到弹丸铅直向上运动 求弹丸上升的 高度. 高度 y y' v' 60° ° o B o' A u x' x 解: 设地面参考系为 系, 平板车参考系为 ′, S′系以速率 设地面参考系为S系 平板车参考系为S′ ′系以速率u= 10ms-1 沿ox 轴正向相对 系运动 轴正向相对S系运动 32 弹丸相对S′系速度与 ′ 弹丸相对 ′系速度与x′轴方向夹角 弹丸相对S系的速度分量为 弹丸相对 系的速度分量为 v ′y tgα = v ′x v′ v′ x a v ′y u v y = v ′y S系的实验者 看到弹丸铅直向上运动 v x = 0 系的实验者B看到弹丸铅直向上运动 系的实验者 所以 v ′x = u = 10m s 1 v y = v ′y = v ′x tgα = 17.3m s 1 由变速直线运动的公式可得弹丸上升的高度为 v x = u + v ′x y= v2 y 2g (17.3) = 2 2 × 9.8 = 15.3m 33 某人以4km/h的速度向东前进时 , 感觉风从正 的速度向东前进时, 例 1.9 某人以 的速度向东前进时 北吹来,若速率增加一倍,又觉得风从东北吹来. 北吹来,若速率增加一倍,又觉得风从东北吹来. 试求:风相对于地面的速度 风相对于地面的速度? 试求 风相对于地面的速度? 解:设K系是地面参考系 K′系是建立在运动的人身上的参考系. 系是地面参考系, 系是地面参考系 ′系是建立在运动的人身上的参考系. v AK 为风对地的速度; 为风对地的速度; 分别为两种条件下人对地的速度; 分别为两种条件下人对地的速度; 分别为两种条件下风对人的速度. 分别为两种条件下风对人的速度. ′ v K ′K , v K ′K v AK ′ , v ′ K ′ A 由伽利略速度变换式 v K ′K ′ v K ′K ′ v AK = v AK ′ + v K ′K = v ′ K ′ + v K ′K v AK A θ v AK ′ 450 v′ K′ A 34 由图知: 由图知: vK 'K = v' K 'K v' AK ' cos 450 = v AK cos θ v AK ′ = v' AK ' sin 45 = v AK sinθ 0 由此解得 v' AK ' = 2 ( 2v K ' K v K ' K ) = 2v K ' K = 5.66km/h v AK ′ = 2v' AK ' = 4km/h 0 v AK = v 2 k 'k +v 2 AK ' = 5.66km/h v AK ' ∵ tgθ = =1 vK 'K ∴θ = 450 35 牛顿运动定律只在惯性系中成立.为在非惯性系中用牛顿定律 牛顿运动定律只在惯性系中成立 为在非惯性系中用牛顿定律 求解物体的运动,需要引进适当的虚拟力 适当的虚拟力. 求解物体的运动,需要引进适当的虚拟力 二,平动加速参考系-惯性力 平动加速参考系- 如果物体在加速参考系 K ′中的加速度为 a′,而物体相对惯 性系K的加速度为 系中运用牛顿定律, 性系 的加速度为 a0 .为在形式上在 K ′ 为在形式上在 系中运用牛顿定律,必 须认为物体除受真实力F的作用外 的作用外, 的作用, 须认为物体除受真实力 的作用外,还受一虚拟力 fi的作用,即 F + fi = ma ′ 虚拟力 fi = ma ′ F = ma ′ ma0 若非惯性系相对惯性系平动时的加速度为 a ,则 a0 = a ′ + a 36 故 fi = ma 惯性力实例.swf fi 称为平移惯性力.真实力与惯性力的合力称为表现力 称为平移惯性力 真实力与惯性力的合力称为表现力 平移惯性力 真实力与惯性力的合力称为表现力. "虚拟力"与"真实力"的区别:①不能指出是哪个物体作 虚拟力" 真实力"的区别: 虚拟力 用, 没有反作用力, 所有质点都受力, ②没有反作用力,③所有质点都受力,④只要选择 惯性系,就可消除惯性力. 惯性系,就可消除惯性力 例题2-6 一质量为 的木块静置于质量为 ,倾角为 的木块静置于质量为M, 例题 - 一质量为m的木块静置于质量为 高为h的直角劈的顶部 劈置于水平面上, 的直角劈的顶部, θ ,高为 的直角劈的顶部,劈置于水平面上,所有的 接触面都是光滑的,试用非惯性系观点,求木块m相对 接触面都是光滑的,试用非惯性系观点,求木块 相对 斜面的加速度. 斜面的加速度 解: 劈的运动以地面为参考系来考察, 劈的运动以地面为参考系来考察, 劈的运动以地面为参考系来考察, 在水平方向上 m N sinθ = Ma a ⑴ M θ 37 如图, 如图,坐标系 o′x ′y′取在劈上 ,木块除受真实力 木块除受真实力 N和mg外,还受惯性力 fi = ma . 和 外 木块的运动方程为 y′ N fi = ma ma cosθ + mg sinθ = mx ′ N + ma sinθ = mg cosθ 由⑴,⑶式消去N,即得 式消去 , ⑵ ⑶ 0′ x′ mg mg sinθ cosθ a= m sin2 θ + M 代入⑵ 代入⑵式,即得 x ′ = a cosθ + g sinθ = (M + m )sinθ m sin θ + M 2 g 38 要求:把参考系建在地面上处理本题,比较其结果 要求:把参考系建在地面上处理本题,比较其结果. 思考:惯性力是真是假? 思考:惯性力是真是假? 在导出非惯性系中运动定律的形式表示的过程中, 在导出非惯性系中运动定律的形式表示的过程中,不时冠以 虚拟力或假想力之定语于惯性力,以与真实作用力相区别, 虚拟力或假想力之定语于惯性力,以与真实作用力相区别,那 是为了免除初学时概念上的混淆.其实,惯性力所产生的物理后 是为了免除初学时概念上的混淆 其实, 其实 果是真实的,惯性力也可以由测力器测出.过分强调惯性力的假 果是真实的,惯性力也可以由测力器测出 过分强调惯性力的假 想性,这在物理思想上是要被质疑的. 想性,这在物理思想上是要被质疑的 爱因斯坦于1915年创立了广义相对论的理论基础,其基本 年创立了广义相对论的理论基础, 爱因斯坦于 年创立了广义相对论的理论基础 等效原理,最初表述是, 原理之一 等效原理,最初表述是,引力与惯性力实际上是 等效的. 等效的 二,转动参考系也是常见的非惯性系. 匀速转动参考系 K ′也是常见的非惯性系 39 ′ 1.相对于 K 系静止的点,惯性离心力 相对于 系静止的点, 系中的物体若位于过原点而垂直转轴的平面内, 静止在 K ′ 系中的物体若位于过原点而垂直转轴的平面内, 系中看来, 在K系中看来,物体受力 系中看来 F = m ω re r 2 系看来,必须认为物体不仅受真实力F作用 作用, 而在 K ′系看来,必须认为物体不仅受真实力 作用,而且 作用,两力相抵消, 还受虚拟力 f c作用,两力相抵消,即惯性离 心力 F + fc = 0 ∴ fc = F = + mω 2 rer ω ω ×r ω × (ω × r ) 当物体并不位于过原点且垂直转轴的 平面上, 平面上,离心力应写成 fc = mω × (ω × r ) r 0 40 惯性离心力的特点: 惯性离心力的特点: ①离心力与转动参考系的转动角速度有关,与角速度是否 离心力与转动参考系的转动角速度有关, 随时间变化无关; 离心力与物体所在位置有关, 随时间变化无关;②离心力与物体所在位置有关,与物体在转 动系中运动与否无关. 动系中运动与否无关 讨论: 讨论:①重力与纬度的关系由于地球的自转,在地球上测得物体 由于地球的自转, 的重力并非是物体的真实重力, 的重力并非是物体的真实重力,而是表 如图, 观重力 pθ .如图, θ是物体所受引力 和 如图 p 是物体所受引力P和 离心力 fi 的矢量和 ω fc p θ φ pθ Pθ = P + f c Pθ = P 2 + f c2 2 Pf c cosθ f c = m ω 2 r = mR 0ω 2 cos θ 41 f c mR 0ω 2 cos θ 6.4 × 10 6 × (2π 24 × 60 × 60)2 cos θ cos θ ≈ = = 9.81 289 P mg fc P >> fc, 故 Pθ ≈ P f c cos θ = P 1 cos θ 由于 P 1 2 Pθ ≈ P 1 cos θ 289 p 实际上由于自转效应,地球稍呈扁平, 实际上由于自转效应,地球稍呈扁平, θ 较准确的结果是 1 Pθ ≈ P 1 cos 2 θ 191 在两极处 在赤道处 θ = ± π 2, θ = 0,Pθ = P cos θ = 0, θ = 1,Pθ = P 1 cos 1 191 42 而 pθ 与 p 的夹角 ,由图知为 ω fc p θ f c sin θ mω 2 R cos θ sin θ ω 2 R sin 2θ = = ≈ P mg 2g 在上面讨论中未区分引力质量m G 和惯性 若要区分, 质量m I ,若要区分,则 φ pθ = ω 2 R sin 2θ m I 2g mG 如果惯性质量与引力质量不成正比, 如果惯性质量与引力质量不成正比,此 角将因物体的质 料不同而异.因而,若用细线将不同质料的物体悬挂起来, 料不同而异.因而,若用细线将不同质料的物体悬挂起来,悬 线将取不同的方向.匈牙利物理学厄缶利用此原理, 线将取不同的方向.匈牙利物理学厄缶利用此原理,在1908年 年 完成了一个的证明引力质量与惯性质量成正比的令人信服的实 完成了一个的证明引力质量与惯性质量成正比的令人信服的实 验. 43 ② 地球同步卫星定位于赤道上空地球同步卫星静止于地球上空,必须满足① 地球同步卫星静止于地球上空,必须满足①表观重力 Pφ 为 引力和离心力的矢量和才有可能为零.故地 零.只有当φ = 0 时,引力和离心力的矢量和才有可能为零 故地 只有当 球同步卫星只能定位于赤道上空; 球同步卫星只能定位于赤道上空;②卫星角速度恰等于地球自 转角速度 ω = 2π T,T = 24 × 60 × 60 s .即 即 Mm G = m ω 2 ( R + h) 2 ( R + h) ( R + h) = 3 GM ω 2 =3 gR 2T 2 ≈ 42000km 2 4π h ≈ 42000km 6370km ≈ 35630km 故地球同步卫星只能定位于赤道上空35630km. 故地球同步卫星只能定位于赤道上空 44 ′ 2. 相对于 K 系作匀速运动的点,科里奥利力 系作匀速运动的点, 若物体相对于转动参考系作相对运动,则由转动参考系的观 若物体相对于转动参考系作相对运动 则由转动参考系的观 察者看来,除了惯性离心力外, 察者看来,除了惯性离心力外,物体还受到另一惯性力的作 此力称为科里奥利力 法国人G.Coriolis 1835年提出). 科里奥利力( 年提出) 用,此力称为科里奥利力(法国人 年提出 沿半径oc相对圆盘等 点m 以速度 v ′ 沿半径 相对圆盘等 速移动时,同时参与了两个运动 同时参与了两个运动,由 速移动时 同时参与了两个运动 由 A点运动到 B ′ 点. 点运动到 如图所示作辅助线. 如图所示作辅助线. 其切向速度不断增大, 其切向速度不断增大,在 t 内 如图,相对于惯性系, 分析:如图,相对于惯性系,当质 0 A A′ ′B′′ = A′B′′ = v ′ω (t )2 s = B B c v′ B′ ω B ′′ c′ 45 在 t → 0 时,在 B′′B′ 弧段内可以应用匀变速直线运动 公式. 公式 两式相比, 两式相比,得 1 2 s = a t (t ) 2 a t = 2v ′ω 其方向与质点相对于圆盘的速 垂直,并指向右方. 度 v ′垂直,并指向右方 c 0 A A′ B′ v′ B 显然,为使物体获得这个加速度, 显然,为使物体获得这个加速度,必须施物体向右的切 向力 ω B ′′ c′ Ft = ma t = 2m v ′ω 46 若以圆盘为参考系,在盘中观察者看来,质点 若以圆盘为参考系,在盘中观察者看来,质点m 所作的是 沿半径的匀速直线运动,因此, 力外, 沿半径的匀速直线运动,因此,必须认为除了 Ft 力外,还有 作用在物体上.这个力与真实力 大小相等, 一个力 f k作用在物体上 这个力与真实力Ft 大小相等,方向 相反.其大小为 相反 其大小为 f k = 2mv ′ω 垂直,并指向左. 其方向与质点相对于圆盘的速度 v ′垂直,并指向左.力 f k 是 盘中观察者设想的力,是一个惯性力,即为科里奥利力. 盘中观察者设想的力,是一个惯性力,即为科里奥利力 使得 f k + Ft = 0 可以证明,物体在圆盘内沿任何方向运动时, 可以证明,物体在圆盘内沿任何方向运动时,都将受到一个 与运动方向垂直的科氏力.在普遍情况下 与运动方向垂直的科氏力 在普遍情况下 fk = 2mv ′ × ω 47 科氏力特征: 科氏力特征: 与相对速度成正比, ① 与相对速度成正比,故只有当物体相对转动参考系运动 时才能出现. 时才能出现 与转动角速度的一次方成正比. ② 与转动角速度的一次方成正比 力的方向总是与相对速度垂直,不会改变相对速度的大小. ③ 力的方向总是与相对速度垂直,不会改变相对速度的大小 地球是一个匀速转动参考系,科里奥利力在地球上的表现: 地球是一个匀速转动参考系,科里奥利力在地球上的表现: 地面上北半球河流冲刷右岸,火车对右轨的偏压较大. ① 地面上北半球河流冲刷右岸,火车对右轨的偏压较大 南半球则相反. 南半球则相反 地球上自由落体偏东和火箭轨道的偏向. ② 地球上自由落体偏东和火箭轨道的偏向. 水漏流场的旋汇-北半球为逆时针旋汇,南半球相反. ③ 水漏流场的旋汇-北半球为逆时针旋汇,南半球相反. 天气图上, 低气压环流能长期存在. ④ 天气图上,高,低气压环流能长期存在 48 解释: 解释:落体偏东如图, 如图,在直角坐标系中讨论 在赤道平面内的自由落体.当不 在赤道平面内的自由落体 当不 考虑科氏力时 y fk v = gtk 由于运动,科氏力为 由于运动, ω o mg z f k = 2mgt k × ω i = 2mωgtj 即科氏力的方向在水平面内指向东方 由此得沿y方向的运动方程 由此得沿 方向的运动方程 ( ) 2mωgt = m dv y dt 49 dv y dt = 2ωgt =0 得 2 将上式积分,并代入初始条件: , 将上式积分,并代入初始条件:t=0,v y v y = ωgt 再积分一次,并代入初始条件: , 再积分一次,并代入初始条件:t=0,y=0,得 , 1 3 y = ωgt 3 设h=80m,而 ω ≈ 7.3 × 10 5 rad / s ,得y=1.6cm , 如果不是在赤道, 如果不是在赤道,而在纬度为 处,则落体偏东距离为 1 y = ωgt 3 cos 3 50 例题2- 质量为m的小环套在半径为 光滑大圆环上, 的小环套在半径为R光滑大圆环上 例题 -7 质量为 的小环套在半径为 光滑大圆环上, 绕其上一点o转动 转动. 后者在水平面内以匀角速度 ω 绕其上一点 转动 试分析小环在大环上运动时的切向加速度和水平面 内所受的约束力. 内所受的约束力 N ω fc A 为极轴, 解:如图,以直径OCB为极轴,位矢 如图,以直径 为极轴 OA与极轴的夹角为 . CA与极 轴的夹角为 θ .在随大环转动的 在随大环转动的 参考系中,小环受到三个水平力: 参考系中,小环受到三个水平力: 大环的约束力 N(法向) (法向) 惯性离心力 0 R r θ C fk v x B f c = mrω 2 (沿 OA ) = 其中 r = OA = 2 R cos , θ 2 51 科氏力 其中 法向) f k = 2mv ω (法向) v=R dθ dt 0 ω R N A fc r θ C fk v x B 为小环相对于大环速度, 为小环相对于大环速度,沿 圆环的切线方向. 圆环的切线方向. ⑴切向加速度 1 at = fc sin = rω 2 sin m 2 2 = 2 Rω cos sin = Rω sinθ 此式表明,小环的运动是以 点为平衡位置来回摆动 点为平衡位置来回摆动. 此式表明,小环的运动是以B点为平衡位置来回摆动 52 在自然坐标系中, ⑵ 在自然坐标系中,水平面内约束力有 ω R N A fc mv 2 N + f k f c cos = ma n = R 0 r θ C fk v x B ∴ mv 2 N = f c cos + f k R mv 2 = mr ω 2 cos + 2mv ω R mv 2 = mR ω 2 (1 + cos θ ) + 2mv ω R 小环在大环上运动时所受的约束力沿大环的法线方向.. 小环在大环上运动时所受的约束力沿大环的法线方向.53 本章基本要求 1,全面深入理解牛顿运动定律及适用条件. 全面深入理解牛顿运动定律及适用条件. 2,熟练掌握重力,弹性力,摩擦力的规律和计算方法. 熟练掌握重力,弹性力,摩擦力的规律和计算方法. 3,理解基本单位,导出单位及量纲的意义. 理解基本单位,导出单位及量纲的意义. 4,熟练掌握运用牛顿定律分析问题的思路和方法,能 熟练掌握运用牛顿定律分析问题的思路和方法, 运用微积分等数学工具计算一些力学系统的问题. 运用微积分等数学工具计算一些力学系统的问题. 5,基本掌握质点相对运动的变换特点和计算. ,基本掌握质点相对运动的变换特点和计算. 6,掌握非惯性系中平移惯性力,惯性离心力的物理意义 掌握非惯性系中平移惯性力,惯性离心力的物理意义 离心力 及计算方法,初步掌握科利奥利力的特征和判断. 及计算方法,初步掌握科利奥利力的特征和判断. 54
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笫二章 质点动力学 目 录 1,牛顿三定律与伽利略变换 , 2,力学量的单位及量纲 , 3,几种常见的力 , 4,牛顿定律的运用 , 5,非惯性参考系与虚拟力 , 1 牛顿在1687年 发表了具有里程碑意义的《自然哲学的数学 年 发表了具有里程碑意义的《 牛顿在 原理》一书.牛顿的主要功绩是把考察物体周围所有的物体群 牛顿的主要功绩是把考察物体周围所有的物体群( 原理》一书 牛顿的主要功绩是把考察物体周围所有的物体群( 环境)对该考察物体的作用归结为力, 环境)对该考察物体的作用归结为力,而该物体则在力的作用 下按一定的规律运动. 下按一定的规律运动.即 力 环 境 力的定律 物 体 运动 运动定律 由此可见, 由此可见,动力学的根本任务就是回答在周围其他物体的 作用下,所考察的物体如何运动. 作用下,所考察的物体如何运动. 在牛顿以后,拉格朗日( . . 在牛顿以后,拉格朗日(J.L.Lagrange)和哈密顿(W. )和哈密顿( . Hamilton)等人以能量和作用量为基础,从另一途径建立了解 )等人以能量和作用量为基础, 决动力学问题的方法,这就是分析力学. 决动力学问题的方法,这就是分析力学.分析力学和牛顿力学 是等效的. 是等效的. 2 一 牛顿三定律和伽利略变换牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中, 牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中,把运动规律归纳 为三条定律,现分别叙述如下. 为三条定律,现分别叙述如下 一,第一定律(惯性定律) 第一定律(惯性定律) 该定律最初是伽利略(近代科学之父)提出的,他设计了 该定律最初是伽利略(近代科学之父)提出的, 两个理想实验: 两个理想实验: 理想实验之一:当一个球沿斜面向下滚时,其速度增大, 理想实验之一:当一个球沿斜面向下滚时,其速度增大, 向上滚时速度减小.由此推论,当球沿水平面滚动时, 向上滚时速度减小.由此推论,当球沿水平面滚动时,其速度 应不增不减. 应不增不减. 理想实验之二: 理想实验之二: ? 3 当球沿斜面的顶端向下滚后,即沿对面的斜面向上滚, 当球沿斜面的顶端向下滚后,即沿对面的斜面向上滚,达 到与原来差不多的高度.他推论,若没有摩擦力, 到与原来差不多的高度.他推论,若没有摩擦力,减少后一斜 面的斜率,球仍达到同一高度,但这时球要滚得远些. 面的斜率,球仍达到同一高度,但这时球要滚得远些.斜率愈 球滚得愈远.若将后一斜面放平,球要永远滚下去. 小,球滚得愈远.若将后一斜面放平,球要永远滚下去. 惯性定律: 惯性定律: 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动的状态 ,直到外力迫使它改变运动状态为止. 直到外力迫使它改变运动状态为止. 说明: 说明: 笫一定律是大量观察和实验事实的抽象与概括; (1) 笫一定律是大量观察和实验事实的抽象与概括; 第一定律定性提出了" 惯性"两个重要概念: (2) 第一定律定性提出了"力"和"惯性"两个重要概念:力 是迫 使物体改变静止或匀速直线运动状态的一种作用; 使物体改变静止或匀速直线运动状态的一种作用;惯性是 物体按其一定的量而存在于其中的一种抵抗能力. 物体按其一定的量而存在于其中的一种抵抗能力. (3) 第一定律定义了一类重要的参考系-惯性系; 第一定律定义了一类重要的参考系 惯性系; 的参考系- 爱因斯坦说: 爱因斯坦说:"伽利略的发现以及他所用的科学推理方法是人 类思想史上最伟大的成就之一,而且标志着物理学的真正开端" 类思想史上最伟大的成就之一,而且标志着物理学的真正开端". 4 二,牛顿第二定律牛顿表述:运动的改变与所加的动力成正比, 牛顿表述:运动的改变与所加的动力成正比,并发生在所 加的力的那个直线方向上. 加的力的那个直线方向上.确切的表述应为动量的变化率与 力成正比. (动)力成正比. 即 F = d ( mv ) = m dv + v dm dt dt dt dv F =m = ma dt B a1 F a2 m 2 = m1 如图 m1a1 = m 2 a 2 a2 的质量为标准质量( ),由于 若取 m1的质量为标准质量(可取 m1=1),由于 a1和 a 2 ), 都是可测量的, 的质量可以完全确定.这样, 都是可测量的,故 m 2的质量可以完全确定.这样,作为导出量 说明: 1)惯性的量度-惯性质量 说明: )惯性的量度- ( F A a1 的作用力F也就完全确定. 的作用力 也就完全确定. 也就完全确定 5 用惯性大小定义的质量称为惯性质量.是一个绝对量, 用惯性大小定义的质量称为惯性质量.是一个绝对量,具 有可加性.其单位称千克( ). ).千克的标准是保存在巴黎国 有可加性.其单位称千克(kg).千克的标准是保存在巴黎国 际计量局中的一个铂铱圆柱体. 际计量局中的一个铂铱圆柱体. 1原子质量单位=1.6605655 × 10 27 kg 原子质量单位= 原子质量单位 物体的惯性表现,在牛顿第二定律中被"质量"定量地表示来. 物体的惯性表现,在牛顿第二定律中被"质量"定量地表示来. (2)笫二定律适用的参考系是惯性系; 笫二定律适用的参考系是惯性系; 笫二定律是瞬时关系式; (3)笫二定律是瞬时关系式; 笫二定律是矢量式, (4)笫二定律是矢量式,使用时可用分量式 三,牛顿第三定律两个物体之间的作用力和反作用力,沿同一直线, 两个物体之间的作用力和反作用力,沿同一直线,大小相等 方向相反,分别作用在两个物体上. ,方向相反,分别作用在两个物体上. 数学表达: 数学表达: F12 = F21 6 说明: 作用力与反作用力的性质相同; 说明: 作用力与反作用力的性质相同; ① ②作用力和反作用力是作用在不同的物体上,各产生其 作用力和反作用力是作用在不同的物体上, 效果;同时产生,同时存在,同时消失,永不抵消. 效果;同时产生,同时存在,同时消失,永不抵消. 适用范围:笫三定律不涉及运动, ③ 适用范围:笫三定律不涉及运动,不要求参考系是 惯性系;对于接触力,笫三定律总是正确的, 惯性系;对于接触力,笫三定律总是正确的,而对于 非接触力,该定律则不一定正确. 非接触力,该定律则不一定正确. 笫三定律是关于力的性质的定律,而不是动力学本身的定律. 笫三定律是关于力的性质的定律,而不是动力学本身的定律. 物理学中的抽象和定义: 物理学中的抽象和定义:伟大的科学理论及其形式常常起始 于卓越的抽象与精当的定义, 于卓越的抽象与精当的定义,它们源于科学家对未知的复杂事 物包括实验现象,一番深邃的缜密的反复的思考和分析. 物包括实验现象,一番深邃的缜密的反复的思考和分析.牛顿 力学逻辑严谨的理论体系, 物理学理论首创的典范, 力学逻辑严谨的理论体系,是物理学理论首创的典范,三百多 年来对物理学和自然科学乃至人类文明,一直有着深刻的影响. 年来对物理学和自然科学乃至人类文明,一直有着深刻的影响. 7 四,伽利略变换实际上,上面讨论两个相互作匀速直线运动参考系时, 实际上,上面讨论两个相互作匀速直线运动参考系时,在时 空度量问题上隐含着更本质的内涵. 空度量问题上隐含着更本质的内涵 如图, 如图,设有两个相对作匀速直线运 相对于K的速度 动参考系K,K ′ K ′ 相对于 的速度 , 为u. 若t=0时两坐标系重合,则 时两坐标系重合, 时两坐标系重合 r ′ = r ut v′ = v u r0 a′ = a z z′ u 轴沿相对速度u的方向 取x轴沿相对速度 的方向,则 轴沿相对速度 的方向, 0 0′ y x ′ = x ut y′ y′ = y 伽利略坐标变换式 z′ = z x x′ t′ = t 8 伽利略变换蕴含的时空观- 伽利略变换蕴含的时空观-绝对时空观 1.关于同时性-同时性是绝对的 关于同时性- 关于同时性 ′ t1 = t , ′ t2 = t ′ ′ t1 = t 2 2.关于时间间隔-时间间隔是绝对的 关于时间间隔- 关于时间间隔 ′ t 1 = t1 , ′ t2 = t2 ′ ′ t 2 t1 = t 2 t1 3.关于长度测量一长度测量是绝对的 关于长度测量一长度测量是绝对的 ′ ′ x1 = x1 ut , x2 = x2 ut ′ ′ x2 x1 = x2 x1 ∴ x ′ = x 概括地说,绝对时空观认为时间,空间都是绝对的, 概括地说,绝对时空观认为时间,空间都是绝对的,它 们彼此无关,也与参考系的运动状态无关. 们彼此无关,也与参考系的运动状态无关 9 二 力学量的单位和量纲 一,基本量和导出量被选作独立规定单位的物理量称为基本量,它们 被选作独立规定单位的物理量称为基本量, 基本量 基本单位; 导出量, 的单位叫基本单位 其他量叫导出量 其单位叫导 的单位叫基本单位;其他量叫导出量,其单位叫导 出单位. 出单位. 二,单位制绝对单位制:先规定质量的单位,从而导出力的单位的单位制. 绝对单位制:先规定质量的单位,从而导出力的单位的单位制. 国际单位制(SI)七个基本量及基本单位: 国际单位制(SI)七个基本量及基本单位: (SI)七个基本量及基本单位 长度L(m) 时间T(s) 质量M(kg) 长度L(m) 时间T(s) 质量M(kg) 电流I(A) 物质的量(mol) 电流I(A) 物质的量(mol) 热力学温度C(k) 发光强度(cd) 热力学温度C(k) 发光强度(cd) 10 三,量纲表示一个物理量如何由基本量(包括这些量的幂) 表示一个物理量如何由基本量(包括这些量的幂)组 合的式子,称为物理量的量纲. 合的式子,称为物理量的量纲. [A] = L p M q T s 量纲法则:只有量纲相同的物理量才能相加,相减,用等号 量纲法则:只有量纲相同的物理量才能相加,相减, 相联系. 相联系. 应用: 在基本量相同的单位制之间进行单位换算. 应用: ① 在基本量相同的单位制之间进行单位换算. 验证公式,检查等式的正确性. ② 验证公式,检查等式的正确性. ③ 为推导某些复杂公式提供线索,或直接推导公式. 为推导某些复杂公式提供线索,或直接推导公式. 问题:验证平面极坐标系中各物理量的量纲是否相同? 问题:验证平面极坐标系中各物理量的量纲是否相同? F = m rθ 2 r r Fθ ( ) = m (rθ + 2rθ ) 11 三 力 几种常见的力接触力: 接触力:弹性力和摩擦力 非接触力(场力):万有引力 非接触力(场力):万有引力 ): 一,万有引力与重力 m1 m 2 F =G 2 r 重力: 重力:地球对表面物体的 万有引力mg 万有引力mg m1 r m2 mg GM g= 2 R 12 二,分子力与弹性力 f 分子力即原子间的力.可用半经验公式表示 分子力即原子间的力 可用半经验公式表示 F= λ r s r t 斥力 斥力 斥力 斥力 (s > t ) 0 r 引力 引力 引力 引力 引力 引力 引力 引力 弹簧力,正压力,支持力,绳张力-- 弹簧力,正压力,支持力,绳张力由于分子力, 由于分子力,相互接触的物体因彼此形变而产生欲 使物体恢复其原来形状的力. 使物体恢复其原来形状的力. 胡克定律 N′ N f = kx N 13 三,摩擦力物体与物体相互接触时, 物体与物体相互接触时,沿接触面两物体相互施以阻止 相对滑动的作用力.分子力是产生摩擦的根本原因. 相对滑动的作用力.分子力是产生摩擦的根本原因. 干 摩 擦 静摩擦力: 静摩擦力: 0 ≤ f f 0 ≤ N 0 方向: 方向:与物体相对滑动趋势的方向相反 滑动摩擦力: 滑动摩擦力: = N 方向: 方向:与物体相对 柟 的摩擦力的方向: 的摩擦力的方向: 动的方向相反 14 四,力的分类在目前的宇宙中,存在着四类基本的相互作用, 在目前的宇宙中,存在着四类基本的相互作用,所有的 运动现象的原因都逃不出这四类基本的力,各式各样的力只不 运动现象的原因都逃不出这四类基本的力 各式各样的力只不 过是这四类基本力在不同情况下的不同表现. 过是这四类基本力在不同情况下的不同表现 四种力:万有引力,电磁力, 四种力:万有引力,电磁力,强力和弱力万有引力 适用范围 m 相互作用举 例 相对强度 长程力 电磁力 长程力 强 力 弱 力 10 15 << 10 16 恒星结合在一 电子和原子核 质子和中子结 表征核子 β 起形成银河系 结合形成原子 合形成原子核 衰变的力 10 39 10 2 1 10 5 15 四 牛顿运动定律应用动力学的典型问题可归结为两类: 一,动力学的典型问题可归结为两类: 笫一类问题:己知作用于物体(质点)上的力,由力 笫一类问题:己知作用于物体(质点)上的力, 学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态. 学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态 笫二类问题:己知物体的运动情况或平衡状态, 笫二类问题:己知物体的运动情况或平衡状态,由 力学规律来推究作用于物体上各种力. 力学规律来推究作用于物体上各种力 力是牛顿力学的核心概念.质点动力学问题的求解,关键是力 力是牛顿力学的核心概念.质点动力学问题的求解,关键是力. 约束:对运动物体的一定限制. 二,约束:对运动物体的一定限制. 约束力:约束物对被约束物体所施的作用力. 约束力:约束物对被约束物体所施的作用力. 主动力:大小和方向与约束无关的作用在物体上的外力. 主动力:大小和方向与约束无关的作用在物体上的外力. 主动力与约束条件无关,它的变化规律是已知的,如重力, 主动力与约束条件无关,它的变化规律是已知的,如重力, 粘滞阻力等.而约束力一般都是未知的,是一种被动力, 粘滞阻力等.而约束力一般都是未知的,是一种被动力,须通过 16 求解运动微分方程才能确定. 求解运动微分方程才能确定. 约束方程:物体作约束运动时, 约束方程:物体作约束运动时,受到限制常表现为各坐标之间 一定的函数关系. 一定的函数关系. 例:如图,求每个物体的加速度? 如图,求每个物体的加速度 设动滑轮的中心坐标为x, 设动滑轮的中心坐标为 ,加速度 为a,由约束条件(绳长不变)给出 ,由约束条件(绳长不变) 0 x3 m3 ( x2 x ) + ( x1 x ) = l 2 微分两次, 微分两次,得 x + x 3 = l1 x x2 a + a3 = 0 a 2 + a1 2a = 0 x1 m1 m2 x 消去a, 消去 ,得约束条件 a 2 + a1 + 2a 3 = 0 1 a3 = (a1 + a2 )17 2 解题步骤: 三,解题步骤: 1,明确题意,确定研究对象. 明确题意,确定研究对象. 隔离物体,受力分析,画受力图. 2,隔离物体,受力分析,画受力图. 选取坐标系,列出分量方程式(包括约束方程). 3,选取坐标系,列出分量方程式(包括约束方程). 解方程,讨论. 4,解方程,讨论. 例题2-1 有一轻绳索围绕在圆柱上,绳索绕圆柱的张 例题2 有一轻绳索围绕在圆柱上, 角为 θ ,绳与圆柱间的静摩擦系数为 ,求绳索处于 滑动的边缘时,绳两端的张力间的关系. 滑动的边缘时,绳两端的张力间的关系. Y B θ 0 A T f N dθ 2 X TB TA dθ T + dT 18 解:如图,选取研究对象,受力分析(如图,设圆柱右力 如图,选取研究对象,受力分析(如图, 大于左力) 建立坐标系xy 大于左力) ,建立坐标系xy dθ dθ X方向: (T + dT ) cos 方向: 方向 T cos f = 0 2 2 y方向: (T + dT ) sin dθ T sin dθ + N = 0 方向: 方向 2 2 又 f = N sin dθ 2 dθ θ , cos d2 1 2 整理以上方程可得: 整理以上方程可得: dT = N 1 dTdθ + Tdθ = N 2 19 ∫ TA TB dT θ = ∫0 dθ T TA ln = θ TB TB = TAe θ 讨论: 讨论: 如果 = 0.25 则: θ = π时, TB = 0.46TA θ = 2π时, TB = 0.21TA θ = 10π时, TB = 0.00039TA 20 例题2 从实验知道,当物体速度不大时, 例题2-2 从实验知道,当物体速度不大时,可认为 空气阻力正比于物体的速度, 空气阻力正比于物体的速度,问以初速度竖直向上运 动的物体,其速度将如何变化? 动的物体,其速度将如何变化? 解: 运动物体所受力有: 运动物体所受力有: 重力mg方向向下 重力mg方向向下 mg 空气阻力 f = γv 方向向下 据牛顿第二定律,运动方程为: 据牛顿第二定律,运动方程为: y f mg 21 dv mg γ v = m dt dv mg γ v = m dt 分离变量再积分: 分离变量再积分: dv γ g v m dv = dt t ∫ v0 v g γ m = v ∫ dt 0 γ t mg γ v= v0 )e m 1 (1 + mg γ 22 例题2- 质量为m的物块置于倾角为 例题 -3 质量为 的物块置于倾角为 θ 的固定斜 面上, 面上,物块与斜面间静摩擦系数为 , < tan θ .现 现 用一水平外力F推物块 欲使物块不滑动, 的大小 推物块, 用一水平外力 推物块,欲使物块不滑动,F的大小 应满足什么条件? 应满足什么条件? x 解:如图,根据平衡条件 如图, m y F mg + N + f + F = 0 取图上所示坐标, 取图上所示坐标,考察即将 下滑时平衡方程的分量式为 下滑时平衡方程的分量式为 θ N y θ 23 F cosθ + f mg sinθ = 0 N F sinθ mg cosθ = 0 ⑴ ⑵ x f θ F ∵ f = N ⑶ 由⑴,⑵,⑶可解得 sinθ cos θ F = F1 = mg cos θ + sinθ 时物块将下滑.但 也不能太大 也不能太大, 即当作用力小于 F1 时物块将下滑 但F也不能太大,否则物 块还可上滑.当物块即将上滑时, 当物块即将上滑时 块还可上滑 当物块即将上滑时,平衡方程为 x F cos θ mg sinθ N = 0 ⑷ N N mg cosθ F sinθ = 0 解⑷,⑸两式得 ⑸ y sinθ + cos θ F = F2 = mg cos θ sinθ f θ θ F 即当F> F2 时物块上滑 综合以上结果,物块不滑动的条件为 时物块上滑.综合以上结果 综合以上结果, 即当 sinθ cosθ sinθ + cosθ mg < F < mg cosθ + sinθ cosθ sinθ 24 例题2-4 质量为m质点,沿半径为R的圆环的内壁运 例题2 质量为m质点,沿半径为R 整个圆环水平地固定在光滑的桌面上. 动,整个圆环水平地固定在光滑的桌面上.已知质点 与环壁间的摩擦系数 和质点开始运动的速率 v 0 , 试求:1 质点在任一时刻的速率; :1, 试求:1,质点在任一时刻的速率;2,经过多长时 间质点速度是原来的一半. 间质点速度是原来的一半. v 解:以地面为参考系,并选用自然坐标系: 以地面为参考系,并选用自然坐标系: m R N f 分析受力,列方程,则有 分析受力,列方程, o v2 N =m R dv f =m dt f =N ( 2) (1) 25 综合(1),(2)两式有: 综合( ),(2 两式有: 分离变量进行积分,并注意初值条件,有: 分离变量进行积分,并注意初值条件, v dv t ∫ dt = ∫ 2 R0 v0 v dv 2 v = R dt v0 v = v 0 1+ t R 当质点速度是原来的一半时, 当质点速度是原来的一半时, = v 0 2,则 v t = R v 0 26 例题2- 一质量为m的物块拴在穿过小孔的轻绳的 例题 -5 一质量为 的物块拴在穿过小孔的轻绳的 一端, 一端,在光滑水平台面上以角速度 ω 0 作半径为 r0 的园周运动, 时刻起, 的园周运动,自t=0时刻起,手拉着绳子的另一端以 时刻起 匀速v向下运动 使半径逐渐减少,试求: 向下运动, 匀速 向下运动,使半径逐渐减少,试求:⑴角速度 绳中的拉力与时间的关系. 与时间的关系 ω (t ) ;⑵绳中的拉力与时间的关系在平面极坐标中, 解:在平面极坐标中,运动方程为 m ( rθ 2 ) = F r <1> <2> ⑴ 根据题意 r = v, = 0,θ = ω r 由方程<2> 由方程 m rθ + 2rθ = 0 ( ) θ r v dω r = 2v ω dt dω 2v dt = r ω 27 ∵ r = v ∴ dω ∴ r = r0 vt 两边积分 2v dt = r0 vt ω ∫ω ω 0 dω 2v dt =∫ 0 r vt ω 0 t ω r0 vt ln = ln ω0 r0 ω 0 r02 2 ∴ 代入方程<1>,得 ⑵ 代入方程 , ω (t ) = (r0 vt ) F = mr θ 2 = m (r0 vt ) (r0 vt ) ω 02 r04 4 mω 02 r04 = 3 (r0 vt ) 28 五 非惯性参考系与虚拟力一 相对运动通常,把相对观察者静止的参考系称为定参考系或静参 通常,把相对观察者静止的参考系称为定参考系或静参 考系,把相对观察者运动的参考系称为动参考系 动参考系; 考系,把相对观察者运动的参考系称为动参考系;把物体相 对于动参考系的运动称为相对运动 相对运动, 对于动参考系的运动称为相对运动,物体相对定参考系的运 动称为绝对运动 动称为绝对运动. 绝对运动 讨论两个相对平动参考系 y y′ 相对S平动速度为 设S ′相对 平动速度为 v S ′S S系 S′系 系 ′ A′ ′ 如图, 如图,有 rS rS ′ rS = rS ′ + rS ′S A′ x′ A rS ′S o ′ x 两边除 两边除t , 取极限则有 o v AS = v AS ′ + v S ′S 29 v AS ′ = v AS v S ′S v AS -称为质点 相对 系的速度 (绝对速度) 称为质点A 相对S系的速度 绝对速度) v AS ′ - 称为质点 相对 ′系的速度(相对速度) 称为质点A 相对S 系的速度(相对速度) v S ′S -称为 ′系相对于 系的速度 (牵连速度) 称为S 系相对于S系的速度 牵连速度) 将上式对时间求导, 将上式对时间求导,加速度关系为 a′ = a A 其中: 其中: a ′ = d v AS ′ , dt dv AS , a= dt dv S ′S A= dt 上述关于质点位矢,运动速度,加速度的相对性, 上述关于质点位矢,运动速度,加速度的相对性,建立了两个 不同的参考系描述同一质点运动的联系, 不同的参考系描述同一质点运动的联系,提供了从一个参考系的 运动描述转入另一个参考系描述的可能性. 运动描述转入另一个参考系描述的可能性 30 运动的相对性.swf 一货车在行驶过程中,遇到5m/s竖直下落的大 例1.7 一货车在行驶过程中,遇到 竖直下落的大 车上紧靠挡板平放有长为l=1m的木板. 如果木 的木板. 雨 , 车上紧靠挡板平放有长为 的木板 板上表面距挡板最高端的距离h=1m,问货车应以多 板上表面距挡板最高端的距离 , 大的速度行驶,才能使木板不致淋雨? 大的速度行驶,才能使木板不致淋雨? 为使木板不致淋湿, 解:为使木板不致淋湿 , 雨滴对 货车的速度 v雨 车 的方向与地 面的夹角α必须满足下式: 面的夹角α必须满足下式: l h 由图知: 由图知: h α = arctg = 450 l v 地车 v雨车 45° ° h α v地车 31 = v ctgα = 5m/s 雨地 v雨地 l v 地车 和 v 车 地 大小相等而方向相反, 大小相等而方向相反 所以货车如 的速度行驶, 以5m/s的速度行驶 木板就不致淋雨了 的速度行驶 木板就不致淋雨了. 一实验者A在以 在以10ms-1 的速率沿水平轨道前进 例 1.8 一实验者 在以 的平板车上控制一台弹射器, 的平板车上控制一台弹射器 此弹射器以与车前进的 反方向呈60 的角斜向上射出一弹丸.此时站在地面上 反方向呈 o的角斜向上射出一弹丸 此时站在地面上 的另一实验者B看到弹丸铅直向上运动 看到弹丸铅直向上运动, 的另一实验者 看到弹丸铅直向上运动 求弹丸上升的 高度. 高度 y y' v' 60° ° o B o' A u x' x 解: 设地面参考系为 系, 平板车参考系为 ′, S′系以速率 设地面参考系为S系 平板车参考系为S′ ′系以速率u= 10ms-1 沿ox 轴正向相对 系运动 轴正向相对S系运动 32 弹丸相对S′系速度与 ′ 弹丸相对 ′系速度与x′轴方向夹角 弹丸相对S系的速度分量为 弹丸相对 系的速度分量为 v ′y tgα = v ′x v′ v′ x a v ′y u v y = v ′y S系的实验者 看到弹丸铅直向上运动 v x = 0 系的实验者B看到弹丸铅直向上运动 系的实验者 所以 v ′x = u = 10m s 1 v y = v ′y = v ′x tgα = 17.3m s 1 由变速直线运动的公式可得弹丸上升的高度为 v x = u + v ′x y= v2 y 2g (17.3) = 2 2 × 9.8 = 15.3m 33 某人以4km/h的速度向东前进时 , 感觉风从正 的速度向东前进时, 例 1.9 某人以 的速度向东前进时 北吹来,若速率增加一倍,又觉得风从东北吹来. 北吹来,若速率增加一倍,又觉得风从东北吹来. 试求:风相对于地面的速度 风相对于地面的速度? 试求 风相对于地面的速度? 解:设K系是地面参考系 K′系是建立在运动的人身上的参考系. 系是地面参考系, 系是地面参考系 ′系是建立在运动的人身上的参考系. v AK 为风对地的速度; 为风对地的速度; 分别为两种条件下人对地的速度; 分别为两种条件下人对地的速度; 分别为两种条件下风对人的速度. 分别为两种条件下风对人的速度. ′ v K ′K , v K ′K v AK ′ , v ′ K ′ A 由伽利略速度变换式 v K ′K ′ v K ′K ′ v AK = v AK ′ + v K ′K = v ′ K ′ + v K ′K v AK A θ v AK ′ 450 v′ K′ A 34 由图知: 由图知: vK 'K = v' K 'K v' AK ' cos 450 = v AK cos θ v AK ′ = v' AK ' sin 45 = v AK sinθ 0 由此解得 v' AK ' = 2 ( 2v K ' K v K ' K ) = 2v K ' K = 5.66km/h v AK ′ = 2v' AK ' = 4km/h 0 v AK = v 2 k 'k +v 2 AK ' = 5.66km/h v AK ' ∵ tgθ = =1 vK 'K ∴θ = 450 35 牛顿运动定律只在惯性系中成立.为在非惯性系中用牛顿定律 牛顿运动定律只在惯性系中成立 为在非惯性系中用牛顿定律 求解物体的运动,需要引进适当的虚拟力 适当的虚拟力. 求解物体的运动,需要引进适当的虚拟力 二,平动加速参考系-惯性力 平动加速参考系- 如果物体在加速参考系 K ′中的加速度为 a′,而物体相对惯 性系K的加速度为 系中运用牛顿定律, 性系 的加速度为 a0 .为在形式上在 K ′ 为在形式上在 系中运用牛顿定律,必 须认为物体除受真实力F的作用外 的作用外, 的作用, 须认为物体除受真实力 的作用外,还受一虚拟力 fi的作用,即 F + fi = ma ′ 虚拟力 fi = ma ′ F = ma ′ ma0 若非惯性系相对惯性系平动时的加速度为 a ,则 a0 = a ′ + a 36 故 fi = ma 惯性力实例.swf fi 称为平移惯性力.真实力与惯性力的合力称为表现力 称为平移惯性力 真实力与惯性力的合力称为表现力 平移惯性力 真实力与惯性力的合力称为表现力. "虚拟力"与"真实力"的区别:①不能指出是哪个物体作 虚拟力" 真实力"的区别: 虚拟力 用, 没有反作用力, 所有质点都受力, ②没有反作用力,③所有质点都受力,④只要选择 惯性系,就可消除惯性力. 惯性系,就可消除惯性力 例题2-6 一质量为 的木块静置于质量为 ,倾角为 的木块静置于质量为M, 例题 - 一质量为m的木块静置于质量为 高为h的直角劈的顶部 劈置于水平面上, 的直角劈的顶部, θ ,高为 的直角劈的顶部,劈置于水平面上,所有的 接触面都是光滑的,试用非惯性系观点,求木块m相对 接触面都是光滑的,试用非惯性系观点,求木块 相对 斜面的加速度. 斜面的加速度 解: 劈的运动以地面为参考系来考察, 劈的运动以地面为参考系来考察, 劈的运动以地面为参考系来考察, 在水平方向上 m N sinθ = Ma a ⑴ M θ 37 如图, 如图,坐标系 o′x ′y′取在劈上 ,木块除受真实力 木块除受真实力 N和mg外,还受惯性力 fi = ma . 和 外 木块的运动方程为 y′ N fi = ma ma cosθ + mg sinθ = mx ′ N + ma sinθ = mg cosθ 由⑴,⑶式消去N,即得 式消去 , ⑵ ⑶ 0′ x′ mg mg sinθ cosθ a= m sin2 θ + M 代入⑵ 代入⑵式,即得 x ′ = a cosθ + g sinθ = (M + m )sinθ m sin θ + M 2 g 38 要求:把参考系建在地面上处理本题,比较其结果 要求:把参考系建在地面上处理本题,比较其结果. 思考:惯性力是真是假? 思考:惯性力是真是假? 在导出非惯性系中运动定律的形式表示的过程中, 在导出非惯性系中运动定律的形式表示的过程中,不时冠以 虚拟力或假想力之定语于惯性力,以与真实作用力相区别, 虚拟力或假想力之定语于惯性力,以与真实作用力相区别,那 是为了免除初学时概念上的混淆.其实,惯性力所产生的物理后 是为了免除初学时概念上的混淆 其实, 其实 果是真实的,惯性力也可以由测力器测出.过分强调惯性力的假 果是真实的,惯性力也可以由测力器测出 过分强调惯性力的假 想性,这在物理思想上是要被质疑的. 想性,这在物理思想上是要被质疑的 爱因斯坦于1915年创立了广义相对论的理论基础,其基本 年创立了广义相对论的理论基础, 爱因斯坦于 年创立了广义相对论的理论基础 等效原理,最初表述是, 原理之一 等效原理,最初表述是,引力与惯性力实际上是 等效的. 等效的 二,转动参考系也是常见的非惯性系. 匀速转动参考系 K ′也是常见的非惯性系 39 ′ 1.相对于 K 系静止的点,惯性离心力 相对于 系静止的点, 系中的物体若位于过原点而垂直转轴的平面内, 静止在 K ′ 系中的物体若位于过原点而垂直转轴的平面内, 系中看来, 在K系中看来,物体受力 系中看来 F = m ω re r 2 系看来,必须认为物体不仅受真实力F作用 作用, 而在 K ′系看来,必须认为物体不仅受真实力 作用,而且 作用,两力相抵消, 还受虚拟力 f c作用,两力相抵消,即惯性离 心力 F + fc = 0 ∴ fc = F = + mω 2 rer ω ω ×r ω × (ω × r ) 当物体并不位于过原点且垂直转轴的 平面上, 平面上,离心力应写成 fc = mω × (ω × r ) r 0 40 惯性离心力的特点: 惯性离心力的特点: ①离心力与转动参考系的转动角速度有关,与角速度是否 离心力与转动参考系的转动角速度有关, 随时间变化无关; 离心力与物体所在位置有关, 随时间变化无关;②离心力与物体所在位置有关,与物体在转 动系中运动与否无关. 动系中运动与否无关 讨论: 讨论:①重力与纬度的关系由于地球的自转,在地球上测得物体 由于地球的自转, 的重力并非是物体的真实重力, 的重力并非是物体的真实重力,而是表 如图, 观重力 pθ .如图, θ是物体所受引力 和 如图 p 是物体所受引力P和 离心力 fi 的矢量和 ω fc p θ φ pθ Pθ = P + f c Pθ = P 2 + f c2 2 Pf c cosθ f c = m ω 2 r = mR 0ω 2 cos θ 41 f c mR 0ω 2 cos θ 6.4 × 10 6 × (2π 24 × 60 × 60)2 cos θ cos θ ≈ = = 9.81 289 P mg fc P >> fc, 故 Pθ ≈ P f c cos θ = P 1 cos θ 由于 P 1 2 Pθ ≈ P 1 cos θ 289 p 实际上由于自转效应,地球稍呈扁平, 实际上由于自转效应,地球稍呈扁平, θ 较准确的结果是 1 Pθ ≈ P 1 cos 2 θ 191 在两极处 在赤道处 θ = ± π 2, θ = 0,Pθ = P cos θ = 0, θ = 1,Pθ = P 1 cos 1 191 42 而 pθ 与 p 的夹角 ,由图知为 ω fc p θ f c sin θ mω 2 R cos θ sin θ ω 2 R sin 2θ = = ≈ P mg 2g 在上面讨论中未区分引力质量m G 和惯性 若要区分, 质量m I ,若要区分,则 φ pθ = ω 2 R sin 2θ m I 2g mG 如果惯性质量与引力质量不成正比, 如果惯性质量与引力质量不成正比,此 角将因物体的质 料不同而异.因而,若用细线将不同质料的物体悬挂起来, 料不同而异.因而,若用细线将不同质料的物体悬挂起来,悬 线将取不同的方向.匈牙利物理学厄缶利用此原理, 线将取不同的方向.匈牙利物理学厄缶利用此原理,在1908年 年 完成了一个的证明引力质量与惯性质量成正比的令人信服的实 完成了一个的证明引力质量与惯性质量成正比的令人信服的实 验. 43 ② 地球同步卫星定位于赤道上空地球同步卫星静止于地球上空,必须满足① 地球同步卫星静止于地球上空,必须满足①表观重力 Pφ 为 引力和离心力的矢量和才有可能为零.故地 零.只有当φ = 0 时,引力和离心力的矢量和才有可能为零 故地 只有当 球同步卫星只能定位于赤道上空; 球同步卫星只能定位于赤道上空;②卫星角速度恰等于地球自 转角速度 ω = 2π T,T = 24 × 60 × 60 s .即 即 Mm G = m ω 2 ( R + h) 2 ( R + h) ( R + h) = 3 GM ω 2 =3 gR 2T 2 ≈ 42000km 2 4π h ≈ 42000km 6370km ≈ 35630km 故地球同步卫星只能定位于赤道上空35630km. 故地球同步卫星只能定位于赤道上空 44 ′ 2. 相对于 K 系作匀速运动的点,科里奥利力 系作匀速运动的点, 若物体相对于转动参考系作相对运动,则由转动参考系的观 若物体相对于转动参考系作相对运动 则由转动参考系的观 察者看来,除了惯性离心力外, 察者看来,除了惯性离心力外,物体还受到另一惯性力的作 此力称为科里奥利力 法国人G.Coriolis 1835年提出). 科里奥利力( 年提出) 用,此力称为科里奥利力(法国人 年提出 沿半径oc相对圆盘等 点m 以速度 v ′ 沿半径 相对圆盘等 速移动时,同时参与了两个运动 同时参与了两个运动,由 速移动时 同时参与了两个运动 由 A点运动到 B ′ 点. 点运动到 如图所示作辅助线. 如图所示作辅助线. 其切向速度不断增大, 其切向速度不断增大,在 t 内 如图,相对于惯性系, 分析:如图,相对于惯性系,当质 0 A A′ ′B′′ = A′B′′ = v ′ω (t )2 s = B B c v′ B′ ω B ′′ c′ 45 在 t → 0 时,在 B′′B′ 弧段内可以应用匀变速直线运动 公式. 公式 两式相比, 两式相比,得 1 2 s = a t (t ) 2 a t = 2v ′ω 其方向与质点相对于圆盘的速 垂直,并指向右方. 度 v ′垂直,并指向右方 c 0 A A′ B′ v′ B 显然,为使物体获得这个加速度, 显然,为使物体获得这个加速度,必须施物体向右的切 向力 ω B ′′ c′ Ft = ma t = 2m v ′ω 46 若以圆盘为参考系,在盘中观察者看来,质点 若以圆盘为参考系,在盘中观察者看来,质点m 所作的是 沿半径的匀速直线运动,因此, 力外, 沿半径的匀速直线运动,因此,必须认为除了 Ft 力外,还有 作用在物体上.这个力与真实力 大小相等, 一个力 f k作用在物体上 这个力与真实力Ft 大小相等,方向 相反.其大小为 相反 其大小为 f k = 2mv ′ω 垂直,并指向左. 其方向与质点相对于圆盘的速度 v ′垂直,并指向左.力 f k 是 盘中观察者设想的力,是一个惯性力,即为科里奥利力. 盘中观察者设想的力,是一个惯性力,即为科里奥利力 使得 f k + Ft = 0 可以证明,物体在圆盘内沿任何方向运动时, 可以证明,物体在圆盘内沿任何方向运动时,都将受到一个 与运动方向垂直的科氏力.在普遍情况下 与运动方向垂直的科氏力 在普遍情况下 fk = 2mv ′ × ω 47 科氏力特征: 科氏力特征: 与相对速度成正比, ① 与相对速度成正比,故只有当物体相对转动参考系运动 时才能出现. 时才能出现 与转动角速度的一次方成正比. ② 与转动角速度的一次方成正比 力的方向总是与相对速度垂直,不会改变相对速度的大小. ③ 力的方向总是与相对速度垂直,不会改变相对速度的大小 地球是一个匀速转动参考系,科里奥利力在地球上的表现: 地球是一个匀速转动参考系,科里奥利力在地球上的表现: 地面上北半球河流冲刷右岸,火车对右轨的偏压较大. ① 地面上北半球河流冲刷右岸,火车对右轨的偏压较大 南半球则相反. 南半球则相反 地球上自由落体偏东和火箭轨道的偏向. ② 地球上自由落体偏东和火箭轨道的偏向. 水漏流场的旋汇-北半球为逆时针旋汇,南半球相反. ③ 水漏流场的旋汇-北半球为逆时针旋汇,南半球相反. 天气图上, 低气压环流能长期存在. ④ 天气图上,高,低气压环流能长期存在 48 解释: 解释:落体偏东如图, 如图,在直角坐标系中讨论 在赤道平面内的自由落体.当不 在赤道平面内的自由落体 当不 考虑科氏力时 y fk v = gtk 由于运动,科氏力为 由于运动, ω o mg z f k = 2mgt k × ω i = 2mωgtj 即科氏力的方向在水平面内指向东方 由此得沿y方向的运动方程 由此得沿 方向的运动方程 ( ) 2mωgt = m dv y dt 49 dv y dt = 2ωgt =0 得 2 将上式积分,并代入初始条件: , 将上式积分,并代入初始条件:t=0,v y v y = ωgt 再积分一次,并代入初始条件: , 再积分一次,并代入初始条件:t=0,y=0,得 , 1 3 y = ωgt 3 设h=80m,而 ω ≈ 7.3 × 10 5 rad / s ,得y=1.6cm , 如果不是在赤道, 如果不是在赤道,而在纬度为 处,则落体偏东距离为 1 y = ωgt 3 cos 3 50 例题2- 质量为m的小环套在半径为 光滑大圆环上, 的小环套在半径为R光滑大圆环上 例题 -7 质量为 的小环套在半径为 光滑大圆环上, 绕其上一点o转动 转动. 后者在水平面内以匀角速度 ω 绕其上一点 转动 试分析小环在大环上运动时的切向加速度和水平面 内所受的约束力. 内所受的约束力 N ω fc A 为极轴, 解:如图,以直径OCB为极轴,位矢 如图,以直径 为极轴 OA与极轴的夹角为 . CA与极 轴的夹角为 θ .在随大环转动的 在随大环转动的 参考系中,小环受到三个水平力: 参考系中,小环受到三个水平力: 大环的约束力 N(法向) (法向) 惯性离心力 0 R r θ C fk v x B f c = mrω 2 (沿 OA ) = 其中 r = OA = 2 R cos , θ 2 51 科氏力 其中 法向) f k = 2mv ω (法向) v=R dθ dt 0 ω R N A fc r θ C fk v x B 为小环相对于大环速度, 为小环相对于大环速度,沿 圆环的切线方向. 圆环的切线方向. ⑴切向加速度 1 at = fc sin = rω 2 sin m 2 2 = 2 Rω cos sin = Rω sinθ 此式表明,小环的运动是以 点为平衡位置来回摆动 点为平衡位置来回摆动. 此式表明,小环的运动是以B点为平衡位置来回摆动 52 在自然坐标系中, ⑵ 在自然坐标系中,水平面内约束力有 ω R N A fc mv 2 N + f k f c cos = ma n = R 0 r θ C fk v x B ∴ mv 2 N = f c cos + f k R mv 2 = mr ω 2 cos + 2mv ω R mv 2 = mR ω 2 (1 + cos θ ) + 2mv ω R 小环在大环上运动时所受的约束力沿大环的法线方向.. 小环在大环上运动时所受的约束力沿大环的法线方向.53 本章基本要求 1,全面深入理解牛顿运动定律及适用条件. 全面深入理解牛顿运动定律及适用条件. 2,熟练掌握重力,弹性力,摩擦力的规律和计算方法. 熟练掌握重力,弹性力,摩擦力的规律和计算方法. 3,理解基本单位,导出单位及量纲的意义. 理解基本单位,导出单位及量纲的意义. 4,熟练掌握运用牛顿定律分析问题的思路和方法,能 熟练掌握运用牛顿定律分析问题的思路和方法, 运用微积分等数学工具计算一些力学系统的问题. 运用微积分等数学工具计算一些力学系统的问题. 5,基本掌握质点相对运动的变换特点和计算. ,基本掌握质点相对运动的变换特点和计算. 6,掌握非惯性系中平移惯性力,惯性离心力的物理意义 掌握非惯性系中平移惯性力,惯性离心力的物理意义 离心力 及计算方法,初步掌握科利奥利力的特征和判断. 及计算方法,初步掌握科利奥利力的特征和判断. 54
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贡献者： 下载雨夜 见习魔法师 二级
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