第四章 机械能守恒
§4.1 功 动能定理 掌握力做功的概念,和动能作为运动状态(速率)的函数.理解应用质点的动能定理.
§4.2 势能 理解保守力与势能(位置的函数)的概念,掌握重力势能,弹簧的弹性势能,万有引力势能的计算.
§4.3 质点系的能量 理解质点系的动能定理,掌握柯尼希定理和动能定理的应用.
§4.4 功能原理和机械能守恒原理 掌握功能原理及机械能守恒定律.
§4.5 碰撞 理解掌握二维的对心和非对心碰撞.
§4.1 功 动能定理
一 . 功和功率
力的空间积累,功的概念.
力 作用于质点,并且质点作元位移 ,则定义力作元功
当质点在一段有限路径上移动时,力 作功
合力 作功是各分力 作功的代数和,
涉及作功快慢时,引入功率概念,
二 . 动能 动能定理
合外力 对质点m作功的效果
合外力 对物体作功引起物体某状态函数 的增加 .该状态函数定义为物体的动能
也可以看作物体对外界作用力 并使其位移,物体作功
等于物体动能的减少.所以动能被视为运动物体作功能力的表示.
动能定理
§4.2 势能
通常,外力作功与移动路径有关.但自然界中有一些力作功只与起终点位置有关,而与路径无关
若上式对任意起终点和路径成立.或
则力 称为保守力.
保守力在质点位移过程中作功只与质点在起终点的状态(位置)有关,涉及某状态函数的变化.该函数称为势能.
一 . 保守力 势能
1
2
A
B
势能的减少定义为保守力作功
势能的大小是对标准点而言的,相对意义.令P点 由
若取 ,则
显然势能大小不同,但其变化是绝对的,
二 . 引力势能
万有引力是保守力,可以引入引力势能.
空间两质点m1和m2,沿路径l由P点至Q点.求m1对m2的引力作功A.
以为m1原点建立极坐标系.有
所以
三维曲线不改变结果.
与路径无关
m1
m2
O
l
P
Q
显然引力作功与路径l无关.万有引力是保守力.
利用上式及势能减少的定义
常取r= 处为引力势能零点 ,于是
重力势能. ,地表附近势能减少
取地面处 ,重力势能
系统共有的
三 . 弹性势能
取物体平衡处为坐标原点.物体位于x处时,弹簧伸长是x,物体受弹力
当物体由x=x1至x=x2时,弹力作功
与路径无关.保守力
由势能减少的定义,
取x=0处, , 弹性势能
§4.3 质点系的能量
第i个质点受外力 ,受内力 ,由单质点动能定理
系统总动能的增加,等于系统所受外力和内力作功之和.内力作功可以改变系统总动能.
一 . 质点系动能定理
N个质点的系统.总动能
将N个上式累加,得
二 . 柯尼希定理
动能相对参考系而言.质心参考系
质点mi和质心在K系中位矢 和 ,质点mi在质心系中位矢 ,显然
质点系的总动能可改写为
第一项是质心在K系中的动能;第二项是系统在质心系的总动能EkC;第三项为零.所以
(柯尼希定理)
O
三 . 保守内力孤立质点系的能量
孤立系统,外力不作功.总动能变化
由于 是保守力,积分只与 , 在1,2状态的相对位置有关,可以表示为势能的减少
累加后得到系统总动能的改变
O
体系在某状态的总势能是
多质点保守力孤立系统中,总动能和总势能之和保持恒定.
引力系中,若取 ,则
所以,总引力势能
§4.4 功能原理和机械能守恒原理
一 . 功能原理
一般地,系统除受保守内力,还受非保守内力及外力.后两者作功不能表示为状态函数的变化.系统总动能改变
功能原理
动能和势能之和称为系统的机械能.
内力作功也可以改变系统的机械能.
右边两项功需消耗其它形式的能量,只是这种能量无法用机械运动参量表示.
广泛意义上总能量是守恒的.能量转换与守恒原理是物理学中最基本的定律.
二 . 机械能守恒原理
若外力和非保守内力作功为零,即没有其它形式的能量参与过程,系统总机械能守恒,能量只在动能,势能间转换
(机械能守恒原理)
等形式
凡势能必然涉及另一物体作功,系统必包含两个以上物体.但另一物体的动能呢 弹簧,地球等.
这个问题主要牵涉参考系.
三 . 参考系的选择
考察动能定理.由于系统内力是成对出现的, ,一对内力作功
只与两质点相对位置变化有关.因此,内力作功与参考系无关.
但是外力作功与参考系有关, 这样若在K系中外力作功为零, K'系中则不一定为零.
机械能守恒是相对参考系而言的.
车厢以速度 匀速前进,小球在振动.以小球+弹簧为系统.
车厢参考系K'中.
满足守恒.
地面参考系K系中.
因为外力作功,不满足守恒.但功能原理是成立的.
外力的功率
其次,若选取了非惯性系,只要计入惯性力作为外力处理即可.
为避免计入惯性力作功,选惯性系是当然的,而质心系是另一常用选择.设质心系对惯性系具有加速度 ,惯性力作功
取质心系,不需计入惯性力作功.
第三宇宙速度 火箭逸出太阳系,取太阳为参考系.
相互作用是保守力,逸出后机械能下限为零.设地球距离上摆脱地球时速度是v
由 ,得
若沿地球公转速度29.8 km/s方向发射,可得出发速度v'
解得v'=12.7 km/s
结果是错误的.在太阳参考系,应计入地球动能变化.现取地球(-火箭质心)系,
解得v'=16.7 km/s
§4.5 碰撞
该过程时间很短,内力很大,外力的冲量常忽略.碰撞前后总动量守恒是该问题中最基本的守恒律.
能量角度.不计位置变化,常忽略引力势能的改变.由物体的机械形变,分弹性碰撞(机械能,动能守恒);非弹性碰撞和完全非弹性碰撞.
碰前
碰后
一 . 正碰撞
两个体初速度 和 沿球心连线.
形变,内力都在连线上.因此碰后 和 也在连线上.
问题是一维的.
v2
m1
m1
m2
m2
u2
u1
v1
系统动量守恒
说明运动总趋向不变,质心速度不变.
能量关系.碰撞中两球经历压缩,恢复阶段.
若完全恢复,弹性碰撞,动能守恒,
可以得到
如果是部分恢复,非弹性碰撞,动能不守恒.用恢复系数e表示恢复程度
(2)
(1)
完全没有恢复过程,完全非弹性碰撞.
(1)和(2)是研究正碰撞的基本方程.解得
其中第一项是质心速度,第二项是落后,超前质心速度.
两体系统的动能 利用柯尼希定理
分别是质心动能 ,和两体对质心的动能
将 代入上式,经计算
其中 ,称为折合质量. 是质点1对质点2的相对速度.
碰撞问题中,质心速度保持不变.碰撞前后的动能变化是相对运动动能变化.
正碰中, ,所以
二 . 质心系中的正碰撞
质心系(C系)中,总动量永远等于零.
利用恢复系数
可得
若实验室系(L系)中, , C系有
C系中动能变化
动能变化是相同的.
三 . 弹性斜碰撞
以下是 的弹性碰撞,二维问题.L系中取 方向为x轴.有动量,动能守恒
一般是三维情况.常将球心连线方向取为x轴.内力发生在连线方向,个体在垂直连线方向的动量,速度不变.连线方向作正碰撞处理.
x
1
2
x
y
C系中,
和 沿同一直线,方向相反.系统动量守恒
可见 和 沿同一直线,方向相反.由系统动能守恒
可以得到 , C系中二者只改变方向.
C
C
C与L系入射粒子散射角 L的关系.
二者入射方向相同,取为x轴.相对速度关系 ,即
其中 ,可得
当m1=m2时,有
x
§4.1 功 动能定理 掌握力做功的概念,和动能作为运动状态(速率)的函数.理解应用质点的动能定理.
§4.2 势能 理解保守力与势能(位置的函数)的概念,掌握重力势能,弹簧的弹性势能,万有引力势能的计算.
§4.3 质点系的能量 理解质点系的动能定理,掌握柯尼希定理和动能定理的应用.
§4.4 功能原理和机械能守恒原理 掌握功能原理及机械能守恒定律.
§4.5 碰撞 理解掌握二维的对心和非对心碰撞.
§4.1 功 动能定理
一 . 功和功率
力的空间积累,功的概念.
力 作用于质点,并且质点作元位移 ,则定义力作元功
当质点在一段有限路径上移动时,力 作功
合力 作功是各分力 作功的代数和,
涉及作功快慢时,引入功率概念,
二 . 动能 动能定理
合外力 对质点m作功的效果
合外力 对物体作功引起物体某状态函数 的增加 .该状态函数定义为物体的动能
也可以看作物体对外界作用力 并使其位移,物体作功
等于物体动能的减少.所以动能被视为运动物体作功能力的表示.
动能定理
§4.2 势能
通常,外力作功与移动路径有关.但自然界中有一些力作功只与起终点位置有关,而与路径无关
若上式对任意起终点和路径成立.或
则力 称为保守力.
保守力在质点位移过程中作功只与质点在起终点的状态(位置)有关,涉及某状态函数的变化.该函数称为势能.
一 . 保守力 势能
1
2
A
B
势能的减少定义为保守力作功
势能的大小是对标准点而言的,相对意义.令P点 由
若取 ,则
显然势能大小不同,但其变化是绝对的,
二 . 引力势能
万有引力是保守力,可以引入引力势能.
空间两质点m1和m2,沿路径l由P点至Q点.求m1对m2的引力作功A.
以为m1原点建立极坐标系.有
所以
三维曲线不改变结果.
与路径无关
m1
m2
O
l
P
Q
显然引力作功与路径l无关.万有引力是保守力.
利用上式及势能减少的定义
常取r= 处为引力势能零点 ,于是
重力势能. ,地表附近势能减少
取地面处 ,重力势能
系统共有的
三 . 弹性势能
取物体平衡处为坐标原点.物体位于x处时,弹簧伸长是x,物体受弹力
当物体由x=x1至x=x2时,弹力作功
与路径无关.保守力
由势能减少的定义,
取x=0处, , 弹性势能
§4.3 质点系的能量
第i个质点受外力 ,受内力 ,由单质点动能定理
系统总动能的增加,等于系统所受外力和内力作功之和.内力作功可以改变系统总动能.
一 . 质点系动能定理
N个质点的系统.总动能
将N个上式累加,得
二 . 柯尼希定理
动能相对参考系而言.质心参考系
质点mi和质心在K系中位矢 和 ,质点mi在质心系中位矢 ,显然
质点系的总动能可改写为
第一项是质心在K系中的动能;第二项是系统在质心系的总动能EkC;第三项为零.所以
(柯尼希定理)
O
三 . 保守内力孤立质点系的能量
孤立系统,外力不作功.总动能变化
由于 是保守力,积分只与 , 在1,2状态的相对位置有关,可以表示为势能的减少
累加后得到系统总动能的改变
O
体系在某状态的总势能是
多质点保守力孤立系统中,总动能和总势能之和保持恒定.
引力系中,若取 ,则
所以,总引力势能
§4.4 功能原理和机械能守恒原理
一 . 功能原理
一般地,系统除受保守内力,还受非保守内力及外力.后两者作功不能表示为状态函数的变化.系统总动能改变
功能原理
动能和势能之和称为系统的机械能.
内力作功也可以改变系统的机械能.
右边两项功需消耗其它形式的能量,只是这种能量无法用机械运动参量表示.
广泛意义上总能量是守恒的.能量转换与守恒原理是物理学中最基本的定律.
二 . 机械能守恒原理
若外力和非保守内力作功为零,即没有其它形式的能量参与过程,系统总机械能守恒,能量只在动能,势能间转换
(机械能守恒原理)
等形式
凡势能必然涉及另一物体作功,系统必包含两个以上物体.但另一物体的动能呢 弹簧,地球等.
这个问题主要牵涉参考系.
三 . 参考系的选择
考察动能定理.由于系统内力是成对出现的, ,一对内力作功
只与两质点相对位置变化有关.因此,内力作功与参考系无关.
但是外力作功与参考系有关, 这样若在K系中外力作功为零, K'系中则不一定为零.
机械能守恒是相对参考系而言的.
车厢以速度 匀速前进,小球在振动.以小球+弹簧为系统.
车厢参考系K'中.
满足守恒.
地面参考系K系中.
因为外力作功,不满足守恒.但功能原理是成立的.
外力的功率
其次,若选取了非惯性系,只要计入惯性力作为外力处理即可.
为避免计入惯性力作功,选惯性系是当然的,而质心系是另一常用选择.设质心系对惯性系具有加速度 ,惯性力作功
取质心系,不需计入惯性力作功.
第三宇宙速度 火箭逸出太阳系,取太阳为参考系.
相互作用是保守力,逸出后机械能下限为零.设地球距离上摆脱地球时速度是v
由 ,得
若沿地球公转速度29.8 km/s方向发射,可得出发速度v'
解得v'=12.7 km/s
结果是错误的.在太阳参考系,应计入地球动能变化.现取地球(-火箭质心)系,
解得v'=16.7 km/s
§4.5 碰撞
该过程时间很短,内力很大,外力的冲量常忽略.碰撞前后总动量守恒是该问题中最基本的守恒律.
能量角度.不计位置变化,常忽略引力势能的改变.由物体的机械形变,分弹性碰撞(机械能,动能守恒);非弹性碰撞和完全非弹性碰撞.
碰前
碰后
一 . 正碰撞
两个体初速度 和 沿球心连线.
形变,内力都在连线上.因此碰后 和 也在连线上.
问题是一维的.
v2
m1
m1
m2
m2
u2
u1
v1
系统动量守恒
说明运动总趋向不变,质心速度不变.
能量关系.碰撞中两球经历压缩,恢复阶段.
若完全恢复,弹性碰撞,动能守恒,
可以得到
如果是部分恢复,非弹性碰撞,动能不守恒.用恢复系数e表示恢复程度
(2)
(1)
完全没有恢复过程,完全非弹性碰撞.
(1)和(2)是研究正碰撞的基本方程.解得
其中第一项是质心速度,第二项是落后,超前质心速度.
两体系统的动能 利用柯尼希定理
分别是质心动能 ,和两体对质心的动能
将 代入上式,经计算
其中 ,称为折合质量. 是质点1对质点2的相对速度.
碰撞问题中,质心速度保持不变.碰撞前后的动能变化是相对运动动能变化.
正碰中, ,所以
二 . 质心系中的正碰撞
质心系(C系)中,总动量永远等于零.
利用恢复系数
可得
若实验室系(L系)中, , C系有
C系中动能变化
动能变化是相同的.
三 . 弹性斜碰撞
以下是 的弹性碰撞,二维问题.L系中取 方向为x轴.有动量,动能守恒
一般是三维情况.常将球心连线方向取为x轴.内力发生在连线方向,个体在垂直连线方向的动量,速度不变.连线方向作正碰撞处理.
x
1
2
x
y
C系中,
和 沿同一直线,方向相反.系统动量守恒
可见 和 沿同一直线,方向相反.由系统动能守恒
可以得到 , C系中二者只改变方向.
C
C
C与L系入射粒子散射角 L的关系.
二者入射方向相同,取为x轴.相对速度关系 ,即
其中 ,可得
当m1=m2时,有
x
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